高中數(shù)學第5課時絕對值不等式的解法

第5課時絕對值不等式解法你能把|2a2|，|a＋1|，|x－1|等式子中絕對值去掉嗎?不等式|x|<3解集是什么呢?1/34

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3/34預學2:依據(jù)絕對值幾何意義解不等式|x|<a和|x|>a普通地，假如a>0，那么從絕對值幾何意義看，|x|<a表示數(shù)軸上到原點距離小于a點集合;|x|>a表示數(shù)軸上到原點距離大于a點集合，故|x|<a?－a<x<a;|x|>a?x<－a或x>a.所以，不等式|x|<a解集是(－a，a);不等式|x|>a解集是(－∞，－a)∪(a，＋∞).4/34議一議:解不等式x2－2|x|－3>0.【解析】(法一)當x≥0時，原不等式可化為x2－2x－3>0，∴不等式解為x>3.當x<0時，原不等式可化為x2＋2x－3>0，∴不等式解為x<－3.綜上可得，原不等式解集為{x|x>3或x<－3}.(法二)不等式x2－2|x|－3>0，即不等式|x|2－2|x|－3>0，∴(|x|－3)(|x|＋1)>0，∴|x|－3>0，∴原不等式解集為{x|x>3或x<－3}.5/34預學3:依據(jù)絕對值幾何意義解不等式|x－x1|<a和|x－x1|>a假如a是一個正實數(shù)，那么對于絕對值不等式|x－x1|<a，|x－x1|>a，我們有|x－x1|<a?－a<x－x1<a?x1－a<x<x1＋a;|x－x1|>a?x－x1<－a或x－x1>a?x<x1－a或x>x1＋a.6/34練一練:已知A＝{x||x＋2|≥5}，B＝{x||3－x|<2}，則A∪B等于

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【解析】A＝{x||x＋2|≥5}＝{x|x＋2≤－5或x＋2≥5}＝{x|x≤－7或x≥3}，B＝{x||3－x|<2}＝{x||x－3|<2}＝{x|1<x<5}，∴A∪B＝{x|x≤－7或x>1}.【答案】{x|x≤－7或x>1}7/34

8/34(2)|x－a|＋|x－b|≤c和|x－a|＋|x－b|≥c型不等式解法:解法1，利用絕對值不等式幾何意義求解;解法2，利用分類討論思想，去掉絕對值符號后求解;解法3，經(jīng)過結(jié)構(gòu)函數(shù)，利用函數(shù)圖象和零點求解.9/34練一練:已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|x－2|.(1)把函數(shù)y＝f(x)去掉絕對值寫成份段函數(shù)形式，并畫出函數(shù)y＝f(x)圖象.(2)說出函數(shù)y＝f(x)最小值及對應x值或集合.(3)解不等式f(x)≤5.10/34

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17/342.含參數(shù)絕對值不等式問題例2、已知不等式|x＋1|－|x－3|>a.(1)若不等式有解;(2)若不等式解集為R;(3)若不等式解集為?.分別求出a取值范圍.【方法指導】先利用絕對值幾何意義，求出|x＋1|－|x－3|最值，再結(jié)合題目條件求解.18/34【解析】由|x＋1|－|x－3|≤|x＋1－(x－3)|＝4，|x－3|－|x＋1|≤|(x－3)－(x＋1)|＝4，可得－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.(1)若不等式有解，則a<4;(2)若不等式解集為R，則a<－4;(3)若不等式解集為?，則a≥4.19/34

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21/343.絕對值不等式應用例3、已知函數(shù)f(x)＝m－|x－1|－2|x＋1|.(1)當m＝5時，求不等式f(x)>2解集;(2)若二次函數(shù)y＝x2＋2x＋3與函數(shù)f(x)圖象恒有公共點，求實數(shù)m取值范圍.【方法指導】(1)將要解不等式等價轉(zhuǎn)化為三個不等式組，求出每個不等式組解集，再取并集，即得所求.(2)要使二次函數(shù)y＝x2＋2x＋3與函數(shù)f(x)圖象恒有公共點，只需f(x)max≥ymin.22/34

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24/34變式訓練3、已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)當a＝1時，求不等式f(x)>1解集;(2)若f(x)圖象與x軸圍成三角形面積大于6，求a取值范圍.25/34

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27/341.解含有絕對值不等式總體思緒是:將含有絕對值不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對值不等式，依據(jù)是同解性，對同解性應了解為“|x|”中x能夠是任何有意義數(shù)學式子f(x)，所以從結(jié)論上說，|f(x)|<g(x)與－g(x)<f(x)<g(x)同解，|f(x)|>g(x)與f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)同解.掌握去掉絕對值符號方法和路徑是關(guān)鍵.數(shù)形結(jié)正當解不等式是另一個主要解題路徑，為此要熟練掌握函數(shù)|f(x)|圖象和畫法.28/342.(1)對含有兩個絕對值不等式問題，慣用“零點分析法”去掉絕對值轉(zhuǎn)化為解若干個不等式組問題，原不等式解集是這些不等式組解集并集;對含有多個絕對值函數(shù)問題，常利用分類整合思想轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)問題，若絕對值中未知數(shù)系數(shù)相同，慣用絕對值不等式性質(zhì)求最值，可降低計算.29/34(2)對于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x－a|－|x－b|型最值問題利用絕對值三角不等式更方便.形如y＝|x－a|＋|x－b|函數(shù)只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|函數(shù)現(xiàn)有最大值又有最小值.30/34

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32/34(2)由(