高中數(shù)學(xué)第一章計數(shù)原理1.1第一課時分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

數(shù)學(xué)選修2-3·人教A版新課標導(dǎo)學(xué)1/47第一章計數(shù)原理2/47高二一班某寢室有8名同學(xué)，他們約定畢業(yè)后每年春節(jié)要互寄一張賀年卡片，他們一共要消費多少張卡片？年9月，紀念中國人民抗日戰(zhàn)爭暨世界反法西斯戰(zhàn)爭勝利70周年閱兵式，外軍方隊有17個方隊，這些方隊出場次序一共有多少種排法？某城市電話號碼有8位數(shù)字，一共能組成多少個電話號碼？汽車牌照由26個英文字母和10個阿拉伯數(shù)字選出五個組成，一共能組成多少輛汽車牌照號碼？……你知道是怎樣計數(shù)嗎？本章將系統(tǒng)學(xué)習(xí)計數(shù)原理，學(xué)習(xí)本章要注意體會有序與無序在計數(shù)中區(qū)分，體會建模在數(shù)學(xué)研究中作用．3/474/471．1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理第1課時分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理5/471自主預(yù)習(xí)學(xué)案2互動探究學(xué)案3課時作業(yè)學(xué)案6/47自主預(yù)習(xí)學(xué)案7/47年3月3日政協(xié)十二屆第5次會議在北京舉行，某政協(xié)委員3月2日要從泉城濟南前往北京參加會議．他有兩類快捷路徑可供選擇：一是乘飛機，二是乘坐動車組．假如這天飛機有3個航班可乘，動車組有4個班次可乘．問：此委員這一天從濟南到北京共有多少種快捷路徑可選？8/471．分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不一樣方案，在第1類方案中有m種不一樣方法，在第2類方案中有n種不一樣方法，那么完成這件事共有N＝________種不一樣方法．2．分類加法計數(shù)原理推廣完成一件事有n類不一樣方案，在第1類方案中有m1種不一樣方法，在第2類方案中有m2種不一樣方法，…，在第n類方案中有mn種不一樣方法，那么完成這件事共有N＝_________________種不一樣方法．m＋n

m1＋m2＋…＋mn

9/473．分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不一樣方法，做第2步有n種不一樣方法，那么完成這件事共有N＝________種不一樣方法．4．分步乘法計數(shù)原理推廣完成一件事需要分成n個步驟，做第1步有m1種不一樣方法，做第2步有m2種不一樣方法，…，做第n步有mn種不一樣方法，那么完成這件事共有N＝_________________種不一樣方法．m×n

m1×m2×…×mn

10/471．某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，若要求從兩類課程中選一門，則不一樣選法共有 (

)A．3種 B．4種C．7種 D．12種[解析]

選擇課程方法有2類：從A類課程中選一門有3種不一樣方法，從B類課程中選1門有4種不一樣方法，∴共有不一樣選法3＋4＝7種．C

11/472．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，則(x，y)可表示不一樣點個數(shù)是 (

)A．1 B．3C．6 D．9[解析]

這件事可分為兩步完成：第一步，在集合{2,3,7}中任取一個值x有3種方法；第二步，在集合{－31，－24，4}中任取一個值y有3種方法．依據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，有3×3＝9個不一樣點．D

12/473．(集寧一中年高二)現(xiàn)有4件不一樣款式上衣與3件不一樣顏色長褲，假如一條長褲和一件上衣配成一套，則不一樣選法是 (

)A．7 B．64C．12 D．81[解析]

∵選定一件上衣時，有不一樣顏色褲子3條，∴有3種不一樣穿衣方案，∴共有3×4＝12種不一樣搭配方法，故選C．C

13/4764

4．將三封信投入4個郵箱，不一樣投法有______種．[解析]

第一封信有4種投法，第二封信也有4種投法，第三封信也有4種投法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有不一樣投法43＝64種．14/47互動探究學(xué)案15/47命題方向1

?分類加法計數(shù)原理典例116/47[思緒分析]

(1)從每個班任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會主席都能獨立地完成這件事，所以應(yīng)采取分類加法計數(shù)原理；(2)完成這件事有三類方案，所以也應(yīng)采取分類加法計數(shù)原理．[解析]

(1)從每個班任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會主席，共有三類不一樣方案．第1類，從高三(1)班中選出1名學(xué)生，有50種不一樣選法；第2類，從高三(2)班中選1名學(xué)生，有60種不一樣選法；第3類，從高三(3)班中選出1名學(xué)生，有55種不一樣選法．依據(jù)分類加法計數(shù)原理知，從三個班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會主席，共有50＋60＋55＝165種不一樣選法．17/47(2)從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會生活部部長，共有三類不一樣方案．第1類，從高三(1)班男生中選出1名學(xué)生，有30種不一樣選法；第2類，從高三(2)班男生中選出1名學(xué)生，有30種不一樣選法；第3類，從高三(3)班女生中選出1名學(xué)生，有20種不一樣選法．依據(jù)分類加法計數(shù)原理知，從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會生活部部長，共有30＋30＋20＝80種不一樣選法．18/47『規(guī)律總結(jié)』

1.分類加法計數(shù)原理推廣分類加法計數(shù)原理：完成一件事有n類不一樣方案，在第1類方案中有m1種不一樣方法，在第2類方案中有m2中不一樣方法，……，在第n類方案中有mn種不一樣方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn種不一樣方法．2．能用分類加法計數(shù)原理處理問題含有以下特點(1)完成一件事有若干種方案，這些方案能夠分成n類；(2)用每一類中每一個方法都能夠完成這件事；(3)把各類方法數(shù)相加，就能夠得到完成這件事全部方法數(shù)．19/473．利用分類加法計數(shù)原了解題普通步驟(1)分類，即將完成這件事情方法分成若干類；(2)計數(shù)，求出每一類中方法數(shù)；(3)結(jié)論，將各類方法數(shù)相加得出結(jié)果．20/47〔跟蹤練習(xí)1〕滿足a、b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解有序數(shù)對(a，b)個數(shù)為 (

)A．14

B．13

C．12

D．10B

21/47[解析]

①當a＝0時，2x＋b＝0總有實數(shù)根，∴(a，b)取值有4個．②當a≠0時，需Δ＝4－4ab≥0，∴ab≤1．a(chǎn)＝－1時，b取值有4個，a＝1時，b取值有3個，a＝2時，b取值有2個．∴(a，b)取法有9個．綜合①②知，(a，b)取法有4＋9＝13個．22/47命題方向2

?分步乘法計數(shù)原理已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，則方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不一樣圓個數(shù)是多少？[思緒分析]

要想確定一個圓，需確定圓心橫坐標a，縱坐標b，圓半徑r，只有當三個量都確定時，這個圓才確定，故應(yīng)該用分步乘法計數(shù)原理求解．[解析]

圓方程由三個量a、b、r確定，a，b，r分別有3種、4種、2種選法，由分步乘法計數(shù)原理，表示不一樣圓個數(shù)為3×4×2＝24(個)．典例223/47『規(guī)律總結(jié)』

1.應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理時，完成這件事情要分幾個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事情，每個步驟缺一不可．2．利用分步乘法計數(shù)原了解題普通思緒．(1)分步：將完成這件事過程分成若干步；(2)計數(shù)：求出每一步中方法數(shù)；(3)結(jié)論：將每一步中方法數(shù)相乘得最終止果．,24/47〔跟蹤練習(xí)2〕(1)有5本書全部借給3名學(xué)生，有不一樣借法_______種．(2)有3名學(xué)生分配到某工廠5個車間去參加社會實踐，則有不一樣分配方案_______種．[解析]

(1)中要完成事情是把5本書全部借給3名學(xué)生，可分5個步驟完成，每一步把一本書借出去，有3種不一樣方法，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有N＝3×3×3×3×3＝35＝243(種)不一樣借法．(2)中要完成事情是把3名學(xué)生分配到5個車間中，可分3個步驟完成，每一步分配一名學(xué)生，有5種不一樣方法，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有N＝5×5×5＝53＝125(種)不一樣分配方案．243

125

25/47命題方向3

?兩個基本原理綜合應(yīng)用現(xiàn)有5幅不一樣國畫，2幅不一樣油畫，7幅不一樣水彩畫．(1)從中任選一幅畫布置房間，有幾個不一樣選法？(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有幾個不一樣選法？(3)從這些畫中選出兩幅不一樣種類畫布置房間，有幾個不一樣選法？典例326/47[思緒分析]

(1)選一幅國畫布置房間，這件事情能夠完成，選一幅油畫布置房間，這件事情也能夠完成，所以完成“選一幅畫布置房間”這件事情共分三類．(2)選一幅國畫布置房間，布置房間任務(wù)沒有完成，選一幅油畫布置房間，布置房間任務(wù)也沒有完成，只有國畫、油畫、水彩畫各選一幅都完成后，布置房間任務(wù)才算完成，故完成這件事情需分三步．(3)“選兩種不一樣種類畫”，能夠選國畫、油畫；也能夠選國畫、水彩畫，假如選了國畫、油畫，則這件事情已經(jīng)完成，故用分類加法計數(shù)原理，在每一類里選一個畫，再選一個畫，兩種畫都選出，這件事情才完成，故用分步乘法計數(shù)原理，所以本題應(yīng)先分類，再分步處理．27/47[解析]

(1)分為三類：從國畫中選，有5種不一樣選法；從油畫中選，有2種不一樣選法；從水彩畫中選，有7種不一樣選法．依據(jù)分類加法計數(shù)原理共有5＋2＋7＝14種不一樣選法．(2)分為三步：國畫、油畫、水彩畫各有5種、2種、7種不一樣選法，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有5×2×7＝70種不一樣選法．(3)分為三類：第一類是一幅選自國畫，一幅選自油畫，由分步乘法計數(shù)原理知，有5×2＝10種不一樣選法．第二類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，有5×7＝35種不一樣選法．第三類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，有2×7＝14種不一樣選法，所以有10＋35＋14＝59種不一樣選法．28/47『規(guī)律總結(jié)』

應(yīng)用兩個計數(shù)原了解題時策略(1)確定計數(shù)原理：要分清包括問題從大方面看是利用分類加法計數(shù)原理還是分步乘法計數(shù)原理，還是兩種原理綜合應(yīng)用解題．(2)處理好類與步關(guān)系：對于較為復(fù)雜題目，在某一類中需要分步計算所用方法，而在某一步中又可能分類計算所用方法，二者要有機結(jié)合．(3)注意不重不漏：做到分類類不重，分步步不漏．,29/47〔跟蹤練習(xí)3〕現(xiàn)有高一四個班學(xué)生34人，其中一、二、三、四班分別有7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組．(1)每班選一名組長，有多少種不一樣選法？(2)推選兩人做中心講話，這兩人需來自不一樣班級，有多少種不一樣選法？30/47[解析]

(1)分四步：第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長．所以，共有不一樣選法N＝7×8×9×10＝5040(種)．(2)分六類，每類又分兩步：從一、二班學(xué)生中各選1人，有7×8種不一樣選法；從一、三班學(xué)生中各選1人，有7×9種不一樣選法；從一、四班學(xué)生中各選1人，有7×10種不一樣選法；從二、三班學(xué)生中各選1人，有8×9種不一樣選法；從二、四班學(xué)生中各選1人，有8×10種不一樣選法；從三、四班學(xué)生中各選1人，有9×10種不一樣選法．所以，共有不一樣選法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(種)．31/47(1)枚舉法：將各種情況經(jīng)過樹形圖、表格等方法一一列舉出來．它適合用于計數(shù)種數(shù)較少情況，分類計數(shù)時將問題分類實際上就是將分類種數(shù)一一列舉出來．枚舉法是一個處理問題基本方法，當計數(shù)種數(shù)不是很多時，都能夠用此方法處理．(2)間接法：若計數(shù)時分類較多，或無法直接計算時，可用間接法，先求出沒有限制條件種數(shù)，再減去不滿足條件種數(shù)．處理計數(shù)問題慣用方法32/47(3)字典排序法：字典排序法就是把全部字母分為前后，先排前面字母，前面字母排完后再依次排后面字母，最終字母排完，則排列結(jié)束．利用字典排序法并結(jié)合分步乘法計數(shù)原理能夠處理與排列次序相關(guān)計數(shù)問題，利用字典排序法還能夠把這些排列不重不漏地一一列舉出來．(4)模型法：模型法就是經(jīng)過結(jié)構(gòu)圖形，利用形象、直觀圖形幫助我們分析、處理問題方法．模型法是處理計數(shù)問題主要方法．33/47

4個人各寫一張賀年卡，放在一起，然后每個人取一張不是自己賀年卡，共有多少種不一樣取法？[思緒分析]

能夠把4個人編號，用一、二、三、四表示，各自卡片用1,2,3,4表示，用表格形式一一列舉出來．[解析]

解法一：顯然這個問題難用兩個計數(shù)原理列式計算，但能夠把各種方法一一列舉出來，最終再數(shù)出方法種數(shù)．把4個人編號為一、二、三、四，他們寫4張賀年卡依次為1,2,3,4號，則取一張不是自己寫賀年卡各種方法全部列舉出來為：典例434/4735/47解法二：將該問題轉(zhuǎn)化為“用1,2,3,4四個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字四位數(shù)，要求1不在個位、2不在十位、3不在百位、4不在千位四位數(shù)有多少個”．所以，可分三步，第一步確定個位數(shù)，有3種不一樣方法；第二步確定把1放到十位、百位、千位中任一位上，也有3種不一樣方法；第三步，余下兩個數(shù)字只有一個方法，由分類計數(shù)原理可得不一樣分配方法為3×3＝9種．『規(guī)律總結(jié)』

破解這類看似簡單，實則繁難題關(guān)鍵是選取“枚舉法”，即可輕松破解．用枚舉法需要注意做到不重不漏．36/47〔跟蹤練習(xí)4〕某彩票購置規(guī)則要求：從01到36共36個號中抽出7個號為一注，每注2元．某人想從01到10中選出3個連續(xù)號，從11到20中選2個連續(xù)號，從21到30中選1個號，從31至36中選1個號組成一注，則這個人把這種特殊要求號買全，最少要________元．[解析]

需分步：第1步，從01到10中選3個連續(xù)號，有8種選法，第2步，從11到20中選2個連續(xù)號，有9種選法，第3步，從21到30中選1個號，有10種選法，第4步，從31到36中選1個號，有6種選法，∴共有N＝8×9×10×6＝4320個號，共需要8×9×10×6×2＝8640元．8640

37/47下列圖中一共有多少個矩形(頂點不完全相同就視作不一樣矩形)．混同分步、分類致誤典例538/47[錯解]

按橫行進行分類：第一類，由A行和B行組成矩形有15個．第二類，由B行和C行組成矩形有15個．第三類，由C行和D行組成矩形有15個．由分類加法原理知，不一樣矩形共有15＋15＋15＝45個．[辨析]

完成一個矩形，既要考慮橫線由哪兩條組成，也要考慮豎線由哪兩條組成，只有當兩條橫線與兩條豎線都確定時，這個矩形才算完成，故這是分步乘法計數(shù)原理．39/47[正解]我們只要在A、B、C、D四條橫線中選取2條，在1、2、3、4、5、6這6條豎線中選取兩條，就能確定一個矩形，如圖中矩形B2D2D5B5是由橫線B2B5、D2D5和豎線B2D2、B5D5圍成．40/47選取橫線有AB、AC、AD、BC、BD、CD共6種不一樣方法，選取豎線有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15種不一樣方法