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第九章第一部分二重積分的概念及性質(zhì)第二部分二重積分的計算方法二重積分第一部分二重積分的概念及性質(zhì)大綱要求：理解二重積分的概念、性質(zhì)及其幾何意義一、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n

個小區(qū)域任取一點若存在一個常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),如果在D上可積,元素d

也常記作二重積分記作這時分區(qū)域D,因此面積可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃二重積分存在定理:若函數(shù)定理2.(可積的充分條件)定理1.在D上可積.限個點或有限條光滑曲線外都連續(xù),積.在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域D

上除去有例如,在D:上二重積分存在;在D上二重積分不存在.二、二重積分的幾何意義:例：利用二重積分的幾何意義，不經(jīng)計算直接給出值三、二重積分的性質(zhì)(k

為常數(shù))

為D的面積,則特別,由于則5.若在D上6.設(shè)D的面積為

,則有7.(二重積分的中值定理)證:

由性質(zhì)6可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點在閉區(qū)域D上

為D的面積,則至少存在一點使使連續(xù),因此8.設(shè)函數(shù)D位于x軸上方的部分為D1,當(dāng)區(qū)域關(guān)于y軸對稱,函數(shù)關(guān)于變量x有奇偶性時,仍在D上在閉區(qū)域上連續(xù),域D關(guān)于x軸對稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分,則有12yx12O圖9-2例2.

比較下列積分的大小:其中解:

積分域D的邊界為圓周它在與x軸的交點(1,0)處與直線從而而域D位于直線的上方,故在D上例4.

設(shè)計算

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