1.2.1 平方差公式 同步探究學(xué)案 2024-2025學(xué)年 湘教版七年級下冊數(shù)學(xué)

精品試卷·第.2.1平方差公式?學(xué)習(xí)目標(biāo)與重難點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．會(huì)推導(dǎo)平方差公式，理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征。2．能夠運(yùn)用平方差公式進(jìn)行整式乘法的運(yùn)算。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：弄清平方差公式的來源及其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，能用自己的語言說明公式及其特點(diǎn)．學(xué)習(xí)難點(diǎn)：準(zhǔn)確理解和掌握公式的結(jié)構(gòu)特征．?預(yù)習(xí)自測一、單選題1．從邊長為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長為b的正方形（如圖1所示），然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形（如圖2所示），根據(jù)圖形的變化過程，寫出的一個(gè)正確的等式是（

）A． B．C． D．2．下列各式能用平方差公式計(jì)算的是（

）A． B．C． D．3．下列各式中不能用平方差公式計(jì)算的是（

）A． B．C． D．二、填空題4．對于形如（a＋b）的多項(xiàng)式和形如（a－b）的多項(xiàng)式相乘，我們可以直接寫出運(yùn)算結(jié)果，即乘法的完全平方差公式：（a＋b）（a－b）＝兩個(gè)數(shù)的與這兩個(gè)數(shù)的的積，等于這兩數(shù)的平方差．?教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課從前，有一個(gè)狡猾的地主，把一塊邊長為a米的正方形土地租給張老漢種植.第二年，他對張老漢說：“我把這塊地的－邊減少5米，相鄰的另－邊增加5米，繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何?”張老漢－聽，覺得好像沒有吃虧，就答應(yīng)道：“好吧.”回到家中，他把這事和鄰居們－講，大家都說：“張老漢，你吃虧了!”他非常吃驚．你知道張老漢是否吃虧了嗎?二、合作交流、新知探究探究：平方差公式思考：計(jì)算下面多項(xiàng)式的積，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？規(guī)律：。教材第15頁說一說：多項(xiàng)式x+y與x-y相乘，其積為多少？(x+y)(x-y)=。由此可得到平方差公式。即多項(xiàng)式x+y與x-y的乘積，等于多項(xiàng)式。設(shè)a,b都是正數(shù)，且a>b.將平方差公式中的x用a代入，y用b代入，可得思考：如何從幾何角度說明平方差公式呢？如圖①，將邊長為a的大正方形剪去一個(gè)邊長為b的小正方形，則剩余部分的面積為a2-b2.將剩余部分沿虛線剪開后，拼成一個(gè)如圖②所示的長方形，則這個(gè)長方形的長為(a+b)，寬為(a-b)，于是，面積為。由此可得。平方差公式：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________例1：計(jì)算：（1）(2x+1)(2x-1)；（2）(x+2y)(x-2y).解：例2：運(yùn)用平方差公式計(jì)算：解：例3：運(yùn)用平方差公式計(jì)算：(4a+b)(-b+4a).例4：計(jì)算：1002×998三、自主檢測1．運(yùn)用乘法公式計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B．C． D．2．如圖，從邊長為m的大正方形中剪掉一個(gè)邊長為n的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開拼成右邊的長方形，根據(jù)圖形的變化過程，寫出一個(gè)正確的等式是（）A． B．C． D．3．乘法公式的探究與運(yùn)用：(1)如圖①，邊長為a的大長方形中有一個(gè)邊長為b的小正方形，則陰影部分的面積是________；（寫成兩數(shù)平方差的形式）(2)小穎將陰影部分裁下來，重新拼成一個(gè)長方形，如圖②，則長方形的長是________，寬是________，面積是________；（寫成多項(xiàng)式乘法的形式）(3)比較圖①、圖②陰影部分的面積，可以得到恒等式：________；(4)運(yùn)用你得到的公式計(jì)算：；(5)若，，則的值為________．4．在下列（）里填上適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使其符合的形式．(1)；(2)．5．運(yùn)用平方差公式計(jì)算：(1)；(2)知識點(diǎn)總結(jié)1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.2.結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：左邊：a符號相同，b符號相反.右邊：符號相同項(xiàng)a的平方減去符號相反項(xiàng)b的平方.3.公式變形：(a–b)(a+b)=a2–b2(b+a)(–b+a)=a2–b2答案預(yù)習(xí)：1．D【分析】本題考查平方差公式的幾何背景．用代數(shù)式分別表示圖1中陰影部分以及圖2的面積即可．【詳解】解：圖1中陰影部分可以看作兩個(gè)正方形的面積差，即，圖2是長為，寬為的長方形，因此面積為，所以有，故選：D．2．D【分析】本題考查了平方差公式．運(yùn)用平方差公式計(jì)算時(shí)，關(guān)鍵要找相同項(xiàng)和相反項(xiàng)，其結(jié)果是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方．根據(jù)平方差公式對各選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、不能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)不符合題意；B、不能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)不符合題意；C、不能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)不符合題意；D、能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．3．D【分析】根據(jù)“式子是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)”進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．＝（n+m）（n﹣m）＝n2﹣m2，不符合題意；B．＝（﹣n﹣m）（﹣n+m）＝（﹣n）2﹣m2＝n2﹣m2，不符合題意；C．＝m2﹣n2，不符合題意；D．＝﹣（m+n）（m+n）＝﹣（m+n）2，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式，掌握運(yùn)用平方差公式計(jì)算時(shí)，關(guān)鍵要找相同項(xiàng)和相反項(xiàng)，其結(jié)果是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方．4．a(chǎn)2－b2和差自主：1．A【分析】本題主要考查了運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式，，根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，故選：A．2．B【分析】本題主要查了平方差公式的應(yīng)用．根據(jù)題意可得左邊圖形陰影部分的面積為，右邊圖形陰影部分的面積為，即可求解．【詳解】解：左邊圖形陰影部分的面積為，右邊圖形陰影部分的面積為，∴根據(jù)圖形的變化過程，得到的等式是．故選：B3．(1)(2)，，(3)(4)99.91(5)5【分析】本題考查背景了平方差公式的幾何背景及其在簡算中和代數(shù)式求值中的應(yīng)用．（1）由圖形可知長和寬的值，再根據(jù)正方形面積公式可得答案；（2）由圖形可知長方形的長和寬，根據(jù)長方形面積公式可得答案；（3）由（1）（2）結(jié)論直接得答案；（4）應(yīng)用（3）的公式可簡算，從而得答案；（5）根據(jù)（3）中公式可得，再將代入可得答案．【詳解】（1）解：陰影部分的面積大正方形的面積小正方形的面積，故答案為：；（2）解：長方形的長是，寬是，面積長寬，故答案為：，，；（3）解：∵圖①、圖②陰影部分的面積相等，故答案為：；（4）解：；（5）解：，故答案為：5．4．(1)，(2)，，，【分析】本題考查了平方差公式、添括號法則，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)平方差公式的特點(diǎn)，添括號法則求