人教A版高中數(shù)學選修1-1基礎知識梳理及達標訓練

高中數(shù)學選修1-1基礎知識梳理及達標訓練

第一章常用邏輯用語

1.1命題及其關系

第1課時1.1.1命題

1.1.2四種命題

1.1.3四種命題間的相互關系

■基礎知識梳理______|

1.命題的概念

(1)一般地，在數(shù)學中我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的

陳述句叫做命題.其中判斷為真的語句叫做真命題,判斷為假的語句叫做假命題.

(2)一般地，用p和q分別表示一個命題的條件和結(jié)論.用^p、午弟q表示p

和q的否定.于是四種命題的形式就是：

原命題：若p則q(p=4);

逆命題：若,則p(4=p);

否命題：若^p則㈱夕鐮p=^</)；

逆否命題：若q則p).

2.四種命題間的關系

■題點知識J凡固

知識點一命題的概念

1.“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝？愿君多采擷，此物最相思這是唐代詩人王

維的《相思》詩，在這4句詩中，可作為命題的是()

A.紅豆生南國B.春來發(fā)幾枝

C.愿君多采擷D.此物最相思

解析：“紅豆生南國”是陳述句，意思是“紅豆生長在中國南方”，這在唐

代是事實，故本語句是命題，且是真命題；“春來發(fā)幾枝”是疑問句，“愿君多

采擷”是祈使句，“此物最相思”是感嘆句，都不是命題.

答案：A

2.下列語句中，是命題的是（）

Ay+l>0,xeRB.函數(shù)是偶函數(shù)嗎？

C.a2=aD.平行四邊形

解析：A可以判斷真假；B不涉及真假；C不能判斷真假；D也不涉及真假,

故選A.

答案：A

知識點二命題的真假與四種命題

3.（2019?吉林白山期末）設a,夕為兩個不同的平面，〃為兩條不同的直線,

且/Ua,mU。,則下列命題口為真命題的是（）

A.若/〃小，則/〃//B.若LLm,貝

C.若a〃夕，則/〃夕D.若a邛,則LLm

解析：由a,夕為兩個不同的平面，/,m為兩條不同的直線，且/Ua,mU3

知：在A中，若/〃“，則/〃夕或/U從故A錯誤；在B中，若/，孫則a與

￡相交或平行，故B錯誤；在C中，若。〃人則由面面平行的性質(zhì)定理得/〃人

故C正確；在D中，若aLf,則/與相相交、平行或異面，故D錯誤.故選C.

答案：C

4.（2019?福建閩侯二中期末）有下列四個命題：

①“若足+從=0,則小b全為0”的逆否命題；

②“全等三角形的面積相等”的否命題；

③“若咨1,則/+北+行。有實根”的逆否命題；

④“矩形的對角線相等”的逆命題.

其中真命題為（）

A.①②B.?@

C.②③D.@@

解析：①中，”若。2+^=0,則用b全為0”為真命題，則其逆否命題為

真命題，①正確：②中，“全等三角彩的面積相等”的否命題是：“不全等的三

角形的面積不相等“，是假命題，②錯誤；③中，“f+2x+4=0有實根”的條

件為4=4-4420,則4W1,所以原命題為真命題，則其逆否命題為真命題，

③正確；④中，“矩形的對角線相等”的逆命題為“對角線相等的四邊形是矩

形”是假命題，④錯誤，故選B.

答案：B

知識點三命題的應用

5.（2019?福建龍海月考）設函數(shù)二的定義域為集合A,函數(shù)g（x）

=lg（：—1）的定義域為集合B,已知p：x^AC\B；q：x滿足2x+機<0,且若p

則夕為真命題，求實數(shù)機的取值范圍.

3

解：由題意，從二屏“一工一220}={小W—1或x22},8=%；—1>0=

:/

{x|0<x<3},???408=但2?3}.

記。={川標+w0}=卜內(nèi)號L若〃則4為真命題，則AG6±C,???3W

m

~2r

.,.mW-6,故實數(shù)m的取值范圍為{"巾6}.

6.證明：已知函數(shù)y（x）是（-8,+8）上的增函數(shù)，〃、b￡R,若共公土他）宓一

幻十4一。），則a+b^0.

證明：原命題的逆否命題為“已知函數(shù)?x）是（-8,+8）上的增函數(shù)，a,

6WR,若a+bvO,

則（份勺（一/+八一b）”.

若a+b〈O,則a<—b,b<—a,

又；/U）在（-8,+8）上是增函數(shù)，

，五。）勺（一b）,fib）<J[-d\.

?*?/（?）+/（份勺（一。）+4-b）,

即逆否命題為真命題.

**?原命題為真命題.

■提能達標過關_____|

一、選擇題

1.（2019?甘肅永昌四中期末）命題“若。<力，則a+cC+c”的逆否命題是

A.若a+c<b+c,貝ijB.若白+ob+c,貝lj

C.若〃+c2Z?+c,貝ijD.若〃+c<b+c,貝ij

答案：C

2.在空間中，給出下面四個命題，則其中正確命題的個數(shù)為（）

①過平面a外的兩點，有且只有一個平面與平面a垂直；

②若平面夕內(nèi)有不共線三點到平面a的距離都相等，則a//p；

③若直線/與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，貝

④兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影一定是兩平行線.

A.3B.2

C.lD.0

解析：①中當平面a外的兩點確定的直線與a垂直時，有無數(shù)個平面與平面

a垂直，所以①錯；②中a與尸也可能相交，所以②錯；③錯；④兩條異面直線

在同一平面內(nèi)的射影也可能相交，所以④錯.

答案：D

3.（2019?遼寧重點高中聯(lián)考）有下列四個命題：

①“若孫=1,則x,y互為倒數(shù)”的逆命題；

②“三角形的內(nèi)角和是180?！钡姆衩}；

③“若mWl,則f-2x+m=0的實根”的逆否命題；

④“若AAB=B,則AGB”的逆否命題.

其中真命題為（）

A.①②B.②③

C.④D.?@③

解析：①②③為真命題，④中“若AA8=B,則AGB”是假命題，則其逆

否命題為假命題，故選D.

答案：D

4.（2019?南山中學月考）已知命題/“若12/+護，則,則下列說

法正確的是（）

ff

A.命題p的逆命題是“若則x<2ab

B.命題〃的逆命題是“若xv2",則工〈次+護，，

C.命題〃的否命題是“若工〈〃2+護，則1<2時”

D.命題〃的否命題是“若工，/+加，則歡2仍”

解析：命題〃的逆命題是：“若則12/+及，，，否命題是：“若

22ff

x<a-^-bf則x<2ah,故選C.

答案：C

5.原命題為“若**4,〃￡N.,則｛m｝為遞減數(shù)列”，關于其逆命題,

否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是（）

A.真，真，真B.假，假，真

C.真，真，假D.假，假，假

解析：婦產(chǎn)<〃〃=4〃+|<〃〃0｛扇｝是遞減數(shù)列，所以原命題和逆命題都是

真命題，又原命題與逆否命題等價，逆命題與否命題等價，所以否命題，逆否命

題也是真命題.

答案：A

二、填空題

6.（2019?吉林通化期末）命題“當c>0時，若a>b,則ac>hcff的逆命題

是.

答案：當c>0時，若ac>bc,則cob

7.下列命題中：

①若一個四邊形的四條邊不相等，則它不是正方形；

②若一個四邊形對角互補，則它內(nèi)接于圓；

③止方形的四條邊相等；

④圓內(nèi)接四邊形對角互補；

⑤對角不互補的四邊形不內(nèi)接于圓；

⑥若一個四邊形的四條邊相等，則它是正方形.

其中互為逆命題的有；互為否命題的有；互為逆否命題的

__________.（填序號）

答案：②④，③⑥②⑤，①⑥?@t④⑤

8.關于原命題“在△A8C中，若cosA=2sinBsinC,貝!△ABC是鈍角三角

形”的敘述:

①原命題是假命題；②逆命題是假命題；③否命題是假命題；④逆否命題為

真命題.其中正確命題是.

解析：在△A5C中，cosA=cos[;c-(B4-Q]=—cos(B4-Q=-cosBcosC+

sinBsinC,

又cosA=2sinBsinC,

cos(B-0=0,

/.△ABC為鈍角三角形，故原命題是真命題，從而逆否命題為其命題.又逆

命題是：在△ABC中，若△A8C是鈍角三甫形，則cosA=2sin8sinC,易知是

假命題，從而否命題也是假命題.

答案：②③④

三、解答題

9.分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假.

(1)面積相等的兩個三角形是全等三角形；

(2)若mW4,則方程f+4x+m=0有實根；

(3)若/+產(chǎn)=0,則實數(shù)小y全為零.

解：(1)逆命題：全等的兩個三角形的面積相等，真命題.

否命題：面積不相等的兩個三角形不是全等三角形，真命題.

逆否命題：兩個不全等的三角形的面積不相等，假命題.

(2)逆命題：若方程f+4A：+m=0有實根，則加<4,

VA=16-4/n^0,??.mW4,工是真命題.

否命題：若心4,則方程f+4x+m=0無實根，是真命題.

逆否命題：若方程/+敘+機=0無實根，則m>4,是真命題.

(3)逆命題：若實數(shù)x,y全為零，則￥+產(chǎn)=0,真命題.

否命題：若則實數(shù)x,y不全為零，真命題.

逆否命題：若實數(shù)小y不全為零，則真命題.

10.(2019?江西上饒期末)設命題p：實數(shù)x滿足。一〃)?！?〃)<0,其中〃>0,

命題/實數(shù)x滿足2<x<3.若。=1,有p且q為真，求實數(shù)x的取值范圍.

解：V(X—￡7)(x—3^)<0,〃>0,a<x<3a,

若〃=1,貝ijp：l<x<3,

若〃且4為真，貝ij2<xv3,

???實數(shù)］的取值范圍為(2,3).

1.2充分條件與必要條件

第2課時1.2.1充分條件與必要條件

1.2.2充要條件

■基礎知識梳理_____|

1.一般地，命題“若p則q”為真，可記作“一”;“若p則夕”為假，

可記作“邑Z”.

2.一般地，如果〃nq,那么稱〃是4的充分條件,同時稱。是〃的必要條件.

3.如果〃=4且。=〃,那么稱〃是°的充分必要條件，簡稱〃是。的充要條

件，記作同時q也是p的充要條件.

■題點知識見固_____|

知識點一充分條件、必要條件的判斷

1.(2018?北京卷)設a,b,c,d是非零實數(shù)，則％d=bc”是“a,b,c,d

成等比數(shù)列”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解析：a,b,c9d是非零實數(shù)，若ad=bc,則§=(，此時〃，b,c,d不一

定成等比數(shù)列；反之，若a,。，c,4成等比數(shù)列，則所以ad=bc,所以

“ad=bc”是“a,b,c,d成等比數(shù)列”的必要不充分條件，故選B.

答案：B

2.(2019?云南曲靖月考)設向量0=(1,x—l),。=(%+1,3),則“x=2”是“a

〃方”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：若。〃b,則(x—l)(x+1)=3,或x=—2,

???“x=2”是“a〃b”的充分不必要條件，故選A.

答案：A

知識點二充分條件、必要條件的應用

3

3.(2019?江西上饒月考)已知“4T是“黃不1”的充分不必要條件，則Z的取

人I1

值范圍是.

32~x

解析：由于77<1得二言川，.*.X<—1或x>2,

X-T1x-r1

3

若“心法”是7<1”的充分不必要條件，則Z22.

人I1

答案：［2,+oo)

4.是否存在實數(shù)〃，使4x+a<0是f—x—2>0的充分條件？如果存在，求出

〃的取值范圍；否則，說明理由.

解：由『一x—2>0,解得x>2或xv—L

令A=｛x|x>2或x<—1｝,由4X+Q<0,得rv—/

令8=xx(一詈S當3GA時，即一京<—1,

即°24.

此時xv—g—l=f—x—2>0,

當々24時，4x+a<0是X2—X—2>0的充分條件.

知識點三充要條件的判定與證明

5.設〃￡N*,一元二次方程/—4x+〃=0有整數(shù)根的充要條件是〃

解析：由f-4尤+〃=0,得。-2)2=4—幾???方程有整數(shù)根，且〃EN*,：.n

=3或4.

答案：3或4

6.己知數(shù)列｛〃〃｝的前n項和S〃=2"+z(〃￡N+).

證明：數(shù)列｛?。堑缺葦?shù)列的一個充要條件是，=—1.

證明：(1)充分性：Vr=-1,???S〃=2〃-1,

nnlnl

當〃22時，an=Sn-Sn-\=(2-i)-(2~-\)=2~.

又。i=Si=l=2°,a*=2"-i(〃￡N*),

??.食1=券=2,故數(shù)列｛如｝是等比數(shù)列.

（2）必要性:???S“=2”+f（〃eN+）,

；?=S1=2+l,CL2=S1—Sl=2,U3=S3-52=4,若數(shù)列｛〃〃｝是等比數(shù)列，

則㈤=4103,即4（2+。=4,；?/=-1.由（1）（2）知，數(shù)列｛?！ǎ堑缺葦?shù)列的一個充

要條件是r=-l.

■提能達標過關_____I

一、選擇題

1.（2019?浙江卷）若30,6>0,則“a+bW4”是“abW4”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解析：：公*。，b>0f又

若〃+/?這4,則"W4,反之不成立，

故“〃+bW4”是“而3的充分不必要條件，故選A.

答案：A

2.（2019?海南海口月考）設團，〃表示不同的直線，?,夕表示不同的平面，且

m,nUa,則"a〃4"是"加〃夕且〃〃用”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：若〃Ua,a〃夕，則m〃0,〃〃夕；

若山〃夕，n〃口,機Ua,〃Ua,但相，〃不一定相交，a與4平行或相交，

所以“a〃夕”是““〃夕且〃〃夕”的充分不必要條件，故選A.

答案：A

3.（2019?湖北荊州期末）設a￡R,則a>4的一個必要不充分條件是（）

A.6f>lB.〃<1

C.a>5D.a<5

解析：當a>l時，〃>4不一定成立；當〃>4時，成立，

是a>4的一個必要不充分條件，故選A.

答案：A

4.設甲、乙、丙是三個命題，如果甲是乙的必要條件，丙是乙的充分不必要

條件，那么()

A.丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件

B.丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件

C.丙是甲的充分條件及必要條件

D.丙不是甲的充分條件，也不是甲的必要條件

解析：依題意知：丙=乙=甲，而乙玲丙，所以丙=甲但甲令丙，故丙是

甲的充分條件，但不是甲的必要條件.

答案：A

5.已知向量a=(xfb=(cosa,sina)f其中x,yf。￡艮若悶=4步|,則ab<)?

成立的一個必要而不充分條件是()

A，>3或2V—3B.2>1或/<—1

C.-3<A<3

解析：由已知得協(xié)|=1,所以悶=d?ry=4,因此Q?力=xcosa+ysina=

”?Tysin(a+9)=4sin(a+3)W4.由于ab<)?成立，所以A2>4,解得2>2或衣一

2.這是。力<乃成立的充要條件，因此0/<乃成立的一個必要而不充分條件是

或衣一1.

答案：B

二、填空題

6.函數(shù)y=f+bx+c在[0,+8)上是單調(diào)函數(shù)的充要條件是.

解析：拋物線)=/+云+。開口向上，要使x￡[0,+8)時為單調(diào)函數(shù)，只

要對稱軸x=—即620.

答案：820

7.設mb,c￡R,給出下列命題：

①“a=b"是aac=bc"的充要條件；②“泌”是“同〉此的充分條件；③

是%<3”的必要條件；④％+5為無理數(shù)”是“。為無理數(shù)”的充要條件.

其中真命題的所有序號是.

解析：①。=b=ac=Z?c,而ac=bc/na=b,所以①錯；

②公*6/=悶>|處所以②錯；

③。<5/=。<3,而〃<3=。<5,所以③正確；

④正確.

答案：③?

8.已知條件〃：任一1|>〃和條件4：2X2—3x+l>0,則使〃是q的充分不必要

條件的最小整數(shù)。=.

解析：條件p:|x-\\>a^>x<\-aAx>\+a;條件q:Zx2—3x+l>0Ox<^或

x>l.若〃是q的充分不必要條件，則。=1.

答案：1

三、解答題

9.指出下列命題中，p是q的什么條件(在“充分不必要條件”“必要不充分

條件”“充要條件”或“既不充分也不必要條件”中選出一種作答).

(1)在△ABC中，ptZA=ZB,q：sinA=sinB：

(2)對于實數(shù)x、yfp：x-yW8,q：xW2或產(chǎn)6；

(3)非空集合A、5中，p：xEAUB,q：x^B；

(4)己知x、yGR,p：(x-l)2+(y-2)2=0,

q：(x-l)(y-2)=0.

解：(1)在△ABC中，NA=N8=sinA=sin3,反之，若sinA=sin5,因為

A與8不可能互補(因為三角形三個內(nèi)角和為180°),所以只有A=8.故p是q的

充要條件.

(2)易知，名弟p：x+y=8,，弟q：l=2且y=6,顯然但㈱〃分㈱

q，即^夕是的充分不必要條件，根據(jù)原命題和逆否命題的等價性知，p鳧q

的充分不必要條件.

(3)顯然不一定有但一定有X&AUB,所以〃是q的必

要不充分條件.

(4)條件p：x=l且y=2,條件/%=1或y=2,

所以p=>q但/p,故p是4的充分不必要條件.

10.(2019?安徽阜陽期中)設命題p：實數(shù)x滿足1-4以+3〃2<0,其中加0,

命題g：實數(shù)尤滿足f+2x—8>0,且夕是〃的必要不充分條件，求實數(shù)。的取

值范圍.

解：設A={xlx2—4or+3a2<0,a<0]={x|3?<x<?,?<0},

B={x|f+2x—8>0}={x\x<-4或x>2},

??z是〃的必要不充分條件，

/.AB,

/.3。22或。W—4,又。＜0,

?,?實數(shù)。的取值范圍是(-8,-4].

13簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

第3課時1.3.1且(and)

1.3.2或(or)

1.3.3非(not)

■基礎知識梳理_____|

1.邏輯聯(lián)結(jié)詞

把兩個命題聯(lián)結(jié)而成新命題的常用邏輯聯(lián)結(jié)詞有“且”“或”“非”.

2.含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假

Pqp'qp'q癡，

真真真直暇

真假假克假

假真假直

假假假假￡

此表稱為“真值表”，從表中易得：

(l)p月"有一假即假，同真亦真；

(2)p或9有一真即真，同假亦假；

(3)非〃真假相反.

■題點知識鞏固_____I

知識點一含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的構(gòu)成

1.命題“平行四邊形的對角線相等且互相平分”是()

A.簡單命題

B.“p7q”形式的復合命題

C「p/\q”形式的復合命題

D.形式的復合命題

答案：C

2.（2019?河北邯鄲月考）“p/\4為假"是為假”的條件

（）

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

解析：若pAq為假，則p與q至少有一個為假，

若g為假，則〃與q都為假，

所以“p八夕為假”是為假”的必要不充分條件，故選B.

答案：B

知識點二復合命題的真假判斷

3.（2019?福建長樂二中期末）命題p：若sinx>siny,則x>y；命題<7：x2+y2^2xy

下列命題為假命題的是（）

A.p或qB.p且q

C.qD才弟p

解析：命題〃為假命題，命題q為真命題，則〃且夕為假命題，故選B.

答案：B

4.由下列命題構(gòu)成的“pVq”“p/\q"均為真命題的是（）

A.p：菱形是正方形，q：正方形是菱形

B.p：2是偶數(shù)，q：2不是質(zhì)數(shù)

C.p：15是質(zhì)數(shù)，04是12的約數(shù)

D.p：{a9b,c],q：{a}G{a,b,c]

解析：若"p'q”和"pA”’均為真命題，則p知q均為真命題，故應選

D.

答案：D

知識點三命題的否定與否命題

5.寫出下列命題的否定及其否命題，并判斷它們的真假.

（1）若x,y都是奇數(shù)，則x+y是偶數(shù)；

（2）若一個數(shù)是質(zhì)數(shù)，則這個數(shù)是奇數(shù)；

(3)若兩個角相等，則這兩角是對頂角;

(4)如果加2+層+〃2+從=0,則實數(shù)〃?，〃，a,b全為零.

解：(1)命題的否定：若x,y都是奇數(shù)，則x+y不是偶數(shù)，是假命題；

否命題：若x,y不都是奇數(shù)，則x+y不是偶數(shù)，是假命題.

(2)命題的否定：若一個數(shù)是質(zhì)數(shù)，則這個數(shù)不一定是奇數(shù)，是真命題；

否命題：若一個數(shù)不是質(zhì)數(shù)，則這個數(shù)不是奇數(shù)，是假命題.

(3)命題的否定：若兩個角相等，則這兩個角不一定是對頂角，是真命題；

否命題：若兩個角不相等，則這兩個角不是對頂角，是真命題.

(4)命題的否定：如果＞+〃2+/+/?2=0,則實數(shù)m,nta,b不全為零，

是假命題.

否命題：如果蘇+〃2+如+從W0,則實數(shù)”，n,a,Z?不全為零，是真命題.

知識點四利用命題的真假求參數(shù)的范圍

6.(2019?四川棠湖中學月考)已知p：“直線x+y-m=0與圓。-1)2+)，2=1

相交"；夕：—x+m—4=0有一正根和一負根”，若q為真，，弟p為真,

求〃z的取值范圍.

解：???直線x+y-m=0與圓。-1)2+產(chǎn)=1相交,

工"^^＜L’1-g＜加＜1+啦.

,.,〃小一一4=0有一正根和一負根，

1/n>0,〃2<0,

或1解得0<m<4,

W0)<0"1/0)>0,

■:p\/q為真,丁〃為真，???2假4真,

?,?1+也?m＜4.

?,?加的取值范圍為［1+啦，4).

■提能達標過關工

一、選擇題

1.復合命題：平行線不相交的形式是()

A.pVqB.p/\q

C3弟〃D.都不是

解析：把平行線相交看成簡單命題P,則復合命題：平行線不相交的形式是

,弟〃.

答案：C

2.(2019,齊魯名校聯(lián)考)已知命題p：“27不是7的倍數(shù)”，命題g”27是

3的倍數(shù)”，則命題“27至少是3和7中某一個數(shù)的倍數(shù)”應該表示為()

A.(㈱p)VqB.(^p)八夕

C.p八儺q)D.pV儺q)

答案：A

3.(2019?湖北四校期中)已知命題p：“不等式一x2+2r<0的解集是3歡0或

x>2}ff,命題g：“在△45C中，是sinA>sinB的充分條件”.貝女)

A.p真夕假B.pVq假

C.p/\q真D.p假q真

解析：由一/+2￥<0得出—2)>0,即x>2或x<0,

???命題p為真命題.

在△ABC中，由大邊對大角知A>8是sinA>sin8的充分條件，???命題夕為

真命題，:.p/\q翼,故選C.

答案：C

4.(2019?孝感八校聯(lián)盟期末)命題p：若a￡R,則〃>2是〃>1的充分不必要條

件；命題g函數(shù)y=lg(|x|-3)的定義域為(一8,-3]U[3,+8),則()

A.p\Jq為假B.pAq為假

C.僦p)八q為真D.pV瞬幻為假

解析：由題可知〃為真命題，q為假命題，故〃Vq為真，pAq為假,皤p)

八4為假，pV(㈱幻為真，故選B.

答案：B

5.己知a,}>為互不重合的三個平面，命題p：若a邛,皿,則a〃%

命題伙若a內(nèi)不共線的三點到夕的距離相等，則a〃6對以上兩個命題，下列

結(jié)論中正確的是()

A.命題“〃且q”為真B.命題"p或㈱為假

C.命題“p或q”為假D.命題嘴p或^q”為假

解析：若a_L〃，2,則a與y可能平行也可能相交，所以〃為假命題；對

于命題夕，a與夕也可能相交，所以夕也是假命題，故命題“p或q”為假.

答案：C

二、填空題

6.設命題p：2x+y=3；q：x-y=6t若p八4為真命題，則x=,y

解析：若pAq為真命題，則p、夕均為真命題，

2x+y=3,[x=3,

：.\解得彳

[x—y=6f[y=-3.

答案：3-3

7.下列命題中：

①“p八夕”為真是“pVq”為真的充分不必要條件；

②“p/\q”為假是“pVq”為真的充分不必要條件；

③“pVq”為真是“癡”為假的必要不充分條件；

④W為真是“〃八為假的必要不充分條件.

正確命題的序號是.

解析：“p/\q”為真?！ㄅc,均為真="pYq”為真，反之不成立，故①正

確；?pf\q”為假是“pYq”為真的既不充分也不必要條件，故②不正確；“㈱

p”為假時，p為真，從而“p7q”為真，反之不成立，故③正確；弟〃”為真

時，p為假，從而?pNq”為假，反之不成立，故④不正確.

答案：①③

Y

8.已知命題p：不等式:yvO的解集為｛x[0<r<l）；命題?在△A8C中，“A>3”

是“sinA>sin中成立的必要不充分條件.有下列四個結(jié)論:①p真q假;②“p/\q”

為真；③“pVg”為真；④〃假q真.其中正確結(jié)論的序號是.（請把正確

結(jié)論的序號都填上）

解析：命題〃為真，命題4為假，???在△ABC中，A>6CG>bQsinA>sin8,

???在△ABC中，"A>B”是"sinA>sinB”的充要條件.故〃真q假，“〃八4”為假，

“p7q”為真.

答案：①@

三、解答題

9.寫出由下列各組命題構(gòu)成的“pVg”“p/\q”形式的復合命題，

并判斷真假.

(l)p：1是質(zhì)數(shù)；q：1是方程/+2工-3=0的根；

(2)/7：平行四邊形的對角線相等；q：平行四邊形的對角線互相垂直；

(3)p：0￡0；q：{小。3工一5V0}GR.

解：(l)p為假命題，4為真命題.

pV4：1是質(zhì)數(shù)或是方程3=0的根.真命題.

〃八/1既是質(zhì)數(shù)又是方程f+2x—3=0的根.假命題.

女弟〃：1不是質(zhì)數(shù).真命題.

(2)p為假命題，q為假命題.

pVg：平行四邊形的對角線相等或互相垂直.假命題.

〃八小平行四邊形的對角線相等且互相垂直.假命題.

癡：有些平行四邊形的對角線不相等.真命題.

(3)???0住。，???p為假命題,

「03-^293+揚

XVx2—3x—5<0,—彳―<x<—彳-,

/.{A|,V2-3X-5<0}=:一產(chǎn)產(chǎn)UR成立.

:.q為真命題.

：.pyq：0￡?；騵升？-3JV—5V0}GR,真命題.

pAq：0￡。且{x|f—3x—5V0}GR,假命題.

p：0陣明真命題.

10.(2019?湖北黃梅期中)己知命題p：“{加2〃>/，〃?￡R}"；命題g：“關

于x的方程/一〃十加=0有兩個不同的實數(shù)根”.

(1)若p八q為真命題，求實數(shù)機的取值范圍；

(2)若pVq為真命題，〃Aq為假命題，求實數(shù)〃z的取值范圍.

解：若命題〃為真，貝IJ舄；

若命題q為真，貝！JA=4-4汴>0,即一1<加<1.

1

/n>z,1

(1)若p八夕為真命題，貝J2即gvwvl.

1<W<1,

所以實數(shù)用的取值范圍為$1).

(2)若pVq為真命題，〃八q為假命題，則〃與q一真一假，

若〃真q假，則

mW—1或加21,

所以加21.

1

若〃假g真，貝小2所以一lonW]

.—1<m<1,

所以實數(shù)機的取值范圍為(一1，\U[l,+8).

1.4全稱量詞與存在量詞

第4課時1.4.1全稱量詞

1.4.2存在量詞

■基礎知識梳理______|

1.全稱量詞

(1)短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞,并用符號？

表示.

(2)含有全稱量詞的命題叫做全稱命題.

(3)全稱命題“對M中任意一個x,有p(x)成立“可用符號簡記為

〃(x),讀作對任意x屬于M,有〃(x)成立.

2.存在量詞

(1)短語“存在一個”，“至少有一個”在邏輯中通常見做強態(tài)量回，并用

符號衛(wèi)表示.

(2)含有存在量詞的命題,叫做特稱命題.

(3)特稱命題“存在M中的一個xo,使p(xo)成立"可用符號簡記為旦迎巨蛇

p(xo)f讀作存在一個xo屬于M,使川xo)成立.

■題點知識觀固_____|

知識點一全稱命題與特稱命題的判斷

1.下列命題為特稱命題的是()

A.偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱

B.正四棱柱都是平行六面體

C.不相交的兩條直線是平行直線

D.存在實數(shù)大于等于3

解析：A、B、C是全稱命題，D是特稱命題，故選D.

答案：D

2.給出四個命題：①末位數(shù)是偶數(shù)的整數(shù)能被2整除；②有的菱形是正方形;

③存在實數(shù)x,Q0;④對于任意實數(shù)x,2x+l是奇數(shù).下列說法正確的是()

A.四個命題都是真命題B.①②是全稱命題

C.②③是特稱命題D.四個命題中有兩個假命題

解析：①④是全稱命題，且①是真命題，④是假命題，②③是特稱命題，且

是真命題.

答案：C

知識點二全稱命題與特稱命題的真假判斷

3.(2019鄱陽一中檢測)下列命題中的假命題是()

A.VxeR,2A-1>0B.VxeN*,(x-l)2>0

C.1gxo<lD.3xoR?tanxo=2

解析：B中，當x=l時，1>=0,

???命題Vx￡N*,。-l)2>0是假命題，故選B.

答案：B

4.(2019?福建三明期末)給出下列三個命題：

①命題"Vx￡R,1+33+1>0”是真命題；

②命題“若f=l,則x=l”的否命題為“若『=1,貝iJxWl”；

③命題“若a>b,則加產(chǎn)，的逆否命題是真命題.

其中正確命題的個數(shù)為()

A.OB.1

C.2D.3

解析：①中：A=9—4=5>0,

所以函數(shù)共幻=入2+3]+1與x軸有兩個交點，

即f+3x+l>0不可能恒成立，故①錯；

②中：命題“若<=1,則x=l”的否命題為“若則xWl”，故②

錯；

③中：當機=0時，若〃>b,但=Zw?,

所以“若G>b,則〃汴泌源”為假命題，所以其逆否命題為假，故③錯，故

選A.

答案：A

知識點三求參數(shù)的取值范圍

5.(2019?宜昌月考)若命題“三次￡&使得x8+/nw+2m+5<0”為真命題，

則實數(shù)機的取值范圍是()

A.f—10,6]B.(—6,2]

C.(-8,-2)U(10,+00)D.(—8,-2]U[10,+8)

解析：由題可知An"?2—4(2加+5)>0,2或"Z>1Q,故選C.

答案：C

6.已知?r)=/—2x+5.

(1)是否存在實數(shù)如使不等式機+yw>o對于任意入｛R成立，并說明理由；

(2)若存在一個xo￡R,使不等式加一/(入1)>0成立，求實數(shù)機的取值范圍.

解：⑴不等式機+段)>0可化為m>—fix)y

即機>—f+2x-5=一。-I)2-4.

要使機>一(x—1)2—4對于任意x￡R恒成立，只需小>—4,

即存在實數(shù)用>—4,使命題成立.

(2)不等式〃[一汽加)>0可化為若存在一個實數(shù)xo,使〃它/(xo)成立，

只需/W習(K)min.

又—2x+5=(x—1>+4,

??y(X)min=4?

???加>4.故實數(shù)m的取值范圍是（4,+8）.

■提能達標過關______I

一、選擇題

1.下列命題中是全稱命題的是（）

A.圓有內(nèi)接四邊形

B.3x,使f-4=0

C.有一個數(shù)列，既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列

D.存在一個函數(shù)，既是偶函數(shù)，又是奇函數(shù)

答案：A

2.（2019?莆田一中月考）已知定義域為R的函數(shù)?r）不是偶函數(shù)，則下列命題

一定為真命題的是（）

A.VxeR,B.VXGR,X-x）^-y（x）

C.R,艮—xo）D.R>艮—xu）#—/（xo）

答案：C

3.（2019?成都石室期末）“Vx￡R,^-bx+lX）成立"是*『0,1]”的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條作

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解析：“Vx￡R,x2一后+1>0”是真命題，

則〃一4<0,Z.-2<Z?<2,

由〃￡[0,1]=〃￡（—2,2）,反之不成立.

???“Vx￡R,/一區(qū)+1>0成立”是的必要不充分條件，故選

B.

答案：B

4.（2019?云南曲靖月考）有四個關于三角函數(shù)的命題：

pi：3x^R,sin2^+cos2^=2；

p2：3x,y￡R,sin（x->）=sinx-sinyi

〃一cos2x

0：[0,兀],\------------=sinx；

〃4：sinx=cosy=x+y=5.

其中的假命題是（）

A.pi,P4B.p2,P4

C.pi,p3D.〃2,〃3

22

解析：對任意x￡R,均有sin^+cos^=1而不是:，故”為假命題.當x,yf

x一)'有一個為2E(攵￡Z)時，sinx—siny=sin(x-y)成立，故p2是真命題.

*.*cos2x=1—2sin2x,

2

1-cos2x1_1+2sinx9

/.---2---=-----2-----=sinx.

I1-cos2x

又x￡[0,兀]時，sinx20,.,?對任意x￡[0,7r],均有\(zhòng)=sinx,

因此P3是真命題.當sinx=cosy,即sinx=sin售-y)時，x="n+，一y或x=2E

+兀一傳一j)(ZWZ),即x+y=2E+]或X=2E+3+)M￡Z),故“4為假命題.綜

上分析知，pi,〃4是假命題.

答案：A

5.(2019?內(nèi)蒙古北重三中調(diào)研)己知函數(shù)/x)=e^1',則下列說法錯誤的是

()

A.mxoWR,犬1+燉)91—xo)B.VxeR,

C.函數(shù)yu+l)是偶函數(shù)D.VxeR,fix)^x

解析：人工)=心一”的圖象關于x=l對稱，A錯，故選A.

答案：A

二、填空題

6.下列四個命題：

①V〃￡R,序2〃；②W〃￡R,〃2<〃；③W〃￡R,3znGR,nv<n\@3n

0R,▼機CR,加力="2.其中真命題的序號是.

解析：①②是假命題，③中的〃<0時，加不存在，④中存在〃=1時，V/n

￡R,m-n=m.

答案：④

7.(2019?福建永泰二中期末)已知命題p：3xoeR,貓+2xo+〃WO是真命題,

則實數(shù)a的取值范圍是.

解析：命題〃為真命題，則A=4—4〃20,所以

則實數(shù)。的取值范圍是(-8,1].

答案:(-8,1]

8.(2019?江陽期中)已知命題p：“Vx￡R,k)g2(/+x+砂>0恒成立"，命題

夕："3xoe[-2,2],使得,若命題〃八夕為真命題，則實數(shù)。的取值范

圍為.

解析：若命題p為真命題，則f+x+a>l恒成立，

4

即八=1一43—1)<0,?,?〃>亍

若“為A■命題，則2,2],使得

???〃W2,

若為真命題，工。的取值范圍為住2.

答案：售,2

三、解答題

9.判斷下列命題是不是全稱命題或特稱命題，若是，試將其改寫成含有符號

“▼”或“三”的形式，并判斷其真假.

4

(1)有一個實數(shù)次，使得函數(shù)大加)=次的值為2；

4U

(2)所有實數(shù)a都滿足sin2a+cos2a=l.

4

解：(1)是特稱命題，可改寫成：對于函數(shù)?￥)=工+?有火XO)=2,

該命題是假命題，

因為共幻的值域是(-8,—4]U[4,+8).

(2)是全稱命題，可改寫成：VaGR,有sin%+cos2(z=1,該命題是真命題.

10.命題P：關于x的不等式f+2ox+4>0對一切x￡R恒成立，q；函數(shù)?r)

=(3—為尸是增函數(shù)，若p或夕為真，p且q為假，求實數(shù)。的取值范圍.

解：設gOOnf+Zov+d,由于關于x的不等式/+2公+4>0對一切x￡R

恒成立，所以函數(shù)g(x)的圖象開口向上且與x軸沒有交點，

故A=4。2—16<0,J-2<a<2.

又???函數(shù).")=(3—2〃尸是增函數(shù),

???3-2〃>1,

又由于p或4為真，〃且q為假，可知〃和q一真一假.

-2<a<2f

(1)若p真夕假，則，

1,

2或

(2)若p假夕真,則，

a<1,

.?.aW—2.

綜上可知,實數(shù)。的取值范圍是(一8,-2]U[1,2