人教A版數(shù)學必修二 全冊課時作業(yè)一課一練（含答案）

6.1平面向量的概念

1.［2022?湖北鄂州高一期中］下列關于零向量的說法正確的是（）

A.零向量沒有大小

B.零向量沒有方向

C.兩個反方向向量之和為零向量

D.零向量與任何向量都共線

2.［2022?天津河北區(qū)高一期叼在中，AB=AC,D,E分別是48,4。的中點,

則（）

A.AB與就'共線B.DE與無共線

C.AD與花相等D.AD與前）相等

3.在棱長為1的正方體48CO的8個頂點中選2個點作為向量的始點和終

點，則其中：與向量正相反的單位向量共有個，模長為S的向量共有

個.

4.如圖，設。是勿8c。對角線的交點，則

DC

（1）與總的模相等的向量有多少個？

（2）與總的模相等，方向相反的向量有哪些？

（3）寫出與施共線的向量.

5（多選）［2022?安徽合肥六中高一期末］如下四個命題中，說法正確的是（）

A.向量施的長度與向量法的長度相等

B.兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同

C.兩個有公共終點的向量，一定是共線向量

D.向量盛與向量歷是共線向量，則點兒B,C,。必在同一條直線上

6.［2022?廣東揭陽高一期末］設備，加分別是與°,力同向的單位向量，則下列結論中正

確的是（）

A.ao=boB.ao=1bo

C.a（）//boD.|ao|+lbo|=2

7.［2022?山東荷澤高一期中］已知4、B、C是不共線的三點，向景旭與向量施是平行

向量，與於是共線向量，則m=.

8.在如圖所示的坐標紙中（每個小正方形的邊長均為1）,用直尺和圓規(guī)畫出下列向量.

(1)位I=3,點4在點。北偏西45。方向;

(2)\OB\=22，點8在點。正南方向.

9.如圖，△48。和是在各邊的三等分點處相交的兩個全等的正三角形，設△48C

的邊長為。，寫出圖中給出的長度為;的所有向量中‘

(1)與向量劭相等的向量;

(2)與向量d為共線的向量;

(3)與向量晶平行的向量.

10.一艘軍艦從基地力出發(fā)向東航行了200海里到達基地8,然后改變航線向東偏北

60。航行了400海里到達C島，最后又改變航線向西航行了200海里到達。島.

(1)試作出向量后,BC,CD；

⑵求I而I.

11.[2022?浙江麗水高一期末]若a,b為非零向量，則”是“用b共線”的

mi網(wǎng)

()

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

12.在平行四邊形48CO中，E,尸分別為邊力￡＞、8c的中點，如圖.

(2)求證：BE=FD.

答案：

1.解析：根據(jù)零向量的概念可得零向量的長度為零，方向任意，故A、B錯誤；

兩個反方向向量之和不一定為零向量，只有相反向量之和才是零向量，C錯俁；

零向量與任意向量共線，D正確.故選D.

答案：D

2.解析：因為力8與4C不平行，所以淪與左不共線，A錯；

因為O,￡分別是48,4c的中點，則DE與8C平行，故方方與所共線，B正確;

因為力。與4E不平行，所以而與崩不相等，C錯；

因為疝=DB=一而,則D錯.故選B.

答案：B

3.解析：如圖所示，

其中與正相反的單位向量有扇，G5,Oi小，共3個；

???正方體棱長為1,???正方體體對角線長為3,

???模長為3的向量有8A,DB4G,CiA,AiC,CAi,B\D,DBi,共8個.

答案：38

4.解析：(1)在平行四邊形力8C0中，。為對角線的交點，所以力。=。。，且4?〃OC,

所以與5的模相等的向量有n,AO,CO三個向量.

(2)與5的模相等且方向相反的向量為詼，AO.

(3)與次共線的向量有及？，①，應.

5.解析：向量48與向量歷1是互為相反向量，所以A選項正確，選項B顯然正確，

選項C顯然錯誤，

選項D,也有可能直線48與直線CO平行.故選AB.

答案：AB

6.解析：單位向量的模長為1,故1。。1+1〃。1=2,D正確，

題中他，瓦分別與力同向，而。，6方向不確定，故A,B,C錯誤，故選D.

答案：D

7.解析：向量機與向量就是平行向量，則向量〃，與向量次方向相同或相反；

向量所與8c是共線向量，則向量m與向量3c方向相同或相反，

又由力、B、C是不共線的三點，可知向量次與向量詼方向不同且不共線，

則m=0.

答案：0

8.解析：（I）：1為1=3,點力在點。北偏西45。方向，，以。為圓心，3為半徑作

圓與圖中正方形對角線OP的交點即為彳點：

（2）V\OB\=22=22+22.???以。為圓心，圖中0。為半

徑畫圓，圓弧與OH的交點即為6點.

9.解析：（1）與向量G力相等的向量，即與向量G為大小相等，方向相同的向量，有優(yōu)，

LBf；

（2）與向量濟共線的向量，即與向量明方向相同或相反的向量，有正，LB\GB,

LEfEC

（3）與向量成平行的向量，即與向量成方向相同或相反的向量，有壽，血,HA\HK,

KB1

10.解析：（1）建立如圖所示的直角坐標系，向量而反,CD即為所求.

（2）根據(jù)題意，向量力與詼方向相反，故向量亞//CD,又|成|=|而|,

，在四邊形458中，AB//CDtAB=CD,故力88為平行四邊形，

：.AD=BC,貝力石\=\BC|=400（海里）.

11.解析：依題意。，力為非零向量，*［卜表示與。同向的單位向量，表示

美0戈美方我

與。同向的單位向量,

由可得。與〃共線且同向，所以充分性成立；

d6共線可能同向共線、也可能反向共線，所以d。共線得不出,

i尹b戈

所以必要性不成立.故選B.

答案：B

12.解析:⑴據(jù)題意，與向量用共線的向量為：亦，而,BF，慶？tCBtAEtEAtED,

DEtAD,DA；

(2)證明：???48CO是平行四邊形，且E,b分別為邊力O,8c的中點，

:?BF=ED,且BF//ED,

???四邊形8人￡應是平行四邊形，

:?BE=FD,宜BEI/FD,

???匠=麗.

6.2向量的加法運算

1.[2022?天津河北區(qū)高一期中]化簡次+BC+CD+無=()

A.0B.AE

C.0D.EA

2.在矩形45CQ中，力4=3,AD=4,則I誦+花+肅)|=()

A.5B.6

C.8D.10

3.在平行四邊形48co中，BC+CA+石=.

4.如圖，請在圖中直接標出：

⑴贏+BC；

(2)AB+BC+CD+DE.

5.[2022?河南安陽高一期末]如圖為正八邊形/其中0為正八邊形的中心,

則厲+HG+南=()

A.OBB.OD

C.OFD.OH

6.[2022?天津西青高一期末]在四邊形48C。中，若以=CB+詼，貝川)

A.四邊形48co是矩形

B.四邊形48co是菱形

C.四邊形力8co是正方形

D.四邊形48C。是平行四邊形

7.如圖所示，四邊形48CO是梯形，AD//BC,則51+5C+AB=.

8.化簡：

(\)AB+無+BC+DA；

(2)(次+MB)+(防+BC)+0Af.

9.已知菱形ABCD的邊長為2,

(1)化簡向量就)+DC+無；

⑵求向量還+/+CD的模.

10.如圖，已知電線40與天花板的夾角為60。，電線40所受拉力I尸il=24N,繩80

與墻壁垂直，所受拉力IBI=12N.

求尸1和尸2的合力.

11.[2022?河南開封高一期末]在平面四邊形/8CQ中，E,尸分別為力。，3。的中點，則

下列向量與油+DC不相等的是()

A.2EFB.AC+DB

C.EB+ECD.FA+而

12.如圖，已知O,E,尸分別為△力BC的三邊BC,AC,45的中點，求證：AD+BE

+CF=0.

答案:

1.解析：AB+正+cb+歷=AE.故選B.

答案：B

2.解析：由題意4c=AB-AD,\AB-\-AC-\-ADI=12Ac\=2AB2-}-AD2=

10.故選D.

答案：D

3.解析：BC+CA+AB=BA+AB=0.

答案：0

4.解析：（1）成+BC=AC,如圖所示：

⑵懣+BC+CD+DE=AE,如圖所示:

5.解析：由平面向量的運算法則，可得女+HG+而=OC+FG=OC+CB=

08.故選A.

答案：A

6.解析：'：CA=CB+CD,CA=CB+成,

：.CB+就=CB+CD,

：,BA=CD,???45〃O。且力8—。。，四邊形/3CZ）是平行四邊形.故選D.

答案：D

7.解析：OA+BC+AB=OA+法+BC=OB+BC=OC.

答案：OC

8.解析：（19+CD+的+DA=AB+BC+CD+DA=AC+CA=0；

（2）（AB+話）+（歷+BC）+痂=AB+BO+OM+癡+或=AO+勵+

BC=AB+BC=AC.

9.解析：⑴而+DC+Cfi=AC+CB=矗.

（2）由向量的平行四邊形法則與三角形法則，得|/+AD+詼\=\AC+CD\=\AD\

=2.

D

10.

解析：如圖，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，得到合力產(chǎn)=人+尸2=沅，

在△OC4中，I①I=24,

\AC\=12,ZOJC=60°,

:?NOC4=90。,Aloci=123,

與/2的合力大小為123N,方向為與正2成90。角豎直向上.

11.解析：因為在平面四邊形力3CO中，E,尸分別為力O,8C的中點，

所以崩=ED=XAD,BF=FC=1BC,

22

因為諾=EA-\-AB-\-BF,EF=ED+DC+3，

所以26=ED+DC+CF-\-EA+AB+BF=AB+DC,

所以A不滿足題意，

因為虎=DA+AC,AB=AD+方＞，

所以比+AB=DA+iC-bib+DB=AC+法，所以B不滿足題意，

因為虎=DE+EC,AB=AE+EB,

所以比+次=DE+詫+能+EB=EC+EB,所以C不滿足題意，

因為蕩+FD=FB+扇+危+CD=BA+CD=-(AB+DC),

所以D滿足題意，故選D.

答案：D

12.證明：由題意知而=AC+CD,BE=BC+CE,CF=CB+礪，

由題意可知濟=CD,BF=FA.

:.而+BE+CF=(AC+CD)+(正+CE)+?+BF)=(AC+5)+CE+

BF)+(正+CB)

=(AE+EC+CZ)+CE+際)+0

=AE+d)+泳=AE+EF+萬=AF+6=0.

6.2.2向量的減法運算

1.在。48。中，設/=a,AD=b,AC=c,BD=d,則下列等式中不正確的是（）

A.。+力=。B.a—b=d

C.b-a=dD.c—a=b

2.化簡充-BD4-CD-AB-\-BC得（）

A.0B.DA

C.BCD.AB

3.（多選）下列各向量運算的結果與戰(zhàn)？相等的有（）

A.AO+0CB.AO-0C

C.OA-OCD.OC-OA

4.已知菱形43co的邊長為2,求向量疝-CB+CD的模.

5.如圖為正八邊形MCQMG”，其中0為正八邊形的中心，則柞：-FG=（)

A.BEB.E0

C.ADD.OH

6.在四邊形45co中，若施=一詼，且I益一而I=I亞+訪I,則四邊形

為（）

A.平行四邊形B.菱形

C.矩形D.正方形

7.如圖所示，已知一點。到平行四邊形力8c。的三個頂點力，B,C的向量分別為門，

1*2，,3,則=

8.化簡下列式子:

⑴超-PQ-NM-MP；

(2)必-BC)-(ED-EC).

9.如圖，已知向量4,b,C,求作向量僅一力一c.

10.如圖，四邊形？18co中，設施=a,AD=b,BC=c,試用°,b,c分別表示充，

DC.

11.（多選）［2022?廣東揭陽高一期末］已知點。，N在所在平面內(nèi)，且向|=|為|

=\OC|,NA+NB+加=0,則點O,N分別是△/4。的（）

A.外心B.內(nèi)心

C.重心D.垂心

12.已知瑟|=6,\AD|=9,求誦-AD|的取值范圍.

答案：

1.解析：a+b=AB+AD=AC=c,故A正確；a~b=AB~AD=AB+DA=DB

=-d,故B錯誤；b~a=AD-AB=BD=d,故C正確；c一°=左~AB=BC=AD

=b,故D正確.故選B.

答案：B

2.解析：AC-BD+CD-AB+BC

=AC+CD+DB+BA+BC

=0+瑟

=BC做選C.

答案：C

3.解析：由向量的線性運算法則得，對A,AO+5C=AC,所以A符合題意，B

不符合題意；對C,OA-OC=CA，對D,歷-OA=AC,故C不符合題意，D符合

題意.故選AD.

答案：AD

4.解析：如圖，9：AB-CB+CT=AB+BC+CD=AD,

D

：.\AB-CB+CD\=\AD|=2.

5.解析：因為元？=CB,所以無-FG=CE-CB=BE,故選A.

答案：A

6.解析：由=-CD=茄=DC,所以四邊形48co是平行四邊形，

由I次一石|=\AB^AD\=1協(xié)I=1充I,所以平行四邊形”CO的對角線相等,

因此該四邊形是矩形，故選C.

答案：c

7.解析：OD=OC+CD=OC+BA=OC+OA-0B=為+小一，2.

答案：r\+n—r2

8.解析：（1）原式=而+QP+疚-MP=NP+（麗+血）=沛+麗=0.

（2）原式=（無+BA）~（CE+訪）=CA-CD=DC+曰=DA.

9.解析：在平面內(nèi)任取一點。，作向量。7=a,OB=b,如圖所示：

則向量04—OB=a—b=BA,再作向量8C=c,

則向量C/l=a—h-c.

10.解析：由題圖知：AC=AB+BC=〃+c,

又虎=AC-AD,所以虎=a-\-c-b.

11.解析：因為|蘇\=\OB\=\OCI，

所以點o到三角形的三個頂點的距離相等，

所以。為△力BC的外心；

由法+祐+2VC=0,得威+標=~NC=CN,

由中線的性質可知點N在ZB邊的中線上，

同理可得點N在其他邊的中線上，

所以點N為。的重心.故選AC.

答案：AC

12.解析：,.?||懣\-\AD||W|施-AD\-\-\AD|,

且|成）|=9,\AB|=6,，3W|成-AD|W15.

當病與益同向時，\AB-AD|=3；

當而與贏反向時，|施-AD|=15.

???|/-AD|的取值范圍為[3,15].

6.2.3向量的數(shù)乘運算

1.[2022?浙江臺州高一期末]3(2。-6)-2(a+3b)的化簡結果為()

A.4。+3bB.4a~9b

C.Sa-9bD.4a~3b

2.[2022?廣東惠州高一期末]在△/8C中，D為BC上一點、,且8Z)=2QC,則疝=

)

X.ABACB.AB--AC

33

C.-ABACD.-+-iC

3333

3.已知非零向量ei,以不共線，如果次=ei+2e2,BC=-5ei--6e2,CD=7e\-2e2,

則共線的三個點是.

4.化簡：

(1)2(Q—b)+3(a+。)；

(2耳(a+b)+；(a—b)i

(3)3(。+2b)-2(。+3b)-2(a+b).

5.若崩=\PB,AB=ABP，則實數(shù)人的值是()

6.[2022?福建泉州高一期中]如圖，已知△ABC中，。為邊8。上靠近8點的三等分點,

連接40,E為線段力。的中點，若無=mAB+nAC,則2〃[+〃=()

7.[2022?廣東廣州高一期中]設自、62是兩個不共線的向量，已知血=2⑨+履2,BC=

ei+3e2,CD=2g—⑥，若4B,。三點共線，求片的值為.

8.兩個非零向量b不共線，若48=。+6,BC=2o+8b,CD=3(°—b),求證：

A,B,。三點共線.

9.已知。為△48C的邊8c的中點，E為AD上一點、,且崩=3ED,若而=a,試

用。表示或+而+EC.

10.設。，b,c為非零向量，其中任意兩向量不共線，已知與c共線，且b+c與

0共線，則。與。+c是否共線？請證明你的結論.

”.[2022?山東濰坊高一期中]在△48C中，AP=UAB-2AC,則尸點(

)

A.在線段8c上，且8r=：

BC9

B.在線段CB的延長線上，且巴0=：

BC9

C.在線段8c的延長線上，噌=：

D.在線段BC上，且°。=2

BC9

12.如圖所示，在△48C中，D,F分別是8C,1C的中點，AEADtAB=a,AC

=h.

⑴用4,6表示心,AE,AF,BE,BF；

(2)求證：B,E,尸三點共線.

答案：

1.解析：由題意，3(一一b)-2(0+36)=4〃一9無故選B.

答案：B

2.解析：因為在人力夕。中,。為ACJ?一點，月夕。=2。U

所以疝=AB+BD=AB一；BC=AB+；(AC-AB)=：ABACt故選D.

答案：D

3.解析：???施=ei+2c2,麗=BC+CD=-5?+6c2+7約一簧2=2(d+2e?)=2成.

，贏,BD共線，且有公共點尻

???4,B,。三點共線.

答案：A,B,D

4.解析：(1)2(0—力)+3(〃+力)

=2。-26+3。+3b

=5a+b.

(2)；(a+b)+；(oT)

(3)3(0+2b)-2(。+3力)-2(4+b)

=34+6b—2。一6。一2。一2b

——a-lb.

5.解析：由崩=1PB,貝」4P,8三點共線，且力=1AB,

45

所以麗=4AB,即罰=-5BP.故選D.

54

答案：D

6.解析：依題意得，

—>-A-?-A1-A-?1-A-A/—>1—>

AD=AB+BD=AB+BC=AB+(AC-AB)=ABAC,

3333

故無=CA+AE=CA+1AD=~AC+1t1AB+{ACAB-5AC,

223336

所以m=|,〃=—?,

36

故2m+〃=2乂1—5=一?.故選A.

366

答案：A

7.解析：由4、B、。三點共線，可得/=而)(1W0),又在=26十h2,BD=BC

+CD=3ei+2ei，

2=32

則2為+她=3屬+2加2,又為、62不共線，則卜=22，解得〃=4.

3

8.證明：因為弱=a+b,BC=2a+86,CD=3(a-b),

所以訪=BC+cb=2a+M+3(4-b)=5〃+5瓦則礪=5AB,

所以防，AB共線，兩個向量有公共點以

所以4B,。三點共線.

9.解析：如圖，

A

*：AE=3ED,且病=

：.ED=1AD=Xa,EA=-3AD=-3a,

4444

又。為邊5c的中點，

：.EB+EC=2ED=1a,

2

：.EA+麗+EC=-3川a=-Xa.

424

10.解析：方與o+c共線.證明如下：

Va+A與c共線，

???存在唯一實數(shù)九使得。+。=芥.①

,.b+c與a共線，

???存在唯一實數(shù)小使得②

由①一②得，a—C=ZC—//?.

(1+/Z)4=(1+i)c.

又???〃與。不共線，???1+/=0,1+2=0,

.*.//=—1,A=-1,；?。+6=-c,即〃+b+c=0.

故Q+C與b共線.

11.解析：由題設，AP-AB=：(AB-AC),則訪=：CB,

所以C,P,4共線且P在CB延長線上，BP=2.故選B.

CB9

答案：B

12.解析：(1)在△46。中，D,尸分別是BC,4C的中點，

則①=AB+BD=AB+1BC=AB+1(AC-AB)=1ABAC=Xa+Xb,

222222

故次AD=1h,

AT=]AC=]b,

22

BE=AE~AB=1b-a—b~^a,

3333

BF—AF—AB=?b—a；

2

(2)證明：因為崩=；a=；(b-2a),BF=；(b-2a)t

所以能=；BF,

所以昉//BF,

又因為詼，BF有公共點8,

所以8,E,尸三點共線.

6.2.4向量的數(shù)量積

1.[2022?福建三明高一期末]在邊長為2的正方形N8CO中，片為3。中點，則還AE=

()

A.2B.4

C.2#D.5

2.[2022?山東東營高一期末]若向量用b滿足1。1=\b\=2,<a,b>=120°,則一-周

=()

A.4B.12

C.2D.25

3.[2022?湖北武漢高一期末]已知同=2,同=3,“與6的夾角為135。，則a在b方向

上的投影向量為________.

4.已知同=4,網(wǎng)=2,且。與b的夾角為申，求：

(1"

(2)(a-2b)(a+b).

5.[2022?河北石家莊高一期末]已知在邊長為6的等邊三角形49C中，BDDCf則

ADAC=()

A.24B.6

C.18D.-24

6.[2022?江蘇蘇州高一期中]已知平面向量0,b滿足=2,IW=1,a(a-b)=5,

則向量Q與6的夾角為()

A.-B.-

63

C.D.2

36

7.[2022?福建福州高一期末]設非零向量a,b,c是滿足o+b+c=0,a_Lb,(2°—b)_Lc,

若HI=y/i,則仍1=________.

8.[2022?河北邢臺高一期末]已知向量。，力滿足(2。+方)“-26)=2,且同=/，惻=

2.

(1)求0與b的夾角以

(2)求m+w.

9.[2022?廣東珠海高一期末]已知1。1，網(wǎng)=1,且a與〃一2。相互垂直.

(1)求向量a與向量b的夾角。的大??；

(2)求1。+6].

10.在△48C中，AB=c,BC=a,CA=b,且。力=加c=cz,試判斷△48C的形狀.

11.（多選）［2022?山東濱州高一期末］已知用b,c是任意的非零向量，則下列結論正確的

是（）

A.\a+b\W3+函

B.ab^\a\\b\

C.若1。1=1力I,則Q=/>

D.若1。+川=\a—h\,貝ijaj_b

12.設兩個向量ei,.滿足同=2,|匐=1,ci,&的夾角為60。，若向量21+7及與為

+必的夾角。為鈍角，求實數(shù)，的取值范圍.

答案：

1.解析：由題設，ABAE=\AB||jE|cosZBAE=\ABF=4.故選B.

答案：B

2.解析：由mi=仍|=2,<4,b)=120°,

可得。5=1。1cos(a,b}=2X2Xcos=—2,

3

所以|q—W=(a—b)2

=a2-^-b2—2ab

=|a|2+\b\2-2a-h

=4+4-2X(-2)

=23.故選D.

答案：D

3.解析：因為Q在b方向上的投影為1。1cos135°=-2,與b同向的單位向量為

=；b,所以a在方方向上的投影向量為一32也

答案：一；b

4.解析：(1)由平面向量數(shù)量積的定義可得。6=回?網(wǎng)cos:=4X2X(—;)=-4；

(2)(a—2d),(a+d)=a2—ab—2ft2

=|a|2-a-Z>-2|^|2=42+4-2X22=12.

5.解析：因為麗=1DC,

2

所以訪=；BC=：(AC-AB),

所以歷=AB+筋=AB(AC-AB)=；ABAC.

因為等邊三角形49c的邊長為6,

所以企AB=6X6cos600=18,

所以疝AC=(；AB+lAC)AC

=2ABACAC2

33

7i

=X18+X36=24,故迄A.

33

答案：A

6.解析：因為l“l(fā)=2,SI=1,a(a—b)=5,

所以。?(4—6)=/一優(yōu)。=|a|2—“4=5,所以0山=—],

設向量〃與b的夾角為0,則cos0=ab=1=—\,

\a\-\b\1X22

因為0￡[0,n],所以0=個.故選C.

答案：C

7.解析：因為a+b+c=0,可得。=—(a+b),

又因為(2a—b)-Lc,且1。1=2,

可得(2。_6)。=(20_。)?【一(。+6)]=—2/一。6+力2=—2X(2)2—0+|/>12=0,

解得仍|2=4,所以解I=2.

答案：2

8.解析：(1)由(20+〃)(0—25)=〃2-3。協(xié)一2〃=4-3X2X2cos<9-8=2,

得cos6=一；,因為?！闧0,利，所以.

9

(2)由題意得|Q+〃|=屏+2〃6+/>2=2-42X；+4=2.

9.解析：(1)由題意，a(a-2b)=a2-2ab=Q,

所以2—22cos<9=0,可得cos6=,而OWOWg

2

所以。=兀-

4

(2)由\a+b\2=/+2?b+b2=2+2+l=5,

所以m+用=5.

10.解析：在△XBC中，易知次+或*+B=0,

即a+b+c=Ot

因此Q+C=-b,a+b=-c,

（。+6）2=（一c）2

從而

（〃+。）2=（一方2,

兩式相減可得辦2+2“6-C2-2QC=C2一爐,

則2b2+2（ab-ac）=2c2,

因為ab=ca=ac,

所以2b2=24,即圃=|c|.

同理可得同=同，故法|=|病\=\CA|,

即△力BC是等邊三角形.

11.解析：對A,1。+力I2=a2-^b2+2a?b=\a\24-|^|2+2|?|SIcos〈a,h）

wim24-1/>12+2im?si=（w+si）2,當且僅當叫b同向時等號成立，所以

m+b|+仍|,故A正確：

對B,因為cos〈%b）Cl,所以〃仍=|。11^1cos（a,b）W|a|1^1,當且僅

當a,b同向時等號成立，故B正確；

對C,若HI=仍1,因為〃方向不一定相同，所以。，b不一定相等，故C錯誤；

對D,若1。+用=\a—b\,兩邊平方可得〃心=0,所以。_Lb,故D正確.故選ABD.

答案：ABD

12.解析：由向量2?+7e2與g+⑸的夾角。為鈍角，得

,,（2fc+7c）,（ei+f02）,八

cos0=<0,

\2te\+7?2卜|01+心|

???（2/d+7?2>（61+y2）<0,化簡得2產(chǎn)+151+7Vo.

解得一7V/V-!.

2

當向量2⑻+7以與。+0的夾角為180。時，也有（2陽+7?2）（約+必2）<0,但此時夾角

不是鈍角.

設2?+7e2=2（ei+徒2）,K0,貝）

2/=2,R=-14,

7=后，解得—14

??

2

U<o,/

???所求實數(shù).的取值范圍是（一7,-：）U（-；,一；）.

6.3.1平面向量基本定理

1.已知約，62是平面內(nèi)一組不共線的向量，則下列四組向量中，不能做基底的是（）

A.e\與6[+。2

B.2?2與+?2

C.ei+ez與ei一?2

D.-3ei+2e2與3e1-2^2

2.[2022?山東棗莊高一期末]平行四邊形力88中，E為邊8c的中點，尸在邊OC上且

DF=2FC,則祥=()

A.--ABADB.--AB+-AD

3232

C.-AB--ADD.-AB--AD

3232

3.[2022?江蘇徐州高一期中]如圖所示，在△048中，C是中點，設為=a,OB=

b,則OC=（請用a,b表示OC）.

4.如圖所示，平行四邊形4BC0中，AB=a,AD=b,BM=-BC,AN=-AB,試

34

用向量如b來表示力力，AM.

5.[2022?河北滄州高一期末]如圖所示，點后為△48C的邊4C的中點，尸為線段上

靠近點8的四等分點，則萬=（

A.-BABCB.-+-BC

8844

C.--BA+-BCD.--BA+-BC

8844

6.[2022?湖南常德高一期末]如圖所示，在長方形力8C。中，設石=0,AD=b,又次

=2EC,BE=癡+〃兒則2+"=()

AA.1Bn.一1

33

2

C.1D.

3

7.[2022?山東聊城高一期末]在△力3。中，D是BC中點,病=；應？，4D與BE交

于G,若4G=XAD,則』=.

8.如圖，在梯形49C。中，AB//CD,AB=2,C0=1,E為線段力〃的中點，F(xiàn)為線

段4C上的一點，且力尸=3尸C,記/=a,AD=b.

(1)用向量。，b表示元;

(2)用向量用b表示前.

9.[2022?廣東順德一中高一期中]在△48C內(nèi)有一點O,滿足①+OB+OC=0,E

為8C邊的中點，疝=1通，設通=a,AC=b,以。、力為基底，試求下列向量表達

4

式；

⑴無；

(2)5F.

10.[2022?重慶八中高一期中]如圖，平行四邊形/8C。中，已知虛=3EB,BF=4FC,

設癌=a,AD=b.

(I)用向量。和b表示向量流,AF；

(2)若反)=xDE,AO=yAF,求實數(shù)x和y的值.

ll.[2022-U東德州高一期末]如圖1,蜜蜂蜂房是由嚴格的正六棱柱構成的，它的■端是

平整的六邊形開口.六邊形開口可記為圖2中的正六邊形/8CQE凡其中。為正六邊形

49。0￡廠的中心，設叁=〃，AF=b,若俞=MC,EF=3EN,則加=()

12.[2022?山東蒲澤高一期中]如圖所示，在△480中，女=；5,而=；為，

/O與8c交于點A/.設為=mOB=b.

(1)試用向量〃，b表示必；

(2)在線段/C上取點￡在線段8。上取點尸，使"'過點M,設無=).OA,OF=

1.iOB,其中九.證明：J+2為定值，并求出該定值.

答案:

2=1

1.解析：A選項：令的=“約+。2),因為ei,也不共線，所以1=0?無實數(shù)解，所以

為與約+。2不共線，故可以作為平面向量基底；

z=0

B選項：令262=2?+62),因為0,改不共線，所以b=2,無實數(shù)解，所以262與ei

+e2不共線，故可以作為平面向量基底；

A=1

C選項：令ei+e2=/(ei—02),因為ei,e?不共線，所以一7=1,無實數(shù)解，所以ei

+?2與①一C2不共線，故可以作為平面向量基底：

D選項：易知-3e1+2e2=—(3約一2e2),即一3e1+2e2與3cI一2?2共線，不能作為平面

向量基底.故選D.

答案：D

2.解析：如圖所示，EF=EC+次=15C+1CD=-[ABAD.

2332

故選A.

答案：A

3.解析：因為。是45中點,

所以拉？=OA+AC=OA+】AB.

2

又因為施=OB-OA,

1

所以歷=OA+(OB-OA)=1OAOBt

222

即沃'=1(a+b).

答案：；(a+b)

4.解析：由AB,即病=1施，

44

所以方A-AN-AD-1AB-AD-af

44

22

由BM=2BC,則俞=BC=ADt

333

所以五力=AB+BM=AB+；AD=0+；匕

5.解析：AF=AE+壽=XACEB=XAC+3(AB-AE)

2424

=XAC-^-3ABAC=]ACBA

24884

=1{BC-BA)-3BA=-7BA+XBC.故選C.

8488

答案：C

6.解析：???亞=2EC,：.AE=；AC,

ffff'ff'ff

：.BE=BA+AE=-AB+AC=~AB+(AB+力￡>)=-AB+AD,

3333

即礪=-1fl+2b,r.2=-1,"=2,???/l+"=l.故選A.

33333

答案：A

7.解析：設壽=kBE=k(AE-AB)=1kAC-kAB,

4

所以，AG=AB+前=(\-k)AB4-1kAC,

4

A

x___

BD

因為疝=AB+BD=AB-lBC=AB+1(AC-AB)=1兩+1左，

2222

AG=XAD=1ZS+1Z4C,

22

r,,I.r,4

1~k=2k=

25

1,_1,