2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課后限時集訓(xùn)55隨機(jī)事件的概率古典概型與幾何概型含解析理

PAGE1-課后限時集訓(xùn)(五十五)(建議用時：60分鐘)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1．(2024·遼寧聯(lián)考)某商場實(shí)行有獎促銷活動，抽獎規(guī)則如下：從裝有形態(tài)、大小完全相同的2個紅球、3個藍(lán)球的箱子中，隨意取出兩球，若取出的兩球顏色相同則中獎，否則不中獎．則中獎的概率為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(3,10) C.eq\f(2,5) D.eq\f(3,5)C[設(shè)事務(wù)A為“中獎”，則P(A)＝eq\f(C\o\al(2,2)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).故選C.]2．從裝有兩個白球和兩個黃球的口袋中任取2個球，以下給出了四組事務(wù)：①至少有1個白球與至少有1個黃球；②至少有1個黃球與都是黃球；③恰有1個白球與恰有1個黃球；④恰有1個白球與都是黃球．其中互斥而不對立的事務(wù)共有()A．0組 B．1組C．2組 D．3組B[①中“至少有1個白球”與“至少有1個黃球”可以同時發(fā)生，如恰有1個白球和1個黃球，①中的兩個事務(wù)不是互斥事務(wù)．②中“至少有1個黃球”說明可以是1個白球和1個黃球或2個黃球，則兩個事務(wù)不互斥．③中“恰有1個白球”與“恰有1個黃球”，都是指有1個白球和1個黃球，因此兩個事務(wù)是同一事務(wù)．④中兩事務(wù)不能同時發(fā)生，也可能都不發(fā)生，因此兩事務(wù)是互斥事務(wù)，但不是對立事務(wù)，故選B.]3．已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，則函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)的概率是()A.eq\f(3,10)B.eq\f(3,5) C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)C[函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)，則a2－2＜0，又a∈{－2,0,1,2,3}，故只有a＝0，a＝1滿意題意，又b∈{3,5}，所以函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)的概率P＝eq\f(2×2,5×2)＝eq\f(2,5).故選C.]4．在區(qū)間[0，π]上隨機(jī)取一個數(shù)x，使cosx的值介于－eq\f(\r(3),2)與eq\f(\r(3),2)之間的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3) C.eq\f(3,8) D.eq\f(5,8)B[cosx的值介于－eq\f(\r(3),2)與eq\f(\r(3),2)之間的區(qū)間長度為eq\f(5π,6)－eq\f(π,6)＝eq\f(2π,3).由幾何概型概率計(jì)算公式，得P＝eq\f(\f(2π,3),π－0)＝eq\f(2,3).故選B.]5.在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個點(diǎn)，則落在陰影部分(曲線C的方程為x2－y＝0)的點(diǎn)的個數(shù)約為()A．3333 B．6667C．7500 D．7854B[題圖中陰影部分的面積為eq\i\in(0,1,)(1－x2)＝，正方形的面積為1，設(shè)落在陰影部分的點(diǎn)的個數(shù)為n，由幾何概型的概率計(jì)算公式可知，eq\f(\f(2,3),1)＝eq\f(n,10000)，n≈6667，故選B.]二、填空題6．從3名男同學(xué)，2名女同學(xué)中任選2人參與學(xué)問競賽，則選到的2名同學(xué)中至少有1名男同學(xué)的概率是________．eq\f(9,10)[所求概率為P＝1－eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(9,10).]7.(2024·湖北四校聯(lián)考)如圖所示的圖案是由兩個等邊三角形構(gòu)成的六角星，其中這兩個等邊三角形的三邊分別對應(yīng)平行，且各邊都被交點(diǎn)三等分，若往該圖案內(nèi)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在圖中陰影部分內(nèi)的概率為________．eq\f(1,2)[設(shè)六角星的中心為點(diǎn)O，分別將點(diǎn)O與兩個等邊三角形的六個交點(diǎn)連接起來，則將陰影部分分成了六個全等的小等邊三角形，并且與其余六個小三角形也是全等的，所以所求的概率P＝eq\f(1,2).]8．若采納隨機(jī)模擬的方法估計(jì)某運(yùn)動員射擊擊中目標(biāo)的概率．先由計(jì)算器給出0到9之間取整數(shù)的隨機(jī)數(shù)，指定0,1,2,3表示沒有擊中目標(biāo)，4,5,6,7,8,9表示擊中目標(biāo)，以4個隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組如下的隨機(jī)數(shù)：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281依據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該運(yùn)動員射擊4次至少擊中3次的概率為________．0.4[依據(jù)數(shù)據(jù)得該運(yùn)動員射擊4次至少擊中3次的數(shù)據(jù)分別為75279857863669474698804595977424，所以該運(yùn)動員射擊4次至少擊中3次的概率為eq\f(8,20)＝0.4.]三、解答題9．(2024·全國卷Ⅱ)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，接著購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)狀況，得到如下統(tǒng)計(jì)表：出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010(1)記A為事務(wù)：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”，求P(A)的估計(jì)值；(2)記B為事務(wù)：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”，求P(B)的估計(jì)值；(3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值．[解](1)事務(wù)A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2的頻率為eq\f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估計(jì)值為0.55.(2)事務(wù)B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4的頻率為eq\f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估計(jì)值為0.3.(3)由所給數(shù)據(jù)得保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費(fèi)為0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.因此，續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值為1.1925a.10．(2024·天津高考)已知某校甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參與獻(xiàn)愛心活動．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)擔(dān)當(dāng)敬老院的衛(wèi)生工作．①試用所給字母列舉出全部可能的抽取結(jié)果；②設(shè)M為事務(wù)“抽取的2名同學(xué)來自同一年級”，求事務(wù)M發(fā)生的概率．[解](1)由已知，甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．(2)①從抽取的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種．②由①，不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來自同一年級的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種．所以，事務(wù)M發(fā)生的概率P(M)＝eq\f(5,12).B組實(shí)力提升1．(2024·武漢模擬)一張儲蓄卡的密碼共有6位數(shù)字組成，每位數(shù)字都可以是0～9中的隨意一個．某人在銀行自動取款機(jī)上取錢時，遺忘了密碼的最終一位數(shù)字，假如隨意按最終一位數(shù)字，不超過2次就按對的概率為()A.eq\f(2,5) B.eq\f(3,10)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,10)C[依題意知，最終一位數(shù)字是0～9這10個數(shù)字中的隨意一個，則按1次按對的概率為eq\f(1,10)；按2次按對的概率為eq\f(9,10)×eq\f(1,9)＝eq\f(1,10).由互斥事務(wù)的概率計(jì)算公式得所求的概率P＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,10)＝eq\f(1,5)，故選C.]2.(2024·濟(jì)南模擬)七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力嬉戲，被譽(yù)為“東方魔板”．如圖，這是一個用七巧板拼成的正方形，其中1號板與2號板為兩個全等的等腰直角三角形，3號板與5號板為兩個全等的等腰直角三角形，7號板為一個等腰直角三角形，4號板為一個正方形，6號板為一個平行四邊形．現(xiàn)從這個大正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,16) D.eq\f(3,8)C[設(shè)大正方形的面積為4S，則5號板與7號板的面積之和為eq\f(3,4)S，所以從這個大正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是eq\f(\f(3,4)S,4S)＝eq\f(3,16).]3．(2024·太原一模)某人在微信群中發(fā)了一個7元的“拼手氣”紅包，被甲、乙、丙三人搶完，若三人均領(lǐng)到整數(shù)元，且每人至少領(lǐng)到1元，則甲領(lǐng)到的錢數(shù)不少于乙、丙分別領(lǐng)到的錢數(shù)的概率是________．eq\f(2,5)[利用隔板法將7元分成3個紅包，共有Ceq\o\al(2,6)＝15種領(lǐng)法．甲領(lǐng)3元不少于乙、丙分別領(lǐng)到的錢數(shù)的分法有3元，3元，1元與3元，2元，2元兩種狀況，共有Aeq\o\al(2,2)＋1＝3種領(lǐng)法；甲領(lǐng)4元不少于乙、丙分別領(lǐng)到的錢數(shù)的分法有4元，2元，1元一種狀況，共有Aeq\o\al(2,2)＝2種領(lǐng)法；甲領(lǐng)5元不少于乙、丙分別領(lǐng)到的錢數(shù)的分法有5元，1元，1元一種狀況，共有1種領(lǐng)法，所以甲領(lǐng)到的錢數(shù)不少于乙、丙分別領(lǐng)到的錢數(shù)的概率是eq\f(3＋2＋1,15)＝eq\f(2,5).]4.某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物．依據(jù)歷年的種植閱歷，一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米．(1)完成下表，并求所種作物的平均年收獲量；Y51484542頻數(shù)4(2)在所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量至少為48kg的概率．[解](1)所種作物的總株數(shù)為1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株數(shù)為1的作物有2株，“相近”作物株數(shù)為2的作物有4株，“相近”作物株數(shù)