山東省泰安市2023～2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題含答案VIP

2022級(jí)高二下學(xué)期第一次階段性考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷共4頁(yè)分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.，則（）A B.2 C. D.62.曲線在點(diǎn)處的切線方程是（）A. B.C. D.3.已知函數(shù)在，上為增函數(shù)，在（1，2）上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.4.已知，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.5.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）.A. B.C. D.6.已知函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），則（

）A. B.1 C.2 D.7.已知函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.8.已知函數(shù)，若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.兩個(gè)選項(xiàng)的，部分選對(duì)的每一個(gè)得3分。三個(gè)選項(xiàng)的，部分選對(duì)的每一個(gè)得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.在曲線上的切線的傾斜角為點(diǎn)的橫坐標(biāo)可能為（）A. B. C. D.10.已知函數(shù)（為常數(shù)），則下列結(jié)論正確的有（

）A時(shí)，恒成立B.時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)C.若有3個(gè)零點(diǎn)，則的范圍為D.時(shí)，有唯一零點(diǎn)且11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，且，則（）A.在上單調(diào)遞增 B.在上有極小值C.的最小值為 D.的最小值為三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知函數(shù)，則的最大值為_(kāi)______．13.已知函數(shù)，關(guān)于x的方程有3個(gè)不同的解，則m的取值范圍是______.14.設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的最小值為_(kāi)_____；若對(duì)任意，存在不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍是______．四、解答題（本題共5小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.）15.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）直線為曲線的切線，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)．16已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.17.某小型玩具廠研發(fā)生產(chǎn)一種新型玩具，年固定成本為10萬(wàn)元，每生產(chǎn)千件需另投入3萬(wàn)元，設(shè)該廠年內(nèi)共生產(chǎn)該新型玩具千件并全部銷售完，每千件銷售收入為萬(wàn)元，且滿足函數(shù)關(guān)系：．（1）寫出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于該新型玩具年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；（2）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在此新型玩具的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？18.已知函數(shù)在與時(shí)都取得極值.（1）求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）求該函數(shù)在極值.（3）設(shè)，若恒成立，求的取值范圍.19.已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線并比較與的大小關(guān)系；（2）記函數(shù)的極大值點(diǎn)為，已知表示不超過(guò)的最大整數(shù)，求．新泰中學(xué)2022級(jí)高二下學(xué)期第一次階段性考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷共4頁(yè)分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.，則（）A. B.2 C. D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，可得答案.【詳解】∵，，∴.故選：C.2.曲線在點(diǎn)處的切線方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將代入可得切線方程的斜率，再用點(diǎn)斜式即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)榍€過(guò)點(diǎn)，由點(diǎn)斜式可得，化簡(jiǎn)可得，所以切線方程是，故選：A.3.已知函數(shù)在，上為增函數(shù)，在（1，2）上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)得到，然后根據(jù)在，上為增函數(shù)，在（1，2）上為減函數(shù)，由求解即得.【詳解】由，得，∵在，上為增函數(shù)；上為減函數(shù),∴兩根分別位于和中，得，即，解得.故選：B4.已知，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】方法一：由正弦函數(shù)的單調(diào)性得出，再設(shè)，由其導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性，即可由得出，即，即可得出答案；方法二：由正弦函數(shù)的單調(diào)性得出，再由為中間值得出，，，即，即可得出答案.【詳解】方法一：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以再上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以.綜上，得，故選：B.方法二：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以.又.綜上，得，故選：B.故選：B.5.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）.A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由的圖象得到的單調(diào)性，從而得到的正負(fù)，即可得解.【詳解】由的圖象可知，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，所以不等式的解集為.

故選：A6.已知函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），則（

）A. B.1 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，代入，求出的值，進(jìn)而求解的值即可.【詳解】因?yàn)樗远x域?yàn)?所以當(dāng)時(shí)，，，則故選：A7.已知函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由可得，令，則直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，因?yàn)?，令，即，可得．令，則，令，得，令，得，所以，函數(shù)在上遞增，在上遞減，因?yàn)?，，，如下圖所示：當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，且，由圖可知，當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，所以，函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，此時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，合乎題意.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.8.已知函數(shù)，若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，原不等式等價(jià)于.構(gòu)造函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，可得不等式在上恒成立，利用分離參數(shù)法可得在上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)求出即可.詳解】設(shè)，，等價(jià)于，即，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立，令，則，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，且，所以，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：D.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.兩個(gè)選項(xiàng)的，部分選對(duì)的每一個(gè)得3分。三個(gè)選項(xiàng)的，部分選對(duì)的每一個(gè)得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.在曲線上的切線的傾斜角為點(diǎn)的橫坐標(biāo)可能為（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可.【詳解】切線的斜率，設(shè)切點(diǎn)為，則，又，所以，所以，，當(dāng)時(shí)，，故AD正確.故選：AD10.已知函數(shù)（為常數(shù)），則下列結(jié)論正確的有（

）A.時(shí)，恒成立B.時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)C.若有3個(gè)零點(diǎn)，則的范圍為D.時(shí)，有唯一零點(diǎn)且【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于AB：將和代入，判斷函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性求極值最值即可求解；對(duì)于C：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性和極值，然后畫圖求解；對(duì)于D：利用零點(diǎn)存在定理求解.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，則，令，則，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞增，又，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，，令，則，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞增，無(wú)極值，B正確；對(duì)于C：令，當(dāng)時(shí)，顯然，則，記，則當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且，當(dāng)和時(shí)，，函數(shù)圖象如下：所以若有3個(gè)零點(diǎn)，則的范圍為，C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以所以在上單調(diào)遞增，又，，由零點(diǎn)存在定理可得有唯一零點(diǎn)且，D正確；故選：BCD.11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，且，則（）A.在上單調(diào)遞增 B.在上有極小值C.的最小值為 D.的最小值為【答案】AB【解析】【分析】由已知等式變形可得出，設(shè)（為常數(shù)），根據(jù)題中條件求出的值，可求出的解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷B選項(xiàng)；利用函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷CD選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，則，即，令（為常數(shù)），所以，，因?yàn)?，可得，所以，，?duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由可得，且，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在上有極小值，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，令，可得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，D錯(cuò).故選：AB.三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知函數(shù)，則最大值為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)得出函數(shù)在上的單調(diào)性，即可求得的最大值為.【詳解】由可得，令可得，又，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；易知，；因此的最大值為.故答案為：13.已知函數(shù)，關(guān)于x的方程有3個(gè)不同的解，則m的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及函數(shù)圖象的平移變換，進(jìn)而可得函數(shù)的圖象，將方程有3個(gè)不同的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象的有個(gè)不同交點(diǎn)即可求解.【詳解】由題意可知，方程有3個(gè)不同的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象的有個(gè)不同交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，由，即，解得，由，即，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取的極大值為；作出與的大致圖象，如圖所示.由圖可知，要使函數(shù)與圖象的有個(gè)不同交點(diǎn)，只需要.所以m的取值范圍是.故答案為：.14.設(shè)函數(shù)，則函數(shù)最小值為_(kāi)_____；若對(duì)任意，存在不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍是______．【答案】①.②.【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，求最小值；令，，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)和基本不等式求兩個(gè)函數(shù)最小值即可.【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，則時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，可得在處取得極小值，且為最小值；令，，又對(duì)任意，存在，有恒成立，即恒成立，即；時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值2，，，則時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，可得在處取得極小值，且為最小值；所以，由，可得．所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式恒成立問(wèn)題，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.四、解答題（本題共5小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.）15.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）直線為曲線的切線，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）（2），切點(diǎn)為【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再將原點(diǎn)代入即可求解.【小問(wèn)1詳解】由，得，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由（1）得，所以切線方程為，因?yàn)榍芯€經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以，所以，．則，所以所求的切線方程為，切點(diǎn)為．16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，無(wú)極大值（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后由極值的定義求解即可；（2）分和兩種情況分析求解，當(dāng)時(shí)，不等式變形為在，上有解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解的最小值，即可得到答案．【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有極小值，無(wú)極大值.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樵谏嫌薪?，所以在上有解，?dāng)時(shí)，不等式成立，此時(shí)，當(dāng)時(shí)在上有解，令，則由（1）知時(shí)，即，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以，綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題或有解問(wèn)題的策略為：通常構(gòu)造新函數(shù)或參變量分離，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值從而求得參數(shù)的取值范圍．17.某小型玩具廠研發(fā)生產(chǎn)一種新型玩具，年固定成本為10萬(wàn)元，每生產(chǎn)千件需另投入3萬(wàn)元，設(shè)該廠年內(nèi)共生產(chǎn)該新型玩具千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為萬(wàn)元，且滿足函數(shù)關(guān)系：．（1）寫出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于該新型玩具年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；（2）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在此新型玩具的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？【答案】（1）（2）9千件；38.6萬(wàn)元【解析】【分析】（1）由G(x)等于銷售收入減去成本求解即可；（2）求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性求最值即可【詳解】（1）依題意，（）（2）由（1）得，令，得.∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.∴當(dāng)時(shí)，有.即當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該廠在該商品生產(chǎn)中獲得的年利潤(rùn)最大且最大值為38.6萬(wàn)元【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，考查函數(shù)的最值，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題18.已知函