數(shù)學(xué)陜師大練習(xí)題

PAGE\MERGEFORMAT1/PAGE\MERGEFORMAT1/NUMPAGES\MERGEFORMAT1數(shù)學(xué)陜師大練習(xí)題練習(xí)題

一、選擇題（每題1分，共5分）

1.在數(shù)學(xué)分析中，函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處連續(xù)的充分必要條件是：

A.f(a)存在

B.f(a)與f(x)在x=a處的左、右極限相等

C.f(x)在x=a處可導(dǎo)

D.f(x)在x=a處有定義

2.歐幾里得空間中，以下哪個(gè)向量組線性無關(guān)？

A.(1,2,3),(2,4,6)

B.(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1)

C.(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)

D.(1,1,1),(1,1,0),(0,1,1)

3.設(shè)矩陣A為3階方陣，且|A|≠0，則以下哪個(gè)結(jié)論是正確的？

A.A可逆

B.A的列向量線性相關(guān)

C.A的行向量線性相關(guān)

D.A的特征值為0

4.設(shè)f(x)=e^x，則f'(x)在x=0處的泰勒展開式為：

A.1+x+x^2/2

B.1+x+x^2/2+x^3/6

C.1+x+x^2/2+x^3/6+...

D.1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24

5.以下哪個(gè)級(jí)數(shù)收斂？

A.∑n=1^∞(1/n)

B.∑n=1^∞(1/n^2)

C.∑n=1^∞(1/2^n)

D.∑n=1^∞(1/n^(1/2))

二、判斷題（每題1分，共5分）

1.若函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，則f(x)在[0,1]上連續(xù)。

（）

2.向量組線性相關(guān)的充分必要條件是該向量組中存在一個(gè)向量可以由其余向量線性表示。

（）

3.若矩陣A可逆，則A的行列式|A|≠0。

（）

4.泰勒公式可以用來近似表示任何可導(dǎo)函數(shù)。

（）

5.對于任意收斂的級(jí)數(shù)，將其各項(xiàng)同時(shí)除以n^k（k>1），得到的新級(jí)數(shù)也收斂。

（）

三、填空題（每題1分，共5分）

1.設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，且f(0)=0，則f(x)在x=0處的拉格朗日中值定理為：f'(ξ)()=0。

2.已知向量a=(1,2,3)，則a的模長為：。

3.設(shè)矩陣A為3階方陣，且|A|≠0，則A的逆矩陣記作：。

4.設(shè)f(x)=ln(x)，則f(x)在x=1處的泰勒展開式為：。

5.以下級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為：。

四、簡答題（每題2分，共10分）

1.請簡述介值定理的內(nèi)容。

2.請解釋線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念。

3.請說明矩陣乘法的性質(zhì)。

4.請解釋泰勒公式的意義。

5.請簡述冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的概念。

五、計(jì)算題（每題2分，共10分）

1.求函數(shù)f(x)=x^36x^2+9x在區(qū)間[1,4]上的最大值和最小值。

2.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(2,1,1)，求向量a與向量b的夾角余弦值。

3.設(shè)矩陣A=\(\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)，求矩陣A的行列式。

4.對函數(shù)f(x)=e^x求x=0處的泰勒展開式的前5項(xiàng)。

5.求級(jí)數(shù)∑n=1^∞(1/n^2)的和。

六、作圖題（每題5分，共10分）

1.畫出函數(shù)y=|x|在區(qū)間[2,2]上的圖像。

2.畫出向量a=(2,3)和向量b=(3,2)的向量圖。

七、案例分析題（每題5分，共10分）

1.設(shè)函數(shù)f(x)=x^36x^2+9x，求f(x)在x=1處的切線方程。

2.設(shè)矩陣A=\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，求A的特征值和特征向量。

練習(xí)題

八、案例設(shè)計(jì)題（每題2分，共10分）

1.設(shè)計(jì)一個(gè)函數(shù)，使其在區(qū)間(1,1)內(nèi)連續(xù)但不可導(dǎo)。

2.設(shè)計(jì)一個(gè)3階方陣，使其行列式為0，但該矩陣不是零矩陣。

3.給定函數(shù)f(x)=sin(x)，設(shè)計(jì)一個(gè)案例，通過泰勒展開式計(jì)算f(x)在x=π/2的近似值。

4.設(shè)計(jì)一個(gè)級(jí)數(shù)，使其收斂于π/4。

5.設(shè)計(jì)一個(gè)向量組，證明其線性相關(guān)，并通過線性變換展示如何找到一個(gè)線性關(guān)系。

九、應(yīng)用題（每題2分，共10分）

1.利用介值定理證明在區(qū)間[0,1]內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得e^ξ=2ξ。

2.給定向量a=(1,2,3)和向量b=(4,5,6)，求向量c，使得向量a、b、c構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列。

3.利用矩陣的逆，求解線性方程組：2x+3y=5,4x+5y=6。

4.計(jì)算函數(shù)f(x)=e^x在x=0處的三階導(dǎo)數(shù)f'''(0)。

5.某級(jí)數(shù)的部分和為S_n=n/(n+1)，求該級(jí)數(shù)的收斂值。

十、思考題（每題2分，共10分）

1.如果一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，那么這個(gè)函數(shù)在該點(diǎn)有什么特性？

2.一個(gè)非零向量組線性相關(guān)的充分必要條件是什么？

3.當(dāng)一個(gè)矩陣的行列式為0時(shí)，該矩陣可能具有哪些特性？

4.泰勒公式在數(shù)值分析中的應(yīng)用有哪些？

5.如何判斷一個(gè)級(jí)數(shù)是發(fā)散的？請給出至少兩種方法。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案

1.B

2.D

3.A

4.B

5.C

二、判斷題答案

1.×

2.√

3.√

4.√

5.×

三、填空題答案

1.(00)

2.√(1^2+2^2+3^2)=√14

3.A^(1)

4.xx^2/2+x^3/6x^4/24+...

5.(0,1)

四、簡答題答案

1.介值定理：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則它在[a,b]上的值域?yàn)閇f(a),f(b)]。

2.線性相關(guān)：若存在不全為零的常數(shù)使得線性組合為零，則向量組線性相關(guān)。線性無關(guān)：不存在這樣的常數(shù)。

3.矩陣乘法性質(zhì)：結(jié)合律、分配律、交換律不成立（一般情況）。

4.泰勒公式意義：用多項(xiàng)式近似表示函數(shù)，用于數(shù)值計(jì)算和理論分析。

5.冪級(jí)數(shù)收斂半徑：冪級(jí)數(shù)收斂的半徑，即級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。

五、計(jì)算題答案

1.最大值：f(4)=4，最小值：f(1)=4

2.cosθ=(a·b)/(|a||b|)=(12+21)/(√14√13)=4/(√14√13)

3.|A|=0

4.e^x≈1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24

5.π^2/6

六、作圖題答案

1.圖像為V型，x<0時(shí)y=x，x>0時(shí)y=x

2.向量圖顯示a和b構(gòu)成直角坐標(biāo)系中的直角三角形

七、案例分析題答案

1.切線方程為y=4x1

2.特征值為1和6，對應(yīng)的特征向量分別為(2,3)和(1,2)

八、案例設(shè)計(jì)題答案

1.f(x)=|x|，在x=0處不可導(dǎo)

2.A=\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\)

3.f(x)≈1x^2/6+x^4/120...

4.∑n=0^∞(1)^n(2n+1)^(2)

5.a=(1,2),b=(2,4)，c=2ab=(0,0)

九、應(yīng)用題答案

1.利用連續(xù)性和零點(diǎn)存在性定理

2.c=(7,9,11)

3.x=1,y=1

4.f'''(0)=e^0=1

5.收斂值為1

十、思考題答案

1.函數(shù)可能在這一點(diǎn)有極值，但不一定是最值。

2.存在一個(gè)向量可以由其余向量線性表示。

3.矩陣可能是非可逆的，或者有零特征值。

4.泰勒公式用于數(shù)值積分、求解微分方程等。

5.比較判別法、積分判別法、比值判別法等。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及各題型考察的學(xué)生知識(shí)點(diǎn)詳解：

一、選擇題

考察學(xué)生對數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)、泰勒公式等基礎(chǔ)概念的理解。

二、判斷題

考察學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)定理和性質(zhì)的理解。

三、填空題

考察學(xué)生對公式和定義的記憶。

四、簡答題

考察學(xué)生對重要概念和定理的表述能力。

五、計(jì)算題

考察學(xué)生的計(jì)算能力和對數(shù)學(xué)公式的應(yīng)用。

六、作圖題

考察學(xué)生對幾何直觀的理解。

七、案例分析題

考察學(xué)生將理論應(yīng)用到具體案例中的能力。