信號(hào)與系統(tǒng)課件 第4講學(xué)習(xí)資料

信號(hào)與系統(tǒng)第4講教材位置:第2章線性時(shí)不變系統(tǒng)

§2.3-§2.5內(nèi)容概要:線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)；

用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)；

奇異函數(shù)2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講2開講前言－前講回顧離散時(shí)間LTI系統(tǒng)響應(yīng)的分析離散時(shí)間序列的單位脈沖分解卷積和的定義以及計(jì)算連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)響應(yīng)的分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的沖擊函數(shù)分解卷積的定義以及計(jì)算卷積的性質(zhì)2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講3開講前言－本講導(dǎo)入前面介紹了信號(hào)和系統(tǒng)的基本概念進(jìn)一步了解LTI系統(tǒng)輸入和輸出之間的關(guān)系將信號(hào)表示為延時(shí)脈沖的線性組合來求解對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)卷積和的概念用于表達(dá)輸入輸出之間關(guān)系對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)卷積概念用于表達(dá)輸入和輸出之間的關(guān)系線性時(shí)不變系統(tǒng)的特殊性質(zhì)常系數(shù)微（差）分方程求解求解系統(tǒng)響應(yīng)有幫助的奇異函數(shù)介紹2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講4§2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)0.引言-沖激響應(yīng)在分析LTI系統(tǒng)性質(zhì)上的作用一個(gè)LTI系統(tǒng)的特性可以完全由它的沖激響應(yīng)來決定但是這個(gè)結(jié)論只在LTI系統(tǒng)適用，非線性系統(tǒng)不合適一離散時(shí)間系統(tǒng)有沖激響應(yīng)作為L(zhǎng)TI系統(tǒng)，可以確定為而下列非線性系統(tǒng)也有同樣的沖激響應(yīng)2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講5§2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)1.交換律性質(zhì)離散系統(tǒng) y[n]=x[n]*h[n]=h[n]*x[n]連續(xù)系統(tǒng) y(t)=x(t)*h(t)=h(t)*x(t)2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講6§2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)2.分配律性質(zhì)離散系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)分配率采用LTI系統(tǒng)并聯(lián)的解釋2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講7§2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)3.結(jié)合律性質(zhì)離散系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)結(jié)合律采用LTI系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的解釋2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講8§2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)結(jié)合律與交換律結(jié)合多系統(tǒng)級(jí)聯(lián)與順序無關(guān)的結(jié)論只在LTI正確結(jié)論不正確的非線性系統(tǒng)2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講9§2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)4.有記憶和無記憶LTI系統(tǒng)無記憶系統(tǒng)輸出僅與當(dāng)前時(shí)刻輸入有關(guān)離散時(shí)間:y[n]=kx[n],h[n]=?連續(xù)時(shí)間:y(t)=kx(t),h(t)=?無記憶系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)只在0時(shí)候取值，其他時(shí)候?yàn)?，不滿足這一點(diǎn)就不是無記憶系統(tǒng)2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講10§2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)5.

LTI系統(tǒng)的可逆性可逆系統(tǒng)的沖激響應(yīng)原系統(tǒng)沖激響應(yīng)為h(t)，逆系統(tǒng)沖激響應(yīng)為h1(t)系統(tǒng)可逆的特征對(duì)于離散系統(tǒng)可逆系統(tǒng)舉例（example2.11-2.12）連續(xù)時(shí)間純時(shí)移系統(tǒng)離散時(shí)間累加系統(tǒng)2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講11§2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)6.

LTI系統(tǒng)的因果性因果系統(tǒng)的響應(yīng)只決定于現(xiàn)在和過去的輸入，反映在沖激響應(yīng)上的特點(diǎn)就是離散時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講12§2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)7.

LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)對(duì)所有有界的輸入，其輸出都是有界的離散時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講13§2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)8.

LTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)輸入為單位階躍信號(hào)，系統(tǒng)的響應(yīng)為單位階躍響應(yīng)離散時(shí)間階躍響應(yīng)是沖激響應(yīng)的求和沖激響應(yīng)是階躍響應(yīng)的一次差分連續(xù)時(shí)間階躍響應(yīng)是沖激響應(yīng)的積分沖激響應(yīng)是階躍響應(yīng)的微分2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講14§2.4用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)1.線性常系數(shù)微分方程根據(jù)一個(gè)RC電路，由電路理論可以建立一個(gè)微分方程對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行描述輸入信號(hào)：電壓源Vs輸出信號(hào)：電容電壓Vc回路電流方程和電容特性得到線性常系數(shù)微分方程方程給出的是系統(tǒng)輸入輸出之間的隱含關(guān)系如何求解輸入輸出之間的顯性表達(dá)式？2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講15§2.4用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)線性常系數(shù)微分方程解y(t)齊次解（自然響應(yīng)）yh(t)特解（受迫響應(yīng)） yp(t)求解方程需要一些初始條件-對(duì)于因果的LTI系統(tǒng)N-階線性常系數(shù)分微分方程方程初始條件因果系統(tǒng)初始條件實(shí)際情況初始條件可能更為復(fù)雜。初始條件為0的情況比較易于分析，又稱為松弛的初始條件2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講16§2.4用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)2.線性常系數(shù)差分方程N(yùn)-階方程初始條件y[0],y[-1],……,y[-(N-1)]在松弛初始條件情況下系統(tǒng)是因果的2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講17§2.4用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)系統(tǒng)求解改寫方程為迭代方式利用初始條件就可以計(jì)算出各個(gè)時(shí)刻的輸出結(jié)果對(duì)于松弛初始條件通用的系統(tǒng)求解方法，在第5章和第10章中介紹2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講18§2.4用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)N=0系統(tǒng)分析系統(tǒng)描述是一個(gè)非遞歸方程系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)系統(tǒng)被稱為有限脈沖響應(yīng)系統(tǒng)（FIR）N>0系統(tǒng)分析系統(tǒng)描述是一個(gè)遞歸方程參考例題2.15系統(tǒng)方程的解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)都是無限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)系統(tǒng)被稱為無限脈沖響應(yīng)系統(tǒng)（IIR）2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講19§2.4用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)3.用微分和差分方程描述的一階系統(tǒng)的方框圖表示（1）離散時(shí)間系統(tǒng)一階差分方程

框圖表示基本單元： 加法器乘法器延遲器+D2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講20§2.4用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)（2）連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)一階微分方程

框圖表示基本單元： 加法器乘法器積分器+∫2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講21§2.5奇異函數(shù)1.作為理想化短脈沖的單位沖激矩形脈沖定義的沖激三角脈沖定義的沖激根據(jù)單位沖激具有篩選性由此可見單位脈沖定義為某種信號(hào)的極限形式，很多信號(hào)都可以作為單位脈沖的近似，LTI系統(tǒng)對(duì)它們的響應(yīng)本質(zhì)上是相同的，只要脈沖足夠短（參考Example2.16）2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講22§2.5奇異函數(shù)2.通過卷積定義單位沖激（1）單位沖激函數(shù)的面積為1（積分為1）（2）函數(shù)與單位沖激函數(shù)乘積的積分（3）函數(shù)與單位沖激函數(shù)乘積2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講23§2.5奇異函數(shù)3.單位沖激偶和其他的奇異函數(shù)沖激函數(shù)篩選性卷積的微分性質(zhì)卷積的積分性質(zhì)2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講24§2.5奇異函數(shù)函數(shù)的命名和相關(guān)性單位沖激偶斜坡函數(shù)推廣命名物理解釋k,r為正時(shí)，k個(gè)微分器級(jí)聯(lián)后面接r個(gè)微分器，產(chǎn)生的輸出為，對(duì)輸入的（k+r）次微分2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講25本講小結(jié)LTI系統(tǒng)的性質(zhì)交換律、結(jié)合律、分配率記憶性、可逆性、因果性、穩(wěn)定性、線性利用沖激響應(yīng)判斷系統(tǒng)的上述性質(zhì)微分、差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)線性常系數(shù)微分、差分方程松弛的初始條件定義一階系統(tǒng)的方框圖表示奇異函數(shù)各種短脈沖定義的沖激函數(shù)由卷積運(yùn)算定義的沖擊函數(shù)的一些性質(zhì)沖擊函數(shù)的微分與積分信號(hào)與系統(tǒng)第4次課外作業(yè)教材習(xí)題:2.28(b)(e)(g)、2.29(b)(d)(e)2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講272025/4/30信號(hào)與線性系統(tǒng)－第2講27補(bǔ)充－舉例電路系統(tǒng)的微分方程解法典型RLC并聯(lián)電路，由基爾霍夫(KCL)電流定律可列出igRLiL+C-V對(duì)上面等式進(jìn)行微分若給定的參數(shù)為:R=1/4,L=1/3H,C=1F且初始值為v(o)=1v,iL(o)=2A,求當(dāng)激勵(lì)電流源為ig=2e-2t時(shí)的回路端電壓v(t).(1)2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講282025/4/30信號(hào)與線性系統(tǒng)－第2講28補(bǔ)充－舉例電路系統(tǒng)的微分方程解法解:由式(1)帶入?yún)?shù)得方程（2）該方程的解v(t)由齊次方程通解v1(t)和非齊次方程特解v2(t)構(gòu)成,即

v(t)=v1(t)+v2(t)(3)通解：

v1(t)=c1e

1t+c2e

2t

1,2為微分方程的特征根,式(2)的特征方程為：

2+4+3=0求解可得1,2=21

故有v1(t)=c1e-t+c2e-3t(4)為自然響應(yīng)分量(物理意義，表示系統(tǒng)的自然特征)。特解：

v2(t)應(yīng)滿足非齊次方程

v2”(t)+4v2’(t)+3v2(t)=ig,’(t)(5)因激勵(lì)ig(t)=2e-2t

為指數(shù)函數(shù),指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為指數(shù)函數(shù),故可令

v2(t)=Be-2t,代入上式可得

4Be-2t

8Be-2t+3Be-2t=

4e-2t

求解得B=4；于是特解v2(t)=4e-2t(6)此解為響應(yīng)的受迫分量(物理意義，表示系統(tǒng)在激勵(lì)的迫使下，產(chǎn)生的輸出)。

2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講292025/4/30信號(hào)與線性系統(tǒng)－第2講29補(bǔ)充－舉例電路系統(tǒng)的微分方程解法全解：

v(t)=c1e-t+c2e-3t

+4e-2t

(7)系數(shù)c1,c2

由初始值確定.

根據(jù)初始條件v(0)=1V,得v(o)=c1+c2+4=1(8)

由KCL,得iL(o)+iR(o)+iC(o)=0(9)iL(o)=2A為初始條件,其他兩項(xiàng)iR(o)=v(o)/R=4A(10)由上述分析帶入公式（9）可得

將式(7)求導(dǎo)，求t=0時(shí)值可得

C13C2?8

=6(12)

由式(8)和上式可解得C1=7/2,C2=1/2

通解v1(t)=(7/2)e-t+(1/2

)e-3t(13)

最后求得v(t)=(7/2)e-t+(1/2

)e-3t+4e-2t(14)(11)2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講302025/4/30信號(hào)與線性系統(tǒng)－第2講30補(bǔ)充－舉例電路系統(tǒng)的微分方程解法解題小結(jié)上述解題采用的是直接解微分方程的方法，難度較大零輸入響應(yīng)求解齊次方程通解，需要規(guī)范化零狀態(tài)響應(yīng)求解需要根據(jù)激勵(lì)函數(shù)形式試探解的形式，不好把握降低難度的辦法尋找規(guī)范的解題方式，變解題技巧為解題流程零輸入響應(yīng)求解思路簡(jiǎn)化齊次方程表達(dá)方式（算子）由簡(jiǎn)單低階方程解推導(dǎo)高階通用方程解零狀態(tài)響應(yīng)求解思路把輸入信號(hào)分解為各單元信號(hào)之和。求各單元信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)。疊加各單元信號(hào)的響應(yīng)合成輸出信號(hào)。全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講312025/4/30信號(hào)與線性系統(tǒng)－第2講31補(bǔ)充：系統(tǒng)方程的算子表示法積分算子微分算子（2---1a）（2---1b）例如，式兩邊求導(dǎo)（2---3）n階微分方程2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講322025/4/30信號(hào)與線性系統(tǒng)－第2講32補(bǔ)充：系統(tǒng)方程的算子表示法利用微積分算子表達(dá)上述微分方程，可分別寫成（2---6a）（2---6b）（2---7a）提取公共因子2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講332025/4/30信號(hào)與線性系統(tǒng)－第2講33補(bǔ)充：系統(tǒng)方程的算子表示法與代數(shù)方程的比較代數(shù)方程(y+a)(y+b)=y2+(a+b)y+ab算子方程(p+a)(p+b)=p2+(a+b)p+ab

由p的多項(xiàng)式所組成的運(yùn)算符號(hào)可以象代數(shù)式一樣相乘和因式分解。但是，算子P不能在運(yùn)算如同代數(shù)方程一樣隨意消除。又如，，P可以消去。但是，P不能隨便消去。一般，有同樣，將兩邊積分，可得x=y+c可見，對(duì)于px=py,雙方的p一般也不好消去。2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講342025/4/30信號(hào)與線性系統(tǒng)－第2講34補(bǔ)充：系統(tǒng)方程的算子表示法對(duì)于n階系統(tǒng)，將（2－7a）等式兩邊多項(xiàng)式分別記為D(p)和N(p)則有D(p)r(t)=N(p)e(t)(2－7b)寫成（2－7c）（2－8）定義轉(zhuǎn)移算子H(p)

：于是r(t)=H(p)e(t)(2－9)當(dāng)求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)時(shí)，解齊次方程

D(p)r(t)=0（2－10）求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，解非齊次方程式(2－9)r(t)=H(p)e(t)2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講352025/4/30信號(hào)與線性系統(tǒng)－第2講35補(bǔ)充：系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)（n＝1）系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)就是求下列齊次微分方程的解首先討論一階齊次方程簡(jiǎn)單情況(p-λ)r=0(2－11)此式即或等式雙方取不定積分，得其中k為積分常數(shù)lnr=λt+k解對(duì)數(shù)方程得到

r(t)=ceλt

（2－12a）

式中c=ek,c可以由初始狀態(tài)r(t)=r(0)確定為c=r(0),于是得r(t)=r(0)eλt(2－12b)如果給出的初始狀態(tài)為t=t0

時(shí)的響應(yīng)r(t0)。則解的形式為2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講362025/4/30信號(hào)與線性系統(tǒng)－第2講36補(bǔ)充：系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)－（n＝2）求解二階齊次方程的解(2－13a)可寫為(p-λ1)(p-λ2)r=0(2－13b)或(p-λ1)(pr-λ2r)=(p-λ2)(pr-λ1r)=0由上可知二階方程的解可由兩個(gè)一階方程求得即(p-λ1)r=0和(p-λ2)r=0(2－14)和故二階齊次方程解的一般形式應(yīng)為(2---15)若t=0時(shí)，初始狀態(tài)r(t)=r(0),r’(t)=r’(0),則由下列方程組可求系數(shù)r(0)=c1+c2r’(0)=λ1c1+λ2c2

(2---16)2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講372025/4/30信號(hào)與線性系統(tǒng)－第2講37補(bǔ)充：系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)－推廣到普遍推廣到n階齊次方程=(p-λ1)(p-λ2)---(p-λn)r=0(2---17)特征方程D(p)=0，

方程中的根稱為

特征根λi，各λ為轉(zhuǎn)移算子H(p)的極點(diǎn)。類比二階方程的解，上式解的一般形式應(yīng)為（λ無重根）(2---18)根據(jù)初始條件，聯(lián)立解下列方程可求解各項(xiàng)系數(shù)r(0)=c1+c2+---+cnr’(0)=λ1c1+λ2c2+---+λncn

(2---19a)2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講382025/4/30信號(hào)與線性系統(tǒng)－第2講38補(bǔ)充：系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)－推廣到普遍初始條件方程的矩陣表示求解系數(shù)的逆矩陣表示(2---19c)(2---19b)2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講392025/4/30信號(hào)與線性系統(tǒng)－第2講39補(bǔ)充：系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)－推廣到普遍對(duì)于特征方程中有一k階重根λ時(shí)，即方程中有因子(p–

λ)k

時(shí)，微分方程

(p–

λ)kr=0

(2－20)

此時(shí)解的形式為

r(t)=(c0+c1t+---+ck-1tk-1)eλt

(2－21)2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講402025/4/30信號(hào)與線性系統(tǒng)－第2講40補(bǔ)充：系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)－推廣到普遍關(guān)于零狀態(tài)響應(yīng)的求解思路：利用線性系統(tǒng)疊加性將實(shí)際中復(fù)雜激勵(lì)函數(shù)分解為標(biāo)準(zhǔn)簡(jiǎn)單形式進(jìn)行討論分析系統(tǒng)在標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)的激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)分析激勵(lì)疊加與響應(yīng)疊加的關(guān)系步驟：標(biāo)準(zhǔn)形式探索－分析特殊函數(shù)信號(hào)分解－通過特殊函數(shù)來表示特殊函數(shù)的響應(yīng)求解響應(yīng)疊加2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講412025/4/30信號(hào)與線性系統(tǒng)－第3講41補(bǔ)充：沖激響應(yīng)求解0+與0-的概念t由正值趨零的瞬時(shí)記為t=0+，它代表剛剛施加激勵(lì)后的起始時(shí)刻；t由負(fù)值趨零的瞬時(shí)記為t=0-，它代表施加激勵(lì)前一瞬間的起始時(shí)刻。奇異函數(shù)在0點(diǎn)沒有定義，為了考慮其影響，上式定義的積分下限為0-理解0+

與0-的概念能更好的認(rèn)識(shí)，零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)之間的聯(lián)系以及系統(tǒng)對(duì)響應(yīng)的本質(zhì)。2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講422025/4/30信號(hào)與線性系統(tǒng)－第3講42補(bǔ)充：沖激響應(yīng)求解沖激響應(yīng)h(t)求解根據(jù)n階系統(tǒng)的輸入－響應(yīng)表達(dá)式類比零輸入響應(yīng)的求解，在此分兩種情況討論n>m和nm

；（1）n>m；

2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講432025/4/30信號(hào)與線性系統(tǒng)－第3講43補(bǔ)充：沖激響應(yīng)求解設(shè)特征根均為單根。為求h(t)，先求上式中第一項(xiàng)的解，于是或合并等式左邊項(xiàng)，將上式雙方乘以e–

1t

，可得有雙方從0–

到t取定積分12025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講442025/4/30信號(hào)與線性系統(tǒng)－第3講44補(bǔ)充：沖激響應(yīng)求解由于h1(0–)=0，于是依此可求得h2(t)，…，hn(t)，從而（2---40）（2---41）類比零輸入響應(yīng)解的形式，物理解釋為系統(tǒng)在0+狀態(tài)儲(chǔ)能后的零輸入響應(yīng)2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講452025/4/30信號(hào)與線性系統(tǒng)－第3講45補(bǔ)充：沖激響應(yīng)求解

（2）若nm

，則需將H(p)化為真分式。設(shè)m=n+1

，故Ap+B為整除所得商；余數(shù)中N1(p)的冪次低于D(p)的冪次N，N1(p)/D(p)為真分式；假定D(p)=0的n個(gè)根均為單根

i(i=1,2…n),H(p)可寫成：當(dāng)e（t）=

（t）時(shí)，有r（t）=h（t），由此有2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講462025/4/30信號(hào)與線性系統(tǒng)－第18講46補(bǔ)充：離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)1、差分方程基本解法－迭代設(shè)y(k+1)+a0y(k)=b0e(k)其響應(yīng)的一次齊次差分方程y(k+1)=-a0y(k)假設(shè)y(0)已知，于是y(1)=-a0y(0)y(2)=-a0y(1)＝（-a0）2y(0)y(3)=-a0y(2)＝（-a0）3y(0)…………….歸納后得到：當(dāng)k≥0yzi(k)=y(0)(-a0)k2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講472025/4/30信號(hào)與線性系統(tǒng)－第18講47補(bǔ)充：離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)2、移序算子及差分方程的算子表示移序算子采用S表示S[f(k)]=f(k+1)S2[f(k)]=f(k+2)……Sn[f(k)]=f(k+n)差分方程的移序算子表示有差分方程：y(k+1)+a0y(k)=b0e(k)采用移序算子表示：Sy(k)+a0y(k)=b0e(k)(S+a0)y(k)=b0e(k)2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講482025/4/30信號(hào)與線性系統(tǒng)－第18講48補(bǔ)充：離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)3、齊次差分方程的解－零輸入響應(yīng)齊次差分方程的表達(dá)式y(tǒng)(k+n)+an-1y(k+n-1)+…+a0y(k)=0算子形式Sny(k)+an-1Sn-1y(k)+…+a0y(k)=0(Sn+an-1Sn-1+…+a0)y(k)=0(Sn+an-1Sn-1+…+a0)=0稱為特征方程因式分解得到：(S-

1)(S-

2)…

(S-

n)=0

1、

2、…

、n稱為特征根2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講492025/4/30信號(hào)與線性系統(tǒng)－第18講49補(bǔ)充：離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)方程求解考慮一階方程y(k+1)-vy(k)=0則Sy(k)-vy(k)=0或(S-v)y(k)=0特征方程S-v=0特征根S＝v求此一階齊次差分方程解，可整理成可見，y(k)是以為公比的等比序列其通式為y(k)=c()k

也就是零輸入響應(yīng)的解yzi(k)=c()k

結(jié)論：一階齊次差分方程算符表示式可整理成(S-)y(k)=0形式此方程描述的系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)必具有yzi(k)=c()k

形式其中常數(shù)c由初始條件確定。2025/4/30信號(hào)與系統(tǒng)－第4講502025/4/30信號(hào)與線性系統(tǒng)－第18講50補(bǔ)充：離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)推廣到n階，因式分