仲元中學高二上學期期末考試數(shù)學（理）試題

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精廣東仲元中學2016學年第一學期期末考試高二年級數(shù)學(理科）試卷一、選擇題：本大題共12個小題；每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的．1。集合，則等于（）A。B.C.D。2．已知復數(shù)z的共軛復數(shù)為eq\x\to(z)＝1＋2i（i為虛數(shù)單位)，則z在復平面內(nèi)對應的點位于（)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3.下列函數(shù)中，滿足“”的單調(diào)遞增函數(shù)是（) A.B.C．D。 4．以下四個命題中，其中真命題的個數(shù)為（)①從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上,質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣;②對于命題p:，使得。則，均勻③“x＜0”是“l(fā)n（x+1）＜0”的充分不必要條件；④命題p：“x＞3"是“x＞5”的充分不必要條件．A．1 B．2 C．3 D．45．若直線被圓C：截得的弦最短,則直線的方程是（）A．B．C．D．B1A1CBACB1A1CBAC1DFA．B．C．D．7．在三棱柱ABC－A1B1C1中,D是CC1的中點，F(xiàn)是A1中點，且，則（)A．B．C．D．8．已知某錐體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該錐體的體積為（）A．2B．4C．6D．8第9題S=0,n=1第9題S=0,n=1（第8題圖）正視圖側(cè)視圖俯視圖22219。執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果是（）A．16B．17C．18D．1910．設橢圓的離心率為，右焦點為F（c，0),方程的兩個實根分別為x1和x2，則點P(x1,x2）（) A．必在圓外 B．必在圓上 C．必在圓內(nèi) D．以上三種情形都有可能11．已知一個三角形的三邊長分別是5,5，6，一只螞蟻在其內(nèi)部爬行，若不考慮螞蟻的大小，則某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過2的概率是(）A．1﹣ B．1﹣ C．1﹣D．1﹣12．若偶函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，且當時，,則函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為（）A.B.C.D。二、填空題：本大題共4小題,每小題5分，共20分，把答案寫在答題卡相應位置上13.已知向量的夾角為，且,,則。14。記不等式組所表示的平面區(qū)域為，若直線與有公共點，則的取值范圍是。15．球O內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，正方體的全面積為24,則球O的體積是16、設點、分別是雙曲線的右頂點、右焦點，直線交該雙曲線的一條漸近線于點．若是等腰三角形，則此雙曲線的離心率為三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17。（本題滿分10分）己知函數(shù)的最小正周期為，直線為它的圖象的一條對稱軸．（1)當時，求函數(shù)的值域；（2）在分別為角的對應邊,若，求的最大值．18．（本題滿分12分)為選拔選手參加“中國漢字聽寫大會”，某中學舉行了一次“漢字聽寫大賽"活動．為了了解本次競賽學生的成績情況,從中抽取了部分學生的分數(shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本(樣本容量為n）進行統(tǒng)計．按照［50,60），[60，70），[70，80）,［80,90），［90，100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分數(shù)的莖葉圖（圖中僅列出了得分在［50，60），［90,100］的數(shù)據(jù)）．（1）求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x、y的值；（2)在選取的樣本中，從競賽成績在80分以上（含80分)的學生中隨機抽取2名學生參加“中國漢字聽寫大會”，求所抽取的2名學生中至少有一人得分在[90，100]內(nèi)的概率．19．（本題滿分12分)已知遞增的等差數(shù)列中，、是方程的兩根，數(shù)列的前項和為，且（）．⑴求數(shù)列，的通項公式；⑵記,數(shù)列的前項和為．求證：20.（本小題滿分12分）如圖,是塊矩形硬紙板，其中，,為的中點，將它沿折成直二面角.(1)求證:平面;(2）求二面角的余弦值。

21。(本小題滿分12分）已知橢圓的中心在坐標原點，離心率，且其中一個焦點與拋物線的焦點重合。（1）求橢圓的方程;（2）過點的動直線交橢圓于兩點，試問:在坐標平面上是否存在一個定點，使得無論如何轉(zhuǎn)動，以為直徑的圓恒過點？若存在,求出點的坐標；若不存在,請說明理由。22．（本題滿分12分）設為實數(shù)，記函數(shù)的最大值為.（1）設，求的取值范圍,并把表示為的函數(shù)；(2)求；（3)試求滿足的所有實數(shù)。

廣東仲元中學2016學年第一學期期末考試高二年級數(shù)學（理科）參考答案一、選擇題：ADCABCBAACCD11解：∵三角形的三邊長分別是5，5，6,∴三角形的高AD=4，則三角形ABC的面積S=×6×4=12，則該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過2，對應的區(qū)域為圖中陰影部分,三個小扇形的面積之和為一個整圓的面積的，圓的半徑為2，則陰影部分的面積為S1=12﹣×π×22=12﹣2π,則根據(jù)幾何概型的概率公式可得所求是概率為=1﹣,故選:C．二、填空題：13。14。eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f（1,2），4））15．．16。2三、解答題17.解：（Ⅰ）函數(shù)的最小正周期為,……1分為的圖象的一條對稱軸，……2分……3分,，，，的值域為……5分（Ⅱ），，，…………7分，……9分。當且僅當時取等號。故的最大值為6……10分18．解：（1)由題意可知，樣本容量n==25，y==0.008，x=0。100﹣0.008﹣0。012﹣0.016﹣0。040=0.024．…（4分）（2)由題意可知，分數(shù)在[80，90）內(nèi)的學生有3人,分數(shù)在［90，100］內(nèi)的學生有2人，抽取的2名學生的所有情況有10種，其中2名同學的分數(shù)至少有一名得分在［90,100］內(nèi)的情況有7種，∴所抽取的2名學生中至少有一人得分在［90，100］內(nèi)的概率為．…(12分)19。⑴解得，，因為是遞增，所以,……1分解得，所以……2分在中，令得,……3分,當時，,，兩式相減得……4分，是等比數(shù)列……5分，所以…………6分⑵…………7分……8分……9分兩式相減得：,……10分所以……12分20.方法一（1)證明:由題設可知，取的中點，連結(jié)。.-———1分又二面角為直二面角.平面————-—3分又又平面—-————5分又平面—————-6分（2）由(1)知平面就是二面角的平面角——————8分又平面在中，—————-10分二面角的余弦值為-—————12分方法二（1)證明:由題設可知，取的中點，連結(jié)。?！?1分又二面角為直二面角,平面-——-—3分又取的中點為,連結(jié)，則———--—4分以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如圖）則,,，，于是，，——————6分設是平面的法向量,則即令，則，于是平面?！?————8分(2）設是平面的法向量，則即令,則，于是又平面的法向量—————10分—----—12分21。解：（1）設橢圓的方程為，離心率，—1分又拋物線的焦點為，所以，—-2分橢圓的方程是.-—3分（2)若直線與軸重合，則以為直徑的圓是，若直線垂直于軸，則以為直徑的圓是。-—4分由解得即兩圓相切于點.——5分因此所求的點如果存在，只能是?！?分當直線不垂直于軸時，可設直線。—-7分由消去得.——8分設，則—-9分又因為,——10分=0-———11分,即以為直徑的圓恒過點。故在坐標平面上存在一個定點滿足條件?！?12分22。解：（1）∵,∴要使有意義，必須且,即.∵，且①∴的取值范圍是，由①得:，∴,—————---—-4分（2)由題意知即為函數(shù)，的最大值，∵直線是拋物線的對稱軸，∴可分以下幾種情