山東省菏澤市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題含答案或解析

八一路校區(qū)高二數(shù)學(xué)第一次月考測試一、單選題1.若函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則（）A. B. C.1 D.22.甲、乙、丙、丁、戊、己六人站成一排合影留念，則甲、乙兩人中間恰好有兩人的站法有（）A36種 B.72種 C.144種 D.288種3.拉格朗日中值定理是微分學(xué)中基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值點”．根據(jù)這個定理，可得函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為（）．A.3 B.2 C.1 D.04.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C D.5.已知偶函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，且在時滿足以下條件：①導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示；②唯一的零點是1．則的解集為（）A. B.C. D.6.已知函數(shù)，則（）A.2024 B. C.2025 D.20267.在上的導(dǎo)函數(shù)為，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.8.已知對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題9.定義在上函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減 B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極小值 D.函數(shù)在處取得極大值10.設(shè)函數(shù)，則（）A.函數(shù)有兩個極值點B.函數(shù)有兩個零點C.直線是曲線的切線D.點是曲線的對稱中心11.設(shè)函數(shù)，則（）A.當時，是的極大值點B.當時，有三個零點C.存在a，使得點為曲線的對稱中心D.存在a，b，使得為曲線的對稱軸三、填空題12.函數(shù)在處有極值10，則實數(shù)_________．13.若函數(shù)在區(qū)間上有單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是______．14.對于函數(shù)，若對任意的，存在唯一的使得，則實數(shù)的取值范圍是__________．四、解答題15.4名男生和3名女生站成一排.（1）甲不在中間也不在兩端的站法有多少種？（2）男生甲和男生乙不相鄰，女生甲和女生乙相鄰，排在一起的站法有多少種？（3）甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種？16.已知函數(shù).（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）證明：當時，.17.已知函數(shù)，其中.（1）若圖象在處的切線經(jīng)過點，求a的值；（2）討論的單調(diào)性.18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：函數(shù)的圖象在x軸上方.19.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在區(qū)間內(nèi)有最小值，求的取值范圍；（3）若關(guān)于的方程有兩個不同的解，，求證：．

八一路校區(qū)高二數(shù)學(xué)第一次月考測試一、單選題1.若函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的概念可解.【詳解】.故選：C2.甲、乙、丙、丁、戊、己六人站成一排合影留念，則甲、乙兩人中間恰好有兩人的站法有（）A.36種 B.72種 C.144種 D.288種【答案】C【解析】【分析】由排列數(shù)的計算公式，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】第一步從6個位置中選擇2個位置，滿足條件的選位可以是，共有3種不同方法；第二步將甲、乙排到所選擇的2個位置，共有種不同的方法；第三步將丙、丁、戊、己排到剩余的4個位置，共有種不同的方法；由分步計數(shù)原理可知，共有種．故選：C3.拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值點”．根據(jù)這個定理，可得函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為（）．A.3 B.2 C.1 D.0【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題中給出的“拉格朗日中值點”的定義分析求解即可．【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得：，令為在上的“拉格朗日中值點”，則有，即，整理得，解得，所以函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為2.故選：B.4.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性即可得出選項．【詳解】解：，定義域為，，令，得，令，得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，排除A、C，當時，，，，所以，排除B，只有D中圖象符合題意；故選：D5.已知偶函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，且在時滿足以下條件：①導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示；②唯一的零點是1．則的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】記在上的零點為，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象可求出的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)可求出當時的正負，再結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可求得不等式的解集.【詳解】記在上的零點為，由在上的圖象，知當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因為在唯一的零點是1，即，所以當時，，當時，．又為偶函數(shù)，所以當時，，當時，，所以的解集為．故選：B．6.已知函數(shù)，則（）A.2024 B. C.2025 D.2026【答案】B【解析】【分析】通過求導(dǎo)得到的對稱中心，然后利用對稱性求函數(shù)值即可.【詳解】由，可得．令，得，又，所以圖象的對稱中心為，，，，．故選：B.7.在上的導(dǎo)函數(shù)為，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，從而得到不等關(guān)系，即可判斷.【詳解】令，則，，，在上單調(diào)遞增，，即，.故選：A.8.已知對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將不等式進行變形，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性得到，轉(zhuǎn)化為恒成立問題，通過求函數(shù)在上的最大值來確定的取值范圍.【詳解】設(shè)，則.∵時，，，∴，故在上單調(diào)遞增.∵對恒成立，∴當時，，則有，當時，可等價變形為.∵在上單調(diào)遞增，且，（），∴由可得，即對恒成立.設(shè)，則.當時，，，，故.∴在上單調(diào)遞減，∴當時，.∵對恒成立，∴，即實數(shù)的取值范圍是.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是把不等式等價變形為，通過構(gòu)造函數(shù)，最終問題轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為恒成立問題.二、多選題9.定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減 B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極小值 D.函數(shù)在處取得極大值【答案】AD【解析】【分析】利用函數(shù)的函數(shù)的圖象，可判斷函數(shù)的單增區(qū)間與單減區(qū)間，進而可得極大值點，從而可得結(jié)論.【詳解】由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當時，，所以在上單調(diào)遞增，故B錯誤；當時，，所以在上單調(diào)遞減，故A正確；所以函數(shù)在處取得極大值，不是極小值點，故C錯誤，D正確.故選：AD.10.設(shè)函數(shù)，則（）A.函數(shù)有兩個極值點B.函數(shù)有兩個零點C.直線是曲線的切線D.點是曲線的對稱中心【答案】ABD【解析】【分析】求導(dǎo)，確定函數(shù)單調(diào)性極值，即可判斷AB，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷C，由對稱中心的概念可判斷D;【詳解】令解得，令解得或，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，因為，極大值，且極小值，所以函數(shù)有兩個極值點，有兩個零點，故AB正確，令即，，無解；故C錯誤；，所以，即點是曲線的對稱中心，正確；故選：ABD11設(shè)函數(shù)，則（）A.當時，是的極大值點B.當時，有三個零點C.存在a，使得點為曲線的對稱中心D.存在a，b，使得為曲線的對稱軸【答案】BC【解析】【分析】A選項，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)系進行分析；B選項，先分析出函數(shù)的極值點為，根據(jù)零點存在定理和極值的符號判斷出在上各有一個零點；C選項，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，據(jù)此進行計算判斷，亦可利用拐點結(jié)論直接求解.D選項，假設(shè)存在這樣的，使得為的對稱軸，則為恒等式，據(jù)此計算判斷；【詳解】A選項，，時，，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，此時在處取到極小值，A選項錯誤；B選項，，由于，故時，故在上單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點存在定理在上有一個零點，又，，則，則在上各有一個零點，于是時，有三個零點，B選項正確；C選項，方法一：利用對稱中心的表達式化簡，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，事實上，，于是即，解得，即存在使得是的對稱中心，C選項正確.方法二：直接利用拐點結(jié)論任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導(dǎo)數(shù)的零點，，，，由，于是該三次函數(shù)的對稱中心為，由題意也是對稱中心，故，即存在使得是的對稱中心，C選項正確.D選項，假設(shè)存在這樣的，使得為的對稱軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項式定理，等式右邊展開式含有的項為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，D選項錯誤；故選：BC【點睛】結(jié)論點睛：（1）的對稱軸為；（2）關(guān)于對稱；（3）任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心是三次函數(shù)的拐點，對稱中心的橫坐標是的解，即是三次函數(shù)的對稱中心.三、填空題12.函數(shù)在處有極值10，則實數(shù)_________．【答案】【解析】【分析】將函數(shù)求導(dǎo)，由題意得和，聯(lián)立求得，再回代檢驗是否符合題意即得.【詳解】由求導(dǎo)得，，依題意，①，②，聯(lián)立①，②，解得：或.當，時，，，函數(shù)增函數(shù)，顯然不符合題意，故舍去；當，時，，，當時，，此時為減函數(shù)，當時，，此時為增函數(shù)，故在處有極小值為，符合題意.故答案為：.13.若函數(shù)在區(qū)間上有單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在上有解，分離參數(shù)后求函數(shù)最值即可得解.【詳解】，由題意在上有解，即在上有解，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，所以在時取最大值，故，故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：14.對于函數(shù)，若對任意的，存在唯一的使得，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】借助導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，并求出函數(shù)在給定區(qū)間上的值域，再結(jié)合集合包含關(guān)系，列出不等式解題即可.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)，令，求導(dǎo)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，；當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，即，函數(shù)，求導(dǎo)得，當時，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時，即；在上單調(diào)遞增，此時，即，由對任意的，存在唯一的使得，得是的子集，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是將題目轉(zhuǎn)化為值域之間的包含關(guān)系，再借助導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，得到值域.四、解答題15.4名男生和3名女生站成一排.（1）甲不在中間也不在兩端的站法有多少種？（2）男生甲和男生乙不相鄰，女生甲和女生乙相鄰，排在一起的站法有多少種？（3）甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種？【答案】（1）2880（2）960（3）840【解析】【分析】（1）根據(jù)題意先排甲，然后剩余的進行全排列即可；（2）利用捆綁法，將女生甲和女生乙捆綁在一起，與除去男生甲和男生乙的其他人進行全排列，然后男生甲和乙插空即可；（3）7個全排列后，除以甲、乙、丙的全排列數(shù)即可.【小問1詳解】分兩步，先排甲有種，其余有種，所以根據(jù)分步乘法原理知共有種排法.【小問2詳解】分三步：①捆綁法，現(xiàn)將女生甲與女生乙捆綁在一起，有（種）；②將女生甲和女生乙看成整體，與其他人（除去男生甲和男生乙）排列，有（種）；③插空法，在其他人排好的基礎(chǔ)上，將男生甲和乙插空（共有5個空位置），有（種），所以根據(jù)分步乘法原理可知共有（種）.【小問3詳解】7人共有種排法，其中甲、乙、丙三人有種排法，因而在種排法中每種對應(yīng)一種符合條件的排法，故共有種排法16.已知函數(shù).（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）證明：當時，.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）將代入函數(shù)解析式，對函數(shù)求導(dǎo)，求確定斜率，求確定切點坐標，利用點斜式即可求切線方程.（2）根據(jù)，確定函數(shù)，令，利用二次求導(dǎo)的方法確定的單調(diào)性，再根據(jù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值，即，由此結(jié)論得證.【小問1詳解】當時，，則，得，又，所以切點為，所以切線方程為，即.【小問2詳解】因為，所以，所以，令，所以，令，所以，因為，時，，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，即.17.已知函數(shù)，其中.（1）若的圖象在處的切線經(jīng)過點，求a的值；（2）討論的單調(diào)性.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)求出切線的斜率和切點坐標，由直線的點斜式方程求出切線方程，再代入經(jīng)過點的坐標可得答案；（2）求導(dǎo)，分、、、討論，可得答案.【小問1詳解】，因為，，所以的圖象在處的切線方程為，將代入得，解得；【小問2詳解】，當時，，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當時，，所以在上單調(diào)遞增.當時，令，得或；令，得，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當時，令，得或；令，得，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：函數(shù)的圖象在x軸上方.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【解析】【分析】(1)求，根據(jù)正負即可求y的單調(diào)區(qū)間；(2)求，根據(jù)零點的范圍求出g(x)的最小值，證明其最小值大于零即可.【小問1詳解】，令則.當時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，∴函數(shù)上單調(diào)遞減.即單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；【小問2詳解】，，易知單調(diào)遞增，又，，∴在上存在一個，使得：，即：，