可分離變量齊次方程

一階微分方程初等解法第二章第1頁(yè)可分離變量微分方程第2.1.1節(jié)可分離變量方程

第2頁(yè)設(shè)y＝

(x)是方程①解,

兩邊積分,得

則有恒等式

則有分離變量方程解法:分離變量，兩端積分分離變量法第3頁(yè)例1.

求微分方程通解.解:

分離變量得兩邊積分得即(C為任意常數(shù))或說明:在求解過程中每一步不一定是同解變形,所以可能增、減解.(此式含分離變量時(shí)丟失解y=0)第4頁(yè)例2.解初值問題解:分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C為任意常數(shù))故所求特解為第5頁(yè)例3.

子含量M成正比,求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時(shí)間t改變規(guī)律.

解:

依據(jù)題意,有(初始條件)對(duì)方程分離變量,即利用初始條件,得故所求鈾改變規(guī)律為然后積分:已知t=0時(shí)鈾含量為已知放射性元素鈾衰變速度與當(dāng)初未衰變?cè)?頁(yè)第7頁(yè)第8頁(yè)

求以下方程通解和要求特解:提醒:(2)

分離變量練習(xí):(1)

分離變量第9頁(yè)例4.

設(shè)曲線過點(diǎn).在曲線上任取和曲線圍成面積是另一條平行線與y

軸和曲線圍成面積2倍，求曲線方程.xyo一點(diǎn)，作兩坐標(biāo)軸平行線，其中一條平行線與x軸第10頁(yè)解:xyo兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)第11頁(yè)分離變量，積分得可分離變量方程第12頁(yè)可化為分離變量類型

第2.1.2節(jié)齊次方程第十二章微分方程稱為齊次方程.第13頁(yè)一、齊次方程解法作變量代換代入原式可分離變量方程分離變量，積分后再用代替u,便得原方程通解.第14頁(yè)例1.

解微分方程解:代入原方程得分離變量，積分得得故原方程通解為(當(dāng)C=0時(shí),

y=0也是方程解)(C為任意常數(shù))則第15頁(yè)例2.

解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即(C為任意常數(shù))方程變形為第16頁(yè)例2.

解微分方程解:則有分離變量方程變形為

∴

原方程還有解：注意到也是方程（1）解.由得它是原方程解.由得它也是原方程解;或令C=0.

第17頁(yè)1求微分方程滿足微分方程通解為解：練習(xí):方程變形為則特解.第18頁(yè)2求解微分方程解則第19頁(yè)第20頁(yè)例3設(shè)有連接點(diǎn)O(0,0)和點(diǎn)A(1,1)一段向上凸曲線弧,對(duì)于上任意一點(diǎn)P(x,y)，曲線弧與直線段所圍圖形面積為,求弧方程.解：設(shè)弧方程為則所圍圖形面積為：積分方程第21頁(yè)解：設(shè)弧方程為，則兩邊求導(dǎo)齊次方程依題意得弧方程為：方程通解為第22頁(yè)求微分方程滿足微分方程通解為解：練習(xí):求導(dǎo)，得特解.第23頁(yè)例6探照燈反設(shè)鏡面形狀.

在制造探照燈反射鏡面時(shí),總要求將點(diǎn)光源射出光線平行地反射出去，以確保探照燈有良好方向性，試求反射鏡面幾何形狀.光反射定律:入射角=反射角第24頁(yè)可得OMA=OAM=

解:

設(shè)光源在坐標(biāo)原點(diǎn),則反射鏡面由曲線

繞x軸旋轉(zhuǎn)而成.過曲線上任意點(diǎn)M(x,y)作切線MT,取x軸平行于光線反射方向,從而AO=OM而AO

于是得微分方程:

(齊次方程)

第25頁(yè)利用曲線對(duì)稱性,不妨設(shè)y>0,積分得得

(拋物線)故反射鏡面為旋轉(zhuǎn)拋物面:于是方程化為(齊次方程)

第26頁(yè)可化為分離變量類型

第2.1.2節(jié)一個(gè)特殊齊次方程第十二章第27頁(yè)

二.特殊齊次微分方程解法均為常數(shù).第28頁(yè)

（常數(shù)）

變形為（c為任意常數(shù)）第29頁(yè)

（k為常數(shù)）

變形為

則可分離變量方程第30頁(yè)

設(shè)為直線交點(diǎn).則第31頁(yè)方程便可以下轉(zhuǎn)化成齊次方程：

即

第32頁(yè)例4.

求解解:令得再令Y＝X

u,得令積分得第33頁(yè)得C=1,故所求特解為思索:

若方程改為

怎樣求解?

提醒:代回原變量,得原方程通解:第34頁(yè)例5.解:由(*)原方程可化為第35頁(yè)于是方程