高中數(shù)學第三章指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)6指數(shù)函數(shù)冪函數(shù)對數(shù)函數(shù)增長的比較

§6指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增加比較1/39學習目標1.了解指數(shù)增加、冪增加、對數(shù)增加意義(重點)；2.能結(jié)合詳細實際問題，建立恰當函數(shù)模型(重、難點)．2/39知識點一三種函數(shù)模型性質(zhì)1．當a>1時，指數(shù)函數(shù)y＝ax在R上是增函數(shù)，對數(shù)函數(shù)y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)； 當0<a<1時，指數(shù)函數(shù)y＝ax在R上是減函數(shù)， 對數(shù)函數(shù)y＝logax在(0，＋∞)上是減函數(shù)．2．冪函數(shù)y＝xα，當α>0時，在(0，＋∞)上是增函數(shù)．3/39

答案A4/392．當x>4時，a＝4x，b＝log4x，c＝x4大小關(guān)系是________．

解析三個已知函數(shù)按增加速度由慢到快排列為y＝log4x，y＝x4，y＝4x，當x＝4時，b＝log44＝1，a＝c＝44， 所以a，b，c大小關(guān)系是b<c<a．

答案b<c<a5/39知識點二三種函數(shù)增加趨勢 當a>1時，指數(shù)函數(shù)y＝ax是__________，而且當a越大時，其函數(shù)值增加就________． 當a>1時，對數(shù)函數(shù)y＝logax是__________，而且當a越小時，其函數(shù)值增加就________． 當x>0，n>1時，冪函數(shù)y＝xn是__________，而且當x>1時，n越大其函數(shù)值增加就________．

增函數(shù)

越快

增函數(shù)

越快

增函數(shù)

越快

6/39【預習評價】1．在函數(shù)y＝3x，y＝log3x，y＝3x，y＝x3中增加速度最快是________．

解析由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、一次函數(shù)增加差異可判斷出y＝3x增加速度最快．

答案y＝3x7/392．如圖所表示曲線反應(yīng)是____________函數(shù)模型增加趨勢．

解析由圖像知，此函數(shù)增加速度越來越慢，所以反應(yīng)是冪函數(shù)模型或?qū)?shù)型函數(shù)模型增加速度．

答案冪函數(shù)或?qū)?shù)型8/39知識點三三種函數(shù)增加對比 對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>1)增加最慢，冪函數(shù)y＝xn(n>0)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)增加快慢交替出現(xiàn)，當x足夠大時，一定有________________．a(chǎn)x>xn>logax

9/39【預習評價】1．在區(qū)間(0，＋∞)上，當a>1，n>0時，是否總有l(wèi)ogax<xn<ax不成立？

提醒不是，但總存在x0，使得當a>1，n>0，x>x0時，logax<xn<ax成立．10/392．能否舉例說明“指數(shù)爆炸”增加含義？

提醒如1個細胞分裂x次后數(shù)量為y＝2x，此為“指數(shù)增加”，其“增加量”是成倍增加，從圖像上看出，存在x0，當x>x0時，數(shù)量增加尤其快，足以表達“爆炸”效果．3．判斷某個增函數(shù)增加快慢依據(jù)是什么？

提醒依據(jù)是自變量每改變一個單位，函數(shù)值增加量大小．增加量越大，增加速度越快．11/39題型一函數(shù)模型增加差異12/39 (2)四個變量y1，y2，y3，y4隨變量x改變數(shù)據(jù)以下表： 關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)改變變量是________．x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.90713/39

答案(1)D

(2)y214/39

規(guī)律方法在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管函數(shù)y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函數(shù)，但它們增加速度不一樣，而且不在同一個“檔次”上．伴隨x增大，y＝ax(a>1)增加速度越來越快，會超出并遠遠大于y＝xn(n>0)增加速度，而y＝logax(a>1)增加速度則會越來越慢，所以總會存在一個x0，當x>x0時，就有l(wèi)ogax<xn<ax．15/39

解析因為指數(shù)函數(shù)增加是爆炸式增加，則當x越來越大時，函數(shù)y＝2014·2x增加速度最快．故選D．

答案D16/39【例2】某地西紅柿從2月1日起開始上市，經(jīng)過市場調(diào)查，得到西紅柿種植成本y(單位：元/102kg)與上市時間x(單位：天)數(shù)據(jù)以下表：題型二函數(shù)模型選擇問題時間x50110250種植成本39 (1)依據(jù)上述表格中數(shù)據(jù)，從以下函數(shù)中選取一個函數(shù)描述西紅柿種植成本y與上市時間x改變關(guān)系：

y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，

y＝a·bx，y＝alogax．

(2)利用你選取函數(shù)，求西紅柿種植成本最低上市天數(shù)及最低種植成本． 解(1)由表格中數(shù)據(jù)可知，種植成本不是常函數(shù)， ∴a≠0，而此時y＝ax＋b，y＝a·bx，y＝alogax均為單調(diào)函數(shù)，18/3919/39

規(guī)律方法1.這類問題求解關(guān)鍵是首先利用待定系數(shù)法求出相關(guān)函數(shù)模型，也就是借助數(shù)據(jù)信息，得到相關(guān)方程，進而求出待定參數(shù)．

2．函數(shù)模型選擇與數(shù)據(jù)擬合是數(shù)學建模中最關(guān)鍵內(nèi)容，解題關(guān)鍵在于經(jīng)過對已知數(shù)據(jù)分析，得出主要信息，依據(jù)解題積累經(jīng)驗，從已經(jīng)有各類型函數(shù)中選擇模擬，進行數(shù)據(jù)擬合．20/39【訓練2】某汽車制造商在年初公告：伴隨金融危機解除，企業(yè)計劃年生產(chǎn)目標定為43萬輛．已知該企業(yè)近三年汽車生產(chǎn)量以下表所表示： 假如我們分別將,,,定義為第一、二、三、四年．現(xiàn)在你有兩個函數(shù)模型：二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指數(shù)函數(shù)模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪個模型能更加好地反應(yīng)該企業(yè)年產(chǎn)量y與年份x關(guān)系？年份

產(chǎn)量8(萬)18(萬)30(萬)21/3922/3923/39【例3】函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3圖像如圖所表示．設(shè)兩函數(shù)圖像交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2．

(1)請指出圖中曲線C1，C2分別對應(yīng)函數(shù)．

(2)結(jié)合函數(shù)圖像，判斷f(6)，g(6)，f(2011)，g(2011)大?。淅w移題型三指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)模型比較24/39

函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3圖像如圖所表示．設(shè)兩函數(shù)圖像交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2．

(1)請指出圖中曲線C1，C2分別對應(yīng)函數(shù)．

(2)結(jié)合函數(shù)圖像，判斷f(6)，g(6)，f(2011)，g(2011)大?。?5/39

解(1)C1對應(yīng)函數(shù)為g(x)＝x3，C2對應(yīng)函數(shù)為f(x)＝2x．

(2)因為f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<6<x2,2011>x2.從圖像上能夠看出，當x1<x<x2時，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6)．當x>x2時，f(x)>g(x)，所以f(2011)>g(2011)．又因為g(2011)>g(6)，所以f(2011)>g(2011)>g(6)>f(6)．26/39【遷移1】

(改變條件)若將“函數(shù)f(x)＝2x”改為“f(x)＝3x”，又怎樣求解(1)呢？ 解由圖像改變趨勢以及指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)增加速度可知：C1對應(yīng)函數(shù)為g(x)＝x3，C2對應(yīng)函數(shù)為f(x)＝3x．27/39【遷移2】

(改變問法)本例條件不變，(2)中結(jié)論若改為：試結(jié)合圖像，判斷f(8)，g(8)，f(2015)，g(2015)大?。?/p>

解因為f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<8<x2，2015>x2.從圖像上能夠看出，當x1<x<x2時，f(x)<g(x)，所以f(8)<g(8)． 當x>x2時，f(x)>g(x)，所以f(2015)>g(2015)．又因為g(2015)>g(8)，所以f(2015)>g(2015)>g(8)>f(8)．28/39【遷移3】

(改變條件，改變問法)函數(shù)f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1圖像如圖所表示：

(1)試依據(jù)函數(shù)增加差異指出曲線C1，C2分別對應(yīng)函數(shù)．

(2)比較兩函數(shù)增加差異(以兩圖像交點為分界點，對f(x)，g(x)大小進行比較)．29/39

解(1)曲線C1對應(yīng)函數(shù)為g(x)＝0.3x－1，C2對應(yīng)函數(shù)為f(x)＝lgx．

(2)當0<x<x1時，g(x)>f(x)；當x1<x<x2時，f(x)>g(x)；當x>x2時，g(x)>f(x)；當x＝x1或x＝x2時，g(x)＝f(x)．30/39

規(guī)律方法由圖像判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)方法 依據(jù)圖像判斷增加型指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時，通常是觀察函數(shù)圖像上升得快慢，即伴隨自變量增加，圖像最“陡”函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，圖像趨于平緩函數(shù)是對數(shù)函數(shù)．31/391．以下函數(shù)中，增加速度最慢是(

) A．y＝6x B．y＝log6x C．y＝x6 D．y＝6x

解析對數(shù)函數(shù)增加速度越來越慢，故選B．

答案B課堂達標32/392．某林區(qū)森林蓄積量每年比上一年平均增加10.4%，要增加到原來x倍，需經(jīng)過y年，則函數(shù)y＝f(x)圖像大致是(

)

解析設(shè)該林區(qū)森林原有蓄積量為a， 由題意得，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)， ∴y＝f(x)圖像大致為D中圖像．

答案D33/393．當a>1時，有以下結(jié)論： ①指數(shù)函數(shù)y＝ax，當a越大時，其函數(shù)值增加越快； ②指數(shù)函數(shù)y＝ax，當a越小時，其函數(shù)值增加越快； ③對數(shù)函數(shù)y＝logax，當a越大時，其函數(shù)值增加越快； ④對數(shù)函數(shù)y＝logax，當a越小時，其函數(shù)值增加越快． 其中正確結(jié)論是________．

答案①④34/394．某種產(chǎn)品每件80元，天天可售出30件，假如每件定價120元，則天天可售出20件，假如售出件數(shù)是定價一次函數(shù)，則這個函數(shù)解析式為____________．35/395．年我國國民生產(chǎn)總值為a億元，假如平均每年增加8%，那么經(jīng)過多少年我國國民生產(chǎn)總值是年