數(shù)學物理方程31省公開課一等獎全國示范課微課金獎課件

第三章行波法

陳有亮

上海理工大學環(huán)境與建筑學院第1頁2025/5/12一維波動方程定解問題無界弦自由振動無界弦強迫振動半無界弦自由振動半無界弦強迫振動三維波動方程定解問題二維波動方程定解問題球?qū)ΨQ情形普通情形球面平均法行波法降維法有界弦振動問題第三章行波法第2頁2025/5/13第三章行波法§1弦振動方程初值問題§2高維齊次波動方程§3非齊次波動方程第3頁2025/5/14§1弦振動方程初值問題1.1

達朗貝爾公式1.2

達朗貝爾解物理意義1.3

二階偏微分方程分類第4頁2025/5/151.1達朗貝爾公式先變換方程形式假如能夠找到變量、,使分析定解問題求解此問題，先求方程通解，再由初值條件確定出通解中任意常數(shù)。第5頁2025/5/161.1達朗貝爾公式定義則則方程（1.1）變?yōu)?/p>

此方程通解能夠很輕易求出，再由初值條件能夠確定出通解中任意常數(shù)。下面找

,。第6頁2025/5/171.1達朗貝爾公式顯然滿足(1.2)-(1.3)。解方程(1.4)將(1.5)代入(1.6)，得下面經(jīng)過初值條件確定f1,f2詳細函數(shù)形式。將(1.7)代入初始條件，得第7頁2025/5/181.1達朗貝爾公式第8頁2025/5/191.1達朗貝爾公式公式(1.8)就是齊次波動方程初值問題達朗貝爾公式或達朗貝爾解。這種求解方法叫達朗貝爾解法或行波法。第9頁2025/5/1101.1達朗貝爾公式達朗貝爾解法先是經(jīng)過作一個特殊變換，求出了方程通解，然后再由初值條件得到定解問題特解。這種方法對普通方程來說是十分困難。此方法普通只適合波動方程定解問題求解。第10頁2025/5/111例1：解：由達朗貝爾公式第11頁2025/5/112例2：第12頁2025/5/1131.2達朗貝爾解物理意義右傳輸波左傳輸波分別分析和第13頁2025/5/114左傳輸波右傳輸波第14頁2025/5/115區(qū)間稱為解在（x，t）值依賴區(qū)間。從達朗貝爾公式中能夠看出，u(x,t)僅僅依賴于中初始條件。依賴區(qū)間它是過（x，t）點，斜率分別為直線與x軸所截而得到區(qū)間（如右圖）。1.3二階偏微分方程分類第15頁2025/5/1161.3二階偏微分方程分類假如在初始時刻t＝0，擾動僅僅在有限區(qū)間上存在，則經(jīng)過時間t后，擾動傳到范圍為影響區(qū)域定義：上式所定義區(qū)域稱為區(qū)間影響區(qū)域。第16頁2025/5/117定義區(qū)間過作斜率為直線過作斜率為直線則它們與區(qū)間一起圍成三角形區(qū)域中任意一點(x,t)依賴區(qū)間都落在區(qū)間內(nèi)，所以該三角區(qū)域稱為決定區(qū)域。第17頁2025/5/118普通地，對于偏微分方程其特征方程為這個常微分方程積分曲線稱為方程(1.9)特征曲線，它只和二階導數(shù)項系數(shù)相關(guān)，與一階項系數(shù)無關(guān)。1.3二階偏微分方程分類第18頁2025/5/119并不是任意兩階線性偏微分方程（1.9）都有兩族實特征線。由（1.10）知，若則方程（1.9）無實特征線，且方程稱為橢圓型方程；若則每一點只有一條實特征線，且方程（1.10）稱為拋物型方程；若1.3二階偏微分方程分類第19頁2025/5/120則過每一點有兩條相異實特征線，方程（1.10）稱為雙曲型方程。如方程（1.1）特征方程為解之得，其特征線為作線性變換原方程轉(zhuǎn)化為1.3二階偏微分方程分類第20頁2025/5/121然后能夠很方便地進行求解。行波