數(shù)學(xué)物理方程31省公開課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

第三章行波法

陳有亮

上海理工大學(xué)環(huán)境與建筑學(xué)院第1頁(yè)2025/5/12一維波動(dòng)方程定解問題無界弦自由振動(dòng)無界弦強(qiáng)迫振動(dòng)半無界弦自由振動(dòng)半無界弦強(qiáng)迫振動(dòng)三維波動(dòng)方程定解問題二維波動(dòng)方程定解問題球?qū)ΨQ情形普通情形球面平均法行波法降維法有界弦振動(dòng)問題第三章行波法第2頁(yè)2025/5/13第三章行波法§1弦振動(dòng)方程初值問題§2高維齊次波動(dòng)方程§3非齊次波動(dòng)方程第3頁(yè)2025/5/14§1弦振動(dòng)方程初值問題1.1

達(dá)朗貝爾公式1.2

達(dá)朗貝爾解物理意義1.3

二階偏微分方程分類第4頁(yè)2025/5/151.1達(dá)朗貝爾公式先變換方程形式假如能夠找到變量、,使分析定解問題求解此問題，先求方程通解，再由初值條件確定出通解中任意常數(shù)。第5頁(yè)2025/5/161.1達(dá)朗貝爾公式定義則則方程（1.1）變?yōu)?/p>

此方程通解能夠很輕易求出，再由初值條件能夠確定出通解中任意常數(shù)。下面找

,。第6頁(yè)2025/5/171.1達(dá)朗貝爾公式顯然滿足(1.2)-(1.3)。解方程(1.4)將(1.5)代入(1.6)，得下面經(jīng)過初值條件確定f1,f2詳細(xì)函數(shù)形式。將(1.7)代入初始條件，得第7頁(yè)2025/5/181.1達(dá)朗貝爾公式第8頁(yè)2025/5/191.1達(dá)朗貝爾公式公式(1.8)就是齊次波動(dòng)方程初值問題達(dá)朗貝爾公式或達(dá)朗貝爾解。這種求解方法叫達(dá)朗貝爾解法或行波法。第9頁(yè)2025/5/1101.1達(dá)朗貝爾公式達(dá)朗貝爾解法先是經(jīng)過作一個(gè)特殊變換，求出了方程通解，然后再由初值條件得到定解問題特解。這種方法對(duì)普通方程來說是十分困難。此方法普通只適合波動(dòng)方程定解問題求解。第10頁(yè)2025/5/111例1：解：由達(dá)朗貝爾公式第11頁(yè)2025/5/112例2：第12頁(yè)2025/5/1131.2達(dá)朗貝爾解物理意義右傳輸波左傳輸波分別分析和第13頁(yè)2025/5/114左傳輸波右傳輸波第14頁(yè)2025/5/115區(qū)間稱為解在（x，t）值依賴區(qū)間。從達(dá)朗貝爾公式中能夠看出，u(x,t)僅僅依賴于中初始條件。依賴區(qū)間它是過（x，t）點(diǎn)，斜率分別為直線與x軸所截而得到區(qū)間（如右圖）。1.3二階偏微分方程分類第15頁(yè)2025/5/1161.3二階偏微分方程分類假如在初始時(shí)刻t＝0，擾動(dòng)僅僅在有限區(qū)間上存在，則經(jīng)過時(shí)間t后，擾動(dòng)傳到范圍為影響區(qū)域定義：上式所定義區(qū)域稱為區(qū)間影響區(qū)域。第16頁(yè)2025/5/117定義區(qū)間過作斜率為直線過作斜率為直線則它們與區(qū)間一起圍成三角形區(qū)域中任意一點(diǎn)(x,t)依賴區(qū)間都落在區(qū)間內(nèi)，所以該三角區(qū)域稱為決定區(qū)域。第17頁(yè)2025/5/118普通地，對(duì)于偏微分方程其特征方程為這個(gè)常微分方程積分曲線稱為方程(1.9)特征曲線，它只和二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)系數(shù)相關(guān)，與一階項(xiàng)系數(shù)無關(guān)。1.3二階偏微分方程分類第18頁(yè)2025/5/119并不是任意兩階線性偏微分方程（1.9）都有兩族實(shí)特征線。由（1.10）知，若則方程（1.9）無實(shí)特征線，且方程稱為橢圓型方程；若則每一點(diǎn)只有一條實(shí)特征線，且方程（1.10）稱為拋物型方程；若1.3二階偏微分方程分類第19頁(yè)2025/5/120則過每一點(diǎn)有兩條相異實(shí)特征線，方程（1.10）稱為雙曲型方程。如方程（1.1）特征方程為解之得，其特征線為作線性變換原方程轉(zhuǎn)化為1.3二階偏微分方程分類第20頁(yè)2025/5/121然后能夠很方便地進(jìn)行求解。行波