山東省棗莊市2025屆高三下學(xué)期3月二模試題 數(shù)學(xué) 含解析

2025屆高三模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合，再利用交集的定義求解.【詳解】依題意，，，所以.故選：A2.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A. B. C.1+i D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的除法求解.【詳解】由復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，得，所以.故選：C3.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】確定各選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性或單調(diào)性即可.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)在上單調(diào)遞減，A不是；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)椋痪咂媾夹?，B不是；對(duì)于C，函數(shù)定義域?yàn)镽，，不是偶函數(shù)，C不是；對(duì)于D，函數(shù)定義域?yàn)椋?，是偶函?shù)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，D.故選：D4.已知向量，則（）A.的充要條件是B.的充要條件是C.與垂直的充要條件是D.若與的夾角為銳角，則的取值范圍是【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用充要條件的定義求解判斷ABC；利用向量夾角公式列式求出范圍判斷D.【詳解】對(duì)于A，，則或，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由與的夾角為銳角，得且與不共線，由選項(xiàng)B知，，D錯(cuò)誤.故選：B5.函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)，求出零點(diǎn)即可判斷.【詳解】函數(shù)，由，得或，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.故選：B6.已知，則被4除的余數(shù)為（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】D【解析】【分析】分別賦值以及，可推得，然后將展開即可得出答案.【詳解】令，由已知可得，，令，可得，所以.因?yàn)?，所以?除的余數(shù)為1，即被4除的余數(shù)為0，故選：D.7.已知三棱柱的各條棱長(zhǎng)相等，且，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算求，即可得結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)棱長(zhǎng)為2，由題意可知：，因?yàn)椋瑒t，即，且，可得，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：C.8.已知中，，若的平分線交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）A.或 B.或 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理求解出再利用角平分線定理結(jié)合斯臺(tái)沃特定理求解即可.【詳解】因?yàn)樗约从炙詣t，又所以，又因?yàn)闉榈钠椒志€，所以又因?yàn)?，在中，由余弦定理知：所以，由角平分線定理知：，所以使用斯臺(tái)沃特定理求BD的長(zhǎng)度：代入數(shù)值：化簡(jiǎn)得到：解得：故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞減B.直線是曲線的一條對(duì)稱軸C.在區(qū)間的最小值是D.將的圖象上各點(diǎn)先向右平移個(gè)單位（縱坐標(biāo)不變），再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象【答案】ABD【解析】【分析】由函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱可求出的值，再結(jié)合余弦型函數(shù)的單調(diào)性判斷A；由余弦函數(shù)的對(duì)稱性判斷B；由余弦型函數(shù)的最值判斷C；由函數(shù)圖象的平移變換判斷D.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以，解得，又因?yàn)?，所以，即，?duì)于A，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，故A正確；對(duì)于B，時(shí)，，所以直線是曲線的一條對(duì)稱軸，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取最小值-1，故C錯(cuò)誤；將的圖象上各點(diǎn)先向右平移個(gè)單位（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，故D正確；故選：ABD.10.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值C.過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且僅有一條D.當(dāng)時(shí)，直線與曲線有三個(gè)交點(diǎn)，，則【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)大于0恒成立，故A正確；B選項(xiàng)，時(shí)，導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)切點(diǎn)，由幾何意義得到切線方程，將代入，整理得到，構(gòu)造設(shè)，求導(dǎo)得到單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合得到只有1個(gè)根-2，C正確；D選項(xiàng)，若，此時(shí)直線與曲線只有1個(gè)交點(diǎn)，不合要求，故，聯(lián)立直線與曲線得到，令，變形得到.【詳解】A選項(xiàng)，時(shí)，，恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，A正確；B選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在R上單調(diào)遞增，無極值，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，顯然不在上，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，故切線方程為，又切線過點(diǎn)，故，整理得，設(shè)，則令得或，令得或，令得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，其中，，又，故只有1個(gè)根-2，故過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且僅有一條，C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，若，直線，此時(shí)與曲線只有1個(gè)交點(diǎn)，不合要求，故，，直線與曲線聯(lián)立得，設(shè)，故，所以，則，D正確.故選：ACD11.在如圖所示的方格圖中，去掉以下哪一個(gè)方格，剩下的方格圖能用總共21個(gè)或的矩形方格圖完全覆蓋（）A.① B.② C.③ D.④【答案】AD【解析】【分析】AD選項(xiàng)，可通過畫圖得到正確；BC選項(xiàng)，去掉②或③后，會(huì)有無法用或的矩形方格的圖形出現(xiàn)，故BC錯(cuò)誤.【詳解】當(dāng)去掉①后，可如圖所示的方法來進(jìn)行覆蓋，A正確；同理，當(dāng)去掉④，可以如圖所示的方法來進(jìn)行覆蓋，D正確；當(dāng)去掉②時(shí)，除去②和②周圍的3個(gè)表格外，共用去20個(gè)或的矩形方格進(jìn)行覆蓋，②周圍的三個(gè)表格無法用或的矩形方格來覆蓋，利用其他方式進(jìn)行覆蓋，最后始終會(huì)有結(jié)構(gòu)出現(xiàn)，從而無法用總共21個(gè)或的矩形方格圖完全覆蓋，B錯(cuò)誤；同理可得去掉③后，無法用總共21個(gè)或的矩形方格圖完全覆蓋，C錯(cuò)誤故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.雙曲線的右焦點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_____【答案】【解析】【分析】先由雙曲線方程求出右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，可得，求出的值即可求解.【詳解】由可得:，，所以，可得：，所以雙曲線的右焦點(diǎn)是，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，焦點(diǎn)為，所以，所以，所以所求拋物線的方程為：.故答案為：13.已知函數(shù)恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_____.【答案】【解析】【分析】利用指數(shù)運(yùn)算法則、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化關(guān)系化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題求解.【詳解】函數(shù)，由，得恒成立，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：14.已知數(shù)列等可能取.數(shù)列滿足，且，則的概率為_____.【答案】【解析】【分析】由，得到，再結(jié)合古典概率模型即可求解．【詳解】由題意可得：，，，若，則，從各隨機(jī)從中選一個(gè)，共有種情況；若，因?yàn)椋怨灿蟹N情況，所以的概率為：．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在數(shù)列中，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值.【答案】（1）；（2）90.【解析】【分析】（1）利用累加法，結(jié)合分組求和法及等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求解.（2）求出并判斷單調(diào)性，求出所有非負(fù)數(shù)項(xiàng)的和即可.【小問1詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，則，滿足上式，所以的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由（1）得，數(shù)列是遞減等差數(shù)列，由，得，則數(shù)列前10項(xiàng)均為非負(fù)數(shù)，從第11項(xiàng)起為負(fù)數(shù)，而，因此數(shù)列前10項(xiàng)和與前9項(xiàng)和相等，都最大，所以數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為.16.如圖，矩形中，，將沿直線翻折成.（1）若為線段上一點(diǎn)，且滿足，求證：直線平面；（2）當(dāng)平面平面時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）在線段上取點(diǎn)，使，利用比例式推平行及平行公理證得平行四邊形，再利用平行四邊形性質(zhì)及線面平行的判定推理得證.（2）取中點(diǎn)，利用面面垂直的性質(zhì)，借助等體積法求出點(diǎn)到平面的距離.【小問1詳解】在線段上取點(diǎn)，使，由為線段上一點(diǎn)，且，得，則，在矩形中，，因此，四邊形是平行四邊形，則，而平面，平面，所以平面.【小問2詳解】依題意，，取中點(diǎn)，連接，則，由平面平面，平面平面，平面，得平面，連接，而平面，則，又，則，在中，，由余弦定理得，，在中，，，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，即，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為.17.每次拋擲一枚質(zhì)地均勻的六面體骰子，若出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)得2分，奇數(shù)點(diǎn)得1分.已知每次拋擲出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)和奇數(shù)點(diǎn)的概率都是，且結(jié)果相互獨(dú)立.（1）求在拋擲過程中，恰好得3分的概率；（2）記拋擲次得分為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望.【解析】【分析】（1）將得3分的事件拆成兩個(gè)互斥事件的和，再利用互斥事件概率加法公式及相互獨(dú)立事件概率公式求解.（2）根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)分布的概率公式和期望公式求解.【小問1詳解】得3分的事件是出現(xiàn)一次奇數(shù)點(diǎn)一次偶數(shù)點(diǎn)的事件，出現(xiàn)三次奇數(shù)點(diǎn)的事件和，所以恰好得3分的概率.【小問2詳解】拋擲次，設(shè)出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)的次數(shù)為，由每次拋擲出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)和奇數(shù)點(diǎn)概率都是，且結(jié)果相互獨(dú)立，得，總得分，的所有可能取值為，，所以的分布列為：數(shù)學(xué)期望為18.已知橢圓的右焦點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)到的距離的取值范圍為.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)斜率為的直線過點(diǎn)，交于，兩點(diǎn).記線段的中點(diǎn)為，直線交直線于點(diǎn)，直線交于，兩點(diǎn).①求的大小；②求四邊形面積的最小值.【答案】（1）；（2）①；②3.【解析】【分析】（1）設(shè)出橢圓半焦距，結(jié)合橢圓定義求出的取值范圍，進(jìn)而求出即可.（2）①設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求出坐標(biāo)，利用斜率關(guān)系求出；②利用弦長(zhǎng)公式求出，再表示出四邊形面積，借助基本不等式求出最小值.【小問1詳解】設(shè)橢圓的半焦距為c，則，而點(diǎn)到的距離的取值范圍為，因此，解得，，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】①由（1）知點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，，由消去得，，，則，線段的中點(diǎn)，直線的斜率，直線交直線于點(diǎn)，因此直線的斜率，即，則直線與直線垂直，所以.②由①知，，直線的方程為，同理得，因此四邊形的面積，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則，所以四邊形面積的最小值為3.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，判斷的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）2；（2）.【解析】【分析】（1）把代入，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求出其變號(hào)零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.（2）等價(jià)變形給定不等式，換元并構(gòu)造函數(shù)，再求出函