高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步學(xué)與練（人教版）第01講 平面向量的概念（解析版）

第01講6.1平面向量的概念

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.通過閱讀課本，查閱資料，并能結(jié)合物理中的力、位

①能結(jié)合物理中的力、位移、速度等具體背

移、速度等具體背景認(rèn)識(shí)向量，掌握向量與數(shù)量的區(qū)別

景認(rèn)識(shí)向量，掌握向量與數(shù)量的區(qū)別。

與聯(lián)系；

②會(huì)用有向線段、字母表示向量，了解有向

2.認(rèn)真閱讀課本，在讀書過程中學(xué)會(huì)用有向線段、字母

線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別。

表示向量，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別；

③理解零向量、單位向量、平行向量、共線

3.在認(rèn)真學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，理解零向量、單位向量、平行

向量、相等向量及向量的模等概念，會(huì)辨識(shí)

向量、共線向量、相等向量及向量的模等概念，會(huì)辨識(shí)

圖形中這些相關(guān)的概念。

圖形中這些相關(guān)的概念．學(xué)會(huì)向量的表示方法；

知識(shí)點(diǎn)01：向量的概念

（1）向量

在數(shù)學(xué)中,我們把既有大小又有方向的量叫做向量.

①我們所學(xué)的向量是自由向量,即只有大小和方向,而無特定的位置,這樣的向量可以作任意平移.

②向量與向量之間不能比較大小.

【即學(xué)即練1】（2023上·黑龍江·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列量中是向量的為（）

A．頻率B．拉力C．體積D．距離

【答案】B

【詳解】顯然頻率、體積、距離，它們只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向

量.

故選：B

（2）數(shù)量

只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量,如年齡、身高、長(zhǎng)度、面積體積、質(zhì)量等

（3）向量與數(shù)量的區(qū)別

①向量與數(shù)量的區(qū)別:向量有方向,而數(shù)量沒有方向；數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小,而向量與向量之間不能

比較大小

②向量與矢量:數(shù)學(xué)中的向量是從物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出來的,但在這里我

們僅考慮它的大小及方向；而物理中的這些量,既同時(shí)具備大小和方向這兩個(gè)屬性,還具有其他屬性(如“力”

就是由大小方向、作用點(diǎn)所決定的).

知識(shí)點(diǎn)02：向量的幾何表示

(1)有向線段

具有方向的線段叫做有向線段

①有向線段:具有方向的線段叫做有向線段,其方向是由起點(diǎn)指向終點(diǎn).以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記

作AB(如圖所示),線段AB的長(zhǎng)度也叫做有向線段的長(zhǎng)度,記作|AB|.表示有向線段時(shí),起點(diǎn)一定要寫在

終點(diǎn)的前面,上面標(biāo)上箭頭.

②有向線段的三個(gè)要素:起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.知道了有向線段的起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度,它的終點(diǎn)就唯一確定了.

（2）向量的表示

①幾何表示:向量可以用有向線段表示,有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小,有向線段的方向表示向量的方向.

②字母表示:向量可以用字母a,b,c,…表示

（3）向量的模

向量AB的大小稱為向量AB的長(zhǎng)度(或稱模),記作|AB|.

（4）兩種特殊的向量

零向量:長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量,記作0.

單位向量:長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量,叫做單位向量

①若用有向線段表示零向量,則其終點(diǎn)與起點(diǎn)重合.

②要注意0與0的區(qū)別與聯(lián)系:0是一個(gè)實(shí)數(shù),0是一個(gè)向量,且有|0|；書寫時(shí)0表示零向量,一定不能漏掉

0上的箭頭.

③單位向量有無數(shù)個(gè),它們大小相等,但方向不一定相同.

④在平面內(nèi),將表示所有單位向量的有向線段的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn),則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)半徑為1的圓.

【即學(xué)即練2】（2023下·新疆·高一?？计谥校┫铝姓f法正確的是（）

A．向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)B．零向量沒有方向

C．單位向量的模等于1個(gè)單位長(zhǎng)度D．零向量就是實(shí)數(shù)0

【答案】C

【詳解】對(duì)于A，零向量的模等于零，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，根據(jù)單位向量的定義可C知正確；

對(duì)于D，零向量有大小還有方向，而實(shí)數(shù)0只有大小沒有方向，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

知識(shí)點(diǎn)03：相等向量與共線向量

(1)平行向量

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a與b平行,記作ab.規(guī)定:零向量與任意向量平行,即對(duì)

于任意向量a,都有0a.

(2)相等向量

長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

向量a與b相等,記作ab.兩個(gè)向量相等必須具備的條件是長(zhǎng)度相等,方向相同因?yàn)橄蛄客耆伤姆较?/p>

和模確定,故任意兩個(gè)相等的非零向量,都可用同一條有向線段來表示,并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān).

（3）共線向量

任一組平行向量都可以平移到同一條直線上,因此,平行向量也叫做共線.

共線向量所在直線平行或重合,如果兩個(gè)向量所在的直線平行或重合,則這兩個(gè)向量是共線向量.

【即學(xué)即練3】（2022下·遼寧大連·高一?？茧A段練習(xí)）下列命題正確的是（）

A．若|a|0，則a0B．若|a||b|，則ab

rrrr

C．若|a||b|，則a//bD．若a//b，則ab

【答案】A

【詳解】模為零的向量是零向量，所以A項(xiàng)正確；

|a||b|時(shí)，只說明向a,b的長(zhǎng)度相等，無法確定方向，

所以B，C均錯(cuò)；

ab時(shí)，只說明a,b方向相同或相反，沒有長(zhǎng)度關(guān)系，

不能確定相等，所以D錯(cuò).

故選：A.

題型01向量的有關(guān)概念

【典例1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）

（1）溫度、速度、位移、功這些物理量是向量；

（2）零向量沒有方向；

（3）向量的模一定是正數(shù)；

（4）非零向量的單位向量是唯一的．

A．0B．1C．2D．3

【答案】A

【詳解】對(duì)于（1），溫度與功沒有方向，不是向量，故（1）錯(cuò)誤，

對(duì)于（2），零向量的方向是任意的，故（2）錯(cuò)誤，

對(duì)于（3），零向量的模可能為0，不一點(diǎn)是正數(shù)，故（3）錯(cuò)誤，

對(duì)于（4），非零向量的單位向量的方向有兩個(gè)，故（4）錯(cuò)誤，

故選：A．

【典例2】（2023上·安徽阜陽·高二?？茧A段練習(xí)）下列命題中錯(cuò)誤的有（）

A．平行向量就是共線向量

B．相反向量就是長(zhǎng)度相等且方向相反的向量

C．a(chǎn),b同向，且ab，則ab

D．兩個(gè)向量平行是這兩個(gè)向量相等的必要不充分條件

【答案】C

【詳解】根據(jù)向量的概念，可知A、B正確；

對(duì)于C項(xiàng)，向量不能比較大小，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D項(xiàng)，根據(jù)平行向量以及相等向量的概念，可知D正確.

故選：C.

【變式1】（2023下·新疆烏魯木齊·高一?？计谥校┫铝忻}：①方向不同的兩個(gè)向量不可能是共線向量；

②長(zhǎng)度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量；④若ab，則ab.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【詳解】對(duì)于①，由共線向量的定義可知：方向相反的兩個(gè)向量也是共線向量，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，長(zhǎng)度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正確；

對(duì)于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，若ab，可能只是方向不相同，但模長(zhǎng)相等，故④錯(cuò)誤.

故選：A

【變式2】（2023上·廣東湛江·高二校考開學(xué)考試）下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）

（1）向量就是有向線段；（2）零向量是沒有方向的向量；

（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的長(zhǎng)度為0．

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【詳解】（1）向量可以用有向線段表示，但不能把兩者等同，故錯(cuò)誤；

（2）根據(jù)對(duì)零向量的規(guī)定零向量是有方向的，是任意的，故錯(cuò)誤；

（3）根據(jù)對(duì)零向量的規(guī)定，零向量的方向是任意的，故正確；

（4）根據(jù)對(duì)零向量的規(guī)定，零向量的大小為0，所以零向量的長(zhǎng)度為0，故正確．

故選：B

題型02向量的幾何表示

【典例1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）選擇適當(dāng)?shù)谋壤撸糜邢蚓€段表示下列向量．

(1)終點(diǎn)A在起點(diǎn)O正東方向3m處；

(2)終點(diǎn)B在起點(diǎn)O正西方向3m處；

(3)終點(diǎn)C在起點(diǎn)O東北方向4m處；

(4)終點(diǎn)D在起點(diǎn)O西南方向2m處．

【答案】(1)答案見解析；

(2)答案見解析；

(3)答案見解析；

(4)答案見解析．

【詳解】（1）從O向東作長(zhǎng)度為3m的有向線段OA：

（2）從O向西作長(zhǎng)度為3m的有向線段OB：

（3）從O點(diǎn)起向北偏東45方向作長(zhǎng)度為4m的有向線段OC：

（4）從O點(diǎn)起向南偏西45方向作長(zhǎng)度為2m的有向線段OD：

【典例2】（2023下·山東菏澤·高一山東省東明縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對(duì)下面圖形的表示恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ?/p>

A．ABB．ABC．ABD．AB

【答案】C

【詳解】圖像有起點(diǎn)有終點(diǎn)，有箭頭有方向，可知其代表的是向量.

故選：C.

【變式1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知向量a如圖所示，下列說法不正確的是（）

A．也可以用MN表示B．方向是由M指向NC．起點(diǎn)是MD．終點(diǎn)是M

【答案】D

【詳解】由向量的幾何表示知，A、B、C正確，D不正確．故選D．

【變式2】（2023下·新疆·高一?？计谥校┮阎蛄縜如下圖所示，下列說法不正確的是（）

MaN

A．向量a可以用MN表示B．向量a的方向由M指向N

C．向量a的起點(diǎn)是MD．向量a的終點(diǎn)是M

【答案】D

【詳解】由圖可知，向量a可以用MN表示，故A正確；向量a的方向由M指向N，故B正確；

向量a的起點(diǎn)是M，故C正確；向量a的終點(diǎn)是N，故D不正確.

故選：D

題型03向量的模

【典例1】（2023下·山東菏澤·高一山東省東明縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如果一架飛機(jī)向西飛行150km，

再向南飛行350km，記飛機(jī)飛行的路程為s，位移為a，則（）．

r

A．saB．saC．saD．s與a不能比較大小

【答案】A

【詳解】由題意，作圖如下：

ruuur

則該飛機(jī)由A先飛到B，再飛到C，則AB150km，BC350km，aAC，

r

則飛機(jī)飛行的路程為s500km，a150235025058km，

所以sa.

故選：A.

【典例2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知a是單位向量，求出圖中向量b，c，d，e的模.

【答案】b2,c3,d10,e13

【詳解】因?yàn)閍是單位向量，所以圖中小正方形的邊長(zhǎng)為1；

所以b2,c3，

2222

由勾股定理可知，d=1+3=10，e2313.

【變式1】（2023下·安徽合肥·高一合肥一中校考階段練習(xí)）在如圖所示的半圓中，AB為直徑，點(diǎn)O為圓

心，C為半圓上一點(diǎn)，且OCB30，AB2，則AC等于（）

A．1B．2C．3D．2

【答案】A

【詳解】如圖，連接AC，

由OCOB，得ABCOCB30.

因?yàn)镃為半圓上的點(diǎn)，所以ACB90，

1

所以ACAB1．

2

故選：A.

【變式2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，某船從點(diǎn)O出發(fā)沿北偏東30°的方向行駛至點(diǎn)A處，求該船

航行向量OA的長(zhǎng)度（單位：nmile）．

【答案】2nmile．

1

【詳解】由題意OA2，

cos(9030)

所以向量OA的長(zhǎng)度為2nmile．

題型04零向量與單位向量

【典例1】（2022下·高一校考課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的是（）

A．零向量沒有大小，沒有方向

B．零向量是唯一沒有方向的向量

C．零向量的長(zhǎng)度為0

D．任意兩個(gè)單位向量方向相同

【答案】C

【詳解】零向量有大小，有方向，其長(zhǎng)度為0，方向不確定，任意兩個(gè)單位向量長(zhǎng)度相同，方向無法判斷.

故選：C.

【典例2】（2022下·湖北鄂州·高一校聯(lián)考期中）下列關(guān)于零向量的說法正確的是（）

A．零向量沒有大小B．零向量沒有方向

C．兩個(gè)反方向向量之和為零向量D．零向量與任何向量都共線

【答案】D

【詳解】根據(jù)零向量的概念可得零向量的長(zhǎng)度為零，方向任意，故A、B錯(cuò)誤；

兩個(gè)反方向向量之和不一定為零向量，只有相反向量之和才是零向量，C錯(cuò)誤；

零向量與任意向量共線，D正確．

故選：D.

【變式1】（2022·全國·高一假期作業(yè)）下列說法正確的個(gè)數(shù)為（）

①面積、壓強(qiáng)、速度、位移這些物理量都是向量

②零向量沒有方向

③向量的模一定是正數(shù)

④非零向量的單位向量是唯一的

A．0B．1C．2D．3

【答案】A

【詳解】①錯(cuò)誤，只有速度，位移是向量．

②錯(cuò)誤，零向量有方向，它的方向是任意的．

③錯(cuò)誤，|0|0.

④錯(cuò)誤，非零向量a的單位向量有兩個(gè)，一個(gè)與a同向，一個(gè)與a反向．

故選：A.

【變式2】（2020下·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中正確的個(gè)數(shù)是

①向量就是有向線段②零向量是沒有方向的向量

③零向量的方向是任意的④任何向量的模都是正實(shí)數(shù)

A．0B．1C．2D．3

【答案】B

【詳解】有向線段只是向量的一種表示形式，但不能把兩者等同起來，故①錯(cuò)；

零向量有方向，其方向是任意的，故②錯(cuò)，③正確；

零向量的模等于0，故④錯(cuò).

故選：B.

題型05相等向量

【典例1】（2023上·廣東湛江·高二湛江二十一中?？计谥校┫铝忻}正確的是（）

A．零向量沒有方向B．若ab，則ab

C．若ab，bc，則acD．若ab，bc，則ac

【答案】C

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)：零向量的方向是任意的并不是沒有方向，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B項(xiàng)：因?yàn)橄蛄康哪Ｏ嗟?，但向量不一定相等，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)：因?yàn)閍b，bc，所以可得：ac，故C項(xiàng)正確；

對(duì)于D項(xiàng)：若b0，則不共線的a，c也有a0，0c，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

【典例2】（2023下·山東濱州·高一統(tǒng)考期中）下列說法正確的是（）

A．單位向量都相等

B．若|a||b|，則a//b

C．若|a||b|，則ab

D．若ab，則|a||b|

【答案】C

【詳解】對(duì)于A，單位向量的模長(zhǎng)都相等，但方向不一定相同，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，若|a||b|，說明兩個(gè)向量的模長(zhǎng)相等，但方向不一定相同或相反，所以兩向量不一定共線，所以

選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，向量的相等條件為方向相同且模長(zhǎng)相等，所以|a||b|，則ab，所以選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D，此時(shí)若|a||b|，但兩向量的方向不同，滿足ab，但與選項(xiàng)D題干矛盾，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：C.

【變式1】（2023下·新疆烏魯木齊·高一?？计谥校┤鐖D，在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)O為其中點(diǎn)，則下列

判斷錯(cuò)誤的是（）

A．ABOCB．AB∥DE

C．ADBED．ADFC

【答案】D

【詳解】對(duì)于A，由正六邊形的性質(zhì)可得四邊形OABC為平行四邊形，故ABOC，故A正確.

對(duì)于B，因?yàn)锳B//DE，故AB∥DE，故B正確.

對(duì)于C，由正六邊形的性質(zhì)可得ADBE，故ADBE，故C正確.

對(duì)于D，因?yàn)锳D,FC交于O，故ADFC不成立，故D錯(cuò)誤，

故選：D.

【變式2】（多選）（2023下·陜西咸陽·高一校考期中）下列命題中，錯(cuò)誤的是（）

rr

A．若a//b，則a與b方向相同或相反

rrrr

B．若a//b，b//c，則a//c

C．若ab，bc，則ac

D．若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等

【答案】ABD

rr

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)閍//b，若a0，則零向量的方向任意，A錯(cuò)；

rr

對(duì)于B選項(xiàng)，取b0，則a//b，b//c，但a、c不一定平行，B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，ab，bc，則ac，C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等或相反，D錯(cuò).

故選：ABD.

題型06共線向量

【典例1】（多選）（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）(多選)下列命題的判斷正確的是（）

A．若向量AB與向量CD共線，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上

B．若A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上，則向量AB與向量CD共線

C．若A，B，C，D四點(diǎn)不在一條直線上，則向量AB與向量CD不共線

D．若向量AB與向量BC共線，則A，B，C三點(diǎn)在一條直線上

【答案】BD

【詳解】對(duì)于A，平行四邊形ABCD中，ABDC，滿足向量AB與CD共線，而A,B,C,D四點(diǎn)不共線，A

錯(cuò)誤；

對(duì)于B，A,B,C,D四點(diǎn)在一條直線上，則向量AB與CD方向相同或相反，即向量AB與CD共線，B正確；

對(duì)于C，平行四邊形ABCD中，滿足A,B,C,D四點(diǎn)不共線，有ABDC，即向量AB與CD共線，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，向量AB與BC共線，而向量AB與BC有公共點(diǎn)B，因此A,B,C三點(diǎn)在一條直線上，D正確.

故選：BD

【典例2】（2023·全國·高一課堂例題）已知O為正六邊形ABCDEF的中心，在圖所標(biāo)出的向量中：

(1)試找出與FE共線的向量；

(2)確定與FE相等的向量；

(3)OA與BC相等嗎？

【答案】(1)BC和OA；

(2)BCFE；

(3)不相等.

【詳解】（1）由O為正六邊形ABCDEF的中心，得與FE共線的向量有BC和OA.

（2）由于BC與FE長(zhǎng)度相等且方向相同，所以BCFE.

（3）顯然OA//BC，且OABC，但OA與BC的方向相反，所以這兩個(gè)向量不相等.

【變式1】（多選）（2023下·貴州遵義·高一?？茧A段練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（）

A．有向線段AB與BA表示同一向量

B．兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量是平行向量

C．零向量與單位向量是平行向量

D．單位向量都相等

【答案】ABD

【詳解】對(duì)A,有向線段AB與BA表示相反向量，不是同一向量，A錯(cuò)誤；

對(duì)B，兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量不一定是平行向量，B錯(cuò)誤；

對(duì)C，我們規(guī)定：零向量與任意向量是平行向量，C正確；

對(duì)D，單位向量?jī)H是模長(zhǎng)相等，方向不確定，D錯(cuò)誤；

故選:ABD.

【變式2】（多選）（2023下·四川遂寧·高一射洪中學(xué)校考階段練習(xí)）下列命題中錯(cuò)誤的有（）

A．起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)必相同；

B．已知向量AB∥CD，則四邊形ABCD為平行四邊形；

C．若a//b,b//c，則a//c；

D．若ab,bc，則ac

【答案】AC

【詳解】單位向量的方向不確定，所以起點(diǎn)相同的，終點(diǎn)不一定相同，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

四邊形ABCD中，AB∥CD，則AB//CD且ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，B選項(xiàng)正確；

當(dāng)b0時(shí)，滿足a//b,b//c，但不能得到a//c，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

由向量相等的條件可知，若ab,bc，則ac，D選項(xiàng)正確.

故選：AC

第01講6.1平面向量的概念

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1．（2023下·新疆·高一?？计谀┫铝姓f法正確的是（）

A．身高是一個(gè)向量

B．溫度有零上溫度和零下溫度之分，故溫度是向量

C．有向線段由方向和長(zhǎng)度兩個(gè)要素確定

D．有向線段MN和有向線段NM的長(zhǎng)度相等

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的定義及性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正誤即可.

【詳解】A：由向量即有大?。ｉL(zhǎng)）又有方向的量，顯然身高不是向量，故A錯(cuò)；

B：溫度有零上溫度和零下溫度，顯然溫度可以比較大小，但無方向，故B錯(cuò)；

C：有向線段有起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度三要素確定，故C錯(cuò)；

D：有向線段MN和有向線段NM的長(zhǎng)度相等，故D對(duì).

故選：D

2．（2023下·河南商丘·高一校考階段練習(xí)）若向量a與向量b不相等，則a與b一定（）

A．不共線B．長(zhǎng)度不相等

C．不都是單位向量D．不都是零向量

【答案】D

【分析】向量相等為長(zhǎng)度和方向都相同，所以若向量與向量不相等，則說明向量a與向量b的方向和長(zhǎng)度至

少有一個(gè)不同，分析選項(xiàng)可得結(jié)果.

【詳解】若向量a與向量b不相等，則說明向量a與向量b的方向和長(zhǎng)度至少有一個(gè)不同，

所以a與b有可能共線，有可能長(zhǎng)度相等，也有可能都是單位向量，

所以A，B，C都是錯(cuò)誤的，

但是a與b一定不都是零向量．

故選：D.

3．（2023下·河南濮陽·高一濮陽一高?？茧A段練習(xí)）判斷下列命題：①兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的非零向

量，其終點(diǎn)必相同；②若a∥b，則a與b的方向相同或相反；③若a∥b，且b∥c，則a∥c.其中，正確

的命題個(gè)數(shù)為（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量的基本概念一一判定即可.

【詳解】相等向量即方向相同大小相等，故兩個(gè)相同向量同起點(diǎn)比同終點(diǎn)，即①正確；

零向量方向是任意的，且與任意向量都平行，所以當(dāng)a∥b，若a0，而b是非零向量，

則不滿足兩向量方向相同或相反，即②錯(cuò)誤；

同理若a∥b，且b∥c時(shí)，b0，a、c是非零向量，也得不到a∥c，即③錯(cuò)誤.

綜上正確的是1個(gè).

故選：B

4．（2018·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，若ABDC，則圖中相等的向量是（）

A．AD與CBB．OB與ODC．AO與OCD．AC與BD

【答案】C

【分析】由條件可得四邊形ABCD是平行四邊形，然后逐一判斷即可.

【詳解】因?yàn)锳BDC，所以四邊形ABCD是平行四邊形，

所以ADCB，OBOD，AOOC，ACBD，故ABD錯(cuò)誤，C正確.

故選：C.

5．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）給出下列四個(gè)命題：①若a0，則a0；②若ab，則ab或ab；

③若a//b，則ab；④若a0，則a0.其中的正確命題有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【答案】A

【分析】根據(jù)向量的概念及零向量，平行向量的概念進(jìn)行判斷.

【詳解】對(duì)于①，前一個(gè)零是實(shí)數(shù)，后一個(gè)應(yīng)是零向量，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，兩個(gè)向量的模相等，只能說明它們的長(zhǎng)度相等，它們的方向并不確定，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，兩個(gè)向量平行，它們的方向相同或相反，模未必相等，③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，若a0，則a0，④正確.

故選：A.

6．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量a,b是兩個(gè)非零向量，AO,BO分別是與a,b同方向的單位向量，則以下

各式正確的是（）

A．AOBOB．AOBO或AOOB

C．AOOBD．AO與BO的長(zhǎng)度相等

【答案】D

【分析】利用已知條件，結(jié)合方向相同的向量、單位向量的意義判斷作答.

rrrr

【詳解】依題意，a0,b0，顯然向量a,b的關(guān)系不確定，

而AO與a同方向，BO與b同方向，因此AO與BO關(guān)系不確定，A，B，C都錯(cuò)誤，

又AO,BO都是單位向量，所以AO與BO的長(zhǎng)度相等，D正確.

故選：D

7．（2023下·山東菏澤·高一山東省鄄城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（）

A．任一非零向量都可以平行移動(dòng)B．e1,e2是單位向量，則e1e2

C．CDDCD．若ABCD，則ABCD

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，由向量的定義以及相關(guān)概念對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)榉橇阆蛄渴亲杂上蛄?，可以自由平移移?dòng)，故A正確；

由單位向量對(duì)于可知，e1e2，故B正確；

因?yàn)镃DDC，所以CDDC，故C正確；

因?yàn)閮蓚€(gè)向量不能比較大小，故D錯(cuò)誤；

故選：D

8．（2023下·新疆·高一兵團(tuán)第三師第一中學(xué)校考階段練習(xí)）關(guān)于向量a，b，下列命題中，正確的是（）

A．若ab，則abB．若ab，則a∥b

C．若ab，則abD．若a∥b，b∥c，則a∥c

【答案】B

【分析】根據(jù)向量相等的定義、共線向量的定義和性質(zhì)依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于A，當(dāng)ab時(shí)，a,b方向可能不同，ab未必成立，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，若ab，則a,b反向，a//b，B正確；

對(duì)于C，ab只能說明a,b長(zhǎng)度的大小關(guān)系，但a,b還有方向，無法比較大小，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，當(dāng)b0時(shí)，a//b，b//c，此時(shí)a,c未必共線，D錯(cuò)誤.

故選：B.

二、多選題

9．（2023下·四川瀘州·高一瀘縣五中?？茧A段練習(xí)）下面關(guān)于向量的說法正確的是（）

A．單位向量：模為1的向量

B．零向量：模為0的向量

C．平行（共線）向量：方向相同的向量

D．相等向量：模相等，方向相同的向量

【答案】ABD

【分析】由單位向量、零向量、相等向量、共線向量的概念可知.

【詳解】C項(xiàng)，方向相反的向量也是共線向量，故錯(cuò)誤；

ABD項(xiàng)，由單位向量、零向量、相等向量概念可知，正確.

故選：ABD.

10．（2023下·四川眉山·高一?？计谥校┤鬭,b都是非零向量，且ab，則（）

A．a(chǎn),b方向相同B．a(chǎn),b方向相反C．a(chǎn)bD．a(chǎn)b0

【答案】AC

【分析】根據(jù)相等向量的概念判斷各選項(xiàng)即可.

【詳解】由相等向量的概念可知，由a,b都是非零向量，且ab，

則a,b方向相同，長(zhǎng)度相等，故AC正確，B錯(cuò)誤；

而ab2a0，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

三、填空題

11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在如圖所示的向量a,b,c,d,e中（小正方形的邊長(zhǎng)為1），找出存在下列關(guān)

系的向量：

①共線向量：；

②方向相反的向量：；

③模相等的向量：.

【答案】a與d，b與ea與d，b與ea,c,d

【分析】觀察圖形，利用共線向量、方向相反向量、模相等的向量的意義判斷作答.

【詳解】觀察圖形，a//d,b//e，因此a與d是共線向量，并且方向相反；b與e是共線向量，并且方向相

反，

顯然|a|5,|c|5,|d|5，因此a,c,d的模相等.

故答案為：a與d，b與e；a與d，b與e；a,c,d

12．（2023下·海南儋州·高一?？茧A段練習(xí)）下列各量中，向量有：．（填寫序號(hào)）

①濃度；②年齡；③風(fēng)力；④面積；⑤位移；⑥加速度．

【答案】③⑤⑥

【分析】根據(jù)向量的概念判斷即可.

【詳解】向量是有大小有方向的量，故符合的有：風(fēng)力，位移，加速度.

故答案為：③⑤⑥.

四、問答題

13．（2023·全國·高一課堂例題）在圖中的45方格紙中有一個(gè)向量AB，分別以圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)

作向量，其中與AB相等的向量有多少個(gè)？與AB長(zhǎng)度相等的共線向量有多少個(gè)（AB除外）？

【答案】7個(gè)，15個(gè).

【分析】根據(jù)給定條件，利用相等向量的定義，確定給定圖形中的向量起點(diǎn)即可判斷作答.

【詳解】當(dāng)向量CD的起點(diǎn)C是圖中所圈的格點(diǎn)時(shí)，可以作出與AB相等的向量，

這樣的格點(diǎn)共有8個(gè)，除去點(diǎn)A外，還有7個(gè)，所以共有7個(gè)向量與AB相等；

與AB長(zhǎng)度相等的共線向量（除AB外），有與AB相等的向量，還有與AB方向相反且長(zhǎng)度相等的向量，

所以與AB長(zhǎng)度相等的共線向量共有72115（個(gè)）.

14．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，ABC的三邊均不相等，E，F(xiàn)，D分別是AC，AB，BC的中點(diǎn)，

在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為起點(diǎn)或終點(diǎn)的所有有向線段表示的向量中：

(1)寫出與EF相反的向量；

(2)寫出與EF的模相等的向量；

(3)寫出與EF相等的向量.

【答案】(1)FE，BD，DC

(2)FE，BD，DB，DC，CD

(3)DB，CD

【分析】（1）根據(jù)已知可推得EF//BC，且EFBDDC.結(jié)合圖象，即可得出答案；

（2）根據(jù)已知，結(jié)合（1）的結(jié)論以及圖象，即可得出答案；

（3）根據(jù)（1）（2），結(jié)合圖象，即可得出答案.

【詳解】（1）因?yàn)镋，F(xiàn)，D分別是AC，AB，BC的中點(diǎn)，

所以，EF//BC，且EFBDDC.

所以，與EF相反的向量為FE，BD，DC.

（2）因?yàn)锳BC的三邊均不相等，

又EFBDDC，

所以，與EF的模相等的向量為FE，BD，DB，DC，CD.

（3）由（1）（2）可知，與EF相等的向量為DB，CD.

B能力提升

1．（2023下·福建龍巖·高一福建省連城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（）

A．CDDC

B．e1、e2是單位向量，則e1e2

C．若CDDC，則ABCD

D．任一非零向量都可以平行移動(dòng)

【答案】C

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)镃DDC，所以|CD||DC|，故A項(xiàng)正確；

對(duì)于B項(xiàng)，由單位向量的定義知，|e1||e2|，故B項(xiàng)正確；

對(duì)于C項(xiàng)，兩個(gè)向量不能比較大小，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)榉橇阆蛄渴亲杂上蛄?，可以自由平行移?dòng)，故D項(xiàng)正確.

故選：C.

2．（2023下·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí)）下列命題：①若ab，則ab；

②若ab，