高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步學(xué)與練（人教版）第03講 復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義（解析版）

第03講7.2.1復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①.熟練掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算法1.在認(rèn)真學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)定義的基礎(chǔ)上，熟練掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形

則。式的加、減運(yùn)算法則；

②理解復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，能夠利用2進(jìn)一步加強(qiáng)理解復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，能夠利用

“數(shù)形結(jié)合”的思想解題?！皵?shù)形結(jié)合”的思想解題，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)；

知識(shí)點(diǎn)01：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法運(yùn)算及其幾何意義

（1）復(fù)數(shù)的加法法則

設(shè)z1abi，z2cdi，（a,b,c,dR）是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的和：

z1z2(abi)(cdi)(ac)(cd)i

顯然：兩個(gè)復(fù)數(shù)的和仍然是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)

（2）復(fù)數(shù)加法滿足的運(yùn)算律

對(duì)任意z1,z2,z3C，有

交換律：z1z2z2z1

結(jié)合律：(z1z2)z3z1(z2z3)

（3）復(fù)數(shù)加法的幾何意義

如圖，設(shè)在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量分別為，，以，

z1abiz2cdiOZ1OZ2OZ1

為鄰邊作平行四邊形，則，即：

OZ2OZOZ1OZ2(a,b)(c,d)(ac,bd)

z(ac)(bd)i，即對(duì)角線OZ表示的向量OZ就是與復(fù)數(shù)(ac)(bd)i對(duì)應(yīng)的向量.所以：復(fù)數(shù)

的加法可以按照向量的加法來(lái)進(jìn)行.

【即學(xué)即練1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算法則

設(shè)z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)，

則z1z2，

z1z2．

復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律

（1）交換律：．

（2）結(jié)合律：z1z2z3．

復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義

如圖，設(shè)在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z1,z2對(duì)應(yīng)的向量分別為OZ1,OZ2，以O(shè)Z1,OZ2為鄰邊作平行四邊形，則與z1z2對(duì)

應(yīng)的向量是，與z1z2對(duì)應(yīng)的向量是．

【答案】acbdiacbdiz1z2z2z1z1z2z3OZ

Z2Z1

知識(shí)點(diǎn)02：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的減法運(yùn)算及其幾何意義

（1）復(fù)數(shù)的減法法則

類比實(shí)數(shù)集中減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，即把滿足：

(cdi)(xyi)abi的復(fù)數(shù)xyi叫做復(fù)數(shù)abi減去復(fù)數(shù)cdi的差，記作(abi)(cdi)

注意：①兩個(gè)復(fù)數(shù)的差是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)；

②兩個(gè)復(fù)數(shù)相加減等于實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減.

（2）復(fù)數(shù)減法的幾何意義

復(fù)數(shù)向量

z2z1Z1Z2

【即學(xué)即練2】（2018·高三課時(shí)練習(xí)）如圖在復(fù)平面上，一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是

12i,2i,0，那么這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）．

A．3iB．3iC．13iD．13i

【答案】D

【解析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義、向量的平行四邊形法則即可得出．

【詳解】∵

OC＝OAOB，

∴

OC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為：12i2i13i，

∴點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為13i．

故選D．

知識(shí)點(diǎn)03：|z1z2|(z1,z2C)的幾何意義

在復(fù)平面內(nèi),設(shè)復(fù)數(shù)z1abi，z2cdi（a,b,c,dR）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是Z1(a,b)，Z2(c,d),則

22.又復(fù)數(shù)zz(abi)(cdi)(ac)(bd)i.則

|Z1Z2|(ac)(bd)12

22,故|ZZ||zz|，即|zz|表示復(fù)數(shù)z,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間

|z1z2|(ac)(bd)12121212

的距離.

【即學(xué)即練3】（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？既＃┮阎獜?fù)數(shù)z1，z2滿足z1i，z1z23，

則z2的最大值為.

【答案】4

【詳解】設(shè)z2abiaR,bR，

則z1z2iabia1bi，

所以22，即22，b2,4，

z1z2ab13ab19

2222，

z2ab9b1b2b8

當(dāng)b4時(shí)，則z2取得最大值，最大值為2484.

故答案為：4

題型01復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算

【典例1】（2023下·海南省直轄縣級(jí)單位·高一?？计谥校┰O(shè)復(fù)數(shù)z123i,z212i，則復(fù)數(shù)z1z2在復(fù)

平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】B

【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算可知：z1z23i，在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,1)，

位于第二象限.

故選：B

【典例2】（2023下·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一校考期末）已知復(fù)數(shù)z134i，z234i，則z1z2．

【答案】8i

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z134i，z234i，則z1z234i34i8i.

故答案為：8i.

【典例3】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）計(jì)算：

(1)34i53i；(2)15i23i；

(3)23i65i；(4)7i32i．

【答案】(1)2i(2)32i(3)42i(4)103i

【詳解】（1）34i53i354i3i2i

（2）15i23i125i3i32i

（3）23i65i263i5i42i

（4）7i32i73i2i103i

【變式1】（2023下·西藏林芝·高二?？计谀┤魪?fù)數(shù)z123i,z245i，則z1z2（）

A．22iB．68iC．22iD．68i

【答案】A

【詳解】由復(fù)數(shù)z123i,z245i，則z1z223i45i22i.

故選：A.

【變式2】（2023下·北京昌平·高一統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)z12i,z232i，則復(fù)數(shù)z1z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)

的點(diǎn)位于第象限.

【答案】三

【詳解】因?yàn)閦12i,z232i，

所以z1z22i32i5i，

所以復(fù)數(shù)z1z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為5,1，位于第三象限，

故答案為：三

【變式3】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）計(jì)算：

(1)73i；(2)32i12i；(3)62i62i；

(4)322i23i423i；(5)354i52i；

(6)82i75i337i．

【答案】(1)10i(2)2(3)0(4)822i(5)456i(6)1533

【詳解】（1）由題意可得：73i10i.

（2）由題意可得：32i12i2.

（3）由題意可得：62i62i0.

（4）由題意可得：322i23i423i32242233i822.i

（5）由題意可得：354i52i35542i456i.

（6）由題意可得：82i75i337i8733257i=1533.

題型02復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算的幾何意義

【典例1】（2023下·河南鄭州·高一中牟縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）復(fù)數(shù)65i與34i分別表示向量OA

與OB，則表示向量BA的復(fù)數(shù)為（）

A．39iB．28iC．9iD．9i

【答案】D

【詳解】復(fù)數(shù)65i與34i分別表示向量OA與OB，

因?yàn)锽AOAOB，所以表示向量BA的復(fù)數(shù)為(65i)(34i)9i.

故選：D.

【典例2】（2022下·山東日照·高一校聯(lián)考期末）若復(fù)數(shù)z143i，z243i（其中i為虛數(shù)單位）所對(duì)應(yīng)

的向量分別為OZ1與OZ2，則OZ1Z2的周長(zhǎng)為.

【答案】16

【詳解】因?yàn)镺Z14,3，OZ24,3，Z1Z2OZ2OZ10,6，

所以22，22，22

OZ1435OZ2435Z1Z2066.

所以O(shè)Z1Z2的周長(zhǎng)為55616.

故答案為：16

【典例2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示,平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O,A,C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為0,32i,24i,

其中i為虛數(shù)單位由復(fù)數(shù)的幾何意義,知OA與OC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為32i,24i.

(1)求AO對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

(2)求CA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

(3)求OB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

【答案】(1)32i.(2)52i.(3)16i

【詳解】解：(1)因?yàn)锳OOA,所以AO表示的復(fù)數(shù)為32i.

(2)因?yàn)镃AOAOC,所以CA表示的復(fù)數(shù)為(32i)(24i)52i.

(3)OBOAOC,所以O(shè)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(32i)(24i)16i.

【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)平面上有A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2i，BA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為12i，

BC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3i，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．

【答案】4,2

【詳解】因?yàn)锽A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是12i，BC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3i，又ACBCBA，

所以AC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3i12i23i，又OCOAAC，

所以點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2i23i42i，

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為4,2．

故答案為：4,2．

【變式2】（2022下·高二課時(shí)練習(xí)）在復(fù)平面上，如果AB，AC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是54i，23i，那么BC

對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.

【答案】7i

【詳解】AB,AC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是54i,23i,BCACAB，

BC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為23i(54i)7i.

故答案為：7i.

【變式3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)向量OZ1及OZ2在復(fù)平面內(nèi)分別與復(fù)數(shù)z1＝5＋3i及復(fù)數(shù)z2＝4＋i對(duì)應(yīng)，

試計(jì)算z1－z2，并在復(fù)平面內(nèi)表示出來(lái)

【答案】z1－z2＝1＋2i，作圖見解析.

【詳解】解:z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i，Z15,3,Z24,1，則Z2Z11,2即為z1－z2

所對(duì)應(yīng)的向量，如圖所示，

根據(jù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義：復(fù)數(shù)z1－z2是連接向量OZ1,OZ2的終點(diǎn)，并指向被減數(shù)的向量Z2Z1所對(duì)應(yīng)的復(fù)

數(shù).

題型03與復(fù)數(shù)的模的幾何意義有關(guān)的應(yīng)用

【典例1】（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足ziz，則z的最小值為（）

113

A．B．C．D．1

424

【答案】B

【詳解】設(shè)zxyix,yR，

2

由ziz得：xy1ixyi，x2y1x2y2，

11

整理可得：y，zxi，

22

111

zx2（當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)取等號(hào)），z的最小值為.

422

故選：B.

【典例2】（2023下·河北邢臺(tái)·高一河北南宮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)zabi，aR，

bR，且ziz2i，則z33i的最小值為（）

A．5B．4C．3D．2

【答案】B

【詳解】因?yàn)閦abia,bR，則ziab1i，z2ia2b1i，

222

由ziz2i可得a2b1a2b1，解得a1，則z1bi，

所以，z33i4b3i，

22

因此，z33i4b34，當(dāng)且僅當(dāng)b3時(shí)，等號(hào)成立，

故z33i的最小值為4.

故選：B.

【典例3】（2022下·上海黃浦·高二上海市向明中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若zcosisin(R，i是虛數(shù)單位),

則z22i的最小值是（）

A．22B．2C．221D．221

【答案】D

【詳解】解：由復(fù)數(shù)的幾何意義可知：zcosisin表示的點(diǎn)在單位圓上，

而|z?2?2i|表示該單位圓上的點(diǎn)到復(fù)數(shù)22i表示的點(diǎn)Z的距離，

由圖象可知：z22i的最小值應(yīng)為點(diǎn)A到Z的距離，

而OZ222222，圓的半徑為1，

故z22i的最小值為221，

故選D．

【變式1】（2022上·湖北武漢·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）復(fù)數(shù)z滿足1z2i3，則z的范圍是（）

A．51,53B．10,26C．0,53D．10,26

【答案】D

【詳解】設(shè)zabia,bR，則z2ia2b1i，

1a233a5

由題意可得：，解得，

b10b1

則za2b2a2110,26.

故選：D.

【變式2】（2022·湖南岳陽(yáng)·岳陽(yáng)一中?？家荒＃┤鬷為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z1，則z(1i)的最大值

為（）

A．21B．2C．21D．22

【答案】C

【詳解】z1表示的幾何意義是復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離小于等于1，

z1i表示的幾何意義是復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)1,1連線段的長(zhǎng)度，

22

故的z(1i)最大值為0101121，

故選：C.

【變式3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足|z﹣2i|＝1（i為虛數(shù)單位），則|z|的最小值為.

【答案】1

【詳解】設(shè)zxyi,x,yR，

∵z2i＝1，

∴xy2i＝1，

2

∴x2y21，

2

∴x21y2y1,3.

2

則zx2y21y2y24y3431.

當(dāng)y1時(shí)取等號(hào).

故答案為：1.

題型04根據(jù)復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)

【典例1】（2022上·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）若zz2，則z2z的實(shí)部可能是（）

A．3B．1C．3iD．i

【答案】A

【詳解】設(shè)zabi(a,bR)，

因?yàn)閦z2，

所以abiabi2，得a1，

所以z1bi(bR)，

所以z2z1b22(1bi)(1b22)2bi，

則z2z的實(shí)部1b223，

故選：A

【典例2】（2022·河北石家莊·石家莊一中校考模擬預(yù)測(cè)）zC，若|z|z12i，則z（）

33

A．2iB．2iC．22iD．22i

22

【答案】B

a2b2a1

【詳解】設(shè)zabi，則|z|za2b2abi12i，故，

b2

3

a3

故2，故z2i.

2

b2

故選：B.

【變式1】（2022上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足zz2i，則z的虛部是（）

A．1B．1C．iD．i

【答案】A

【詳解】設(shè)zabia,bR，

因?yàn)閦z2i，可得zzabiabi2bi2i，

則2b2，可得b=-1，所以復(fù)數(shù)z的虛部是1.

故選：A

22

【變式2】（2022下·河南安陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知z1m3mmi，z245m6i，其中m為實(shí)數(shù)，

i為虛數(shù)單位，若z1z20，則m的值為．

【答案】1

22

【詳解】由題意可得z1z20，即

m3mmi45m6i，

m2

3m4

根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件可得，解得，

2m1

m

5m6

故答案為：1.

題型05根據(jù)復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算結(jié)果求復(fù)數(shù)的特征

【典例1】（2023下·廣東東莞·高一東莞市厚街中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如果一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，則稱

這個(gè)復(fù)數(shù)為“等部復(fù)數(shù)”，若復(fù)數(shù)za2i（其中aR）為“等部復(fù)數(shù)”，則復(fù)數(shù)z2ai在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】A

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)za2i（其中aR）為“等部復(fù)數(shù)，可得a2，

即z22i，可得z22i，

則z2ai22i4i22i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z2,2位于第一象限.

故選：A.

【典例2】（2023下·四川眉山·高一仁壽一中?？计谥校?fù)數(shù)(12i)(34i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】B

【詳解】由復(fù)數(shù)(12i)(34i)26i，可得復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(2,6)位于第二象限.

故選：B.

【典例3】（2023下·寧夏銀川·高二寧夏育才中學(xué)?？计谥校┰O(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z22，z1z23i，

復(fù)數(shù)z1,z2,z1z2在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，則三角形ABC的面積為（）

A．3B．23C．2D．3

【答案】D

【詳解】設(shè)z1abi，z2cdi，

則z1z2acbdi3i，

所以a2b24，c2d24，ac3，bd1，

22

所以acbda2b2c2d22bd2ac4，

即2bd2ac4，

所以222222，

ABz1z2acbdiacbdabcd2bd2ac1223

又BCz12，ACz22，

在ABC中，過(guò)C作CDAB，垂足為D，

1

則D為AB中點(diǎn)，即ADDBAB3，

2

所以CDAC2AD2431，

11

所以SABCD2313.

ABC22

故選：D.

【變式1】（2023下·湖南邵陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）實(shí)數(shù)m1時(shí)，復(fù)數(shù)m3i2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位

于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】A

【詳解】m3i2i(3m2)(m1)i,

又m1，故3m210,m10,

故該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.

故選：A.

【變式2】（2022下·上海浦東新·高一校考期末）已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x2kx30有兩個(gè)虛

x

根1和x2，且x1x222，則k的值為（）

A．2B．2C．2D．23

【答案】C

2

【詳解】因?yàn)榉匠蘹kx30有兩個(gè)虛根x1和x2，

所以D=k2-4′3<0，則23k23，

k12k2i

又由求根公式知兩虛根為，x1x222，

2

22

所以x1x212ki22，則12k22，解得k2，滿足要求，

所以k2.

故選：C.

【變式3】（2022下·上海寶山·高一上海交大附中?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)z1，z2滿足z11，z22，z3z1z2，

則z3在復(fù)平面所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)組成的圖形的面積為．

【答案】8

【詳解】z11，z1是以復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)0,0為圓心，以1為半徑的圓，

z3z1z2，z2z1z3z2z1z32，

z1z32,z1z32，即1z33，

復(fù)數(shù)z3以復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)0,0為圓心，半徑為1和3的兩圓構(gòu)成的圓弧，

22

則z3在復(fù)平面所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)組成的圖形的面積為：S318

故答案為：8.

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1．（2023下·陜西安康·高三陜西省安康中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z2i，且azzb0，其中a，

b為實(shí)數(shù)，則（）

A．a(chǎn)1，b4B．a(chǎn)1，b4C．a(chǎn)1，b4D．a(chǎn)1，b4

【答案】B

【詳解】因?yàn)閦2i，所以azzba2i2ib2ab2a1i，

2ab20a1

由azzb0，得，即；

a10b4

故選：B.

2．（2022下·廣西欽州·高二統(tǒng)考期末）2i12i等于（）

A．3iB．43iC．4iD．13i

【答案】D

【詳解】2i12i2i12i=13i.

故選：D.

3．（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）已知復(fù)數(shù)2i1aai為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）

A．1B．0C．1D．2

【答案】D

【詳解】因?yàn)?i1aaia21ai為純虛數(shù)，

a20

所以，解得a2.

1a0

故選：D．

4．（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考一模）已知復(fù)數(shù)z1123i，z29i，則z1z2的實(shí)部與虛部分別為（）

A．3，2B．3，2iC．2，3D．2，3i

【答案】A

【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)加法求z1z2，根據(jù)實(shí)部、虛部定義得答案.

【詳解】因?yàn)閦1123i，z29i，所以z1z232i，其實(shí)部與虛部分別為3，2.

故選：A

5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的坐標(biāo)為2sin120,2cos120，則z23

（）

A．2B．23C．33D．13

【答案】A

【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算即可得解.

【詳解】因?yàn)?sin120,2cos120可化為(3,1)，

所以點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(3,1)，則z3i，

所以z233i233i，

所以z23(3)2122．

故選：A．

6．（2023上·遼寧朝陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）復(fù)數(shù)i2+2i3+3i4在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算可得i22i33i422i，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.

【詳解】由題意可得：i22i33i412i322i，

所以該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為2,2，該點(diǎn)在第四象限.

故選：D.

7．（2023上·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z對(duì)

應(yīng)的向量OZ1,2，則zi（）

A．3B．3C．2D．2

【答案】D

【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得z12i，再根據(jù)題意計(jì)算復(fù)數(shù)的模即可.

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量OZ1,2，所以z12i，

所以zi12ii1i12122.

故選：D.

8．（2023上·江蘇鹽城·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足z24i1，當(dāng)z的虛部取最小值時(shí)，z（）

A．23iB．23iC．35iD．33i

【答案】A

22

【分析】設(shè)zxyix,yR，利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可得出x2y41，求出y的取值范圍，可得

出y的最小值，進(jìn)而可得出x的值，由此可得出復(fù)數(shù)z的值.

【詳解】設(shè)zxyix,yR，則z24ix2y4i，

2222

所以，z24ix2y41，即x2y41，

2

所以，y41，可得1y41，解得3y5，

22

當(dāng)z的虛部取最小值時(shí)，即當(dāng)y3時(shí)，則x2341，解得x2，

故z23i，

故選：A.

二、多選題

9．（2023上·河北保定·高三定州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知z1，z2為復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A．若z1R，則z1z1B．若z1z2，則z1z2

C．若z1z2，則z1z2D．若z1z2z1，則z10或z22z1

【答案】AC

【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式，結(jié)合復(fù)數(shù)減法的運(yùn)算法則逐一判斷即可.

【詳解】A：根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，本選項(xiàng)正確；

B：取z11，z2i，滿足z1z2，但z1z2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

2222

C：設(shè)z1abi，z2cdi，a,b,c,dR，由z1z2，得abicdi，即ac，bd，所以abcd，

即z1z2，故本選項(xiàng)正確；

D：取z12，z213i，則z1z213i，z1z22z1，此時(shí)z10且z22z1，故D不正確．

故選：AC

10．（2021下·山東濟(jì)寧·高一統(tǒng)考期末）設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z，i為虛數(shù)單位，則下列命題正確的是（）

A．zzRB．zz是純虛數(shù)

3

C．若zcosisin，則z1D．若zi1，則z的最大值為2

55

【答案】AD

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則判斷A的正誤；復(fù)數(shù)的解法判斷復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，判斷B；利用復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算法

則判斷C；利用復(fù)數(shù)模的幾何意義判斷D．

【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z與其共軛復(fù)數(shù)為z的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)，所以zzR，A正確；

當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)，z也為實(shí)數(shù)，則zz是實(shí)數(shù)，B錯(cuò)誤；

33

若zcosisin，則|z|cos2sin21，C錯(cuò)誤；

5555

若|zi|1，設(shè)zxyi(x,yR)，即x2(y1)21，則|z|表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，其最大值為2，

D正確，

故選：AD．

三、填空題

11．（2023上·上海寶山·高三上海交大附中?？计谥校?fù)數(shù)z1a4i，z23bi（a、bR），若它們的

和z1z2為實(shí)數(shù)，差z1z2為純虛數(shù)，則abi．

【答案】5

【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算求z1z2、z1z2，根據(jù)實(shí)數(shù)、純虛數(shù)定義求參數(shù)，進(jìn)而求目標(biāo)復(fù)數(shù)的模即可.

【詳解】由題設(shè)z1z2a4i3bi(a3)(b4)i為實(shí)數(shù)，故b4，

z1z2(a3)(4b)i，故a3，

所以abi34i32(4)25.

故答案為：5

12．（2023·河南開封·統(tǒng)考二模）已知復(fù)數(shù)z滿足z2iz，寫出一個(gè)滿足條件的復(fù)數(shù)z．

【答案】1i（答案不唯一，虛部為1即可）

【分析】設(shè)復(fù)數(shù)z，代入復(fù)數(shù)的模的公式求解即可.

【詳解】設(shè)zabi，（a，bR），

2

則z2iabi2iab2ia2b2，

zabia2b2，

2

∵z2iz，∴a2b2a2b2，

2

∴a2b2a2b2，化簡(jiǎn)得4b40，解得b=-1.

∴滿足條件的一個(gè)復(fù)數(shù)z1i（答案不唯一，虛部為1即可）.

故答案為：1i（答案不唯一，虛部為1即可）.

四、解答題

13．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：

(1)12i711i56i；

(2)5i68i13i；

(3)abi2a3bi3ia，bR.

【答案】(1)315i；

(2)-7

(3)a4b3ia，bR.

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則即可求解

【詳解】（1）12i711i56i1752116i315i；

（2）5i68i13i5i75i7；

（3）abi2a3bi3ia2ab3b3ia4b3ia，bR.

22

14．（2023下·遼寧·高一校聯(lián)考期末）已知復(fù)數(shù)z1aa6i，z22a3ai，aR．

(1)若z1z2是純虛數(shù)，求a；

(2)若z1z20，求z1．

【答案】(1)a1

(2)42

【分析】（1）先計(jì)算z1z2，然后由其為純虛數(shù)，可得實(shí)部為零，虛部不為零，從而可求出a的值；

（2）由z1z20可復(fù)數(shù)z1z2為實(shí)數(shù)，則虛部為零，實(shí)部大于零，求出a的值，從而可求出復(fù)數(shù)z1，進(jìn)而

可求得z1.

22

【詳解】（1）由題意得z1z2a2a3aa6i，

a22a30

因?yàn)閦z是純虛數(shù)，所以，得．

122a1

aa60

a22a30

（）因?yàn)椋?，得?/p>

2z1z202a2

aa6