高一數(shù)學(xué)必修第二冊同步學(xué)與練（人教版）第03講 立體圖形的直觀圖（解析版）

第03講8.2立體圖形的直觀圖

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.通過閱讀課本在認(rèn)識柱錐臺體的圖形的基礎(chǔ)上，理

①掌握用斜二測畫法畫水平放置的平面圖解立體圖形的直觀圖的畫法；

形的直觀圖.。2.熟練運用掌握平面圖形的斜二測畫法，理解例題圖形

②會用斜二測畫法畫常見的柱、錐、臺、球的斜二測畫法要領(lǐng)；

以及簡單組合體的直觀圖。3.在認(rèn)真學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，提升學(xué)生空間向量能力和數(shù)學(xué)

分析能力，抽象思維能力；

知識點01：空間幾何體的直觀圖

（1）空間幾何體的直觀圖的概念

直觀圖是觀察者站在某一點觀察一個空間幾何體獲得的圖形.

直觀圖是把空間圖形畫在平面內(nèi)，既富有立體感，又能表達(dá)出圖形各主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系

的圖形.

（2）水平放置的平面圖形的直觀圖畫法（斜二測畫法）

（1）畫軸：在平面圖形上取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O，畫直觀圖時作出與之對應(yīng)的x

軸和y軸，兩軸相交于點O，且使xOy45（或135o）

（2）畫線：已知圖形中平行于或在x軸，y軸上的線段，在直觀圖中分別畫成平行或在x軸，y軸

上的線段.

（3）取長度：已知圖形中在x軸上或平行于x軸的線段，在直觀圖中長度不變.在y軸上或平行于y軸

的線段，長度為原來長度的一半.

（4）成圖：連接有關(guān)線段，擦去作圖過程中的輔助線，就得到了直觀圖.

方法歸納：設(shè)一個平面多邊形的面積為S原圖，利用斜二測畫法得到的直觀圖的面積為S直觀圖，則有

2.

S直觀圖=S原圖

4

【即學(xué)即練1】（2023上·上海·高二?？计谥校┤鐖D有一個直角梯形OABC，則它的水平放置的直觀圖是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【詳解】作出直角梯形OABC的直觀圖如下圖所示：

A選項滿足要求.

故選：A.

知識點02：空間幾何體的直觀圖的繪制方法

（1）畫軸.在平面圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O,畫直觀圖時，把它們分別畫成對應(yīng)

的x軸與y軸，兩軸交于點O,且使xOy45”(或135o）,它們確定的平面表示水平面；

（2）畫底面.已知圖形中，平行于x軸y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x軸、y軸或z軸

的線段；

（3）畫側(cè)棱.已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度

變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

（4）成圖.連線成圖以后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖.

簡記為：①畫軸；②畫底面；③畫側(cè)棱；④成圖.

【即學(xué)即練2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）畫出上、下底面邊長分別為2cm和4cm.高為2cm的正四棱臺

的直觀圖.

【答案】直觀圖見解析

【詳解】第一步，用斜二測畫法，畫出水平放置的邊長為4cm的正方形ABCD；

第二步，取四邊形ABCD對角線中點O，建立坐標(biāo)系xOy，作OO平面ABCD，且OO2cm；

第三步，建立平面坐標(biāo)系xOy，用斜二測畫法畫出水平放置的邊長為2cm的正方形ABCD；

第四步，連接AA,BB,CC,DD，得四棱臺ABCDABCD即為所求，如圖：

知識點03：斜二測畫法保留了原圖形中的三個性質(zhì)

①平行性不變，即在原圖中平行的線在直觀圖中仍然平行；②共點性不變，即在原圖中相交的直線仍

然相交；③平行于x，z軸的長度不變．

【即學(xué)即練3】（2023上·上?！じ叨虾Ｊ写笸袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）水平放置的ABC的斜二測直觀圖是如

圖中的ABC，已知AC3,BC2，則AB邊的實際長度是.

【答案】5

【詳解】把直觀圖ABC還原為原圖形，如圖所示，

則ACAC3,BC2BC4，

所以ABAC2BC29165.

故答案為：5.

題型01畫水平放置的平面圖形的直觀圖

【典例1】（2023下·四川成都·高一成都七中校考期末）用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，

下列結(jié)論正確的選項是（）

A．三角形的直觀圖是三角形B．平行四邊形的直觀圖必為矩形

C．正方形的直觀圖是正方形D．菱形的直觀圖是菱形

【答案】A

【詳解】對于A，三角形的三個頂點不共線，直觀圖中，三個頂點對應(yīng)的點也必然不共線，

三角形的直觀圖依然是三角形，A正確；

π

對于B，如下圖所示的平行四邊形ABCD，其中BAD，

4

其直觀圖為平行四邊形，而非矩形，B錯誤；

對于C，正方形ABCD的直觀圖為平行四邊形ABCD，如下圖所示，C錯誤；

π

對于D，如下圖所示的菱形ABCD，其中BAD，

4

其直觀圖為平行四邊形ABCD，

1

若DEAB，則DEDE，ADAD，即ABAD，

2

四邊形ABCD不是菱形，D錯誤.

故選：A.

【典例2】（2023上·上海寶山·高二?？茧A段練習(xí)）畫出圖中水平放置的四邊形ABCD的直觀圖ABCD，

并求出直觀圖中三角形BⅱCD的面積.

32

【答案】答案見解析，VBCD的面積為

4

【詳解】根據(jù)題意，結(jié)合斜二測畫法的規(guī)則，可得水平放置的四邊形ABCD的直觀圖ABCD，

11232

如圖所示，則VBCD的面積為S6.

BCD2224

【典例3】（2023·全國·高一課堂例題）畫水平放置的正三角形的直觀圖．

【答案】畫圖見解析

【詳解】畫法如圖，按如下步驟完成：

第一步在已知的正三角形ABC中，取AB所在的直線為x軸，取對稱軸CO為y軸．畫對應(yīng)的x軸、y軸，

使xOy45．

1

第二步在x軸上取OAOA，OBOB，在y軸上取OCOC．

2

第三步連接AB，BC，CA，所得ABC就是水平放置的正三角形ABC的直觀圖．

【變式1】（2023上·上海普陀·高二?？计谥校┯眯倍y畫法畫水平放置的正方形ABCD的直觀圖為平行四

邊形ABCD，取AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸．若在直觀圖中AB2cm，則BCcm．

【答案】2

【詳解】如圖所示，

斜二測畫法畫邊長為2的正方形ABCD的直觀圖，是平行四邊形ABCD，

且ABAB2；

由于四邊形ABCD為正方形，所以BC2cm，

故答案為：2

【變式2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）用斜二測畫法畫出下列圖形：

(1)水平放置的邊長為5cm的正方形；

(2)水平放置的梯形和平行四邊形；

【答案】(1)答案見解析

(2)答案見解析

【詳解】（1）在已知正方形OABC中，OAOC5cm，取OA,OC所在直線為x,y軸（如圖1（1）），

畫出對應(yīng)的x，y軸，使xOy45，OA5cm，OC2.5cm（如圖1（2）），

即四邊形OABC即為正方形OABC的直觀圖.

（2）仿照正方形的直觀圖的畫法：

水平放置的梯形（如圖2（1））的直觀圖（如圖2（2）），

水平放置的平行四邊形（如圖3（1））的直觀圖（如圖3（2）），

題型02由直觀圖還原平面圖形

【典例1】（2024·全國·高二專題練習(xí)）如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形是一個邊長為1的

正方形，則原圖形的形狀是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【詳解】在直觀圖中，其一條對角線在y軸上且長度為2，

所以在原圖形中其中一條對角線必在y軸上，且長度為22，

故選：A．

【典例2】（2023下·陜西商洛·高一統(tǒng)考期末）如圖，OAB的斜二測畫法的直觀圖是腰長為2的等腰直角

三角形，y軸經(jīng)過AB的中點，則AB（）

A．23B．4C．43D．26

【答案】C

【詳解】根據(jù)題意可得OAB的原圖如圖所示，其中D為AB的中點，

由于D￠為AB的中點，OD2,

且OA=2，OD2OD22，ADOA2OD223，故AB2AD43．

故選：C

【典例3】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在斜二測畫法下ABC被畫成正三角形，請畫出ABC的真

正圖形．

【答案】作圖見解析

【詳解】如圖，△ABC即為所求圖形．

作圖過程：

過C作CD⊥AB于D，延長DA到O，使得DO＝DC，連接OC，則∠COD＝45°．

過O作Oy⊥OB，并以O(shè)y作為y軸，OB作為x軸，

在y軸正半軸取C，使得OC2OC，連接AC、BC，

則根據(jù)斜二測畫法的原理可知△ABC即為ABC真正的圖形．

【變式1】（2023下·江西九江·高一德安縣第一中學(xué)?？计谀﹫D為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可

能是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【詳解】根據(jù)該平面圖形的直觀圖，該平面圖形為一個直角梯形，

且在直觀圖中平行于y'軸的邊與底邊垂直，

原圖形如圖所示：

此平面圖形可能是C.

故選：C.

【變式2】（2023下·河南信陽·高一校聯(lián)考期中）若水平放置的四邊形AOBC按“斜二測畫法”得到如圖所示

的直觀圖，四邊形OACB為等腰梯形，AC∥OB,AC4,OB8，則原四邊形AOBC的面積為（）

A．182B．202C．222D．242

【答案】D

【詳解】在直觀圖中，四邊形ACBO為等腰梯形，AOB45，而AC4,OB8，則OA22，

由斜二測畫法得原四邊形AOBC是直角梯形，AC∥OB，AOB90，OA42,OB2AC8，如圖.

ACOB48

所以四邊形AOBC的面積為OA42242.

22

故選：D.

【變式3】（2024·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖.若A1D1∥O′y′，

2

A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.試畫出原四邊形，并求原圖形的面積.

3

【答案】作圖見解析；5

【詳解】如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2

在過點D與y軸平行的直線上截取DA＝2D1A1＝2.

在過點A與x軸平行的直線上截取AB＝A1B1＝2.連接BC，便得到了原圖形(如圖).

由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長度分別為AB＝2，CD＝3，直角腰長度為AD＝2.

23

所以面積為S＝×2＝5.

2

題型03畫簡單幾何體的直觀圖

【典例1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）畫底面邊長為3cm、高為3.5cm的正三棱柱的直觀圖．

【答案】圖形見解析

【詳解】①取AB的中點O，畫xOy45，

33

用斜二測畫法畫出水平放置的邊長為3cm的正三角形ABC，其中AB3cm，OCcm；

4

②畫Oz平面xOy，在Oz上截取OD3.5cm；

畫出ABAB，AB//AB；AC//AC，BC//BC，且AC與BC交于點C，如圖所示；

③連接AA、BB、CC，即得正三棱柱ABCABC，

④最后將xO，Oy，Oz軸擦去，即可得到正三棱柱ABCABC的直觀圖如下：

【典例2】（2023下·高一課時練習(xí)）用斜二測畫法畫出底面為正方形的四棱臺的直觀圖，其中上、下底面

邊長分別為2，3，高為2．

【答案】答案見解析

【詳解】（1）畫軸．畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，xOy45，xOz90．

（2）畫下底面．如圖①，以O(shè)為中心，在x軸上取線段MN，使MN3；在y軸上取線段PQ，使PQ1.5．分

別過點M和點N作y軸的平行線，分別過點P和點Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點分別為A，B，C，D，

則面ABCD即為四棱臺的下底面．

（3）畫上底面．在z軸上取一點O，使OO2，過點O分別作Ox∥Ox，Oy∥Oy，在平面xOy內(nèi)以

O為中心畫水平放置的邊長為2的正方形的直觀圖ABCD．

（4）連線．被遮擋的線畫成虛線，擦去輔助線并整理，就得到四棱臺的直觀圖（如圖②）．

【典例3】（2023下·高一課時練習(xí)）畫一個底面邊長為10cm，高為23cm的正五棱錐（底面是正五邊形，

頂點在底面的投影是底面的中心），比例尺是1:5．

【答案】答案見解析

【詳解】依題意，先作出邊長為2cm的正五邊形A1B1C1D1E1，

同時以過正五邊形A1B1C1D1E1中心O且平行于D1E1所在的直線為x軸，以B1O所在直線為y軸，如圖，

利用斜二測畫法作出正五邊形A1B1C1D1E1的直觀圖ABCDE，如圖，

再在直觀圖ABCDE中，以過原點O且垂直于AC的直線為z軸，

23

按比例尺在z軸作出POcm，連接PA,PB,PC,PD,PE，如圖，

5

最后將x,y,z軸去掉，將看不到的線畫成虛線，即可得到滿足題意的正五棱錐，如圖.

【變式1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）畫底面邊長為3cm、高為3cm的正四棱錐的直觀圖．

【答案】答案見解析

【詳解】畫法：（1）畫軸，畫x軸、y軸、z軸，它們交于點O，

使xOy45,xOz90.

（2）畫底面，按x軸、y軸畫正方形的直觀圖ABCD，取邊長等于3cm，

33

使正方形的中心對應(yīng)于點O，在x,y軸上分別取點E、F、G、H，且使OEOFcm，OGOHcm，

24

分別過E、F、G、H作平行于x,y軸的直線，分別交于A、B、C、D四點.

（3）畫高（線），在z軸上取OS3cm

（4）成圖，連結(jié)SA、SB、SC、SD，并加以整理，就得到所要畫的正四棱雉的直觀圖.

【變式2】（2023·高一課前預(yù)習(xí)）畫出下列圖形的直觀圖：

(1)棱長為4cm的正方體；

(2)底面半徑為2cm，高為4cm的圓錐．

【答案】(1)畫法見解析，

；

(2)畫法見解析，

【詳解】（1）如下圖所示，按如下步驟完成：

第一步：作水平放置的正方形ABCD的直觀圖，使得AB=4cm，BC=2cm，且∠DAB=45°，取平行四邊形ABCD

的中心O，作x軸∥AB，y軸∥BD，

第二步：過點O作∠xOz=90°，過點A、B、C、D分別作AA1,BB1,CC1,DD1等于4cm，順次連接A1B1C1D1，

第三步：去掉圖中的輔助線，就得到棱長為4的正方體的直觀圖.

（2）如下圖所示，按如下步驟完成：

第一步：作水平放置的圓的直觀圖O，使AB4cm，DC2cm.

第二步：過O作z軸，使xOz90，在z上取點V，使OV=4cm，連接AV，BV.

第三步：去掉圖中的輔助線，就得到所求圓錐的直觀圖.

【變式3】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）畫出上、下底面邊長分別為3cm和5cm，高為4cm的正四棱臺的直

觀圖.

【答案】圖形見解析

【詳解】(1)畫軸：如圖，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使xOy45,xOz90，

5

(2)畫下底面：以點O為中心，在x軸上取線段MN，使MN=5cm，在y軸上取線段PQ，使PQ=cm，

2

分別過點M，N作y軸的平行線，過點P，Q作x軸的平行線，

令它們的交點分別為A，B，C，D，四邊形ABCD就是正四棱臺的下底面，

(3)畫上底面：在z軸上取點O，使OO=4cm，過O作x軸、y軸分別平行于x軸、y軸，

3

以點O為中心，在x軸上取線段M1N1，使M1N1=3cm，在y軸上取線段P1Q1，使P1Q1=cm，

2

分別過點M1，N1作y軸的平行線，過點P1，Q1作x軸的平行線，

令它們的交點分別為A1，B1，C1，D1，四邊形A1B1C1D1就是正四棱臺的上底面，

(4)成圖：連接線段AA1，BB1，CC1，DD1，去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線，就得到正四棱臺的直

觀圖，如圖.

題型04求直觀圖的長度和面積

【典例1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）水平放置的四邊形ABCD的斜二測直觀圖是直角梯形ABCD，如

圖所示．其中BCAB1，則原平面圖形的面積為（）

3232

A．B．C．32D．62

84

【答案】C

【詳解】由直角梯形ABCD中BCAB1，且ADC45，作APDC于P，

則四邊形ABCP為正方形，APD為等腰直角三角形，

故AD2，DC2.

故原圖為直角梯形，且上底ABAB1，高AD2AD22，

下底DCDC2.

1

其面積為122232.

2

故選：C

【典例2】（2023下·河南南陽·高一社旗縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，一個水平放置的平行四邊形ABCD

的斜二測畫法的直觀圖為矩形ABCD，若AB4，BC3，則在原平行四邊形ABCD中，AD（）

A．3B．32C．62D．9

【答案】D

【詳解】在直觀圖ABCD中，AB4，BC3，則DE3，AE32，

把直觀圖還原為原圖，如圖，則根據(jù)斜二測畫法規(guī)則得DE3，AE62，

所以ADDE2AE29.

故選：D.

【典例3】（多選）（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)?？级＃┱切蜛BC的邊長為2cm，如圖，ABC

為其水平放置的直觀圖，則（）

A．ABC為銳角三角形

B．ABC的面積為26cm2

C．ABC的周長為26cm

6

D．ABC的面積為cm2

4

【答案】CD

3

【詳解】如圖，因為正三角形ABC的邊長為2cm，故OC3，所以AB2,OC，COB45，

2

3

在AOC中，OA1,OC,AOC135，由余弦定理得，

2

22233276

ACOAOC2OAOCcosAOC121(),

42242

3

在BOC中，OB1,OC,BOC45，由余弦定理得，

2

22233276

BCOBOC2OBOCcosBOC121,

42242

22276761

選項A，在ABC中，因為BCACAB40，

42422

222

BCACAB

由余弦定理知cosACB0，故選項A錯誤；

2BCAC

11326

選項B和D，SABOCsin452，故選項B錯誤，選項D正確；

ABC22224

選項C，ABC的周長為

76766161

LABBCCA22()2()226，故選項C正確.

42422222

故選：CD.

【典例4】（2023下·安徽合肥·高一安徽省肥西農(nóng)興中學(xué)校考期中）如圖，ABC是水平放置的平面圖形

的斜二測直觀圖，

(1)畫出它的原圖形，

3

(2)若AC2,ABC的面積是，求原圖形中AC邊上的高和原圖形的面積.

2

【答案】(1)圖形見解析

(2)AC邊上的高為6，原圖形的面積為6.

【詳解】（1）畫出平面直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上取OAOA，即CACA，

在圖①中，過B作BD//y軸，交x軸于D￠，在x軸上取ODOD，

過點D作DB//y軸，并使DB2DB,

連接AB，BC，則ABC即為ABC原來的圖形，如圖②所示：

（2）由（1）知，原圖形中，BDAC于點D，則BD為原圖形中AC邊上的高，且BD2BD，

在直觀圖中作BEAC于點E，

13

則ABC的面積SACBEBE，

ABC22

6

在直角三角形BED中，BD2BE，所以BD2BD6，

2

1

所以SACBD6.

ABC2

故原圖形中AC邊上的高為6，原圖形的面積為6.

3

【變式1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）水平放置的ABC的直觀圖如圖，其中BOCO1，AO，

2

那么原ABC是一個（）

A．等邊三角形B．直角三角形

C．三邊中只有兩邊相等的等腰三角形D．三邊互不相等的三角形

【答案】A

【詳解】由圖形知，在原ABC中，AOBC，如圖，

3

因為AO，所以AO3，

2

BOCO1，BC2，

又ABAO2BO2312，ACAO2CO2312.

△ABC為等邊三角形.

故選：A

【變式2】（多選）（2023下·浙江溫州·高一樂清市知臨中學(xué)校考期中）如圖所示，四邊形ABCD是由斜

二測畫法得到的平面四邊形ABCD水平放置的直觀圖，其中，AD5，CDCB2，點P在線段CD

上，P對應(yīng)原圖中的點P，則在原圖中下列說法正確的是（）

A．四邊形ABCD的面積為14

34

B．與AB同向的單位向量的坐標(biāo)為,

55

912

C．AD在向量AB上的投影向量的坐標(biāo)為,

55

D．3PAPB最小值為13

【答案】AB

【詳解】由直觀圖可得，

四邊形ABCD為直角梯形，且AD5,CD4,BC2，

254

則四邊形ABCD的面積為14，故A正確；

2

如圖，以點D為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，

則D0,0,A5,0,C0,4,B2,4，則AB3,4，

AB34

所以與AB同向的單位向量的坐標(biāo)為,，故B正確；

AB55

ABADAB153,4912

AD5,0，則AD在向量AB上的投影向量的坐標(biāo)為,，故C錯誤；

ABAB5555

設(shè)P0,y,y0,4，則PA5,y,PB2,4y，

則3PAPB17,44y，

2

3PAPB17244y，

當(dāng)y1時，3PAPB取得最小值17，故D錯誤.

故選：AB.

【變式3】（2024上·上?！じ叨？计谀┤鐖D所示直角三角形OAB是一個平面圖形的直觀圖，若OB2，

則這個平面圖形的面積是.

【答案】22

【詳解】由已知直角三角形OAB中，直角邊OB2，

則直角三角形OAB的面積為1，

2

由原圖的面積與直觀圖面積之比為1:，

4

可得原圖的面積為22，

故答案為：22.

【變式4】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示直角梯形OABC上下兩底分別為2和4，高為22，則利

用斜二測畫法所得其直觀圖的面積為.

【答案】3

【詳解】如圖所示，作出直觀圖，

1π

則OCOC2，AOC，OA4,BC2，

24

π

梯形ABCO的高為2sin1，

4

241

∴直觀圖的面積為3.

2

故答案為：3.

題型05直觀圖還原和計算問題

【典例1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）水平放置的四邊形ABCD的斜二測直觀圖是直角梯形ABCD，如

圖所示．其中BCAB1，則原平面圖形的面積為（）

3232

A．B．C．32D．62

84

【答案】C

【詳解】由直角梯形ABCD中BCAB1，且ADC45，作APDC于P，

則四邊形ABCP為正方形，APD為等腰直角三角形，

故AD2，DC2.

故原圖為直角梯形，且上底ABAB1，高AD2AD22，

下底DCDC2.

1

其面積為122232.

2

故選：C

【典例2】（多選）（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示的是水平放置的三角形直觀圖，D'是ABC中

B'C'邊上的一點，且D'C'＜D'B'，A'D'∥y'軸，那么原ABC的AB、AD、AC三條線段中（）

A．最長的是ABB．最長的是ACC．最短的是ACD．最短的是AD

【答案】AD

【詳解】根據(jù)題意，原ABC的平面圖如圖，

其中，ADBC，BDDC，

則有ABACAD，

故ABC的AB、AD、AC三條線段中最長的是AB，最短的是AD；

故選：AD

【典例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，梯形ABCD是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中ABC=45，

ABAD1，DCBC，則原圖形的面積為．

2

【答案】2

2

【詳解】因為ABAD1，ABC=45，DCBC，

22

所以BC1，AD1，AB2，BC1

22

1122

所以SADBCAB222．

2222

2

故答案為：2．

2

【變式1】（2024·全國·高二專題練習(xí)）若水平放置的四邊形AOBC按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，

其中AC//OB，ACBC，AC1，OB2，則原四邊形AOBC的面積為（）

32

A．12B．6C．32D．

2

【答案】C

【詳解】解：因為AC//OB，ACBC，AC1，OB2，

所以由斜二測畫法的直觀圖知可OA2，

所以由斜二測畫法的畫法規(guī)則還原原圖形OABC，如圖：

所以AC//OB，OAOB，AC1，OB2，AO2AO2222，

1

所以梯形OABC的面積為S(12)2232．

2

故選：C．

【變式2】（2023上·高二單元測試）如圖正方形OABC的邊長為1cm，它是水平放置的一個平面圖形的直

觀圖，則原圖形的周長是cm．

【答案】8

【詳解】由斜二測畫法的規(guī)則知與x軸平行的線段其長度不變以及與橫軸平行的性質(zhì)不變，正方形的對角

線在y軸上，

可求得其長度為2，故在原平面圖中其在y軸上，且其長度變?yōu)樵瓉淼?倍，即長度為22，

2

其原來的圖形如圖所示，則原圖形的周長是：222118cm．

故答案為：8．

【變式3】（2023上·四川內(nèi)江·高二威遠(yuǎn)中學(xué)校校考期中）如圖，ABC是水平放置的斜二測直觀圖，其

中AB2,BC3，則原圖形ABC的面積是.

【答案】6

【詳解】畫出原圖形如下：

1

其中AB4,BC3，故S△ABBC6.

ABC2

故答案為：6

A夯實基礎(chǔ)B能力提升

A夯實基礎(chǔ)

一、單選題

1．（2024上·全國·高三專題練習(xí)）已知一個建筑物上部為四棱錐，下部為長方體，且四棱錐的底面與長方

體的上底面尺寸一樣，長方體的長、寬、高分別為20m，5m，10m，四棱錐的高為8m．如果按1:500的比

例畫出它的直觀圖，那么在直觀圖中，長方體的長、寬、高和棱錐的高應(yīng)分別為（）

A．4cm，1cm，2cm，1.6cmB．4cm，0.5cm，2cm，0.8cm

C．4cm，0.5cm，2cm，1.6cmD．4cm，0.5cm，1cm，0.8cm

【答案】C

【詳解】由比例可知，所畫長方體的長、寬、高和四棱錐的高分別為4cm，1cm，2cm和1.6cm，

又因為斜二測畫直觀圖的畫法：

已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中平行于x，保持長度不變；

已知圖形中平行于y軸的線段，在直觀圖中平行于y軸，長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

已知圖形中平行于z軸的線段，在直觀圖中平行于z軸，保持長度不變.

所以該建筑物按1:500的比例畫出它的直觀圖的相應(yīng)尺寸分別為4cm，0.5cm，2cm和1.6cm．

故選：C.

2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，若斜邊長為22的等腰直角ABC（B與O重合）是水平放置的ABC

的直觀圖，則ABC的面積為（）

A．2B．22C．42D．8

【答案】C

【詳解】在斜二測直觀圖中，由ABC為等腰直角三角形，AB22，可得AC2，BC2.

還原原圖形如圖：則AB4，BC2，則

11

S△ABBC42242.

ABC22

故選：C

3．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知水平放置的正方形ABCD的斜二測畫法直觀圖ABCD的面積為42，

則正方形ABCD的面積是（）

A．42B．22C．8D．16

【答案】D

2

【詳解】因為S=S，所以S原=16，

直4原

所以正方形ABCD的面積為16，

故選：D.

4．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知正方形OABC的邊長為2，它的水平放置的一個平面圖形的直觀圖為

OABC（OA在Ox軸上），則圖形OABC的面積是（）

A．4B．2C．2D．1

【答案】C

【詳解】根據(jù)斜二測畫法的知識可知，

OAOC2,OA2,OC1

1

所以圖形OABC的面積是21sin4522.

2

故選：C

5．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形OABC，且

OA//BC，OA2BC4,AB2，則該平面圖形的高為（）

A．22B．2C．42D．2

【答案】C

【詳解】在直角梯形OABC中，OA//BC，OA2BC4,AB2，

OABC2

顯然AOC45，于是OC22，

cosAOCcos45

直角梯形OABC對應(yīng)的原平面圖形為如圖中直角梯形OABC，

BC//OA,OCOA,OA2BC4，OC2OC42，

所以該平面圖形的高為42.

故選：C

6．（2024·全國·高二專題練習(xí)）一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45，腰和上底長均為1的

等腰梯形，則該平面圖形的面積等于（）．

122

A．12B．22C．D．1

222

【答案】B

【詳解】解：如圖，恢復(fù)后的原圖形為一直角梯形，

1

所以S(121)222.

2

故選：B.

7．（2023下·廣西南寧·高一?？计谥校┤鐖D是水平放置的四邊形ABCD的斜二測直觀圖ABCD，且AD//y

軸，AB//x軸，則原四邊形ABCD的面積是（）

A．14B．102C．28D．142

【答案】C

【詳解】根據(jù)題意，因為直觀圖ABCD中，AD//y軸，AB//CD//x軸，

所以四邊形ABCD是一個上底為2，下底為5，高為8的直角梯形，

258

則原四邊形ABCD的面積S28．

2

故選：C．

8．（2023下·河南駐馬店·高一統(tǒng)考期末）用斜二測畫法畫ABC的直觀圖如圖所示，其中OBBC2，

ABAC2，則ABC中BC邊上的中線長為（）

A．3B．23C．3D．1

【答案】D

【詳解】在直觀圖中，OBBC2，且BOC45，則OCB45，故BCOB，

又因為ABAC2，則AB2AC2BC2，可得ABAC，

故ABC為等腰直角三角形，所以，ABC45，故AB//y軸，

依據(jù)題意，作出ABC的原圖形如下圖所示：

延長BA至點D，使得BAAD，則A為BD的中點，

由題意可知，OB2，OC42，AB22，且AB//OC，

所以，BD//OC且BDOC，故四邊形OBDC為平行四邊形，則CDOB2，

取BC的中點E，連接AE，

11

因為A、E分別為BD、BC的中點，則AECD21.

22

故選：D.

二、多選題

9．（2023·福建泉州·高二?？紝W(xué)業(yè)考試）水平放置的ABC的斜二測直觀圖如圖所示，已知B'C'4，A'C'3，

B'C'//y'軸，則ABC中以下說法正確的是（）

A．ABC是直角三角形B．AC長為6

73

C．BC長為8D．AB邊上的中線長為

2

【答案】ACD

【詳解】因為BC//y軸，由斜二測畫法規(guī)則知ACBC，即ABC為直角三角形，如圖所示，

又因為BC4,AC3，可得AC3，BC8，所以AB73，

73

所以AB邊上的中線長度為．

2

故選：ACD.

10．（2023下·湖南長沙·高一?？计谀┤鐖D，四邊形ABCD的斜二測直觀圖為等腰梯形ABCD，已知

AB2CD4，則（）

A．AD2

B．BC22

C．四邊形ABCD的周長為642

D．四邊形ABCD的面積為62

【答案】AD

【詳解】如圖過D￠作DEOB于E，

由等腰梯形ABCD可得：△ADE是等腰直角三角形，

1

即AD2AE4222，即A正確；

2

還原平面圖為下圖，

即AB42CD,AD22，

過C作CFAB，由勾股定理得CB23，即B錯誤；

故四邊形ABCD的周長為：42222362223，即C錯誤；

1

四邊形ABCD的面積為：422262，即D正確.

2

故選：AD

三、填空題

11．（2023上·貴州黔西·高三貴州省興義市第八中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，矩形OABC是水平放置的平面

圖形OABC的直觀圖，其中OA6,OC3，則原圖形OABC的面積為．

【答案】362

S

OABC

【詳解】由題意可得SOABC3618，又22，所以SOABC2218362.

SOABC

故答案為：362.

12．（2023上·四川成都·高二石室中學(xué)?？奸_學(xué)考試）水平放置的ABC的斜二測直觀圖為ABC，已知

ABBC1,ABC90，則ABC的面積為.

【答案】2

【詳解】如下圖所示：

根據(jù)題意可知在直觀圖（圖（1））中補(bǔ)全正方形ABCD，易知BD2；

還原回原圖如圖（2）所示，根據(jù)直觀圖畫法可得AB1,BD2BD22，且ABBD；

11

故ABC的面積為SS2212；

2ABCD2

故答案為：2.

13．（2023上·貴州遵義·高二遵義市南白中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知某水平放置的四邊形ABCD的斜二測畫法

直觀圖是邊長為1的正方形ABCD，如圖所示，則四邊形ABCD的面積是.

【答案】22

【詳解】連接AC，則AC與y平行，且有勾股定理得AⅱC=2，

故畫出四邊形ABCD的原圖形，如下：

四邊形ABCD為平行四邊形，高AC22，

故四邊形ABCD的面積是ABAC12222.

故答案為：22

四、解答題

14．（2023下·高一課時練習(xí)）如圖所示，四邊形OABC是上底為2，下底為6，底角為45的等腰梯形．用

斜二測畫法畫出的這個梯形的直觀圖為OABC．求梯形OABC的高．

【答案】2

2

【詳解】如圖（1）所示，過點C作CMOA，垂足為M，過C作CDy軸，垂足為D，

因為四邊形OABC是上底為2，下底為6，底角為45的等腰梯形，可得OM2，

在直角OCM中，可得CM2，所以O(shè)D2，

如圖（2）所示，在梯形OABC的直觀圖OABC中，

分別坐標(biāo)CMO