高一數(shù)學(xué)必修第二冊同步學(xué)與練（人教版）第03講 向量的減法運(yùn)算（解析版）

第03講6.2.2向量的減法運(yùn)算

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.通過閱讀課本在向量加法的基礎(chǔ)上，理解向量減法與

數(shù)量減法的異同，并學(xué)會有加法理解減法的運(yùn)算與意

①借助實例和平面向量的幾何表示，理解相義，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；

反向量的含義、向量減法的意義及減法法2.熟練運(yùn)用掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形

則。法則，并能熟練地運(yùn)用這兩個法則在減法運(yùn)算的題目中

②掌握向量減法的幾何意義。靈活的作兩個向量的加法與減法兩種運(yùn)算；

③能熟練地進(jìn)行向量的加、減綜合運(yùn)算。3.在認(rèn)真學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，深刻掌握兩個或者多個相連接

加法，減法的交換律和結(jié)合律，并能作圖解釋向量加法

與減法的運(yùn)算律的合理性，把運(yùn)算律的應(yīng)用范圍進(jìn)行拓

廣；

知識點01：向量的減法

（1）相反向量

與向量a長度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量，記作a.

①零向量的相反向量仍是零向量

②任意向量與其相反向量的和是零向量，即:a(a)0

③若a,b互為相反向量,則ab，ba，ab0.

（2）向量減法定義

向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即aba(b).

求兩個向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.

向量減法的實質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算.利用相反向量的定義,可以把向量的減法轉(zhuǎn)化為向量的

加法進(jìn)行運(yùn)算.

（3）向量減法的幾何意義

已知向量a,b,在平面內(nèi)任取一點O,作OAa,OBb,則向量abBA.如圖所示

如果把兩個向量a,b的起點放在一起,則ab可以表示為從向量b的終點指向向量a的

終點的向量.

【即學(xué)即練1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量

abc．

【答案】答案見解析

【詳解】如圖，作OAa,OBb，則BA即為ab，

再作BCc，則向量CA即為abc．

知識點02：向量三角不等式

①已知非零向量a，b，則||a||b|||ab||a||b|（當(dāng)a與b反向共線時左邊等號成立；當(dāng)a與b同

向共線時右邊等號成立）；

②已知非零向量a，b，則||a||b|||ab||a||b|（當(dāng)a與b同向共線時左邊等號成立；當(dāng)a與b反

向共線時右邊等號成立）；

記憶方式：（“符異”反向共線等號成立；“符同”同向共線等號成立）如||a||b|||ab||a||b|中，

||a||b|||ab|中間連接號一負(fù)一正“符異”，故反向共線時等號成立；右如：

||a||b|||ab||a||b|中||ab||a||b|中間鏈接號都是正號“符同”，故同向共線時等號成立；

【即學(xué)即練2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列命題中，正確的是（）

rrrr

A．若a//b，b//c，則a//c

B．若a＝b則a=b或a=b

rr

C．對于任意向量a,b，有a＋ba－b

rr

D．對于任意向量a,b，有a＋ba＋b

【答案】D

rrrr

【詳解】對于A，當(dāng)b＝0時，滿足a//b，b//c，但a,c不一定平行，故A錯誤；

對于B，當(dāng)a＝2，1，b＝1，2時，滿足a＝b，但a=b，a=b不成立，故B錯誤；

rr

對于C，若非零向量a,b方向相反，則a＋ba－b，故C錯誤；

rr

對于D，當(dāng)a,b中有零向量時，a＋ba＋b；

rrrr

當(dāng)a,b為非零向量時，若a,b共線且方向相同時，則a＋ba＋b，

rrrr

當(dāng)a,b為非零向量時，若a,b共線且方向相反時，則a＋ba＋b，

rrrr

當(dāng)a,b為非零向量時，且a,b不共線時，如圖所示，a＋ba＋b，

綜上，a＋ba＋b，故D正確．

故選：D．

題型01向量減法及其幾何意義

【典例1】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點，且ABa，

uuurr

ACb，AEc，試用向量a、b、c表示向量BE與CE.

uurrruurrr

【答案】BEca，CEcb

【詳解】解：由平面向量的減法可得BEAEABca，CEAEACcb.

【典例2】（2023下·四川自貢·高一統(tǒng)考期末）已知非零向量a,b滿足abab，則a與b的夾角

為．

【答案】/60

3

ruurruuurrruur

【詳解】如圖，設(shè)aOA,bOB,abBA，

uuruuuruur

因為abab，即OAOBBA，可知OAB為等邊三角形，

π

所以a與b的夾角為AOB.

3

π

故答案為：.

3

【變式1】（2022·高一課時練習(xí)）已知向量a，b，c如圖所示.

rrr

（1）求作向量abc；

（2）求作向量abc.

【答案】作圖見解析

【詳解】解：如圖所示.

（1）（2）

【變式2】（2023下·河南駐馬店·高一校聯(lián)考期中）在ABC中，ACCBACABABBC，則ABC

是（）

A．等邊三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形

【答案】A

【詳解】因為ACCBAB，ACABBC，ABBCAC，ACCBACABABBC，

所以ABBCAC，

所以ABC是等邊三角形．

故選：A．

題型02利用向量加減法運(yùn)算化簡表達(dá)式

【典例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）化簡

(1)ABADDC；

(2)(ABCD)(ACBD)．

【答案】(1)CB

(2)0

【詳解】（1）ABADDCDBDCCB

（2）(ABCD)(ACBD)ABCDACBDABDCCABD

(ABBD)(DCCA)ADDA0

【典例2】（2023·高一課前預(yù)習(xí)）化簡下列各式：

(1)(AB＋MB)＋(OBMO)；

(2)ABADDC；

(3)(ABCD)(ACBD)；

(4)OAODAD；

(5)ABDABDBCCA

【答案】(1)AB(2)CB(3)0(4)0(5)AB

【詳解】（1）法一：原式ABMBBOOM(ABBO)(OMMB)AOOBAB；

法二：原式ABMBBOOMAB(MBBO)OMABMOOMAB0AB；

（2）法一：原式DBDCCB

法二：原式AB(ADDC)ABACCB

（3）方法一：(ABCD)(ACBD)ABACCDBDABBDDCCAADDA0；

方法二：(ABCD)(ACBD)ABCDACBDABACCDBDCBCDBDDBBD0；

uuruuuruuuruuuruuurr

（4）OAODADDAAD0

（5）ABDABDBCCAABDAACBDBCABDCCDAB

【典例3】（2022·高一課時練習(xí)）化簡下列各式：

(1)AOOBCACB；

(2)MNMDNQDQ.

【答案】(1)0

(2)0

【詳解】（1）AOOBCACBAOOBCACB

ABBA0；

（2）MNMDNQDQMNMDNQQD

DNND0

【變式1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）化簡下列各式：

(1)OMONMPNA；

(2)ADBMBCMC．

【答案】(1)AP

(2)AD

【詳解】（1）OMONMPNANMMPNANPNAAP.

（2）(ADBM)(BCMC)ADMBBCCMAD(MBBCCM)

AD0AD

【變式2】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）化簡：

(1)BAODOABC；

(2)ACBOOADCDOOB.

【答案】(1)CD

(2)0

【詳解】（1）解：BAODOABCBABCODOACAADCD；

（2）解：ACBOOADCDOOBACBAOBOCACCBBAABBA0.

【變式3】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）化簡下列式子：

(1)NQPQNMMP；

(2)ABCDACBD；

【答案】(1)0

(2)0

uuuruuuruuuruuuruuurr

【詳解】（1）原式NPMNMPNPPN0

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuruuurr

（2）原式ABCDACBDABACDCDBCBBC0

題型03向量的模

【典例1】（2021·高一課時練習(xí)）已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形，求：

(1)ABBC；

(2)ABCABC．

【答案】(1)22

(2)4

【詳解】（1）如圖：

ABBCAC22

（2）ABCABCCBBC2CB4

r

【典例2】（2023·高一課時練習(xí)）已知向量a，b滿足|a|3，|b|4，則|ab|的最大值為．

【答案】7

rrrr

【詳解】因為|ab|ab7，當(dāng)且僅當(dāng)a，b反向時，等號成立，

所以|ab|的最大值為7.

故答案為：7.

【變式1】（2022·高一課時練習(xí)）已知菱形ABCD的邊長為1.且A120，求ABBCCD的值.

【答案】3

【詳解】因為|AC||AB|1

22

所以ABBCCDACBAACABACAB2ACAB

1

112113

2

【變式2】（2022·高一課時練習(xí)）證明：當(dāng)向量a，b不共線時，ababab.

【答案】證明見解析

【詳解】證明：因為向量a，b不共線，如圖，在OAB中，

由三角形兩邊之和大于第三邊得：abab，

由三角形兩邊之差小于第三邊得：abab，

所以ababab.

題型04利用已知向量表示其它向量

uuurruuurur

【典例1】（2022·高一課時練習(xí)）如圖所示，已知OAa，OBb，OCc，ODd，OEe，OFf，

試用a,b,c,d,e,f表示下列各式：

(1)ADAB；

(2)ABCF；

(3)EFCF．

urr

【答案】(1)db

(2)bafc

rr

(3)ce

【詳解】（1）ADABODOAOBOAdabadb

（2）ABCFOBOAOFOCbafc

（3）EFCFOFOEOFOCfefcce

【典例2】（2022·高一課時練習(xí)）如圖，在五邊形ABCDE中，四邊形ACDE是平行四邊形，且ABa，ACb，

uuurr

AEc，試用a，b，c表示向量BD，BC，BE，CD及CE．

【答案】BDabc；BCab；BEac；CDc；CEbc

uuurr

【詳解】解：由四邊形ACDE是平行四邊形，且ABa，ACb，AEc，

可得BDBCCDACABAEabc，

BCACABab，

BEAEABac，

CDAEc，

CEAEACbc.

【變式1】（2021·高一課時練習(xí)）如圖所示，BC=a，CDb，DEc.

(1)用a,b表示DB；

(2)用b,c表示EC.

【答案】(1)ab；

(2)bc.

【詳解】（1）DBCBCDBCCDab.

（2）ECCECDDEbc.

【變式2】（2019·全國·高三專題練習(xí)）已知點B是平行四邊形ACDE內(nèi)一點，且AB＝a，AC＝b，AE＝

c，試用a,b.c表示向量CD、BC、BE、CE及BD．

【答案】答案見解析.

【詳解】∵四邊形ACDE為平行四邊形．

∴CD＝AE＝c；

BC＝AC－AB＝ba；

BE＝AE－AB＝ca；

CE＝AE－AC＝cb；

BD＝BC＋CD＝ba

c．

題型05向量加減法運(yùn)算的實際應(yīng)用

【典例1】（2021下·高一課時練習(xí)）某人順風(fēng)勻速行走速度大小為a，方向與風(fēng)向相同，此時風(fēng)速大小為v，

則此人實際感到的風(fēng)速為（）

A．a(chǎn)vB．va

C．a(chǎn)vD．v

【答案】A

【詳解】由題意，某人順風(fēng)勻速行走速度大小為a，方向與風(fēng)向相同，此時風(fēng)速大小為v，

根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得此人實際感到的風(fēng)速為av.

故選：A.

rr

【典例2】（2023·高一課時練習(xí)）在a“向北走20km”，b“向西走15km”，則|ab|，ab與

a的夾角的余弦值為．

4

【答案】25/0.8

5

ruurruuur

【詳解】如圖，在矩形OACB中，設(shè)aOA,bOB，則aOA20,bOB15，

rruuruuuruur

空1：|ab|OAOBBA20215225；

空2：因為abOAOBOC，則ab與a的夾角即為AOC，

OAOA204

所以cosAOC.

OCAB255

4

故答案為：25；.

5

【變式1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）在ABC中，若AB|AC|ABAC，則ABC的形狀為（）

A．等邊三角形B．等腰三角形

C．直角三角形D．等腰直角三角形

【答案】A

【詳解】因為ABACCB，AB|AC|ABAC，

所以ABACCB，

所以ABC為等邊三角形．

故選：A

A夯實基礎(chǔ)B能力提升

A夯實基礎(chǔ)

一、單選題

1．（2023上·北京順義·高三楊鎮(zhèn)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）化簡ABBCAD等于（）

A．DCB．CDC．ADD．CB

【答案】A

【分析】根據(jù)向量加減運(yùn)算法則計算出結(jié)果.

【詳解】ABBCADACADDC.

故選：A

2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知下列各式：①ABBCCA；②OAOBBOCO；

③ABACBDCD.其中結(jié)果為零向量的個數(shù)為（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】C

【分析】根據(jù)平面向量的加法、減法運(yùn)算法則，逐一計算即可求得結(jié)果.

【詳解】①中ABBCCAACCAACAC0；

②中OAOBBOCOOACOCA；

③ABACBDCDCBBC0；

即①③結(jié)果為零向量，

故選：C.

3．（2019下·北京東城·高一統(tǒng)考期末）如圖，向量AB=a，ACb，CDc，則向量BD（）

rrrrrrrrrrrr

A．a(chǎn)bcB．a(chǎn)bcC．bacD．bac

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的加減法求解即可.

【詳解】依題意，得BDADABACCDABbca，

故選：C．

4．（2023下·云南西雙版納·高一?？计谥校┰谒倪呅蜛BCD中，若ACABAD，且|ABAD||ABAD|，

則（）

A．在四邊形ABCD是矩形

B．在四邊形ABCD是菱形

C．在四邊形ABCD是正方形

D．在四邊形ABCD是平行四邊形

【答案】A

【分析】由平面向量加法的平行四邊形法則可判斷ABCD為平行四邊形，再由向量加法、減法運(yùn)算和模的

含義可得對角線相等，然后可判斷四邊形形狀.

【詳解】因為ACABAD，所以四邊形ABCD為平行四邊形，

又|ABAD||ABAD|，所以|AC||DB|，即對角線相等，所以四邊形ABCD為矩形.

故選：A

uuur

5．（2023·高一課時練習(xí)）若|OA|12，|OB|5，則|AB|的取值范圍是（）

A．7,17B．(7,17)C．7,12D．(7,12)

【答案】A

【分析】由向量模長的三角不等式可求得|AB|的取值范圍．

【詳解】由向量模長的三角不等式可得ABOBOA7，當(dāng)且僅當(dāng)OA、OB的方向相同時，等號成立；

ABOAOB17，當(dāng)且僅當(dāng)OA、OB的方向相反時，等號成立，

因此，|AB|的取值范圍是7,17，

故選：A．

6．（2023下·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在ABC中，若|AB||AC||ABAC|，

則ABC的形狀為（）

A．鈍角三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．等邊三角形

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的減法法則可得ABACCB，由三邊相等關(guān)系即可得出結(jié)果.

【詳解】解：因為ABACCB，AB|AC|ABAC，

所以ABACCB，

所以ABC為等邊三角形．

故選：D

7．（2022下·廣東廣州·高一華南師大附中?？计谥校┫铝邢蛄窟\(yùn)算結(jié)果錯誤的是（）

A．a(chǎn)bdeB．cfd

C．a(chǎn)cbD．cdeg

【答案】A

【分析】根據(jù)向量加減法的線性運(yùn)算，直接判斷選項即可.

【詳解】對于A，abdABBCCDADfe，A錯誤；

對于B，fdADCDADDCACc，B正確；

對于C，cbACBCACCBABa，C正確；

對于D，cdeACCDDEAEg，D正確；

故選：A

uuur

8．（2022·高一課時練習(xí)）若AB5，AC8，則BC的取值范圍是（）

A．3,8B．3,8

C．3,13D．3,13

【答案】C

【分析】利用向量模的三角不等式可求得BC的取值范圍.

【詳解】因為BCACAB，所以，ACABBCACAB，即3BC13.

故選：C.

二、多選題

9．（2023下·內(nèi)蒙古包頭·高一統(tǒng)考期末）已知A，B，C，D四點不共線，下列等式能判斷ABCD為平行

四邊形的是（）

A．ABDCB．OBOAOCOD（O為平面內(nèi)任意一點）

C．ABADACD．OAODOBOC（O為平面內(nèi)任意一點）

【答案】ABC

【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則及相等向量的定義判斷即可.

【詳解】因為A，B，C，D四點不共線，

對于A：ABDC，所以AB//DC且ABDC，所以ABCD為平行四邊形，故A正確；

對于B：因為OBOAOCOD，所以ABDC，所以AB//DC且ABDC，

所以ABCD為平行四邊形，故B正確；

對于C：因為ABADAC，即ABADABBC，

所以ADBC，所以AD//BC且ADBC，

所以ABCD為平行四邊形，故C正確；

對于D：因為OAODOBOC，所以O(shè)AOBOCOD，

所以BADC，所以四邊形ABDC為平行四邊形，故D錯誤；

故選：ABC

10．（2022·湖南·模擬預(yù)測）給出下面四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（）

A．若線段ACABBC，則向量ACABBC

B．若向量ACABBC，則線段ACABBC

C．若向量AB與BC共線，則線段ACABBC

D．若向量AB與BC反向共線，則|ABBC|ABBC

【答案】AD

【分析】A選項，根據(jù)ACABBC得到點B在線段AC上，進(jìn)行判斷A正確；BC選項，可舉出反例；D

選項，根據(jù)向量線性運(yùn)算推導(dǎo)出答案.

【詳解】選項A：由ACABBC得點B在線段AC上，則ACABBC，A正確：

選項B；三角形ABC，ACABBC，但ACABBC，B錯誤；

對于C：AB，BC反向共線時，ACABBCABBC，故ACABBC，C錯誤；

選項D：AB,BC反向共線時，ABBCAB(BC)ABBC，故D正確．

故選：AD．

三、填空題

11．（2023上·廣東東莞·高二?？茧A段練習(xí)）簡化ABCDACBD．

【答案】0

【分析】根據(jù)向量加減法法則運(yùn)算即可.

【詳解】ABCDACBDABACCDBDCBBDCDCDCD0，

故答案為：0

12．（2023下·高一單元測試）任給兩個向量a和b，則下列式子恒成立的有．

①ab≥ab②abab

③abab④abab

【答案】②③

【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可判斷①；根據(jù)向量減法的三角形法則可判斷②③④.

【詳解】①根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，得abab，則①不恒成立；

②根據(jù)向量減法的三角形法則，得abab，則②恒成立；

③根據(jù)向量減法的三角形法則，得abab，則③恒成立；

④根據(jù)向量減法的三角形法則，得abab，則④不恒成立.

故答案為：②③.

四、解答題

13．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量a、b，求作ab．

(1)(2)

(3)(4)

【答案】【分析】（1）（2）（3）（4）根據(jù)平面向量的減法法則可作出向量ab.

【詳解】（1）解：作OAa，OBb，則abOAOBBA，即BA即為所求作的向量.

（2）解：作OAa，OBb，則abOAOBBA，即BA即為所求作的向量.

（3）解：作OAa，OBb，則abOAOBBA，即BA即為所求作的向量.

（4）解：作OAa，OBb，則abOAOBBA，即BA即為