高一數(shù)學必修第二冊同步學與練（人教版）第03講 總體取值規(guī)律的估計（解析版）

第03講9.2.1總體取值規(guī)律的估計

課程標準學習目標

收集數(shù)據(jù)是為了尋找數(shù)據(jù)中蘊含的信息．因為實際問題

①掌握頻率分布表的作法以及頻率分布直中數(shù)據(jù)多而且雜亂，往往無法直接從原始數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)規(guī)

方圖的畫法。律，所以需要根據(jù)問題的背景特點，選擇合適的統(tǒng)計圖

②掌握用頻率分布直方圖估計總體。表對數(shù)據(jù)進行整理和直觀描述．在此基礎上，通過數(shù)據(jù)

分析，找出數(shù)據(jù)中蘊含的信息，就可以用這些信息來解

決實際問題了．

知識點1：頻率分布表與頻率分布直方圖

（1）頻數(shù)與頻率

將一批數(shù)據(jù)按要求分為若干個組，各組內(nèi)數(shù)據(jù)的個數(shù)叫做該組的頻數(shù).每組數(shù)據(jù)的頻數(shù)除以全體數(shù)據(jù)的

個數(shù)的商叫做該組數(shù)據(jù)的頻率.頻率反映各個小組數(shù)據(jù)在樣本量中所占比例的大小.

（2）樣本的頻率分布及頻率分布表

根據(jù)隨機抽取的樣本量的大小，分別計算某一事件出現(xiàn)的頻率，這些頻率的分布規(guī)律（取值狀況）就

叫做樣本的頻率分布.

為了能直觀地顯示樣本的頻率分布情況，通常將樣本量、樣本中出現(xiàn)該事件的頻數(shù)以及計算所得的相

應頻率列在一張表中，這張表叫做頻率分布表.分組、頻數(shù)、頻率是頻率分布表中最基本也是必要的三列，

在實際操作中，每組的頻數(shù)是通過類似統(tǒng)計選票時的“唱票”的方式進行統(tǒng)計的，所以通常頻率分布表中

還會有“頻數(shù)累計”一列.

【即學即練1】5．（2023·高一課時練習）張老師為了分析一次數(shù)學考試情況，全班抽了50人，將分數(shù)分

成5組，第一組到第三組的頻數(shù)10，23，11，第四組的頻率為0.08，那么落在第五組的頻數(shù)是多少？頻率

是多少？全校300人中分數(shù)在第五組中的約有多少人？

【答案】頻數(shù)為2；頻率為0.04；12人．

【詳解】頻率是每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值，第四組的頻率是0.08，則第四組的頻數(shù)是500.08=4，

2

所以第五組的頻數(shù)為5010231142，頻率為0.04，

50

所以全校300人中分數(shù)在第五組中的約有0.0430012人．

（3）用樣本的頻率分布估計總體的分布

在實際應用中，總體分布可以為合理決策提供依據(jù)（總體分布描述的是總體在各個范圍內(nèi)個體的百分

比).總體分布一般不好直接獲得，往往通過樣本的頻率分布估計總體分布.用樣本估計總體，是研究統(tǒng)計問

題的一個基本思想方法誤區(qū).

（4）樣本的頻率分布直方圖

為了將頻率分布表中的結果直觀形象地表現(xiàn)出來，常畫出頻率分布直方圖.畫圖時，應以橫軸表示分

組、縱軸表示各組頻率與組距的比值，以各個組距為底，以各頻率除以組距的商為高，畫成小長方形，這

樣得到的直方圖就是頻率分布直方圖.

（5）繪制頻率分布直方圖的步驟及頻率分布直方圖的性質(zhì)

求極差一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差

極差

決定組距與組數(shù)組數(shù)k=，若kZ，則組數(shù)為k；若kZ，則組數(shù)為不小于k的最小整數(shù)

組距

將數(shù)據(jù)分組通常對組內(nèi)數(shù)值所在的區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間

一般分四列：分組、頻數(shù)累計、頻數(shù)、頻率，最后一行是合計，

列頻率分布表

其中頻數(shù)合計是樣本量，頻率合計是1

在頻率分布直方圖中，縱軸表示頻率與組距的比值，

畫頻率分布直方圖數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的面積來表示，

各小長方形面積總和等于1

①求極差，即一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差．

②決定組距與組數(shù)．組距與組數(shù)的確定沒有固定的標準，一般數(shù)據(jù)的個數(shù)越多，所分組數(shù)越多．當樣本容

量不超過100時，常分成5～12組．為方便起見，一般取等長組距，并且組距應力求“取整”．

③將數(shù)據(jù)分組．

第i組頻數(shù)

④列頻率分布表．計算各小組的頻率，第i組的頻率是.

樣本容量

頻率頻率

⑤畫頻率分布直方圖．其中橫軸表示分組，縱軸表示.實際上就是頻率分布直方圖中各小長方形的

組距組距

高度，它反映了各組樣本觀測數(shù)據(jù)的疏密程度．

知識點2：統(tǒng)計圖表

（1）條形統(tǒng)計圖

用單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少畫成長短不同的直條，然后把這些直條按照一定的順

序排列起來，這樣的統(tǒng)計圖稱為條形統(tǒng)計圖.

優(yōu)點：條形統(tǒng)計圖不但可以直觀地反映數(shù)據(jù)分布的大致情況，還可以清晰地表示出各個區(qū)間的具體數(shù)目，

易于比較數(shù)據(jù)間的差別.

缺點：會損失數(shù)據(jù)的部分信息且不能明確顯示部分與整體的關系.

（2）折線統(tǒng)計圖

建立直角坐標系，用橫軸上的數(shù)字表示樣本值，用縱軸上的單位長度表示定的數(shù)量，根據(jù)樣本值和

數(shù)量的多少描出相應點，然后用直線段順次連接相鄰點，得到一條折線，用這條折線表示樣本數(shù)據(jù)情況，

這種表達和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖稱為折線統(tǒng)計圖.

優(yōu)點：折線統(tǒng)計圖不但可以表示數(shù)量的多少，而且能夠用折線的起伏清楚直觀地表示數(shù)量的增減變化的情

況.

缺點：不能直觀反映數(shù)據(jù)的分布情況且不適合總體分布較多的情況.

（3）扇形統(tǒng)計圖

扇形統(tǒng)計圖中，用整個圓面積代表總體，圓內(nèi)的各個扇形分別代表總體中的不同部分，扇形面積的大

小反映所表示的那部分占總體的百分比的大小.

優(yōu)點：扇形統(tǒng)計圖可以很清楚地表示各部分與總體之間的關系，即扇形統(tǒng)計圖能清楚地表示出各部分在總

體中所占的百分比.

缺點：會丟失部分數(shù)據(jù)信息且不適合總體中部分較多的情況.

【即學即練2】（2022·高一課前預習）某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，圖①是該廠第一季度三個月產(chǎn)量的統(tǒng)計圖，圖

②是這三個月的產(chǎn)量與第一季度總產(chǎn)量的比例分布統(tǒng)計圖，統(tǒng)計員在制作圖①，圖②時漏填了部分數(shù)

據(jù)．根據(jù)上述信息，回答下列問題：

(1)該廠第一季度________月的產(chǎn)量最高．

(2)該廠一月份產(chǎn)量占第一季度總產(chǎn)量的________%.

(3)該廠質(zhì)檢科從第一季度的產(chǎn)品中隨機抽樣，抽檢結果發(fā)現(xiàn)樣品的合格率為98%.請你估計：該廠第一季度

大約生產(chǎn)了多少件合格的產(chǎn)品？(寫出解答過程)

【答案】(1)三

(2)30%

(3)4900

【詳解】（1）由條形圖可知，三月的產(chǎn)量最高

（2）該廠一月份產(chǎn)量占第一季度總產(chǎn)量的1－38%－32%＝30%.

（3）該廠共生產(chǎn)(1900÷38%)＝5000件產(chǎn)品．因為合格率為98%，所以合格產(chǎn)品有5000×98%＝4900

題型01列頻率分布表、繪制頻率分布直方圖和頻率分布折線圖

【典例1】（2023·全國·高一隨堂練習）下面是2016年我國部分主要城市的年平均氣溫（單位：℃）：

年平均氣城年平均氣年平均氣年平均氣

城市城市城市

溫市溫溫溫

上

北京13.817.6武漢17.3昆明15.8

海

南

天津13.816.8長沙17.5拉薩9.5

京

杭

石家莊14.618.2廣州21.9西安（涇河）15.8

州

太原11.2合17.0南寧22.3蘭州（皋蘭）8.2

肥

呼和浩福

7.121.0海口24.6西寧6.6

特州

南

沈陽8.819.0重慶（沙坪壩）19.5銀川10.7

昌

濟

長春6.615.4成都（溫江）16.8烏魯木齊8.4

南

鄭

哈爾濱5.016.4貴陽15.3

州

(1)將以上數(shù)據(jù)進行適當分組，并畫出相應的頻率分布直方圖．

(2)以上各城市年平均氣溫在0,10，10,15，15,20，20,25中，哪一個范圍的最多？

【答案】(1)見解析

(2)15,20

【詳解】（1）由題意得，頻率分布表如下：

溫度頻數(shù)頻率頻率/組距

5,10，80.2580.0516

10,1550.1610.0322

15,20140.4520.0904

20,2540.1290.0258

頻率分布直方圖如圖：

（2）由圖可知以上各城市年平均氣溫在15,20的最多．

【典例2】（2023·全國·高一課堂例題）下面是某城市公共圖書館在一年中通過隨機抽樣調(diào)查得到的60天讀

者借書量（單位：冊），并排序如下：

213230239289291301308310311312

318318337343344348349351360362

368372374379383385390393396398

399400404406425429430436438440

441444446453456458471473475483

484495498498521524549556568584

為估計圖書館每天借書量的分布情況，以便合理安排工作人員，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)制作一個頻率分布表以幫

助分析．

【答案】答案見解析

【詳解】（1）計算極差（即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）

樣本數(shù)據(jù)中最小值是213，最大值是584．它們的極差是371．

（2）確定組距和組數(shù)

這60個數(shù)據(jù)散布在閉區(qū)間213,584中．

為了分組的方便，我們?nèi)∫粋€略大的區(qū)間200,600，然后將該區(qū)間分成若干組．

極差371

若取組距為50，那么組數(shù)7.42，因此可以將數(shù)據(jù)分為8組．

組距50

（3）將數(shù)據(jù)分組

將200,600八等分，所分八組為：200,250，250,300，300,350，350,400，400,450，450,500，

500,550，550,600．

（4）列頻率分布表

n

當樣本量是n的觀測數(shù)據(jù)中有n個落入第i組時，我們稱fi是第i組的頻率．

iin

323

計算出數(shù)據(jù)落入各組中的頻率為f5%，f3.3%，…，f5%，

160260860

列出頻率分布表，如下表所示．

分組發(fā)生天數(shù)（頻數(shù)）ni頻率fi

200,25035%

250,30023.3%

300,3501220%

350,4001423.3%

400,4501220%

450,5001118.3%

500,55035%

550,60035%

總計60100%

上表體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)落在各個小組的比例大小，從中可以看到，借書量在350,400內(nèi)的天數(shù)最多，在

300,350和400,450內(nèi)的天數(shù)次之，大部分借書量集中在300,500之間．

【典例3】（2023·全國·高一專題練習）有一容量為200的樣本，數(shù)據(jù)的分組以及各組的頻數(shù)如下：

分組20,1515,1010,55,00,55,1010,1515,20

頻數(shù)711154049412017

(1)列出樣本的頻率分布表；

(2)畫出樣本的頻率分布直方圖和折線圖；

(3)求樣本數(shù)據(jù)不足0的頻率.

【答案】(1)頻率分布表見解析

(2)頻率分布直方圖和折線圖見解析

(3)0.365

【詳解】（1）解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，頻率分布表如下：

分組頻數(shù)頻率

20,1570.035

15,10110.055

10,5150.075

5,0400.200

0,5490.245

5,10410.205

10,15200.100

15,20170.085

合計2001

（2）解：結合頻率分布表得直方圖與折線圖如下：

（3）解：樣本數(shù)據(jù)不足0的頻率為0.0350.0550.0750.2000.365.

【典例4】（2023·全國·高一專題練習）有一個容量為100的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：12.5,15.5，

6；15.5,18.5，16；18.5,21.5，18；21.5,24.5，22；24.5,27.5，20；27.5,30.5，10；30.5,33.5，8．

(1)列出樣本的頻率分布表；

(2)繪制頻率分布直方圖和頻率折線圖．

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【詳解】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，各段的頻數(shù)依次為：6,16,18,22,20,10,8.

所以各段的頻率依次為：0.06,0.16,0.18,0.22,020,0.10,0.08,

得到頻率分布表如下：

分組頻數(shù)頻率

12.5,15.560.06

15.5,18.5160.16

18.5,21.5180.18

21.5,24.5220.22

24.5,27.5200.20

27.5,30.5100.10

30.5,33.580.08

合計1001

（2）各段的頻率/組距的值依次為：

0.060.1640.180.22110.2010.1010.082

0.02,,0.06,,,,,

337533150315330375

∴頻率直方圖和折線圖如圖所示：

【變式1】（2023·全國·高一課堂例題）某校高一年級共有450名男生，為了解他們的身高情況，從中隨機

抽查了50名學生，測得他們的身高數(shù)據(jù)（單位：cm）如下：

151153157159160161162163163164

164164165165166166167167168168

169169169170170170171171172172

172173173173173173174175175176

176177177178178179180181181183

(1)列出頻率分布表并畫出頻率分布直方圖；

(2)估算該年級身高在170,175內(nèi)的男生人數(shù)；

(3)估算該年級身高在170cm以下的男生人數(shù)．

【答案】(1)答案見解析

(2)126（人）

(3)207（人）

【詳解】（1）這組數(shù)據(jù)的最大值為183，最小值為151，極差為32．

為分組的方便，取略大的身高范圍150,185，同時取組距為5，分為7組．

計算相應的分組頻率，就得到下面的頻率分布表．

身高分段發(fā)生次數(shù)ni頻率

150,15524%

155,16024%

160,165816%

165,1701122%

170,1751428%

175,180918%

180,18548%

總計50100%

繪制頻率分布直方圖，如圖．

（2）由頻率分布表和頻率分布直方圖可以估計，總體中約有28%的男生身高在170,175內(nèi)．

由于全年級共有450名男生，所以該年級身高在170,175內(nèi)的男生大約有45028%126（人）．

（3）樣本中身高在170cm以下的男生所占比例約為4%4%16%22%46%，

所以該年級身高在170cm以下的男生大約有45046%207（人）．

【變式2】（2023·全國·高一課堂例題）某公司下屬40個企業(yè)的年度銷售收入數(shù)據(jù)（單位：萬元）如下：

1521241291161001039295127104

10511911411587103118142135125

117108105110107137120136117108

9788123115119138112146113126

某企業(yè)的年度銷售收入為127萬元，該企業(yè)的業(yè)績是好還是差？

【答案】年銷售收入為127萬元的企業(yè)業(yè)績還是比較好的

【詳解】這就要看127在全部40個數(shù)據(jù)中所處的位置.為此，

可以將這40個數(shù)據(jù)按每10（萬）為一檔（稱為組距），用頻率分布表表示如下：

分組頻數(shù)頻率

80,9020.05

90,10030.075

100,11090.225

110,120120.3

120,13070.175

130,14040.1

140,15020.05

150,16010.025

合計401

從頻率分布表可以看出，127位于120,130一檔，此檔及比它高的檔中的數(shù)據(jù)共14個，

而低于這一檔的數(shù)據(jù)有26個，故年銷售收入為127萬元的企業(yè)業(yè)績還是比較好的.

我們還可以將此表“直觀化”，作出頻數(shù)直方圖.

頻數(shù)直方圖既能夠反映分布狀況，又可以表示變化趨勢.

【變式3】（2023·全國·高一專題練習）某校從高三學生中選取了50名學生參加數(shù)學質(zhì)量檢測，成績（單位：

分）分組及各組的頻數(shù)如下：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，

8．

(1)列出頻率分布表；

(2)畫出頻率直方圖及頻率折線圖．

【答案】(1)表見解析

(2)圖見解析

【詳解】（1）解：頻率分布表如下：

分組頻數(shù)頻率

40,5020.04

50,6030.06

60,70100.20

70,80150.30

80,90120.24

90,10080.16

合計501

（2）頻率直方圖及頻率折線圖如圖所示．

【變式4】（2023下·全國·高一專題練習）美國歷屆總統(tǒng)中，就任時年齡最小的是羅斯福，他于1901年就

任，當時年僅42歲；就任時年齡最大的是特朗普，他于2016年就任，當時70歲．下面按時間順序（從1789

年的華盛頓到2016年的特朗普，共45任）給出了歷屆美國總統(tǒng)就任時的年齡．

576157575857615468514964504865

525646544951475555544251565551

545160624355566152696446544770

(1)制作頻率分布表，并繪制頻率分布直方圖和頻率分布折線圖；

(2)描述歷屆美國總統(tǒng)就任時年齡的分布情況．

【答案】(1)答案見解析

(2)歷屆美國總統(tǒng)就任時年齡的范圍集中在54,58附近，年齡特別小或特別大的人數(shù)都比較少．

【詳解】（1）解：以4為組距，列頻率分布表如下：

分組頻數(shù)頻率

[42,46)20.0444

[46,50)70.1555

[50,54)80.1778

[54,58)160.3556

[58,62)50.1111

[62,66)40.0889

[66,70)30.0667

合計451.0000

頻率分布直方圖及頻率分布折線圖如下：

（2）結合（1）歷屆美國總統(tǒng)就任時年齡的范圍集中在54,58附近，年齡特別小或特別大的人數(shù)都比較少.

題型02頻率分布直方圖的應用

【典例1】（2023上·北京·高二中關村中學?？计谥校┠承＝M織全體學生參加了主題為“建黨百年，薪火相

傳”的知識競賽，隨機抽取了200名學生進行成績統(tǒng)計?發(fā)現(xiàn)抽取的學生的成績都在50分至100分之間，進

行適當分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，在被抽取的學生中，成績在區(qū)

間[80,90)的學生數(shù)是（）

A．30B．45C．60D．100

【答案】C

【詳解】由題意得，10(0.0050.010.015x0.04)1，

解得x0.03，則學生成績在區(qū)間[80,90)的頻率為100.030.3，

由共抽取200名學生，則成績在區(qū)間[80,90)的學生數(shù)為2000.360.

故選：C.

【典例2】（多選）（2023下·浙江舟山·高二統(tǒng)考期末）舟山某校為了加強食堂用餐質(zhì)量，該校隨機調(diào)查了

100名學生，根據(jù)這100名學生對食堂用餐質(zhì)量給出的評分數(shù)據(jù)，分成

50,60,60,70,70,80,80,90,90,100五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結論正確的是（）

A．x0.01

B．該樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)均為85

C．若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)低于85分，則認為食堂需要整改，根據(jù)此樣本我們認為該校食堂需要整改

D．為了解評分較低的原因，該校從評分低于80分的學生中用分層抽樣的方法隨機抽取18人座談，則

應選取評分在50,60的學生4人

【答案】ACD

【詳解】由直方圖可知：x0.0150.0200.0300.025101,x0.01，A正確；

52

設中位數(shù)為80y，則0.010.0150.020100.030y0.5,y，即中位數(shù)為81（分），B錯誤；

33

平均分550.01650.015750.020850.030950.0251079.585，故C正確；

50,60組有0.011010010（人），同理60,70組有15（人），70,80組有20（人），

10

根據(jù)分層抽樣的原理，從50,60組抽取的人數(shù)為184（人），D正確；

101520

故選：ACD.

【典例3】（2023上·全國·高一專題練習）某單位N名員工參加“社區(qū)低碳你我他”活動，他們的年齡在25

歲至50歲之間，按年齡分組：第1組25,30，第2組30,35，第3組35,40，第4組40,45，第5組45,50，

得到的頻率分布圖如圖所示，下表是年齡的頻率分布表.

區(qū)間25,3030,3535,4040,4545,50

人數(shù)20

(1)補全表格中的數(shù)據(jù)（不需要寫過程）；

(2)現(xiàn)要從年齡較小的第1,2,3組中用分層抽樣的方法抽取6人，求從第1,2,3組分別抽取的人數(shù)；

【答案】(1)答案見解析；

(2)年齡第1,2,3組人數(shù)分別是1人，1人，4人；

【詳解】（1）由頻率分步直方圖可知，30,35，45,50兩組的人數(shù)與25,30組的人數(shù)相等，均為20人，

第3組35,40的人數(shù)是第一組25,30人數(shù)的4倍，為80人，

第4組40,45的人數(shù)是第一組25,30人數(shù)的3倍，為60人

所以，表格中的數(shù)據(jù)為：第2組30,35的人數(shù)為20人，第3組35,40的人數(shù)為80人，第4組40,45的

人數(shù)為60人，第5組45,50的人數(shù)為20人.

（2）由頻率分布表和頻率分布直方圖知：

第1組25,30的頻率為0.0250.1，

第2組30,35的頻率為0.0250.1，

第3組35,40的頻率為0.0850.4，

第1,2,3組的人數(shù)比為0.1:0.1:0.41:1:4，

要從年齡較小的第1,2,3組中用分層抽樣的方法抽取6人，

所以，年齡第1,2,3組人數(shù)分別是1人，1人，4人.

【典例4】（2023下·河北衡水·高一河北武強中學?？计谀┖贾菔心掣咧袕膶W生中招收志愿者參加迎亞運

專題活動，現(xiàn)已有高一540人、高二360人，高三180人報名參加志愿活動．根據(jù)活動安排，擬采用分層

抽樣的方法，從已報名的志愿者中抽取120名．對抽出的120名同學某天參加運動的時間進行了統(tǒng)計，運

動時間均在39.5至99.5分鐘之間，其頻率分布直方圖如下：

(1)需從高一、高二、高三報名的學生中各抽取多少人；

(2)請補全頻率分布直方圖．

【答案】(1)高一抽取60人，高二抽取40人，高三抽取20人

(2)答案見解析

1201

【詳解】（1）報名的學生共有1080人，抽取的比例為，

10809

111

所以高一抽取54060人，高二抽取36040人，高三抽取18020人；

999

（2）第三組的頻率為10.10.150.30.250.050.15，

故第三組的小矩形的高度為0.015，補全頻率分布直方圖得

【變式1】（2023上·四川雅安·高三校聯(lián)考期中）某地發(fā)起“尋找綠色合伙人——低碳生活知識競賽”活動，

選取了n人參與問卷調(diào)查，將他們的成績進行適當分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），得到如圖所示的頻率

分布直方圖，且成績落在90,100的人數(shù)為10，則n（）

A．60B．80C．100D．120

【答案】C

【詳解】由圖可知，100.0060.0120.020.0320.02m1，解得m0.01，則成績在90,100的頻率

為0.1，由0.1n10，得n100.

故選：C

【變式2】（2023下·陜西寶雞·高一寶雞中學?？茧A段練習）某中學為了解高三男生的體能情況，通過隨機

抽樣，獲得了200名男生的100米體能測試成績（單位：秒），將數(shù)據(jù)按照11.5,12，12,12.5，…，15.5,16

分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.由直方圖估計本校高三男生100米體能測試成績大于13.25

秒的頻率是.

63

【答案】0.63/

100

【詳解】由頻率分布直方圖中各矩形面積之和為1，

可得0.5(0.0820.160.302a0.520.120.04)1，

解得a0.40，

1

故體能測試成績大于13.25秒的頻率是0.5(0.400.520.300.120.080.04)0.63，

2

故答案為：0.63

【變式3】（2023下·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）某班共有學生40人，將一次數(shù)學考試成績(單位:分)繪制成頻

率分布直方圖，如圖所示，成績不低于85分的人數(shù)有人.

【答案】9

【詳解】由頻率分布直方圖的頻率和為1，可得：0.005100.022510a100.035100.0075101，

解得：a0.030.

0.030

故成績不低于85分的人的頻率為100.0075100.225，

2

所以成績不低于85分的人數(shù)有0.225409.

故答案為：9.

【變式4】（2023上·云南紅河·高二開遠市第一中學校?？茧A段練習）從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進行月

用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50~350kWh之間，進行適當分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫

出頻率分布直方圖如圖所示．

(1)求直方圖中x的值；

(2)在被調(diào)查的用戶中，求用電量落在區(qū)間[100,250)內(nèi)的戶數(shù)；

【答案】(1)0.0044

(2)70

【詳解】（1）解：由頻率分布直方圖，可得：0.002420.0036x0.00600.0012501，

解得x0.0044.

（2）解：由頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，可得用電量落在區(qū)間[100,250)內(nèi)的頻率為：

0.00360.00600.0044500.70，

所以用電量落在區(qū)間[100,250)內(nèi)的戶數(shù)為0.7010070.

題型03條形統(tǒng)計圖的應用

【典例1】（2023·河北·石家莊一中校聯(lián)考模擬預測）如圖是國家統(tǒng)計局發(fā)布的2022年5月至2023年5月

全國煤炭進口走勢圖，每組數(shù)據(jù)中的增速是與上一年同期相比的增速，則圖中X的值約為（）

A．90.2B．90.8C．91.4D．92.6

【答案】D

39582055

【詳解】由題得增速X%100%92.6%，故X92.6.

2055

故選：D.

【典例2】（多選）（2023上·湖南·高二邵陽市第二中學校聯(lián)考階段練習）為了解各種APP的使用情況，將

使用人數(shù)排名前5的數(shù)據(jù)整理得到如下的柱狀圖，則（）

A．APP使用人數(shù)最多的是微信

B．微信APP的使用人數(shù)超過今日頭條APP的使用人數(shù)的2倍

C．微信APP的使用人數(shù)超過今日頭條APP與快手APP的使用人數(shù)之和

D．抖音APP的使用人數(shù)大于快手APP的使用人數(shù)的125%

【答案】AD

【詳解】對于A中，根據(jù)數(shù)據(jù)的柱狀圖，可得APP使用人數(shù)最多的是微信，所以A正確；

對于B中，微信APP的使用人數(shù)占7格，今日頭條APP的使用人數(shù)占近4格，

所以微信APP的使用人數(shù)小于今日頭條APP的使用人數(shù)的2倍，所以B錯誤；

對于C中，微信APP的使用人數(shù)占7格，今日頭條APP的使用人數(shù)占近4格，快手APP的使用人數(shù)占4格，

所以微信APP的使用人數(shù)小于今日頭條APP與快手APP的使用人數(shù)之和，所以C錯誤；

對于D中，抖音APP的使用人數(shù)占5格多，快手APP的使用人數(shù)占4格，

則快手APP的使用人數(shù)的125%等于5格，

所以抖音APP的使用人數(shù)大于快手APP的使用人數(shù)的125%，所以D正確.

故選：AD.

【典例3】（多選）（2023·湖北·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）隨著我國高水平對外開放持續(xù)提速，2022年貨物進出

口再創(chuàng)新高，首次突破42萬億元．根據(jù)下圖判斷，下列說法正確的是（）

A．從2018年開始，貨物進口額逐年增大

B．從2018年開始，貨物進出口總額逐年增大

C．從2018年開始，2020年的貨物進出口總額增長率最小

D．從2018年開始，2021年的貨物進出口總額增長率最大

【答案】BCD

【詳解】由圖可知2020年的貨物進口額小于2019年的貨物進口額，故A錯誤；

2018年貨物進出口總額為14.0916.4130.5，

2019年貨物進出口總額為14.3317.2431.57，

2020年貨物進出口總額為14.2917.9332.22，

2021年貨物進出口總額為17.3621.6939.05，

2022年貨物進出口總額為18.123.9742.07，

所以從2018年開始，貨物進出口總額逐年增大，故B正確；

31.5730.5

其中2019年的貨物進出口總額增長率為0.035，

30.5

32.2231.57

2020年的貨物進出口總額增長率為0.021，

31.57

39.0532.22

2021年的貨物進出口總額增長率為0.212，

32.22

42.0739.05

2022年的貨物進出口總額增長率為0.077，

39.05

所以從2018年開始，2020年的貨物進出口總額增長率最小，故C正確；

從2018年開始，2021年的貨物進出口總額增長率最大，故D正確；

故選：BCD

【變式1】（2023下·四川宜賓·高二統(tǒng)考期末）下圖是我國2012-2018年眼鏡及其零件出口金額柱狀圖及同

比增速折線圖，則下列說法正確的是（）

A．2012年至2018年我國眼鏡及其零件出口金額逐年增加

B．2012年至2018年我國眼鏡及其零件出口金額的極差為16.41

C．2013年至2018年我國眼鏡及其零件出口金額同比增速逐年減少

D．2013年至2018年我國眼鏡及其零件出口金額同比增速最大的是2013年

【答案】D

【詳解】根據(jù)出口金額柱狀圖及同比增速折線圖，

可看出我國眼鏡及其零件出口金額在2016年出現(xiàn)減少，選項A錯誤；

2012年至2018年我國眼鏡及其零件出口金額的極差為

54.52-37.19=17.33，選項B錯誤；

2013年至2018年我國眼鏡及其零件出口金額同比增速先減少，再增加，

后又減少，選項C錯誤；

從圖中可知，2013年至2018年我國眼鏡及其零件出口金額同比增速最大的是2013年，

為15%，選項D正確.

故選：D

【變式2】（多選）（2023上·全國·高三專題練習）（多選）人口普查是當今世界各國廣泛采用的搜集人口

資料的一種最基本的科學方法，根據(jù)人口普查的基本情況制定社會、經(jīng)濟、科教等各項發(fā)展政策.截至2022

年6月，我國共進行了七次人口普查，下圖是這七次人口普查的城鄉(xiāng)人口數(shù)和城鎮(zhèn)人口比重情況，下列說

法正確的是（）

A．鄉(xiāng)村人口數(shù)逐次增加

B．歷次人口普查中第七次普查城鎮(zhèn)人口最多

C．城鎮(zhèn)人口數(shù)逐次增加

D．城鎮(zhèn)人口比重逐次增加

【答案】BCD

【詳解】對于A，根據(jù)題中條形圖，知鄉(xiāng)村人口數(shù)在前四次普查中逐次增加，在后三次普查中逐次減少，故

A不正確；

對于B，從題中條形圖，知在歷次人口普查中第七次普查城鎮(zhèn)人口最多，故B正確；

對于C，根據(jù)題中條形圖，知城鎮(zhèn)人口數(shù)逐次增加，故C正確；

對于D，從題中折線圖對應的數(shù)據(jù)可得，七次人口普查中城鎮(zhèn)人口比重依次為13.26，18.30，20.91，26.44，

36.22，49.68，63.89，可知城鎮(zhèn)人口比重逐次增加，故D正確.

故選:BCD.

【變式3】（多選）（2023下·河北石家莊·高三校聯(lián)考期中）恩格爾系數(shù)是食品支出總額占個人消費支出總

額的比重，它在一定程度上可以用來反映人民生活水平．恩格爾系數(shù)的一般規(guī)律：收入越低的家庭，恩格

爾系數(shù)就越大；收入越高的家庭，恩格爾系數(shù)就越小．國際上一般認為，當恩格爾系數(shù)大于0.6時，居民生

活處于貧困狀態(tài)；在0.5-0.6之間，居民生活水平處于溫飽狀態(tài)；在0.4-0.5之間，居民生活水平達到小康；

在0.3-0.4之間，居民生活水平處于富裕狀態(tài)；當小于0.3時，居民生活達到富有．下面是某地區(qū)2022年兩

個統(tǒng)計圖，它們分別為城鄉(xiāng)居民恩格爾系數(shù)統(tǒng)計圖和城鄉(xiāng)居民家庭人均可支配收入統(tǒng)計圖，請你依據(jù)統(tǒng)計

圖進行分析判斷，下列結論錯誤的是（）

A．農(nóng)村居民自2017年到2021年，居民生活均達到富有

B．近五年城鄉(xiāng)居民家庭人均可支配收入差異最大的年份是2020年

C．城鄉(xiāng)居民恩格爾系數(shù)差異最小的年份是2019年

D．2022年該地區(qū)城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民的生活水平已經(jīng)全部處于富有狀態(tài)

【答案】ABD

【詳解】對于A項，由圖1可知2021年農(nóng)村居民的恩格爾系數(shù)為0.316，居民生活水平處于富裕狀態(tài)，故A

項錯誤；

對于B項，根據(jù)圖2計算出的2017至2021年近五年城鄉(xiāng)居民家庭人均可支配收入差分別為37270元，38344

元，39285元，40360元，40915元，

差異最大的年份是2021年，故B項錯誤；

對于C項，根據(jù)圖1計算出的2017至2021年近五年城鄉(xiāng)居民恩格爾系數(shù)差（%）分別為5.6，4.3，3.9，4.3，

5.5，

差異最小的年份是2019年，故C項正確；

對于D項，根據(jù)給出的數(shù)據(jù)不足以判斷是否正確，故D項錯誤．

故選：ABD.

題型04折線統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖的應用

【典例1】（2023上·四川攀枝花·高二統(tǒng)考期末）2022年第24屆冬奧會在北京和張家口成功舉辦，出色的

賽事組織工作贏得了國際社會的一致稱贊，經(jīng)濟效益方面，得到的數(shù)據(jù)如圖所示．已知賽事轉(zhuǎn)播的收入比

政府補貼和特許商品銷售的收入之和多27億元，則估計2022年冬奧會這幾項收入總和約為（）

A．118億元B．143億元C．218億元D．223億元

【答案】C

【詳解】設2022年冬奧會收入的總和大約為a億元，

由于賽事轉(zhuǎn)播的收入比政府補貼和特許商品銷售的收入之和多27億元，

故35.4%a12.2%a10.8%a27，

解得a218（億元）．

故選：C．

【典例2】（多選）（2023上·四川成都·高二統(tǒng)考期中）2022年2月28日，國家統(tǒng)計局發(fā)布了我國2021

年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報，在以習近平同志為核心的黨中央堅強領導下，各地區(qū)各部門沉著應對百

年變局和世紀疫情，構建新發(fā)展格局，實現(xiàn)了“十四五”良好開局.2021年，全國居民人均可支配收入和消費

支出均較上一年有所增長，結合如下統(tǒng)計圖表，下列說法中正確的是（）

A．2017-2021年全國居民人均可支配收入逐年遞增

B．2020年全國居民人均可支配收入較前一年下降

C．2021年全國居民人均消費支出24000元

D．2021年全國居民人均消費支出構成中食品煙酒和居住占比超過60%

【答案】AC

【詳解】對于A，由圖可知，20172021年全國居民人均可支配收入分別為25974元，28228元，30733元，

32189元，35128元，逐年遞增，選項A正確；

對于B，根據(jù)條形圖知，2020年全國居民人均可支配收入較前一年是上升的，選項B錯誤；

對于C，根據(jù)扇形圖知，2021年全國居民人均消費支出為：

540014197319569211525993156142324000元，選項C正確；

對于D，2021年全國居民人均消費支出構成中食品煙酒和居住占比：

7319

100%22.5%30.4%22.5%52.9%60%，選項D錯誤．

24000

故選：AC．

【典例3】（多選）（2023上·云南昆明·高二云南師大附中?？茧A段練習）2022年2月28日，國家統(tǒng)計局

發(fā)布了我國2021年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報，在以習近平同志為核心的黨中央堅強領導下，各地區(qū)各

部門沉著應對百年變局和世紀疫情，構建新發(fā)展格局，實現(xiàn)了“十四五”良好開局.2021年，全國居民人均可

支配收入和消費支出均較上一年有所增長，結合如圖甲、乙所示統(tǒng)計圖，下列說法中正確的是（）

A．2017～2021年全國居民人均可支配收入逐年遞增

B．2020年全國居民人均可支配收入較前一年下降

C．2021年全國居民人均消費支出24100元

D．2021年全國居民人均消費支出構成中食品煙酒和居住占比不足60%

【答案】ACD

【詳解】對于A，由圖可知，2017～2021年全國居民人均可支配收入分別為25974元，28228元，30733元，

32189元，35128元，逐年遞增，故A正確；

對于B，根據(jù)條形圖知，2020年全國居民人均可支配收入較前一年是上升的，故B錯誤；

對于C，根據(jù)扇形圖知，2021年全國居民人均消費支出為：

564114197178569211525993156142324100元，故C正確；

對于D，2021年全國居民人均消費支出構成中食品煙酒和居住占比：29.8%23.4%53.2%60%，故D

正確，

故選:ACD.

【典例4】（2023下·山西晉中·高一?？茧A段練習）某制造商為運動會生產(chǎn)一批直徑為40mm的乒乓球，現(xiàn)

隨機抽樣檢查20只，測得每只球的直徑（單位：mm，保留兩位小數(shù)）如下：

40.0240.0039.9840.0039.99

40.0039.9840.0139.9839.99

40.0039.9939.9540.0140.02

39.9840.0039.9940.0039.96

(1)完成下面的頻率分布表，并畫出頻率分布直方圖；

頻率

分組頻數(shù)頻率

組距

39.95,39.97

39.97,39.99

39.99,40.01

40.01,40.03

合計

(2)假定乒乓球的直徑誤差不超過0.02mm為合格品，若這批乒

乓球的總數(shù)為10000只，試根據(jù)抽樣檢查結果估計這批產(chǎn)品的合格只數(shù).

【答案】(1)圖表見詳解

(2)9000

【詳解】（1）頻率分布表如下：

頻率

分組頻數(shù)頻率

組距

39.95,39.9720.105

39.97,39.9940.2010

39.99,40.01100.5025

40.01,40.0340.2010

合計201.0050

頻率分布直方圖、頻率分布折線圖如圖所示．

18

（2）因為抽樣的20只產(chǎn)品中在39.98,40.02范圍內(nèi)的有18只，所以合格率為100%90%．

20

所以根據(jù)抽樣檢查結果，可以估計這批產(chǎn)品的合格只數(shù)為9000．

【變式1】（2023·全國·模擬預測）某校為了將雙減工作落到實處，加強了學校的社團建設，組建了籃球、

乒乓球、羽毛球、合唱、朗誦五個社團，學校要求某年級每名同學根據(jù)自己的興趣愛好最多可參加其中一

個．根據(jù)同學們的選擇，繪制成的各個社團的人數(shù)比例的扇形圖如圖．現(xiàn)從這些同學中抽出200人進行調(diào)

查，已知張同學選的是籃球，李同學選的是乒乓球，則下列說法不正確的是（）

A．該問題中的樣本容量為200

B．采用分層抽樣，李同學被抽到的可能性比張同學的大

C．采用分層抽樣比簡單隨機抽樣更合理

D．采用分層抽樣，羽毛球社團和合唱社團應分別抽取54人和20人

【答案】B

【詳解】由題意可知，該問題中的樣本容量為200，故A不符合題意；

采用分層抽樣法抽樣，李同學與張同學被抽到的可能性一樣大，故B符合題意；

由題圖知，同學們選擇各社團的差異性比較大，則采用分層抽樣更合理，故C不符合題意；

羽毛球社團應抽取的人數(shù)為20027%54，合唱社團應抽取的人數(shù)為20010%20，故D不符合題意．

故選：B．

【變式2】（多選）（2023上·山東濰坊·高一山東省高密市第一中學?？奸_學考試）2021年7月，中共中央

辦公廳、國務院辦公廳印發(fā)《關于進一步減輕義務教育階段學生作業(yè)負擔和校外培訓負擔的意見》，明確

要求初中生每天的書面作業(yè)時間不得超過90分鐘．某校隨機抽取部分學生進行問卷調(diào)查，并將調(diào)查結果制

成如下不完整的統(tǒng)計圖表．則下列說法正確的是（）

作業(yè)時間頻數(shù)分布表

組別作業(yè)時間（單位：分鐘）頻數(shù)

A60t708

B70t8017

C80t90m

Dt905

A．調(diào)查的樣本容量為50

B．頻數(shù)分布表中m的值為20

C．若該校有1000名學生，作業(yè)完成的時間超過90分鐘的約100人

D．在扇形統(tǒng)計圖中B組所對的圓心角是144

【答案】ABC

5

【詳解】對于A選項，由扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布表可知，調(diào)查的樣本容量為50，A對；

0.1

對于B選項，由表格中的數(shù)據(jù)可得m50817520，B對；

對于C選項，若該校有1000名學生，作業(yè)完成的時間超過90分鐘的人數(shù)約為100010%100人，C對；

17

對于D選項，在扇形統(tǒng)計圖中