高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步學(xué)與練（人教版）第04講 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積（解析版）

第04講8.3.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.通過(guò)閱讀課本培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和抽象思維能

力；

①了解棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積與體積的

2.柱、錐、臺(tái)的側(cè)面積和體積問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)

計(jì)算公式。

容，現(xiàn)就柱、錐、臺(tái)的側(cè)面積和體積的常見(jiàn)問(wèn)題分類解

②理解并掌握側(cè)面展開(kāi)圖與幾何體的表面

析以下。對(duì)于棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積，多采用面積

積之間的關(guān)系，并能利用計(jì)算公式求幾何體

累加的方式求解；

的表面積與體積。

3.特別地，若為正棱柱（錐、臺(tái)），各側(cè)面積相等，可

用乘法計(jì)算；計(jì)算其體積時(shí)，關(guān)鍵是求底面積和高，并

注意公式的運(yùn)用；

知識(shí)點(diǎn)1：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積

（1）正方體、長(zhǎng)方體的表面積

正方體、長(zhǎng)方體的表面積就是各個(gè)面的面積的和

長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,c的長(zhǎng)方體的表面積：

S長(zhǎng)方體=2(abbcac)

棱長(zhǎng)為a的正方體的表面積：

2

S正方體=6a.

（2）棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖

棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖為平行四邊形，一邊為棱柱的側(cè)棱，另一邊等于棱柱的底面周長(zhǎng).如圖:

棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖由若干個(gè)三角形拼成如圖

棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖由若干個(gè)梯形拼成如圖

（3）棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積

棱柱的表面積：S棱柱=S側(cè)+2S底

棱錐的表面積：S棱錐=S側(cè)+S底

棱臺(tái)的表面積：S棱臺(tái)=S側(cè)+S上底+S下底

知識(shí)點(diǎn)2：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

（1）棱柱的體積

①棱柱的高：柱體的兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點(diǎn)向另一底面作垂線，這點(diǎn)與垂足（垂線與

底面的交點(diǎn)）之間的距離，即垂線段的長(zhǎng).

②棱柱的體積：柱體的體積等于它的底面積S和高h(yuǎn)的乘積，即VSh.

（2）棱錐的體積

①棱錐的高：錐體的頂點(diǎn)到底面之間的距離，即從頂點(diǎn)向底面作垂線，頂點(diǎn)與垂足（垂線與底面的交點(diǎn)）

之間的距離，即垂線段的長(zhǎng).

1

②棱錐的體積：錐體的體積等于它的底面積S和高h(yuǎn)的乘積的,即VSh理解.

3

（3）棱臺(tái)的體積

①棱臺(tái)的高：臺(tái)體的兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點(diǎn)向下底面作垂線，此點(diǎn)與垂足（垂線與底

面的交點(diǎn)）之間的距離，即垂線段的長(zhǎng)

1

②棱臺(tái)的體積：V(SSSS)h(S,S分別為上下底面面積，h為臺(tái)體的高)

3

題型01棱柱的表面積

【典例1】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）某幾何體為棱柱或棱錐，且每個(gè)面均為邊長(zhǎng)是2的正三角形或正方

形，給出下面4個(gè)值：①43；②24；③443；④1223．則該幾何體的表面積可能是其中的（）

A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④

【答案】D

3

【詳解】當(dāng)該幾何體為正四面體時(shí)，其表面積為42243．

4

3

當(dāng)該幾何體為正四棱錐時(shí)，其表面積為42222443．

4

3

當(dāng)該幾何體為正三棱柱時(shí)，其表面積為2223221223．

4

當(dāng)該幾何體為正方體時(shí)，其表面積為62224．

故選：D．

【典例2】（2023下·全國(guó)·高一專題練習(xí)）棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形的三邊長(zhǎng)分別為3、4、5，高

4

為（a0）.過(guò)三條側(cè)棱中點(diǎn)的截面把此三棱柱分為兩個(gè)完全相同的三棱柱，用這兩個(gè)三棱柱拼成一個(gè)三

a

棱柱或四棱柱，小明嘗試了除原三棱柱之外的所有情形，發(fā)現(xiàn)全面積都比原三棱柱ABC-A1B1C1的全面積小，

則a的取值范圍是.

【答案】0,1

【詳解】由題知，原三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，設(shè)底面是以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且AB4，

BC3，AC5，

設(shè)棱AA1、BB1、CC1的中點(diǎn)分別為D、E、F.

1448

原三棱柱的全面積S23434512（a0）.

2aa

由題意，將原三棱柱分為兩個(gè)完全相同的三棱柱，記為直三棱柱ABCDEF和直三棱柱A1B1C1D1E1F1，如

圖所示：

當(dāng)拼成一個(gè)三棱柱時(shí)，有兩種情況，如圖①和②：

1236

圖①的全面積S434554424（a0），

12aa

1232

圖②的全面積S434553324（a0），

22aa

當(dāng)拼成一個(gè)四棱柱時(shí)，有四種情況，如圖③、④、⑤、⑥：

1236

圖③的全面積S434545424（a0），

32aa

1232

圖④的全面積S434533524（a0），

42aa

1228

圖⑤的全面積S434434324（a0），

52aa

1228

圖⑥的全面積S434433424（a0），

62aa

36

由上得，兩個(gè)三棱柱拼成一個(gè)新的三棱柱或四棱柱的全面積最大是24（a0），

a

4836

則1224（a0），解得：0a1，

aa

故a的取值范圍是0,1.

【典例3】（2023上·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知一個(gè)正四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)是9cm，表面積等于144cm2，

求這個(gè)棱柱的側(cè)面積（cm2）.

【答案】112或72

【詳解】設(shè)底面邊長(zhǎng)、側(cè)棱長(zhǎng)分別為acm，lcm，

a2a2l292

則，

2

2a4al144

a4a6

解得或，

l7l3

所以S447112cm2或S46372cm2.

【變式1】（2023上·北京海淀·高二?？茧A段練習(xí)）在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC2,AC13.該

長(zhǎng)方體的表面積為（）

A．4B．8C．12D．16

【答案】D

【詳解】如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，連接AC,AC1,

ACAB2BC24422，

22，

CC1AC1AC981

該長(zhǎng)方體的表面積為S2S4S2(22)4(21)16

正方形ABCD矩形ADD1A1.

故選：D.

【變式2】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，用若干棱長(zhǎng)為a的小正方體組成一個(gè)模型，該模型的表面積

是.

【答案】56a2

【詳解】根據(jù)所給幾何體，分別求得每層的側(cè)面積，再加上下底面積，減去覆蓋部分的面積，可知表面積

為：S4(4a23a22a2a2)(16994411)a240a216a256a2

故答案為：56a2.

【變式3】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)是2，D，E是CC1，

BC的中點(diǎn)，AE=DE.求:

(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)；

(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面積.

【答案】(1)22

(2)12223

【詳解】（1）由題意BE=EC=1，DE=AE=2×sin60°=3，

根據(jù)正三棱柱得CC1⊥面ABC，又BC面ABC，所以CC1⊥BC，

在Rt△ECD中，CD=ED2EC23?12，

又D是CC1的中點(diǎn)，故側(cè)棱長(zhǎng)為22.

1

（）底面積為，側(cè)面積為S

2S1=2SABC=2×2×3=23S2=3BB1C1C=3×2×22=122.

2

△

所以棱柱表面積為S=S1+S2=122+23.

題型02棱柱的體積

【典例1】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，已知正六棱柱的最大對(duì)角面的面積為4m2，互相平行的兩個(gè)

側(cè)面的距離為2m，則這個(gè)六棱柱的體積為（）

A．3m3B．6m3C．12m3D．以上都不對(duì)

【答案】B

【詳解】設(shè)六棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，高為h.

223

則2ah4，ah=2，a，故h3，

33

123233

V636.

2332

故選：B.

【典例2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E?F分別是棱A1B1?C1D1的中點(diǎn)，

則正方體被截面BEFC分成兩部分的體積之比V1:V2.

【答案】3

【詳解】設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2a，體積為V，則

V2a2a2a8a3，

因?yàn)镋是棱A1B1的中點(diǎn)，所以EB1a，

11

VSBCEBBBBCa2a2a2a3，

2BB1E2112

333

V1VV28a2a6a.

V6a3

1

33.

V22a

故答案為：3

【典例3】（2023下·福建寧德·高一校聯(lián)考期中）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)接于一個(gè)圓柱，且底面是正

三角形，圓柱的體積是2π，底面直徑與母線長(zhǎng)相等.

(1)求圓柱的底面半徑；

(2)求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.

【答案】(1)1

33

(2)

2

【詳解】（1）設(shè)底面圓的直徑為2r，

由題可知,圓柱的體積Vπr22r2π，

解得r1，即圓柱的底面半徑為1

（2）因?yàn)锳BC為正三角形，底面圓的半徑為1，

由正弦定理，邊長(zhǎng)AB21sin603，

-1333

所以三棱柱ABCA1B1C1的體積V32

222

【變式1】（2024上·上海徐匯·高二統(tǒng)考期末）如圖，一個(gè)三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱AA1＝8．若側(cè)面

AA1B1B水平放置時(shí)，液面恰好過(guò)AC，BC，A1C1，B1C1的中點(diǎn)．當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，液面高為．

【答案】6

【詳解】當(dāng)側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí)，水的形狀為四棱柱形，底面是梯形，

3

設(shè)△ABC的面積為S，則S梯形S，

4

3

水的體積V水S×AA1＝6S，

4

當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，水的形狀為三棱柱形，設(shè)水面高為h，

則有V水＝Sh＝6S，得h＝6，

即當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，液面高為6．

故答案為：6．

【變式2】（2023上·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知直四棱柱的底面為菱形，底面菱形的兩對(duì)角線長(zhǎng)分別為1cm，

3cm，側(cè)棱長(zhǎng)為2cm，求：該直四棱柱的體積；

【答案】3cm3；

【詳解】由底面菱形的兩對(duì)角線長(zhǎng)分別為1cm，3cm，

不妨設(shè)AC3cm，BD1cm，

113

則底面菱形的面積SACBD13（cm2）

222

3

所以該棱柱的體積為VSh23（cm3）

2

【變式3】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）某自來(lái)水廠要制作一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體水箱，所用材料的形狀是矩形板，

制作方案如圖（單位：dm），求水箱的容積．

【答案】500立方分米.

【詳解】由題設(shè)可得長(zhǎng)方體的底面為邊長(zhǎng)為10的正方形，高為5，

故體積為10105500（立方分米）.

題型03棱錐的表面積

【典例1】（2023下·甘肅酒泉·高二?？计谀┤绻粋€(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，高為3，那么它的側(cè)面

積為（）

A．36B．362C．72D．722

【答案】B

【詳解】如圖所示，連接AC,BD交于點(diǎn)O，取BC的中點(diǎn)E，分別連接SO,SE,OE，

因?yàn)樗睦忮FSABCD為正四棱錐，所以SO底面ABCD，且SO3，

在等腰△SBC中，E為BC的中點(diǎn)，所以SEBC，即SE為正四棱錐的斜高，

1

在直角SOE中，OEAB3,SO3，可得SESO2OE232，

2

1

所以正四棱錐SABCD的側(cè)面積為S4632362.

2

故選：B.

【典例2】（2023下·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谥校├忾L(zhǎng)為1的正方體紙盒展開(kāi)后如圖

所示，則在原正方體紙盒上，分別將M,N,C,D四點(diǎn)兩兩相連，構(gòu)成的幾何體的表面積為．

【答案】23

【詳解】在原正方體紙盒上，分別將M,N,C,D四點(diǎn)兩兩相連，如圖所示，

因?yàn)镸N,MC,MD,ND,NC,CD為正方體的面對(duì)角線，

所以MNMCMDNDNCCD2，

所以DMNC為正四面體，

3

所以表面積為：(2)2423，

4

故答案為：23．

【典例3】（2023下·貴州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖一，將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD剪去四個(gè)全等的等腰

三角形后，折成如圖二所示的正四棱錐.記該正四棱錐的斜高為h1（側(cè)面三角形的高），F(xiàn)AB.

22tan

(1)求證：h；

12

(2)將折起來(lái)后所得正四棱錐的表面積記為S，請(qǐng)將S表示為的函數(shù)，并求S的范圍.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

π

(2)S44tan，0,；0,4

4

（2）用正方形面積減去4個(gè)全等的等腰三角形面積可得.

【詳解】（1）作AMEF,FNAB，垂足分別為M，N，

由題可知，M，N分別為EF，AB的中點(diǎn)，

所以在RtAFN中，AN1，F(xiàn)AB，

1

所以AF，

cos

π

易知，在RtAMF中MAF，

4

π12222tan

所以AMAFcoscossin，

4cos222

22tan

即h

12

（2）在RtAFN中，易知FNANtantan，

1

所以SABFNtan，

ABF2

又正方形ABCD的面積為224，

π

所以正四棱錐的表面積記S44tan,0,

4

π

因?yàn)?,，所以0tan1，

4

所以S(0,4)

【變式1】（2023下·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考期末）已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，高為3，則該三

棱錐的表面積是（）

A．543B．273

C．183D．153

【答案】B

【詳解】如圖，正三棱錐OABC中，OM為正三棱錐OABC的高，

則OM3，取BC的中點(diǎn)N，連接AN，ON，

1

則M在AN上，且MNAN，

3

又AB6，BN3，所以AN623233，

1

所以MNAN3，則ONOM2MN223，

3

11

所以SBCON63，SBCAN93

OBC2ABC2

故三棱錐的表面積為63393273.

故選：B

【變式2】（2023上·廣東揭陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）如圖，正四面體PABC的各棱長(zhǎng)均為1，則它的表面積

是.

【答案】3

2

【詳解】因?yàn)槭钦切?，其邊長(zhǎng)為，所以113

PBC1SPBC11,

224

因此，四面體的表面積3

PABCS43.

PABC4

故答案為:3.

【變式3】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）如圖，正四棱錐SABCD的底面邊長(zhǎng)為4，頂點(diǎn)S到底面中心O的

距離為4，求它的表面積．

【答案】16165

【詳解】作SEBC，垂足為點(diǎn)E，連接OE．

因?yàn)镾OOE，所以SE2SO2OE2．

因?yàn)镾EBC，SOBC，SESOS,SE,SO平面SOE，

所以BC平面SOE，而OE平面SOE，

所以BCOE，故OE2．又SO4，所以SE25．

11

又底面周長(zhǎng)C4416，所以S正棱錐側(cè)Ch1625165．

22

又S底4416，因此，該正四棱錐的表面積為S表16165．

題型04棱錐的體積

【典例1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四棱錐PABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，E,F分別

為側(cè)棱PD,PC的中點(diǎn)，過(guò)A,E,F三點(diǎn)的平面將該四棱錐分成兩部分，兩部分的體積分別記為V1,V2V1V2，

V

則1（）

V2

3134

A．B．C．D．

4255

【答案】C

【詳解】由題意可知，AB∥CD,EF∥CD，AB∥EF，如圖，

連接BF，則平面ABFE就是截面AEF，將四棱錐分成的兩部分分別是四棱錐PABFE和五面體ABCDEF．

連接BE,BD,三棱錐PABE和三棱錐PBEF的底面共面，

三棱錐PABE和三棱錐PBEF的高相等，

它們體積的比值等于底面積的比值．

S△ABEAB

又2，（ABE在邊AB上的高和△BEF在邊EF上的高相等），

S△BEFEF

V

PABE2.

VPBEF

因?yàn)辄c(diǎn)E為PD的中點(diǎn)，

點(diǎn)P和點(diǎn)D到平面ABE的距離相等，

1

VV,VV.

PABEDABEPABE2PABD

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，VPABDVPBCD．

11

設(shè)四棱錐PABCD的體積為V，則VV，VV，

PABD2PABE4

133

又VV,VVV，

PBEF2PABEPABFE2PABE8

V3

351

即V1V,V2VV1V，.

88V25

故選：C.

【典例2】（2024上·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考期末）在正四棱錐PABCD中，PAAB2，則該棱錐的體積

為．

【答案】42

3

【詳解】P在平面ABCD上的投影是H，因?yàn)槭钦睦忮F，

所以H是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，連結(jié)PH，

122

AH222，PHPA2AH2422，

2

所以，于是142

S正方形ABCD=4V四棱錐=42=.

PABCD33

42

故答案為：.

3

【典例3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCDABCD中，用截面截下一個(gè)三棱錐

CADD，則三棱錐CADD的體積與剩余部分的體積之比為.

【答案】1:5

==

【詳解】設(shè)ABa，ADb，AAc，所以長(zhǎng)方體體積VABCDABCDabc

1111

三棱錐CADD的體積VCDSabcabc，

CADD3△ADD326

15

∴剩余部分的體積VVabcabcabc

ABCDABCDCADD66

∴三棱錐CADD的體積與剩余部分的體積之比為1:5.

故答案為：1:5.

【典例4】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖所示，正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為4，H是BC的中點(diǎn)，O為底面中

心，SHO60．

(1)求出正六棱錐的高，斜高，側(cè)棱長(zhǎng)；

(2)求六棱錐的表面積和體積．

【答案】(1)高為6，斜高為43，側(cè)棱長(zhǎng)為213

(2)表面積為723，體積為483

【詳解】（1）如圖：

在正六棱錐SABCDEF中，SBSC，

H為BC中點(diǎn)，所以SHBC．

因?yàn)镺是正六邊形ABCDEF的中心，

所以SO為正六棱錐的高．

3

OHBC23，

2

在Rt△SOH中，SHO60，

所以SOOHtan606．

在Rt△SOH中，SHSO2OH243．

在RtSHB中，SH43，BH2，

所以SBSH2BH2213．

故該正六棱錐的高為6，斜高為43，側(cè)棱長(zhǎng)為213．

11

（2）△SBC的面積為BCSH44383，

22

11

△OBC的面積為BCOH42343，

22

所以正六棱錐的表面積為643683723，

11

體積為SSO6436483

3ABCDEF3

【變式1】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）正多面體被古希臘圣哲認(rèn)為是構(gòu)成宇宙的基本元素.如圖，該幾何體

是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正八面體，則此正八面體的體積與表面積的數(shù)值之比為（）

6666

A．B．C．D．

189123

【答案】B

【詳解】

如圖所示，連接AC，EFACO，

則四邊形ABCD為正方形，且EO平面ABCD，

由正八面體可知，

ABBCEAEC2，

則AC22，EO2，

1182

所以V2V2EOABBC2222，

EABCD333

3

表面積S8S82283，

EAB4

82

所以V6，

3

S839

故選：B.

【變式2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知三棱錐ABCD的體積為1,M,N分別為AD,CD的中點(diǎn)，則三棱

錐AMNB的體積為．

1

【答案】/0.25

4

【詳解】設(shè)點(diǎn)N到平面ABD的距離為d，

因?yàn)镹分別為CD的中點(diǎn)，則點(diǎn)C到平面ABD的距離為2d，

又因?yàn)镸分別為AD的中點(diǎn)，則S△ABD2S△ABM，

11

2dS2d2S

VV△ABD△ABM

由題意可知：ABCDCABD334，

VAMNBVNABM11

dS△dS△

3ABM3ABM

111

整理得VV，即三棱錐AMNB的體積為.

AMNB4ABCD44

1

故答案為：.

4

【變式3】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）正四棱錐SABCD的底面邊長(zhǎng)為4，高為1，求：

(1)求棱錐的體積和側(cè)棱長(zhǎng)；

(2)求棱錐的表面積．

16

【答案】(1)，3

3

(2)1685

【詳解】（1）

由題意可知底面四邊形ABCD是正方形，設(shè)其對(duì)角線交于O點(diǎn)，則SO1，

116

所以四棱錐的體積為：V144，

SABCD33

222

21ABBC

側(cè)棱長(zhǎng)SASOAC13；

24

（2）取AB的中點(diǎn)E，連接SE，易知SEAB，

由上可知SESA2AE25，

1

所以棱錐的表面積為S445441685.

2

題型05棱臺(tái)的表面積

【典例1】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）柷（zhù），是一種古代打擊樂(lè)器，迄今已有四千多年的歷史，柷的

上方形狀猶如四方形木斗，上寬下窄，下方有一底座，用椎（木棒）撞擊其內(nèi)壁發(fā)聲，表示樂(lè)曲將開(kāi)始.如

圖，某柷（含底座）高60cm，上口正方形邊長(zhǎng)70cm，下口正方形邊長(zhǎng)54cm，底座可近似地看作是底面邊

長(zhǎng)比下口邊長(zhǎng)長(zhǎng)4cm，高為16cm的正四棱柱，則該柷（含底座）的側(cè)面積約為（52.236）（）

A．12960cm2B．14803cm2C．16800cm2D．18240cm2

【答案】B

【詳解】如圖正四棱臺(tái)中，連接AC，A1C1，過(guò)點(diǎn)A、C分別作AEA1C1、CFA1C1，交A1C1于點(diǎn)E、F，

依題意AB54cm，A1B170cm，AECF601644cm，

7025422

則AE82cm，所以AAAE2AE2064cm，

1211

2

2

所以正四棱臺(tái)的斜高為A1B1ABcm，

AA1205

2

5470

所以正四棱臺(tái)的側(cè)面積S42054960511090.56cm2，

12

2

又正四棱柱的側(cè)面積S24544163712cm，

所以該柷（含底座）的側(cè)面積約為11090.56371214802.5614803cm2；

故選：B

【典例2】（2023下·福建南平·高一統(tǒng)考期末）已知正四棱臺(tái)上、下底面的邊長(zhǎng)分別為4和8，高為2.該正

四棱臺(tái)的表面積為.

【答案】48280/80482

【詳解】因?yàn)檎睦馀_(tái)的側(cè)面等腰梯形，

又正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別是4、8，高為2，

21

所以側(cè)面梯形的斜高為842，則梯形的面積，

h1222(48)22122

22

上下底底面面積分別為4416，8864，

所以該四棱臺(tái)的表面積為1664412280482．

故答案為：80482．

【典例3】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）正六棱錐被過(guò)棱錐高的中點(diǎn)且平行于底的平面所截，得到正六棱臺(tái)

和較小的棱錐．

(1)求大棱錐、小棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積之比；

(2)若大棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為12cm，小棱錐的底面邊長(zhǎng)為4cm，求截得的棱臺(tái)的側(cè)面積與全面積．

【答案】(1)4:3:1

(2)側(cè)面積為1442cm2，全面積為14421203cm2

【詳解】（1）設(shè)正六棱錐PABCDEF的高PO2h，底面邊長(zhǎng)AB2a，

因?yàn)檎忮F被過(guò)棱錐高的中點(diǎn)且平行于底的平面所截，得到正六棱臺(tái)和較小的棱錐，

所以小棱錐PABCDEF的高為POh，底面邊長(zhǎng)ABa，

2

Sa1

在PAB中，因?yàn)锳B//AB，所以PAB，

SPAB2a4

于是有：SPAB:SABBA:SPAB1:3:4，

因此大棱錐、小棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積之比為4:3:1；

（2）由（1）可知：AB4,AB8，

已知大棱錐的側(cè)棱PA12，

2

21

顯然在PAB中，AB上的高長(zhǎng)為12882，

2

1

所以S882322，

PAB2

所以SPABCDEF63221922，

3

由（1）可知：截得的棱臺(tái)的側(cè)面積為19221442cm2，

4

1313

截得的棱臺(tái)的全面積為144264468814421203cm2.

2222

【變式1】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2，8，該梭臺(tái)的表面積

為148，則側(cè)棱長(zhǎng)為（）

A．3B．4C．5D．6

【答案】C

28

【詳解】設(shè)正四棱臺(tái)側(cè)面的高為h，則2282h4148,h4，

2

2

282

所以側(cè)棱長(zhǎng)為45.

2

故選：C

3

【變式2】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）一個(gè)正三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為3cm和6cm，高是cm.

2

則三棱臺(tái)的側(cè)面積為（）

273

A．273cm2B．cm2

2

3

C．cm2D．3cm2

2

【答案】B

3

【詳解】如圖，O1，O分別是上、下底面中心，則OOcm，

12

連接A1O1并延長(zhǎng)交B1C1于點(diǎn)D1，連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，連接DD1，過(guò)D1作D1EAD于點(diǎn)E，

3

在Rt△DED中，DEOOcm，

1112

133

DEDOOEDODO63cm，

11322

22

33

所以22cm，

DD1D1EDE+3

22

所以12732．

S正三棱臺(tái)側(cè)3BCBCDDcm

21112

故選：B

【變式3】（2023下·河南駐馬店·高一統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中將正四梭臺(tái)（上?下底面均為正方形）稱

為“方亭”.現(xiàn)有一方亭，高為2，上底面邊長(zhǎng)為2，下底面邊長(zhǎng)為4，則此方亭的表面積為.

【答案】20+125

【詳解】如圖所示，AC,BD分別是正四梭臺(tái)不相鄰兩個(gè)側(cè)面的高，AECD，

則AE即為正四梭臺(tái)的高，AE2，

2

242

由AB2,CD4，得ACBD25，

2

245

所以此方亭的表面積為4222420125.

2

故答案為：20+125.

題型06棱臺(tái)的體積

【典例1】（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)國(guó)家館，以城市發(fā)展中的中華智慧為主題，表現(xiàn)出了“東方之

冠，鼎盛中華，天下糧倉(cāng)，富庶百姓”的中國(guó)文化精神與氣質(zhì).如圖，現(xiàn)有一個(gè)與中國(guó)國(guó)家館結(jié)構(gòu)類似的正四

棱臺(tái)ABCDA1B1C1D1，上下底面的中心分別為O1和O，若AB2A1B14，A1AB60，則正四棱臺(tái)

ABCDA1B1C1D1的體積為（）

202282206286

A．B．C．D．

3333

【答案】B

【詳解】因?yàn)锳BCDA1B1C1D1是正四棱臺(tái)，AB2A1B14，A1AB60，

1

ABA1B112

側(cè)面以及對(duì)角面為等腰梯形，故2，AOACAB22，

AA1222

cosA1AB

22

AOAB2，所以O(shè)OAA2AOAO2，

112111111

12282

所以該四棱臺(tái)的體積為VOOSSSS(1648)，

1ABCDA1B1C1D1ABCDA1B1C1D1

333

故選：B.

【典例2】（2023上·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）某款廚房用具中的香料收納罐的實(shí)物圖如圖1

所示，該幾何體為上、下底面邊長(zhǎng)分別為8cm,6cm的正四棱臺(tái)，若棱臺(tái)的高為3cm，忽略收納罐的厚度，則

該香料收納罐的容積為（）

148

A．cm3B．74cm3C．148cm3D．298cm3

3

【答案】C

1

【詳解】由題意可知，該香料收納罐的容積為382628262148cm3．

3

故選：C．

【典例3】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正四棱臺(tái)ABCDA1B1C1D1中，A1B12，AB3．若該四棱臺(tái)

196

的體積為，則BB1．

6

【答案】2

【詳解】如圖，連接A1C1，B1D1交于點(diǎn)O1，連接AC,BD交于點(diǎn)O，連接OO1，

則B1D1∥BD，OO1底面ABCD，BD平面ABCD，OO1BD．

過(guò)作于點(diǎn)，則∥，底面．

B1B1EBDEOO1B1EB1EABCD

該四棱臺(tái)的體積122196，6．

V2323B1EB1E

362

31

又，，BDB1D12，22．

BD32B1D122BEBB1B1EBE2

2222

故答案為：2

【變式1】（2023上·山東濟(jì)寧·高三濟(jì)寧一中?？茧A段練習(xí)）如圖，已知正四棱臺(tái)的兩底面均為正方形，且

邊長(zhǎng)分別為20cm和10cm，側(cè)面積為780cm2，則其體積為．

【答案】2800cm3

【詳解】如圖，取A1B1的中點(diǎn)E1、AB的中點(diǎn)E，上、下底面的中心O1、O，

則E1E為斜高，四邊形EOO1E1為直角梯形．

1

正四棱臺(tái)的側(cè)面積S4(1020)EE780，

121

EE113cm，

在直角梯形EOO1E1中，過(guò)點(diǎn)E1作E1M⊥OE于點(diǎn)M，

則O1E1OM5cm，O1OE1M，

11

因?yàn)镺EAB5cm，OEAB10cm，

112112

所以EMOEOM5cm，

2222，

O1OE1ME1EEM13512cm

1

該四棱臺(tái)的體積為V1210220210202800cm3

3

故答案為：2800cm3

【變式2】（2023上·黑龍江雞西·高三雞西市第一中學(xué)校?？计谀毒耪滤阈g(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著.

其“商功”中記載：“正四面形棱臺(tái)（即正四棱臺(tái)）建筑物為方亭.”現(xiàn)有如圖所示的烽火臺(tái)，其主體部分為一方

亭，將它的主體部分抽象成ABCDA1B1C1D1的正四棱臺(tái)（如圖所示，其中上底面與下底面的面積之比為1:16，

方亭的高為棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)的3倍.已知方亭的體積為567m3，則該方亭的上底面邊長(zhǎng)為（）m

A．3B．4C．6D．12

【答案】A

【詳解】因?yàn)樯系酌媾c下底面的面積之比為1:16，設(shè)A1B1x，則AB4x，

故方亭的高為3x，

1

故方亭的體積為x216x2x216x23x567，解得x3，

3

故A1B13m，即