高一數(shù)學(xué)必修第二冊同步學(xué)與練（人教版）第05講 頻率與概率（頻率的穩(wěn)定性、隨機(jī)模擬）（解析版）

第05講10.3頻率與概率

（10.3.1頻率的穩(wěn)定性+10.3.2隨機(jī)模擬）

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①通過實驗讓學(xué)生理解當(dāng)試驗次數(shù)較大時，

1.數(shù)學(xué)建模：概率的應(yīng)用

實驗頻率穩(wěn)定在某一常數(shù)附近，并據(jù)此能估

2.邏輯推理：頻率與概率的關(guān)系

計出某一事件發(fā)生的頻率。

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：頻率與概率的計算

②通過對實際問題的分析，培養(yǎng)使用數(shù)學(xué)的

4.數(shù)據(jù)抽象：概率的概念

良好意識，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，體驗數(shù)學(xué)的應(yīng)用

5.數(shù)學(xué)抽象：隨機(jī)模擬試驗的理解．

價值。

6.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用隨機(jī)模擬試驗求概率.

③理解隨機(jī)模擬試驗出現(xiàn)地意義。

④利用隨機(jī)模擬試驗求概率。

知識點(diǎn)1：頻率與概率

1.1隨機(jī)事件的頻率

在相同的條件S下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn),稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A

n

出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例f(A)A為事件A出現(xiàn)的頻率.

nn

1.2頻率的特點(diǎn)

隨機(jī)事件在一次試驗中是否發(fā)生具有不確定性，但是，在相同條件下的大量重復(fù)試驗中，它發(fā)生的頻

率有以下特點(diǎn).

①在某次隨機(jī)試驗中，事件A發(fā)生的頻率是一個變量，事先是無法確定的.但在大量重復(fù)試驗后，它又

具有穩(wěn)定性，即頻率在某個“常數(shù)”附近擺動，并且隨著試驗次數(shù)的增加，擺動的幅度具有越來越小的趨勢.

②有時候試驗也可能出現(xiàn)頻率偏離“常數(shù)”較大的情況，但是隨著試驗次數(shù)的增加，頻率偏離“常數(shù)”的可

能性會減小.

③個別隨機(jī)事件在一次試驗中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，但在大量試驗中，它出現(xiàn)的次數(shù)與總試驗次數(shù)

之比常常是比較穩(wěn)定的.這種現(xiàn)象稱為頻率的穩(wěn)定性，是隨機(jī)事件內(nèi)在規(guī)律性的反映.

1.3頻率的穩(wěn)定性(用頻率估計概率)

大量試驗表明，在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗中，一個隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性.一般地，隨著

試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生

的概率P(A).我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們可以用頻率fn(A)估計概率P(A).

【即學(xué)即練1】（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？计谥校┰谝淮文凶佑鹈騿未虮荣愔校\(yùn)動員甲和

乙進(jìn)入了決賽（比賽采用3局2勝制），假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計甲獲

得冠軍的概率，先由計算機(jī)產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3表示一局比賽中甲勝，4，5表示一局比

賽中乙勝?經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：

334221433551454452315142331423

212541121451231414312552324115

據(jù)此估計甲獲得冠軍的概率為.

【答案】0.65

【詳解】20組數(shù)據(jù)中，334,221,433,315,142,331,423,212,121,231,312,324,115共13組數(shù)據(jù)表示甲獲得冠軍，

13

故估計甲獲得冠軍的概率為0.65.

20

故答案為：0.65

知識點(diǎn)2：生活中的概率

2.1游戲的公平性

在各類游戲中，如果每個游戲參與者獲勝的概率相等，那么游戲是公平的.例如，在體育比賽中，裁判

員用抽簽器決定兩個運(yùn)動員誰先發(fā)球，兩個運(yùn)動員獲得發(fā)球權(quán)的概率均為0.5，所以這個規(guī)則是公平的.

2.2天氣預(yù)報的概率解釋

天氣預(yù)報是氣象專家依據(jù)氣象觀測資料和氣象學(xué)理論以及專家們的實際經(jīng)驗，經(jīng)過分析推斷得到的.天

氣預(yù)報的概率屬于主觀概率，這是因為在現(xiàn)有的條件下，不能對“天氣”做多次重復(fù)試驗，進(jìn)行規(guī)律的總結(jié)，

因此，在天氣預(yù)報中所提及的概率和我們前面通過頻率穩(wěn)定性來定義的概率并不一樣.

另外，天氣預(yù)報中降水概率的大小只能說明降水的可能性大小，概率值越大，表示降水的可能性越大.

在一次試驗中“降水”這個事件是否發(fā)生仍然是隨機(jī)的.例如，天氣預(yù)報說“明天降水的概率為90%”，盡管明

天下雨的可能性很大，但由于“明天下雨”是隨機(jī)事件，因此明天仍然有可能不下雨.

【即學(xué)即練2】（多選）（2023上·高一課時練習(xí)）“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，

下列說法正確的是（）

A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨

B．上海今天可能降雨，而北京可能沒有降雨

C．北京和上海都可能沒降雨

D．北京降雨的可能性比上海大

【答案】BCD

【詳解】北京的降雨概率80%大于上海的降雨概率20%，說明北京降雨的可能性比上海大，也可能都降雨，

也可能都沒有降雨，但是不能確定北京今天一定降雨，上海一定不降雨，故只有A不正確．

故選：BCD

知識點(diǎn)3：隨機(jī)模擬

3.1隨機(jī)數(shù)的定義

隨機(jī)數(shù)就是在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個范圍內(nèi)的每一個數(shù)的機(jī)會相等.

3.2產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法

①利用抽簽法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)

要產(chǎn)生1n（nN）之間的隨機(jī)整數(shù)，把n個大小、形狀相同的小球分別標(biāo)上1，2，3，，n放入一

個袋中，把它們充分?jǐn)嚢?，然后從中摸出一個球，這個球上的數(shù)就稱為隨機(jī)數(shù).

②利用計算機(jī)或計算器產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)

計算機(jī)或計算器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)是依照確定算法產(chǎn)生的數(shù)，具有周期性(周期很長)，它們具有類似隨機(jī)數(shù)

的性質(zhì).因此，計算機(jī)或計算器產(chǎn)生的并不是真正的隨機(jī)數(shù)，我們稱它們?yōu)閭坞S機(jī)數(shù).

3.3用隨機(jī)模擬法估計概率

①隨機(jī)模擬法產(chǎn)生的必要性

用頻率估計概率時，需做大量的重復(fù)試驗，費(fèi)時費(fèi)力，并且有些試驗具有破壞性，有些試驗無法進(jìn)行，

因而隨機(jī)模擬試驗就成為一種重要的方法，它可以在短時間內(nèi)多次重復(fù).

②隨機(jī)模擬法估計概率的思想

隨機(jī)模擬法是通過將一次試驗所有可能發(fā)生的結(jié)果數(shù)字化，用計算機(jī)或計算器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)來替代每

次試驗的結(jié)果.其基本思想是，用產(chǎn)生整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)的頻率估計事件發(fā)生的概率.

③隨機(jī)模擬法的優(yōu)點(diǎn)

不需要對試驗進(jìn)行具體操作，是一種簡單、實用的科研方法，可以廣泛地應(yīng)用到生產(chǎn)生活的各個領(lǐng)域

中去.

④隨機(jī)模擬法的步驟

建立概率模型；進(jìn)行模擬試驗(可用計算器或計算機(jī)進(jìn)行)；統(tǒng)計試驗結(jié)果.

【即學(xué)即練3】（2023上·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）規(guī)定：投擲飛鏢3次為一輪，若3次中至少兩次

4

投中8環(huán)以上為優(yōu)秀．根據(jù)以往經(jīng)驗?zāi)尺x手投擲一次命中8環(huán)以上的概率為．現(xiàn)采用計算機(jī)做模擬實驗來

5

估計該選手獲得優(yōu)秀的概率：用計算機(jī)產(chǎn)生0到9之間的隨機(jī)整數(shù)，用0、1表示該次投擲未有8環(huán)以上，用

2、3、4、5、6、7、8、9表示該次投擲在8環(huán)以上，經(jīng)隨機(jī)模擬試驗產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：

907966191925271932812458569683

031257393527556488730313537989

據(jù)此估計，該選手投擲1輪，可以拿到優(yōu)秀的概率為（）

9473

A．B．C．D．

105105

【答案】A

【詳解】由題意可知，隨機(jī)模擬試驗產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)中，

代表“3次中至少兩次投中8環(huán)以上”的數(shù)組共18組，

189

因此，該選手投擲1輪，可以拿到優(yōu)秀的概率為.

2010

故選：A.

題型01頻率與概率之間的聯(lián)系與區(qū)別

【典例1】（2023上·廣東佛山·高二華南師大附中南海實驗高中?？计谥校┫铝忻}中正確的是（）

A．有一批產(chǎn)品的次品率為0.05，則從中任意取出200件產(chǎn)品中必有10件是次品

B．拋100次硬幣，結(jié)果51次出現(xiàn)正面，則出現(xiàn)正面的概率是0.51

C．隨機(jī)事件發(fā)生的概率就是這個隨機(jī)事件發(fā)生的頻率

D．?dāng)S骰子100次，得點(diǎn)數(shù)為6的結(jié)果有20次，則出現(xiàn)6點(diǎn)的頻率為0.2

【答案】D

【詳解】對于A，實驗中，出現(xiàn)的某種事件的頻率總在一個固定的值的附近波動，

并不是一個確定的值，一批產(chǎn)品次品率為0.05，

則從中任取200件，次品的件數(shù)在10件左右，而不一定是10件，A錯誤；

對于B，100次并不是無窮多次，

51

只能說明這100次試驗出現(xiàn)正面朝上的頻率為，故B錯誤；

100

對于C，根據(jù)定義，隨機(jī)事件的頻率只是概率的近似值，它并不等于概率，C錯誤；

對于D，頻率估計概率，頻率為出現(xiàn)的次數(shù)與重復(fù)試驗的次數(shù)的比值，

20

拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是6的結(jié)果有20次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是0.2，D正確.

100

故選：D.

【典例2】（2023上·湖北·高二赤壁一中校聯(lián)考開學(xué)考試）在拋擲硬幣試驗中，記事件A為“正面朝上”，則

下列說法正確的（）

1

A．拋擲兩枚硬幣，事件“一枚正面，一枚反面”發(fā)生的概率為

3

B．拋擲十枚硬幣，事件B為“拋擲十枚硬幣，正面都朝上”沒有發(fā)生，說明PB0

C．拋擲100次硬幣，事件A發(fā)生的頻率比拋擲50次硬幣發(fā)生的頻率更接近于0.5

D．當(dāng)拋擲次數(shù)足夠大時，事件A發(fā)生的頻率接近于0.5

【答案】D

【詳解】拋擲兩枚硬幣，出現(xiàn)的基本事件為（正，反），（正，正），（反，正），（反，反），所以事

1

件“一枚正面，一枚反面”發(fā)生的概率為P，故A錯誤；

2

1

“拋擲十枚硬幣，正面都朝上”沒有發(fā)生，不能說明PB0，應(yīng)有P(B)，故B錯誤；

210

拋擲100次硬幣，事件A發(fā)生的頻率與拋擲50次硬幣A發(fā)生的頻率不能判斷誰更接近于0.5，故C錯誤；

根據(jù)頻率與概率的關(guān)系知，當(dāng)拋擲次數(shù)足夠大時，事件A發(fā)生的頻率接近于0.5，故D正確.

故選：D

【典例3】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）根據(jù)統(tǒng)計，某籃球運(yùn)動員在5000次投籃中，命中的次數(shù)為2348次．

(1)求這名運(yùn)動員的投籃命中率；

(2)若這名運(yùn)動員要想投籃命中10000次，則大概需要投籃多少次？（結(jié)果精確到100）

(3)根據(jù)提供的信息，判斷“該籃球運(yùn)動員投籃3次，至少能命中1次”這一說法是否正確．

【答案】(1)0.4696

(2)21300

(3)不正確

【詳解】（1）根據(jù)題意，某籃球運(yùn)動員在5000次投籃中，命中的次數(shù)為2348次，

2348

則這名運(yùn)動員的投籃命中率P0.4696；

5000

2348

（2）若這名運(yùn)動員要想投籃命中10000次，則有1000021300；

5000

23481

（3）雖然這名運(yùn)動員的投籃命中率P，但由概率的定義，“該籃球運(yùn)動員投籃3次，至少能命中

50003

1次”說法不正確.

【變式1】（2023下·新疆喀什·高一校考期末）給出下列四個命題：

①設(shè)有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05，則從中任取200件，必有10件是次品；

51

②做100次拋硬幣的試驗，結(jié)果51次出現(xiàn)正面朝上，因此，出現(xiàn)正面朝上的概率是；

100

③隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個隨機(jī)事件發(fā)生的概率；

9

④拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果有18次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是.

50

其中正確命題有（）

A．①B．②C．③D．④

【答案】D

【詳解】對于①，實驗中，出現(xiàn)的某種事件的頻率總在一個固定的值的附近波動，并不是一個確定的值，

一批產(chǎn)品次品率為0.05，則從中任取200件，次品的件數(shù)在10件左右，而不一定是10件，①錯誤；

51

對于②，100次并不是無窮多次，只能說明這100次試驗出現(xiàn)正面朝上的頻率為，故②錯誤；

100

對于③，根據(jù)定義，隨機(jī)事件的頻率只是概率的近似值，它并不等于概率，③錯誤；

對于④，頻率估計概率，頻率為出現(xiàn)的次數(shù)與重復(fù)試驗的次數(shù)的比值，

189

拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果有18次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是，④正確.

10050

故選：D.

【變式2】（多選）（2023上·四川成都·高二成都外國語學(xué)校?？计谥校┫率鲫P(guān)于頻率與概率的說法中，錯

誤的是（）

A．設(shè)有一大批產(chǎn)品，已知其次品率為0.1，則從中任取100件，必有10件是次品

3

B．做7次拋硬幣的試驗，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率是

7

C．隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個隨機(jī)事件發(fā)生的概率

D．利用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率估計隨機(jī)事件的概率，即使隨機(jī)試驗的次數(shù)超過10000，所估計出的概率也

不一定很準(zhǔn)確．

【答案】ABC

【詳解】對于A:從中任取100件，可能有10件，A錯誤；

33

對于B:做7次拋硬幣的試驗，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的頻率是，不是概率為，

77

B錯誤；

對于C:多次重復(fù)試驗中事件發(fā)生的頻率在某一常數(shù)附近，此常數(shù)為概率，與描述不符，C錯誤；

對于D:10000次的界定沒有科學(xué)依據(jù)，“不一定很準(zhǔn)確"的表達(dá)正確，試驗次數(shù)越多，頻率越穩(wěn)定在概率值附

近，但并非試驗次數(shù)越多，頻率就等于概率，D正確.

故選:ABC.

【變式3】（2023上·四川達(dá)州·高二校考階段練習(xí)）某人拋擲一枚硬幣80次，結(jié)果正面朝上有43次.設(shè)正面

朝上為事件A，則事件A出現(xiàn)的概率為．

1

【答案】/0.5

2

43

【詳解】由題意可知事件A出現(xiàn)的頻率為，而概率是大量試驗中，頻率趨于的一個穩(wěn)定值，

80

1

由于硬幣正反面出現(xiàn)的機(jī)會是均等的，故事件A出現(xiàn)的概率為，

2

故答案為：1

2

題型02用隨機(jī)事件的頻率估計概率

【典例1】（2023上·北京·高二北京五十五中校考期中）手機(jī)支付已經(jīng)成為人們幾乎最常用的付費(fèi)方式.某大

型超市為調(diào)查顧客付款方式的情況，隨機(jī)抽取了100名顧客進(jìn)行調(diào)查，記錄結(jié)果整理如下表.從這100名顧

客中隨機(jī)抽取1人，則該顧客年齡在40,60內(nèi)且未使用手機(jī)支付的概率為（）.

顧客年齡（歲）20歲以下20,3030,4040,5050,6060,7070歲及以上

手機(jī)支付人數(shù)31214132790

其他支付方式人數(shù)0029551

212237

A．B．C．D．

5055050

【答案】D

【詳解】在隨機(jī)抽取的100名顧客中，顧客年齡在[40,60)內(nèi)且未使用手機(jī)支付的共有9514（人），

147

所以從該超市隨機(jī)抽取1名顧客，估計該顧客年齡在內(nèi)且未使用手機(jī)支付的概率為P.

10050

故選：D.

【典例2】（2024上·河北石家莊·高二統(tǒng)考期末）天氣預(yù)報預(yù)測在今后的三天中，每天下雨的概率都為60%.

現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計這三天中恰有兩天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表

示不下雨.用計算機(jī)產(chǎn)生了10組隨機(jī)數(shù)為180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.據(jù)此估計

這三天中恰有兩天下雨的概率近似為.

2

【答案】/0.4

5

【詳解】10組隨機(jī)數(shù)中，表示三天中恰有兩天下雨的有417，386，196，206，

42

故這三天中恰有兩天下雨的概率近似為.

105

2

故答案為：

5

【典例3】（2022上·上?！じ叨虾Ｊ忻褶k揚(yáng)波中學(xué)?？计谀┦苋蛐鹿谝咔橛绊懀?020東京奧運(yùn)會延期

至2021年7月23日到8月8日舉行，某射箭選手積極備戰(zhàn)奧運(yùn)，在臨賽前的一次訓(xùn)練中共射了1組共72

支箭，下表是命中環(huán)數(shù)的部分統(tǒng)計信息

環(huán)數(shù)<778910

頻數(shù)03ab22

已知該次訓(xùn)練的平均環(huán)數(shù)為9.125環(huán)

(1)求a，b的值；

(2)據(jù)此水平，求正式比賽時射出的第一支箭命中黃圈（不小于9環(huán)）的概率.

a7

【答案】(1)；

b40

(2)0.86.

【詳解】（1）根據(jù)題意，

ab7222347ab47a7

，化簡得，解得，

738a9b10229.125728a9b416b40

2240

（2）訓(xùn)練中命中黃圈的頻率為0.86，

72

以頻率估計概率，故正式比賽時射出的第一支箭命中黃圈（不小于9環(huán)）的概率約為0.86．

【變式1】（2022下·湖南岳陽·高一統(tǒng)考期末）天氣預(yù)報說，在今后的三天中，每天下雨的概率都為60%．現(xiàn)

采用隨機(jī)模擬的方法估計這三天中恰有兩天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用計算機(jī)產(chǎn)生了

10組隨機(jī)數(shù)180，792，454，417，165，809，798，386，196，206據(jù)此估計這三天中恰有兩天下雨的概

率近似為（）

3217

A．B．C．D．

55210

【答案】B

【詳解】10組數(shù)據(jù)中，恰有兩天下雨的有417，386，196，206，共4個，

42

故此估計這三天中恰有兩天下雨的概率近似為.

105

故選：B

【變式2】（2023上·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了200

位某種疾病患者的年齡，得到了如圖的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，根據(jù)圖中信息估計該地區(qū)這種疾病患

者的年齡位于[10,30)的概率為.

7

【答案】0.14/

50

【詳解】由題知：a0.1(0.0010.00220.0060.01720.0200.023)0.012，

故該地區(qū)這種疾病患者的年齡位于的[10，30)概率為(0.0120.002)100.14.

故答案為：0.14

【變式3】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）一家保險公司想了解汽車擋風(fēng)玻璃破碎的概率．該公司收集了20000

輛汽車的信息，時間從某一年的7月1日到第二年的6月30日，共發(fā)現(xiàn)有600輛汽車的擋風(fēng)玻璃破碎．在一

年時間內(nèi)，一輛汽車的擋風(fēng)玻璃破碎的概率大約是多少？

【答案】0.03

【詳解】根據(jù)題意，一年時間內(nèi)，20000輛汽車中，有600輛汽車的擋風(fēng)玻璃破碎，

600

故樣本中汽車擋風(fēng)玻璃破碎的頻率為0.03，

20000

則由頻率估計概率，一年時間內(nèi)，一輛汽車的擋風(fēng)玻璃破碎的概率約為0.03.

題型03游戲公平性

【典例1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）某學(xué)校校慶，給每班發(fā)了5張慶典門票．班主任王老師準(zhǔn)備采用抽

簽方式來決定哪5位同學(xué)參加，為此制作了50張卡片，其中5張寫有“慶典”字樣．50位同學(xué)輪流抽簽，抽

5

中寫有“慶典”字樣的同學(xué)參加學(xué)校慶典．小明提出：“抽簽有先后，第一名同學(xué)抽中的概率是．如果第一

50

45

名同學(xué)抽到，第二名同學(xué)抽到的概率只有，如果第一名同學(xué)未抽中，第二名同學(xué)抽中的概率為．抽

4949

中的機(jī)會未必相等．”你認(rèn)為王老師的抽簽方法公平嗎？小明的話又如何解釋？

【答案】公平，理由見解析.

51

【詳解】王老師的抽簽方法公平，每位同學(xué)抽中的概率均為，即.

5010

理由如下：

小明的話看似也有道理，第二名同學(xué)在第一名同學(xué)抽中和未抽中的情況下抽到門票的概率有所不同，但抽

中門票的總概率是相同的，只考慮第50個人摸卡片的情況，50張卡片中的每張卡片有可能被第50個人摸

51

到，且可能性相等，其中有5張情形寫有“慶典”，因此第50個人摸到寫有“慶典”的卡片的概率為，即，

5010

與摸卡片的人的摸卡片順序無關(guān).

【典例2】（2022上·陜西西安·高二陜西師大附中校考階段練習(xí)）（1）小明和小剛正在做擲骰子游戲，兩

人各擲一枚骰子.當(dāng)兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)時，小剛得1分，否則小明得1分.這個游戲公平嗎？

（2）盒子里裝有3個紅球，1個白球，從中任取3個球，求“3個球中既有紅球又有白球”的概率.

3

【答案】（1）公平；（2）

4

【詳解】（1）用列表的方法得：

18111

一共36種情況，和為奇數(shù)的共18種，則小剛得一分的概率為，小明得一分的概率為1，兩

36222

者概率相同，所以公平；

（2）用畫樹狀圖的方法得：

183

一共24種情況，又有紅又有白為一白二紅共有18種，則概率為.

244

【變式1】（2023下·江西吉安·高一統(tǒng)考期末）（1）用擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣做勝負(fù)游戲，規(guī)定：兩枚硬

幣同時出現(xiàn)正面或同時出現(xiàn)反面算甲勝，一個正面、一個反面算乙勝．這個游戲是否公平？請通過計算說

明．

（2）若投擲質(zhì)地均勻的三枚硬幣，規(guī)定：三枚硬幣同時出現(xiàn)正面或同時出現(xiàn)反面算甲勝，其他情況算乙勝．這

個游戲是否公平？請通過計算說明．

【答案】（1）這個游戲公平的；答案見解析；（2）這個游戲不公平；答案見解析．

【詳解】（1）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，所有情況有：{（正正），（正反），（反正），（反反）}．

1

記事件A，B分別為“甲勝”，“乙勝”，則P(A)P(B)，

2

這個游戲公平的．

（2）拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，所以有情況有：{（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反

正正），（反正反），（反反正），（反反反）}．

記事件A，B分別為“甲勝”，“乙勝”，

213

則P(A)，P(B)．這個游戲不公平．

844

【變式2】（2022·高一課時練習(xí)）已知n是一個三位正整數(shù)，若n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大

于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”（如135，256，345等）

現(xiàn)要從甲乙兩名同學(xué)中，選出一個參加某市組織的數(shù)學(xué)競賽，選取的規(guī)則如下：從由1，2，3，4，5，6組

成的所有“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個數(shù)，且只抽取1次，若抽取的“三位遞增數(shù)”是偶數(shù)，則甲參加數(shù)學(xué)競

賽；否則，乙參加數(shù)學(xué)競賽.

（1）由1，2，3，4，5，6可組成多少“三位遞增數(shù)”？并一一列舉出來.

（2）這種選取規(guī)則對甲乙兩名學(xué)生公平嗎？并說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）不公平，理由見解析.

【詳解】解：（1）由題意知，所有由1，2，3，4，5，6組成的“三位遞增數(shù)共有20個.

分別是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，

346，356，456.

（2）不公平由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6組成的“三位遞增數(shù)”有20個，記“甲參加數(shù)學(xué)競賽”為事

件A，記“乙參加數(shù)學(xué)競賽”為事件B.則事件A含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，

246，256，346，356，456共13個.

由古典概型計算公式，得

事件A含有的基本事件的個數(shù)13

P(A)，

試驗所有基本事件的總數(shù)20

137

又A與B對立，所以P(B)1P(A)1，

2020

所以P(A)P(B).故選取規(guī)則對甲、乙兩名學(xué)生不公平.

題型04利用概率知識解決實際生活中的問題

【典例1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）氣象臺預(yù)報“本市明天降雨概率是70%”，下列說法正確的是（）

A．本市明天將有70%的地區(qū)降雨B．本市有天將有70%的時間降雨

C．明天出行不帶雨具淋雨的可能性很大D．明天出行不帶雨具肯定要淋雨

【答案】C

【詳解】氣象臺預(yù)報“本市明天降雨概率是70%”,則本市明天降雨的可能性比較大.與降水地區(qū)面積和降水時

間無關(guān),所以A,B錯誤.

降水概率是事件發(fā)生的可能,不是一定會發(fā)生的事情,所以D錯誤.

而由降水概率是70%,可知降水概率較大,所以明天出行不帶雨具淋雨的可能性很大,所以C正確.

故選:C.

1

【典例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）某種彩票的中獎概率為，則以下理解正確的是（）

100000

A．購買這種彩票100000張，一定能中獎一次

B．購買這種彩票100000張，可能一次也沒中獎

C．購買這種彩票1張，一定不能中獎

D．購買這種彩票100000張，至少能中獎一次

【答案】B

【詳解】購買這種彩票100000張，相當(dāng)于做100000次試驗，因為每次試驗的結(jié)果都是隨機(jī)的，

所以每張彩票可能中獎，也可能不中獎，

對于ABD，購買這種彩票100000張，可能沒有一張中獎，所以AD錯誤，B正確

對于C，購買這種彩票1張，有可能中獎，所以C錯誤，

故選：B

【典例3】（2023下·全國·高一隨堂練習(xí)）深夜，一輛出租車被牽涉進(jìn)一起交通事故，該市有兩家出租車公

司——紅色出租車公司和藍(lán)色出租車公司，其中藍(lán)色出租車公司和紅色出租車公司分別占整個城市出租車的

85%和15%.據(jù)現(xiàn)場目擊證人說，事故現(xiàn)場的出租車是紅色的，并對證人的辨別能力進(jìn)行了測試，測得他辨

認(rèn)的正確率為80%，于是警察就認(rèn)定紅色出租車具有較大的肇事嫌疑.請問警察的認(rèn)定對紅色出租車公平

嗎？試說明理由.

【答案】不公平的.

【詳解】解：設(shè)城市的出租車有1000輛，那么依題意可得如下信息：

從表中可以看出，當(dāng)證人說出租車是紅色的，

120

它確定是紅色的概率為0.41，

290

170

而它是藍(lán)色的概率為0.59，

290

在實際數(shù)據(jù)面前，

作為警察以證人的證詞作為推斷的依據(jù)，對紅色出租車來說顯然是不公平的．

【變式1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列說法正確的是

1

A．某廠一批產(chǎn)品的次品率為，則任意抽取其中10件產(chǎn)品一定會發(fā)現(xiàn)一件次品

10

B．?dāng)S一枚硬幣，連續(xù)出現(xiàn)5次正面向上，第六次出現(xiàn)反面向上的概率與正面向上的概率仍然都為0.5

C．某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%，那么前9個病人都沒有治愈，第10個人就一定能治愈

D．氣象部門預(yù)報明天下雨的概率是90%，說明明天該地區(qū)90%的地方要下雨，其余10%的地方不會下

雨

【答案】B

【詳解】試題分析：根據(jù)事件的頻率的概念和事件概率的含義判斷正誤即可．

詳解：

A.產(chǎn)品的次品率是通過大量的產(chǎn)品通過實驗得到的數(shù)據(jù)，題目中的產(chǎn)品個數(shù)很少，故不正確；

B.擲硬幣正面或反面朝上的概率是通過大量實驗得到的準(zhǔn)確的值，和實驗次數(shù)無關(guān)，故正確；

C.解釋同A選項，也不正確；

D．事件的概率是大量實驗后得到的結(jié)果，是準(zhǔn)確的值，和實驗次數(shù)無關(guān)，但是D選項的說法體現(xiàn)的不是概

率的概念，故不正確．

【變式2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）某購物網(wǎng)站開展一種商品的預(yù)約購買，規(guī)定每個手機(jī)號只能預(yù)約一

次，預(yù)約后通過搖號的方式?jīng)Q定能否成功購買到該商品.規(guī)則如下：（?。u號的初始中簽率為0.19；（ⅱ）

當(dāng)中簽率不超過1時，可借助“好友助力”活動增加中簽率，每邀請到一位好友參與“好友助力”活動可使中簽

率增加0.05.為了使中簽率超過0.9，則至少需要邀請位好友參與到“好友助力”活動.

【答案】15

【詳解】因為搖號的初始中簽率為0.19，所以要使中簽率超過0.9，需要增加中簽率0.90.190.71，

因為每邀請到一位好友參與“好友助力”活動可使中簽率增加0.05，

0.71

所以至少需要邀請14.2，所以至少需要邀請15位好友參與到“好友助力”活動.

0.05

故答案為：15

【變式3】（2023·江西吉安·江西省泰和中學(xué)校考一模）設(shè)有外形完全相同的兩個箱子，甲箱中有99個白球，

1個黑球，乙箱中有1個白球，99個黑球.隨機(jī)地抽取一箱，再從取出的一箱中抽取一球，結(jié)果取得白球，

我們可以認(rèn)為這球是從箱中取出的.

【答案】甲.

【詳解】解：甲箱有99個白球1個黑球，

99

隨機(jī)地取出一球，得白球的可能性是，

100

1

乙箱中有1個白球和99個黑球，從中任取一球，得白球的可能性是，

100

由此看到，這一白球從甲箱中抽出的概率比從乙箱中抽出的概率大得多．

既然在一次抽樣中抽得白球，當(dāng)然可以認(rèn)為是由概率大的箱子中抽出的．

我們作出推斷是從甲箱中抽出的．

故答案為：甲

題型05利用計算器或計算機(jī)模擬試驗求概率

【典例1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）在一個實驗中，某種豚鼠被感染A病毒的概率均為40%，現(xiàn)采用隨

機(jī)模擬方法估計三只豚鼠中被感染的概率：先由計算機(jī)產(chǎn)生出[0，9]之間整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4

表示被感染，5，6，7，8，9，0表示沒有被感染.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：

192907966925271932812458569683

257393127556488730113537989431

據(jù)此估計三只豚鼠中至少一只被感染的概率為（）.

A．0.25B．0.4C．0.6D．0.75

【答案】D

【詳解】由題意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的對立事件為三只豚鼠都沒被感染，隨機(jī)數(shù)中滿足三只

5

豚鼠都沒被感染的有907，966，569，556，989共5個，故三只豚鼠都沒被感染的概率為0.25，則三

20

只豚鼠中至少一只被感染的概率為10.250.75

故選：D

【典例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）某種心臟手術(shù)，成功率為0.6，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計“3例心臟

手術(shù)全部成功”的概率：先利用計算器或計算機(jī)產(chǎn)生0~9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，由于成功率是0.6，我們

用0，1，2，3表示手術(shù)不成功，4，5，6，7，8，9表示手術(shù)成功；再以每3個隨機(jī)數(shù)為一組，作為3例手

術(shù)的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生如下10組隨機(jī)數(shù)：

812，832，569，683，271，989，730，537，925，907

由此估計“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為（）

A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5

【答案】A

【詳解】解：由題意，10組隨機(jī)數(shù)：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心臟手術(shù)全部成功”

的有：569,989，故2個，

2

故估計“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為0.2.

10

故選：A.

【典例3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如果袋中裝有數(shù)量差別很大而大小相同的白球和黃球（只有顏色不

同）若干個，有放回地從中任取1球，取了10次有7個白球，估計袋中數(shù)量較多的是球.

【答案】白

【詳解】取了10次有7個白球，則取出白球的頻率是0.7，估計其概率是0.7，那么取出黃球的概率約是0.3，

取出白球的概率大于取出黃球的概率，所以估計袋中數(shù)量較多的是白球.

故答案為：白

【典例4】（2024上·四川宜賓·高二宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校?？计谀┐又杏兴膫€小球，分別寫有“中?

華?民?族”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“中”“華”兩個字都取到才停止.用隨機(jī)模擬的方法估計

恰好抽取三次停止的概率，利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用0,1,2,3代表“中?華?民?

族”這四個字，以每三個隨機(jī)數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：

232321230023123021132220001

231130133231031320122103233

由此可以估計，恰好抽取三次就停止的概率為.

【答案】2

9

【詳解】由隨機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)可知恰好抽取三次就停止的有021,001,130,031，共4組隨機(jī)數(shù)，

42

所以恰好抽取三次就停止的概率約為，

189

故答案為：2

9

【變式1】（2024上·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？计谀┻M(jìn)入8月份后，我市持續(xù)高溫，氣象局一般

會提前發(fā)布高溫橙色預(yù)警信號（高溫橙色預(yù)警標(biāo)準(zhǔn)為24小時內(nèi)最高氣溫將升至37攝氏度以上），在今后

3

的3天中，每一天最高氣溫在37攝氏度以上的概率是.用計算機(jī)生成了20組隨機(jī)數(shù)，結(jié)果如下：

5

116785812730134452125689024169

334217109361908284044147318027

若用0，1，2，3，4，5表示高溫橙色預(yù)警，用6，7，8，9表示非高溫橙色預(yù)警，則今后的3天中恰有2

天發(fā)布高溫橙色預(yù)警信號的概率估計是（）

31132

A．B．C．D．

52205

【答案】B

【詳解】由題意可知表示今后的3天中恰有2天發(fā)布高溫橙色預(yù)警信號的隨機(jī)數(shù)有：

116812730217109361284147318027共10個，

101

故今后的3天中恰有2天發(fā)布高溫橙色預(yù)警信號的概率估計是，

202

故選：B

【變式2】（2023上·四川綿陽·高二綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）甲、乙兩名運(yùn)動員進(jìn)入男子羽毛

球單打決賽，假設(shè)比賽打滿3局，贏得2局或3局者勝出，用計算機(jī)產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)

數(shù)1，2，3時，表示一局比賽甲獲勝；否則，乙獲勝.由于要比賽3局，所以每3個隨機(jī)數(shù)為一組，產(chǎn)生20

組隨機(jī)數(shù)：

423123423344114453525332152342

534443512541125432334151314354

據(jù)此估計甲獲得冠軍的概率為；

13

【答案】0.65/

20

【詳解】由題意得甲獲勝的情況有:423，123，423，114，332，152，342，

512，125，432，334，151，314，共13種，

13

所以估計甲獲得冠軍的概率為P0.65.

20

故答案為：0.65

【變式3】（2023下·四川南充·高三閬中中學(xué)校考階段練習(xí)）欲利用隨機(jī)數(shù)表從00，01，02，…，59這些編

號中抽取一個容量為6的樣本，抽取方法是從下面的隨機(jī)數(shù)表的第1行第11列開始向右讀取，每次讀取兩

位，直到取足樣本，則第4個被抽取的樣本的編號為

【答案】10

【詳解】從隨機(jī)數(shù)表的第1行第11列開始向右讀取，每次讀取兩位編號有：16，95，55，67，……，不大

于59的有16，55，19，10，……，第4個被抽取的樣本的編號為10.

故答案為：10

【變式4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）假定某運(yùn)動員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%，現(xiàn)采用隨機(jī)模

擬的方法估計該運(yùn)動員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨

機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每兩個隨機(jī)數(shù)為一組，代

表兩次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：

93281245856968343125

73930275564887301135

據(jù)此估計，該運(yùn)動員兩次擲飛鏢恰有一次正中靶心的概率為．

1

【答案】/0.5

2

【詳解】解：兩次擲鏢恰有一次正中靶心表示隨機(jī)數(shù)中有且只有一個數(shù)為1，2，3，4中的之一.

它們分別是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10個，

10

因此所求的概率為=0.5.

20

1

故答案為：.

2

A夯實基礎(chǔ)B能力提升

A夯實基礎(chǔ)

一、單選題

1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在一次拋硬幣的試驗中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了1000次試驗，

發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了560次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（）

A．0.56，0.56B．0.56，0.5

C．0.5，0.5D．0.5，0.56

【答案】B

【分析】根據(jù)頻率和概率的定義求解.

【詳解】某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了1000次試驗，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了560次，

560

那么出現(xiàn)正面朝上的頻率為0.56，

1000

由于每次拋硬幣時，正面朝上和反面朝上的機(jī)會相等，都是