高一數(shù)學(xué)必修第二冊同步學(xué)與練（人教版）第05講 向量的數(shù)量積（解析版）

第05講6.2.4向量的數(shù)量積

課程標準學(xué)習(xí)目標

1.通過閱讀課本在向量前面知識學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進一步了解向

①了解向量數(shù)量積的物理背景，即物

量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所

體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的

做的功；

功。

2.理解和掌握向量數(shù)量積的定義與投影向量的概念與意義；

②掌握向量數(shù)量積的定義及投影向

3.在認真學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，深刻掌握平面向量數(shù)量積的意義，

量。

為后續(xù)學(xué)習(xí)空間向量數(shù)量積打好基礎(chǔ)；

③會計算平面向量的數(shù)量積。

4.平面向量是數(shù)量積運算是平面向量運算的核心，對于提升

④會利用向量數(shù)量積的有關(guān)運算律進

數(shù)學(xué)運算能力，和邏輯推理能力有著十分重要的作用；

行計算或證明。

5.熟練運用會利用向量數(shù)量積的有關(guān)運算律進行計算或證

明，以及實際應(yīng)用有著十分重要的作用.

知識點01：平面向量數(shù)列積的物理背景

如圖,一個物體在力F的作用下產(chǎn)生了位移s,且力F與位移s的夾角為，那么力F所做的功

W|F||s|cos.

其中|F|cos是F在物體位移方向上的分量的數(shù)量,也就是力F在物體位移方向上正投影的數(shù)量.

從物理角度來看數(shù)量積的意義,有利于理解數(shù)量積的概念,兩個向量的數(shù)量積可以運算,其結(jié)果是一個數(shù)量.

知識點02：向量的夾角

(1)定義：已知兩個非零向量a,b,O是平面上的任意一點,作OAa,OBb,則AOB叫做向量a

與b的夾角.

(2)向量的夾角范圍0.

(3)特殊情況：

①0，a與b同向；

②，a與b垂直，記作ab；

2

③，a與b反向.

【即學(xué)即練1】（2023下·甘肅蘭州·高一統(tǒng)考期末）等邊三角形ABC中，AB與BC的夾角為（）

A．60B．60C．120D．150

【答案】C

【詳解】解：延長AB到D，則CBD為AB與BC的夾角，所以，AB與BC的夾角為120．

故選：C．

知識點03：平面向量數(shù)量積的概念

（1）平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為,我們把數(shù)量|a||b|cos叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積).

記作：ab，即ab|a||b|cos.

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0

特別提醒:

（1）“·”是數(shù)量積的運算符號,既不能省略不寫,也不能寫成“×”；

(2)數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量,不再是向量；

(3)向量數(shù)量積的正負由兩個向量的夾角決定:當是銳角時,數(shù)量積為正；當是鈍角時,數(shù)量積為負；

當是直角時,數(shù)量積等于零.

【即學(xué)即練2】（2023上·陜西漢中·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在ABC中，ABAC1，A90，則

ABBC.

【答案】1

【詳解】根據(jù)題意易得ABC為等腰直角三角形，

BC2,

3π

則ABBCABBCcosAB,BC12cos1，

4

故答案為：1.

（2）投影

如圖,設(shè)a,b是兩個非零向量,ABa,CDb,作如下變換:過AB的起點A和終點B,分

別作所在直線的垂線,垂足分別為,,得到,我們稱上述變換為向量向向量

CDA1B1A1B1ab

投影,叫做向量在向量上的投影向量.

A1B1ab

特別提醒:

①|(zhì)a|cos為向量a在b上的投影的數(shù)量；

②|b|cos為向量b在a上的投影的數(shù)量；

③投影的數(shù)量|a|cos（|b|cos）是一個值，不是向量.

【即學(xué)即練3】（2023下·甘肅天水·高一天水市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知a3，b4，且aab，

則向量a在向量b上的投影數(shù)量為.

9

【答案】

4

2

【詳解】因為aab，所以a(ab)aab0，

又因為a3，b4，所以ab9，

ab99

所以向量a在向量b上的投影數(shù)量為acosa,ba3，

ab434

9

故答案為：.

4

知識點4：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)a,b是非零向量,它們的夾角是,e是與b方向相同的單位向量,則

①aeea|a|cos.

②abab0.

③當a與b同向時,ab|a||b|；

④當a與b反向時,ab|a||b|；

22

⑤aaa|a|2或|a|aaa；

⑥|ab||a||b|；

ab

⑦cos.

|a||b|

知識點5：向量數(shù)量積的運算律

①交換律：abba

②對數(shù)乘的結(jié)合律：(a)b(ab)a(b)

③分配律：(ab)cacbc

22

④(ab)2a2abb

22

⑤(ab)(ab)ab

題型01平面向量數(shù)量積有關(guān)的定義及辨析

【典例1】（2022上·河北邯鄲·高二校考期中）若a,b均為非零向量，則abab是a與b共線的（）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分又不必要條件

【答案】A

【詳解】一方面：由abab，可得a,b0，此時a與b共線;

另一方面：由a與b共線，可得a,b0或a,bπ，此時有abab或abab，

即此時abab不一定成立.

結(jié)合以上兩方面有abab是a與b共線的充分不必要條件.

故選：A.

【典例2】（多選）（2023上·四川成都·高二成都七中?？计谥校┫铝姓f法正確的是（）

A．對任意向量a,b，都有abba

B．若abac且a0，則bc

C．對任意向量a,b,c，都有abcabc

D．對任意向量a,b,c，都有abcacbc

【答案】AD

【詳解】ababcosa,b，baabcosa,b，

可得abba，故選項A正確；

由abac可得abc0，

又a0，可得bc或abc，

故選項B錯誤；

abcabcosa,bccR,

abccbcosc,baaR

所以abcabc不一定成立，

故選項C錯誤；

由向量數(shù)量積運算的分配律可知選項D正確；

故選：AD.

【變式1】（2023下·上海黃浦·高一上海市敬業(yè)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知平面上有三個點A，B，C，則命題

“A，B，C可以構(gòu)成一個A為鈍角的鈍角三角形”是“ABAC0”的（）

A．充分非必要條件B．必要非充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】當A，B，C可以構(gòu)成一個A為鈍角的鈍角三角形時，ABAC0，

從而命題“A，B，C可以構(gòu)成一個A為鈍角的鈍角三角形”是“ABAC0”的充分條件，

當三個點A，B，C共線且BAC180時，滿是ABAC0，但是A，B，C不能構(gòu)成三角形，

從而命題“A，B，C可以構(gòu)成一個A為鈍角的鈍角三角形”不是“ABAC0”的不必要條件.

故選：A

【變式2】（多選）（2023下·四川樂山·高一期末）已知平面向量a，b，c，則下列說法正確的是（）

rrrrr

rrrrrrr22

A．a(chǎn)bcabcB．a(chǎn)babab

rrr

rrrrr

C．若acab，a0，則bcD．a(chǎn)bab，則ab

【答案】BD

rrr

rrrrr

【詳解】對于A：abcabcosa,bc表示與c共線的一個向量，

rrr

rrrrr

abcabccosb,c表示與a共線的一個向量，故A錯誤；

rrrr

rrr2r22

對于B：ababa2bab，故B正確；

rrrrrrrrrrrr

對于C：因為acab，即accosa,cabcosa,b，

rr

rrrr

又a0，所以ccosa,cbcosa,b，

即向量c與b在向量a方向上的投影相同，故C錯誤；

rrrrrr2rr2

對于D：若abab，則abab，

rrrr2rrrr2

即a22abba22abb，

所以ab0，則ab，故D正確；

故選：BD

題型02平面向量數(shù)量積的幾何意義

【典例1】（2022下·河南南陽·高一?？茧A段練習(xí)）已知ABC是邊長為2的正三角形，則向量AB在BC上

的投影數(shù)量是．

【答案】1

【詳解】向量AB在BC上的投影數(shù)量為ABcosAB,BC2cos1201，

故答案為：1

【典例2】（2023·山西·?？寄M預(yù)測）美術(shù)課對于陶冶人的情操?發(fā)展學(xué)生的藝術(shù)興趣和愛好?培養(yǎng)學(xué)生的

藝術(shù)特長?提高學(xué)生的審美素養(yǎng)具有積極作用.如圖，這是某學(xué)生關(guān)于“杯子”的聯(lián)想創(chuàng)意圖，它是由一個正方

形和三個半圓組成的，其中A，B是正方形的兩個頂點，P是三段圓弧上的動點，若AB4，則ABAP的

取值范圍是（）

A．24,24B．8,24

C．162,162D．8,162

【答案】B

【詳解】如圖，作CDAB,EFAB，垂足分別為D,F，且CD與左半圓相切，

切點為C,EF與右半圓相切，切點為E.

ABAP|AB||AP|cosAB,AP，其中|AP|cosAB,AP為AP在AB上的投影，

因為AB4，所以ADBF2.

當P與E重合時，|AP|cosAB,AP最大，最大值為426，

此時ABAP取得最大值，最大值為4624；

當P與C重合時，|AP|cosAB,AP最小，最小值為2，

此時ABAP取得最小值，最小值為4(2)8；

故ABAP的取值范圍是8,24，

故選：B

【變式1】（2023下·山東青島·高一統(tǒng)考期中）已知點P是邊長為2的正ABC的內(nèi)部（不包括邊界）的一

個點，則APAB的取值范圍為（）

A．0,2B．1,2C．0,4D．2,4

【答案】C

【詳解】解：如圖所示：

因為點P是邊長為2的正ABC的內(nèi)部（不包括邊界）的一個點，

由圖象知：APcosAP,ABAD0,2，

所以APABAPcosAP,ABAB0,4，

故選；C

題型03用定義法求向量數(shù)量積

【典例1】（2023上·山西·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知等邊三角形ABC的邊長為1，則ABBC（）

1313

A．B．C．D．

2222

【答案】C

2π2π1

【詳解】因為ABBC1，且向量AB與BC的夾角為，所以ABBC11cos，

332

故選：C．

【典例2】（2023上·上海楊浦·高三上海市控江中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，兩塊斜邊長均等于2的直角三

角板拼在一起，則ODBA的值為.

【答案】1

6

【詳解】根據(jù)題意可知，OAOB1，AD；

2

所以可得

6

ODBAOAADBAOABAADBA12cos452cos901，

2

即ODBA的值為1.

故答案為：1

【變式1】（2023上·山東濰坊·高三?？计谥校┮阎獆a|8,|b|6,a,b150，則ab（）

A．243B．-24C．243D．16

【答案】A

【詳解】解：因為a8,b6,a,b150，

3

所以ababcosa,b86243.

2

故選：A.

3π

【變式2】（2023上·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a1，b2，a,b，則aab.

4

【答案】0

223π2

【詳解】由題意aabaabaabcos12120.

42

故答案為：0.

題型04已知數(shù)量積求模

rr

【典例1】（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）已知平面向量a，b滿足a2b1，ab1，則a2b（）

A．3B．22C．3D．23

【答案】C

【詳解】因為a2b1，ab1，

22

2222

所以a2ba4ab4ba4ab4b8aba2b8ab9，

即a2b3.

故選：C

【典例2】（2023上·廣東佛山·高三?？茧A段練習(xí)）已知向量a，b滿足|a|3，|b|2，a與b的夾角為120，

則|a2b|．

【答案】1

13/132

222

【詳解】由題意得|a2b|a4ab4b9432cos1201613，

故|a2b|13，

故答案為：13

【變式1】（2023上·湖北·高二湖北省紅安縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知ab1，a2，a，b的夾

角為，則a2b（）

3

A．1B．2C．2D．4

【答案】C

【詳解】因為ab1，a2，a，b的夾角為，

3

π

所以ababcosa,b2bcos1，

3

解得b1，

22

a2ba2ba4ab4b24414122，

故選：C.

【變式2】（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量a，b滿足a2b2，且b(ba)，則ba

（）

A．1B．2C．2D．3

【答案】D

2

【詳解】因為b(ba)，所以b(ba)bab0，

因為a2b2，所以a2,b1，

解得ab1，

22

ba(ba)2ab2ab3.

故選：D

題型05向量夾角問題

【典例1】（2023上·北京海淀·高三北大附中?？茧A段練習(xí)）已知向量a，b，c滿足abc1，且

abc0，則cosac,bc（）

3113

A．B．C．D．

2222

【答案】C

【詳解】設(shè)aOA,bOB,cOC，

因為abc1，abc0，

可知A,B,C三點不共線，且O既是ABC的重心也是ABC的外心，

所以ABC為等邊三角形，

則acOAOCCA,bcOBOCCB，

rrrruuruur1

所以cosac,bccosCA,CBcosACB.

2

故選：C.

【典例2】（2024上·貴州黔東南·高三天柱民族中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量a2，b1，a2b2，

則a,b.

2π

【答案】

3

2

【詳解】由|a2b|2可得a2b4，

22

即a4ab4b4，即ab1，

ab1

所以cosa,b，又a,b0,π，

ab2

2π

所以a,b.

3

2π

故答案為：

3

【典例3】（2023上·北京·高三101中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知a1，b2，ab1，若atb與tab的

夾角為銳角，則實數(shù)t的取值范圍是．

3535

【答案】,11,

22

(atb)(tab)

【詳解】因為與的夾角為銳角，又cosatb,tab，

atbtabatbtab

222

所以(atb)(tab)ta(1t)abtb0，

又a1，b2，ab1，所以t(1t2)2tt23t10，

3535

解得t，又因atb,tab0,π，

22

當atb,tab0時，也滿足(atb)(tab)0，此時不合題意，

1t

當atb與tab共線同向時，有atb(tab)，從而得到，解得t1，

t

353535

又1，所以實數(shù)t的取值范圍是,11,，

222

3535

故答案為：,11,.

22

【變式1】（2024上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量a、b滿足b2a2，若aab，則a

與b的夾角為（）

π5ππ2π

A．B．C．D．

6633

【答案】D

2

【詳解】因為b2a2，且aab，所以aab0，即aab0，

2

所以aba1，

ab11

設(shè)a與b的夾角為，則cos，因為0,π，

ab212

2π2π

所以，即a與b的夾角為.

33

故選：D

【變式2】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知非零向量a,b滿足2a3b,b2ab，則向量a,b夾角

的余弦值為．

1

【答案】

3

【詳解】因為2a3b且a,b為非零向量，設(shè)a3tt0，則b2t，

2

又b2ab，所以b2ab0，則2bab0，

2

解得ba2t，

2

ba2t1

設(shè)向量a,b的夾角為，則cos，

ba3t2t3

1

即向量a,b夾角的余弦值為.

3

1

故答案為：

3

【變式3】（2023上·北京懷柔·高三北京市懷柔區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知平面向量a，b滿足ab1，

a與b的夾角為60，若ab與tab的夾角為鈍角，則一個滿足條件的t的值可以為．

【答案】0（答案不唯一，只要滿足t,11,1即可）

【詳解】因為ab1，a與b的夾角為60，

1

所以ab，

2

因為ab與tab的夾角為鈍角，

所以abtab0且這兩個向量不共線，

2233

abtabtat1abbt0，解得t1，

22

當ab//tab時，

存在唯一實數(shù)，使得tababab，

t

所以，所以t1，

1

又ab,tab不共線，所以t1，

綜上所述，t,11,1，

所以滿足條件的t的值可以為0.

故答案為：0.（答案不唯一，只要滿足t,11,1即可）

題型06向量垂直關(guān)系

【典例1】（2024上·浙江·高三舟山中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知向量a，b，a5，b4，a與b的夾角

為120°，若ka2bab，則k（）

4343

A．B．-C．D．

5555

【答案】C

1

【詳解】因為a5，b4，a與b的夾角為120，所以ab|a||b|cos12054()10.

2

由ka2bab，

22

得ka2babka2b(k2)ab25k21610(k2)15k120，

4

解得k.

5

故選:C.

【典例2】（2023下·河南省直轄縣級單位·高一河南省濟源第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知a4，b8，a

與b的夾角是120.

(1)計算a2b；

(2)當k為何值時，a2bkab？

【答案】(1)421

(2)－7

【詳解】（1）a4，b8，a與b的夾角是120，

則ab48cos12016，

2

22

即有a2ba2ba4ab4b16416464421；

（2）由a2bkab

22

可得a2bkab0，即ka2k1ab2b0，

即16k162k11280，解得k7.則當k為－7時，a2bkab；、

綜上，（1）a2b421，（2）k7.

【變式1】（2023上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量a2,1,b為單位向量，且aba3b，

則b在a方向上的投影向量的坐標為.

21

【答案】,

55

【詳解】由題意可知a22125，b1，

因為aba3b，

22

所以aba3ba2ab3b0，解得ab1，

abaa21

則則b在a方向上的投影向量的坐標為2,，

aaa55

21

故答案為：,

55

【變式2】（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）已知a,b是非零向量，a1，aba，a

2b

在b方向上的投影向量為，則|ab|．

2b

【答案】5

【詳解】已知a,b是非零向量，a1，

rrr

2

由aba，有abaaab0，可得ab1，

2bab2

a在b方向上的投影向量為，則有，得b2，

2bb2

222

由abab2ab5，所以ab5．

故答案為：5

題型07已知模求數(shù)量積

【典例1】（2022上·陜西安康·高二?？计谀┰O(shè)向量a，b滿足|ab|10，|ab|6，則ab（）

A．1B．2C．3D．5

【答案】A

【詳解】由|ab|10，得|ab|2|a|22ab|b|210，

由|ab|6，得|ab|2|a|22ab|b|26，兩式相減得ab1，

所以ab1.

故選：A

【典例2】（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中?？茧A段練習(xí)）已知向量a、b滿足a2，b5，且a與b夾

1

角的余弦值為，則a2b2ab（）

5

A．36B．28C．33D．12

【答案】A

1

【詳解】依題意，ab|a||b|cosa,b252，

5

22

所以(a2b)(2ab)2a2b3ab2222523236.

故選：A

r

rr

【變式1】（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量a,b滿足aba，且b2，則ab的值為（）

A．2B．2C．1D．1

【答案】B

rrr

【詳解】因為aba

rr2rrrrrr

所以aba2，即a2b22aba2，

2

則b2ab0

b2，

b2

ab2.

2

故選：B．

【變式2】（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)向量a和b滿足|ab|23，|ab|2，則ab的值

為.

【答案】2

【詳解】因為|ab|23，|ab|2

2222

所以a2abb12，a2abb4，

所以a×b=2.

故答案為：2

題型08已知模求參數(shù)

【典例1】（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知平面向量|a|2，|b|1，a,b的夾角為60，

atb3tR，則實數(shù)t（）

1

A．1B．1C．D．1

2

【答案】A

22

【詳解】因為atb3，所以a2abtt2b3，

即422cos60tt23，解得t1.

故選：A.

【典例2】（2022·福建·高三專題練習(xí)）已知a2b，b0，且關(guān)于x的方程x2axab0有實根，則

a與b的夾角的取值范圍是（）

ππ

A．0,B．,π

63

π2ππ

C．,D．,π

336

【答案】B

【詳解】因為關(guān)于x的方程x2axab0有實根，

2222

所以a4aba4abcos4b8bcos0，

1

所以cos，0,π，

2

π

所以π，

3

π

即a與b的夾角的取值范圍是,π.

3

故選：B.

【變式1】（2023下·廣東揭陽·高一校聯(lián)考期中）已知向量a,b，若|a||b|1,a與b的夾角為60；若ab

與tab的夾角為鈍角，則t取值范圍為（）

A．,1B．1,

C．1,11,D．,11,1

【答案】D

【詳解】ab與tab的夾角為鈍角，

22

abtabtaabtabb0，

又|a||b|1,a與b的夾角為60，

221133

所以taabtabbtt10，即t0，解得t1，

2222

又ab與tab不共線，所以t1，

所以t取值范圍為,11,1.

故選：D

【變式2】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知平面向量a,b滿足a2b6,akb37,ab9，則實數(shù)k的值

為．

【答案】1或3

2

22

【詳解】將akb37兩邊平方，得a2kabkb63，

得3618k9k263，即k22k30，解得k1或3．

故答案為：1或3.

題型09向量的投影

【典例1】（2023上·陜西西安·高二高新一中?？茧A段練習(xí)）已知向量a,b不共線，滿足|ab||ab|，則

ab在b方向上的投影向量為（）

A．a(chǎn)B．bC．a(chǎn)D．b

【答案】D

【詳解】因為|ab||ab|，

22

2222

所以abab，即a2abba2abb，得ab0，

22

abbabbb

則ab在b方向上的投影向量為2b2b2bb.

bbb

故選：D