高一數(shù)學(xué)必修第二冊同步學(xué)與練（人教版）第05講 圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積（解析版）

第05講8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.本節(jié)的主要內(nèi)容是圓柱、圓錐、圓臺、球等旋轉(zhuǎn)體

的表面積和體積教材首先利用圓柱、圓錐、圓臺的展開

圖，得出它們的表面積公式，然后根據(jù)以前學(xué)習(xí)過的圓

柱、圓錐的體積公式推導(dǎo)出圓臺的體積公式，再結(jié)合棱

①了解圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體

柱、棱錐、校臺的體積公式將它們統(tǒng)一成柱體、錐體、

積的計(jì)算公式。

臺體的體積公式最后給出了球的表面積公式，并由球的

②理解并掌握側(cè)面展開圖與幾何體的表面

表面積公式推導(dǎo)出了球的體積公式

積之間的關(guān)系，并能利用計(jì)算公式求幾何體

2.本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是圓柱、圓錐、圓臺及球的表面積和

的表面積與體積。

體積公式及其應(yīng)用，難點(diǎn)是推導(dǎo)體積和面積公式中空間

想象能力的形成，以及與球等有關(guān)的組合體的表面積和

體積的計(jì)算；

3.本節(jié)內(nèi)容所涉及的主要核心素養(yǎng)有：數(shù)學(xué)抽象、直觀

想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等；

知識點(diǎn)01：圓柱、圓錐、圓臺的表面積

（1）圓柱的表面積

①圓柱的側(cè)面積：

圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形.圓柱的底面半徑為r,母線長為l,那么這個矩形的一邊長為圓柱的底面周長，

另一邊長為圓柱的母線長，故圓柱的側(cè)面積為S側(cè)=2rl.

②圓柱的表面積：

2

SS側(cè)2S底=2rl2r2r(lr).

【即學(xué)即練1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示的幾何體是一棱長為4cm的正方體，若在其中一個面

的中心位置上，挖一個直徑為2cm、深為1cm的圓柱形的洞，則挖洞后幾何體的表面積是cm2．（π

取3.14）

【答案】102.28

【詳解】正方體的表面積為44696cm2，圓柱的側(cè)面積為2π112πcm2，

則挖洞后幾何體的表面積為962π102.28cm2．

故答案為：102.28.

（2）圓錐的表面積

①圓錐的側(cè)面積：

圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形.圓錐的底面半徑為r,母線長為l,那么這個扇形的弧長為圓錐的底面周長，

半徑為圓錐的母線長，故圓錐的側(cè)面積為S側(cè)=rl

②圓錐的表面積：

2

SS側(cè)S底=rlrr(lr)

【即學(xué)即練2】（2024上·上海長寧·高二上海市民辦新虹橋中學(xué)?？计谀┮阎狝BC中，

ππ

C,A,BC1，將ABC繞AC所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，則所得旋轉(zhuǎn)體的表面積是．

26

【答案】3π

ππ

【詳解】因?yàn)镃,A,BC1，所以AB2,ACAB2BC23，

26

所以旋轉(zhuǎn)體是底面半徑為1，高為3，母線長為2的圓錐，

所以表面積為Sπ12π123π，

故答案為：3π.

（3）圓臺的表面積

①圓臺的側(cè)面積：

圓臺的側(cè)面展開圖是一個扇環(huán).圓臺的上底面半徑為r,下底面半徑為r,母線長為l,故圓臺的側(cè)面積為

S側(cè)=(rr)l

②圓臺的表面積：

22

SS側(cè)S上底+S下底=（r+r）lr+r

【即學(xué)即練3】（2024上·河北張家口·高三統(tǒng)考期末）已知圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線

π

與下底面所成的角為，則該圓臺的表面積為（）

3

A．5πB．6πC．11πD．12π

【答案】C

【詳解】由題意，得上底面面積為π12π，下底面面積為π224π，

由圖形可得BDAF1，F(xiàn)CACAF211，

FC

πCD2

母線與下底面所成的角為，故π，

3cos

3

1

故圓臺的母線長為2，所以側(cè)面積為2π4π26π，

2

所以該圓臺的表面積為π4π6π11π．

故選：C．

知識點(diǎn)02：圓柱、圓錐、圓臺的體積

（1）圓柱的體積：VSh

1

（2）圓錐的體積：VSh

3

1

（3）圓臺的體積：V(S上+S上S下+S下)h

3

【即學(xué)即練4】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知底面半徑為4，高為8的圓錐，用一個平行于底面的平面去截

該圓錐得到高相等的兩個幾何體，則截得圓臺的體積為．

112112

【答案】/

33

【詳解】由題意可知，圓臺的上底面恰好是過圓錐的高的中點(diǎn)的截面，

故圓臺的上底面半徑為r2，下底面半徑為R4，高為h4，

14112π

則圓臺的體積為VπhR2r2Rrπ422242，

333

112π

故答案為：

3

知識點(diǎn)03：球的表面積和體積

（1）球的表面積：S=4R2

4

（2）球的體積:VR3

3

【即學(xué)即練5】（2024上·上?！じ叨y(tǒng)考期末）若用與球心距離為3的平面截球體所得的圓面半徑為4，則

球的體積為.

500500

【答案】/

33

4π34π3500π

【詳解】依題意，球的半徑R32425，所以球的體積VR5.

333

500π

故答案為：

3

題型01圓柱的表面積與體積

【典例1】（2024上·全國·高三期末）某圓錐的軸截面是一個邊長為4的等邊三角形，在該圓錐中內(nèi)接一個

圓柱，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為（）

A．2πB．3πC．23πD．4π

【答案】C

【詳解】由題意作圖如下：

由題設(shè)可知該圓錐的高POh23．設(shè)在該圓錐中內(nèi)接一個高為QOx的圓柱，

CDPQ2r23x3

該圓柱的底面半徑為OFr，由VPDC:VPAB，則，即，所以r2x，

ABPO4233

332

故該圓柱的側(cè)面積S2πrx2π2xx2πx2x，

33

當(dāng)x3時(shí)，側(cè)面積S取得最大值23π．

故選：C.

【典例2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）某車間需要對一個圓柱形工件進(jìn)行加工，該工件底面半徑為15cm，

高為10cm，加工方法為在底面中心處打一個半徑為rcm且和原工件有相同軸的圓柱形通孔．若要求工件加

工后的表面積最大，則r的值應(yīng)設(shè)計(jì)為．

【答案】5cm

【詳解】大圓柱的表面積為2152π10215π750π，

小圓柱的側(cè)面積為20πr，上、下底面積之和為2πr2，

2

所以加工后物件的表面積為750π20πr2πr22πr5700π，

所以當(dāng)r=5(cm)時(shí)，表面積最大．

故答案為：5cm.

【典例3】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，已知圓錐的底面半徑R6，高h(yuǎn)8，過PO上一點(diǎn)O作平

行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱.

(1)若圓柱的底面半徑r3，求剩余部分體積；

(2)試求圓柱側(cè)面積的最大值.

【答案】(1)60π

(2)24π

【詳解】（1）因?yàn)閳A錐的底面半徑R6，高h(yuǎn)8.

所以圓錐的母線長Lh2R210、

12

圓錐體積V錐πRh96π.

3

r8h

設(shè)圓柱的高h(yuǎn)，則，所以h4，

R8

2

圓柱體積V柱πrh36π，

剩余部分體積為V剩V錐V柱96π36π60π，

（2）方法一：作出圓錐、圓柱的軸截面如圖所示，

其中SO8,OAOB6，設(shè)OKx(0x8)，

r8x3

設(shè)圓柱底面半徑為r，則，即r8x

684

設(shè)圓柱的側(cè)面積為

33π

S2πrx2π8xxx28x.

42

當(dāng)x4時(shí)，S有最大值為24π，

方法二：作出圓錐、圓柱的軸截面如圖所示，

其中SO8,OAOB6，

r8h4

設(shè)圓柱底面半徑為r(0r6),OKh，則，即h8r

683

設(shè)圓柱的側(cè)面積為

482

S2πrh2πr8rπr16πr(0r6)

33

16π

r3

當(dāng)8時(shí)，S有最大值為24π.

2π

3

【變式1】（多選）（2024上·江蘇南京·高二金陵中學(xué)?？计谀┮蚤L為4cm，寬為3cm的矩形的一邊為旋

轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的圓柱的表面積可以為（）

A．16πcm2B．24πcm2C．42πcm2D．56πcm2

【答案】CD

【詳解】當(dāng)圓柱底面半徑為4cm，高為3cm時(shí)，表面積S2π432π4256πcm2；

當(dāng)圓柱底面半徑為3cm，高為4cm時(shí)，表面積S2π342π3242πcm2.

故選：CD

【變式2】（2024上·上海·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知圓柱的底面半徑為2，母線長為3，

(1)求該圓柱的體積和表面積

(2)直角三角形O1OA繞O1O旋轉(zhuǎn)一周，求所得圓錐的側(cè)面積

【答案】(1)體積為12π，表面積為20π；

(2)213π

【詳解】（1）圓柱的底面半徑r2，母線長l3，即高h(yuǎn)3，

體積Vπr2hπ22312π，

表面積S2πr22πrh2π222π2320π.

（2）由題意，圓錐母線lr2h213，

所得圓錐的側(cè)面積為S圓錐側(cè)πrl213π.

【變式3】（2024·全國·高一假期作業(yè)）某種“籠具”由內(nèi)、外兩層組成，無下底面，內(nèi)層和外層分別是一個

圓錐和一個圓柱，其中圓柱與圓錐的底面周長相等，圓柱有上底面，已知圓柱的底面周長為24πcm，高為

30cm，圓錐的母線長為20cm．

(1)求這種“籠具”的體積（結(jié)果精確到0.1cm3）；

(2)現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作50個“籠具”，該材料的造價(jià)為每平方米8元，共需多少元？（結(jié)果精確到1

元）

【答案】(1)11153.3cm3

(2)139元

【詳解】（1）設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，圓錐的母線長為l，高為h1，

則2πr24π，解得r12cm，

則22，

h1201216cm

11

所以“籠具”的體積V=πr2hπr2hπ(1223012216)3552π11153.3cm3．

313

2

（2）圓柱的側(cè)面積S12πrh720cm，

22

圓柱的底面積S2πr144πcm，

2

圓錐的側(cè)面積為S3πrl240πcm，

2

所以“籠具”的表面積為SS1S2S31104πcm，

1104π5081104π

所以制造50個這樣的“籠具”總造價(jià)為：139元．

10425

題型02圓錐的表面積與體積

【典例1】（2024上·遼寧·高三校聯(lián)考期末）已知某圓錐的軸截面是等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積與

表面積的比值是（）

A．22B．21C．21D．22

【答案】A

【詳解】由題意可得軸截面ABC是等腰直角三角形，設(shè)該圓錐的底面圓的半徑為r，則其母線長為2r，

1

從而該圓錐的側(cè)面積S2πr2r2πr2.

12

22

表面積S2S1πr21πr，

S2πr2

122

故2.

S221πr

故選：A.

【典例2】（2024上·山東濰坊·高三統(tǒng)考期末）已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為23的半圓，則該圓錐的體

積為（）

A．3πB．23πC．3πD．9π

【答案】C

【詳解】由圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為23的半圓，可得圓錐的母線長l23，

設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2πr=23π，解之得r3，

則圓錐的高h(yuǎn)l2r23

11

則該圓錐的體積為πr2hπ333π

33

故選：C

【典例3】（2024上·四川成都·高三成都七中?？计谀┙煌ㄥF，又稱錐形交通路標(biāo)，如圖1，常用于進(jìn)行

工程、發(fā)生事故時(shí)提醒行人或車輛，以保證工程人員及道路使用者的人身安全等．某數(shù)學(xué)課外興趣小組對

一個去掉底座的圓錐形交通錐筒進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)將該交通錐筒放倒在地面上，如圖2，使交通錐筒在地面上

繞錐頂點(diǎn)S滾動，當(dāng)這個交通錐筒首次轉(zhuǎn)回到原位置時(shí)，交通錐筒本身恰好滾動了3周．若將該交通錐筒

近似看成圓錐，將地面近似看成平面，測得該圓錐的底面半徑為152cm，則該圓錐的側(cè)面積為．cm2

（交通錐筒的厚度忽略不計(jì)）．

【答案】1350π

【詳解】解法一：設(shè)圓錐的母線長為l，則圓錐繞頂點(diǎn)S滾動所形成的圓的半徑為l，周長為2πl(wèi)．

因?yàn)閳A錐的底面半徑為152，所以該圓錐的底面周長為2π152302π，

故2πl(wèi)3302π，解得l452，

所以該圓錐的側(cè)面積為152452π1350πcm2．

解法二：設(shè)圓錐的母線長為l，則圓錐繞頂點(diǎn)S滾動所形成的圓的半徑為l，面積為l2．

因?yàn)閳A錐的底面半徑為152，所以該圓錐的側(cè)面積為π152l152πl(wèi)，

故πl(wèi)23152πl(wèi)，解得l452，

所以該圓錐的側(cè)面積為152452π1350πcm2．

故答案為：1350π.

【變式1】（2024上·四川南充·高二統(tǒng)考期末）若圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐的側(cè)面展開

圖面積是（）．

A．πB．3πC．4πD．6π

【答案】B

【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式即可.

【詳解】設(shè)該圓錐的側(cè)面展開圖面積為S,底面半徑為r，母線長為l，

則Sπrl3π，

故選：B.

【變式2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，圓錐SO的底面圓半徑OA1，側(cè)面展開圖扇形SAB的

面積為3π，則此圓錐的體積為（）

22π

A．B．4πC．πD．22π

3

【答案】A

1

【詳解】設(shè)圓錐的母線長為l，則圓錐的側(cè)面積S2π1l3π，所以l3，

2

所以圓錐的高SO32122，

122

故圓錐的體積Vπ1222π.

33

故選：A.

【變式3】（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市第八中學(xué)校?？计谀┓鹛m德現(xiàn)代藝術(shù)中心是比利時(shí)

洛默爾市的地標(biāo)性建筑，該建筑是一座全玻璃建筑，整體成圓錐形，它利用現(xiàn)代設(shè)計(jì)手法令空間與其展示

的藝術(shù)品無縫交融，形成一個統(tǒng)一的整體，氣勢恢宏，美輪美英．佛蘭德現(xiàn)代藝術(shù)中心的底面直徑為8m，

側(cè)面積為8π229m2，則該建筑的高為（）

A．26mB．28mC．30mD．36m

【答案】C

1

【詳解】設(shè)該建筑的母線長為x，高為h，則由其側(cè)面積為8π229m2，可得π8x8π229，

2

解得x2229m，所以hx24230m．

故選：C．

題型03圓臺的表面積與體積

【典例1】（2024·云南昭通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”

與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄?決勝千里?

大智大勇的象征（如圖甲）.圖乙是扇形的一部分，若兩個圓弧DE,AC所在圓的半徑分別是12和27，且

ABC120.若圖乙是某圓臺的側(cè)面展開圖，則該圓臺的側(cè)面積是（）

13302

A．292πB．πC．195πD．243π

3

【答案】C

【詳解】設(shè)圓臺的上底面半徑為r，下底面半徑為R，

2

利用弧長公式可得2πrπ12，解得r4,

3

2

又2πRπ27，解得R=9；

3

又圓臺的母線長為l271215，

所以圓臺的側(cè)面積Sπ4915195π，

故選：C.

【典例2】（2023上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中將圓臺稱為“圓亭”.已知某圓亭的高為3，

上底面半徑為1，下底面半徑為5，則此圓亭的表面積為（）

A．25πB．26C．30πD．56π

【答案】D

【詳解】由題意，可作該圓亭的軸截面，如圖所示：

則圓亭的高h(yuǎn)O1O2BE3，上底面半徑rO2B1，下底面半徑RO1A5，

母線lAB32425，

所以圓臺的表面積SπrRlπr2πR256π.

故選：D

【典例3】（多選）（2024·全國·高一假期作業(yè)）某班級到一工廠參加社會實(shí)踐勞動，加工出如圖所示的圓

臺O1O2，在軸截面ABCD中，ABADBC2cm，且CD2AB，則（）

A．該圓臺的高為1cmB．該圓臺軸截面面積為33cm2

23

C．該圓臺的側(cè)面積為6cmD．該圓臺的體積為73cm

3

【答案】BCD

【詳解】

CDAB

如圖，作BECD交CD于E，易得CE1，則BE=22-12=3，則圓臺的高為3cm，A錯

2

誤；

1

圓臺的軸截面面積為24333cm2，B正確；

2

圓臺的側(cè)面積為S側(cè)π1226π，故C正確；

173

圓臺的體積為344cm3，D正確.

33

故選：BCD

【變式1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知圓臺的上、下底面的半徑分別為1，3，其表面積為26π，則該

圓臺的體積為（）

76π383π52π263π

A．B．C．D．

3333

【答案】D

【詳解】設(shè)圓臺的母線長為l．高為h．

所以π12π32π13l26π，解得l=4，

所以hl2(31)223．

1

所以該圓臺的體積Vπ12π32π12π3223263π．

33

故選：D．

【變式2】（2023上·山東濰坊·高三統(tǒng)考期中）北京故宮博物院展示著一件來自2200年前的寶物——秦詔文

權(quán)（如圖1）.此文權(quán)下部呈圓臺形，上部為鼻鈕，被譽(yù)為最美、最具文化、最有政治和歷史意義的文物之

一.某公司仿照該文權(quán)制成一紙鎮(zhèn)（如圖2），已知該紙鎮(zhèn)下部的上、下底面半徑分別為3，4，高為3，則

該紙鎮(zhèn)下部的側(cè)面積與體積分別為（）

A．21π,37πB．21π,111πC．710π,37πD．710π,111π

【答案】C

【詳解】因?yàn)閳A臺紙鎮(zhèn)下部的上、下底面半徑分別為3，4，高為3，

2

所以圓臺的母線為長l324310，

則該紙鎮(zhèn)下部的側(cè)面積為S=π3410=710π，

1

該紙鎮(zhèn)下部的體積為V=π32+π42+π32π423=37π.

3

故選：C.

【變式3】（多選）（2023上·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）某班級到一工廠參加社會實(shí)踐勞動，

加工出如圖所示的圓臺O1O2，軸截面ABCD為等腰梯形，且滿足CD2AB2AD2BC4cm.下列說法正

確的是（）

A．該圓臺軸截面ABCD的面積為33cm2

B．該圓臺的表面積為11πcm2

C．該圓臺的體積為23πcm3

3

D．該圓臺有內(nèi)切球，且半徑為cm

2

【答案】AB

2

【詳解】對于，由，可得高42，

ACD2AB2AD2BC4cmO1O243

2

1

則圓臺軸截面ABCD的面積為24333cm2，故A正確；

2

2

對于B，圓臺的側(cè)面積為S側(cè)π1226πcm，

2222

又S上π1πcm，S下π24πcm，

2

所以S表6ππ4π11πcm，故B正確；

173

對于C，圓臺的體積為Vπ3142πcm3，故C錯誤；

33

對于D，若圓臺存在內(nèi)切球，則必有軸截面ABCD存在內(nèi)切圓，

由內(nèi)切圓的性質(zhì)以及切線長定理易知軸截面ABCD不存在內(nèi)切圓，故D錯誤，

故選：AB.

題型04球的表面積與體積

【典例1】（2024上·湖南婁底·高三統(tǒng)考期末）一個圓柱形容器的底面半徑為4cm，高為8cm，將該圓柱注

滿水，然后將一個半徑為4cm的實(shí)心球緩慢放入該容器內(nèi)，當(dāng)球沉到容器底部時(shí)，留在圓柱形容器內(nèi)的水

的體積為（）

3201288064

A．πcm3B．πcm3C．πcm3D．πcm3

3333

【答案】B

【詳解】根據(jù)題意可知留在容器內(nèi)水的體積為等于圓柱體積減去實(shí)心球的體積，

4128

即Vπ428π43πcm3.

33

故選：B

【典例2】（2024上·重慶長壽·高三統(tǒng)考期末）將棱長為2的正方體木塊做成一個體積最大的球，則這個球

的表面積為（）

4π32π

A．B．C．4πD．16

33

【答案】C

【詳解】將棱長為2的正方體木塊做成一個體積最大的球,

則該球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，故球的半徑為1，

則球的表面積為4π.

故選：C.

【變式1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知OA為球O的半徑，過OA的中點(diǎn)M且垂直O(jiān)A的平面截球得

到圓M，若圓M的面積為9π，則球O的表面積為（）．

A．16πB．24πC．48πD．52π

【答案】C

【詳解】設(shè)圓M的半徑為r，因?yàn)閳AM的面積為9π，可得πr29π，解得r3，

2

212212

設(shè)球O的半徑為R，由截面圓的性質(zhì)，可得RRr，即RR9，

24

解得R212，所以球O的表面積為S4πR24π1248π．

故選：C．

61

【變式2】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖是一個實(shí)心金屬幾何體的直觀圖，它的中間部分是高l為的

24

圓柱，上、下兩端均是半徑r為2的半球，若將該實(shí)心金屬幾何體在熔爐中高溫熔化(不考慮過程中的原料

損失)，熔成一個實(shí)心球，則該球的直徑為（）

A．3B．4C．5D．6

【答案】C

4461125

【詳解】設(shè)實(shí)心球的半徑為R，實(shí)心金屬幾何體的體積Vπr3πr2lπ8π4π.

33246

41255

因?yàn)棣蠷3π，所以R，所以該球的直徑為2R5.

362

故選：C

題型05簡單組合體的表面積與體積

【典例1】（2024·湖北武漢·武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考二模）陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，它可以近

似地視為由一個圓錐和一個圓柱組合而成的幾何體，如圖1是一種木陀螺，其直觀圖如圖2所示，A，B分

別為圓柱上、下底面圓的圓心，P為圓錐的頂點(diǎn)，若圓錐的底面圓周長為42π，高為22，圓柱的母線長

為4，則該幾何體的體積是（）

12896162

A．πB．32πC．πD．32162π

33

【答案】C

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2πr=42π,\r=22，高為22，

1162π

故圓錐的體積為Vπ(22)222，

133

圓柱的底面半徑也為22，母線長也即高為4，

2

則圓柱的體積為V2π(22)432π，

162π96162

故幾何體的體積為VV32ππ，

1233

故選：C

【典例2】（2024上·云南昆明·高二校考期末）紅燈籠，起源于中國的西漢時(shí)期，兩千多年來，每逢春節(jié)人

們便會掛起象征美好團(tuán)圓意義的紅燈籠，營造一種喜慶的氛圍.如圖1，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，

上下兩部分是兩個相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面除去上下兩個相同球冠剩下的部分.如圖2，球冠是由球

面被平面截得的一部分，垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半徑為R，球冠

的高為h，則球冠的面積S2πRh.如圖1，已知該燈籠的高為58cm，圓柱的高為5cm，圓柱的底面圓直徑為

14cm，則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為（）

A．1940πcm2B．2350πcm2C．2400πcm2D．2540πcm2

【答案】C

2

258102

【詳解】由題意得：R7，

2

所以R25cm，

5810

所以h251cm，

2

所以兩個球冠的面積為2S22πRh22π251=100πcm2，

則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為：

4πR22S4π252100π=2400πcm2，

故選：C.

【變式1】（2024·陜西安康·校聯(lián)考模擬預(yù)測）陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，如圖所示，某陀螺可

以視為由圓錐SO和圓柱OO1組合而成，點(diǎn)M,N在圓錐SO的底面圓周上，且SMN的面積為

7

7,sinMSN，圓錐SO的側(cè)面積為42π，圓柱OO1的母線長為3，則該幾何體的體積為（）

4

40π44π52π56π

A．B．C．D．

3333

【答案】B

117

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則SMN的面積為SMSNsinMSNll7，解

224

得l22，

因?yàn)閳A錐SO的側(cè)面積為πrl22πr42π，所以r2,SOl2r22．

144π

故該幾何體的體積為VV圓柱V圓錐4π34π2．

33

故選：B.

【變式2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）一個球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的

1

曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直徑被截后的線段叫做球缺的高.球缺的體積公式為Vπ(3RH)H2，

3

其中R為球的半徑，H為球缺的高.2022北京冬奧會的吉祥物“冰墩墩”（如圖1）深受廣大市民的喜愛，它

寓意著創(chuàng)造非凡、探索未來，體現(xiàn)了追求卓越、引領(lǐng)時(shí)代，以及面向未來的無限可能.它的外形可近似抽象

成一個球缺與一個圓臺構(gòu)成的組合體（如圖2），已知該圓臺的底面半徑分別4和2，高為6，球缺所在球

的半徑為5，則該組合體的體積為．

616616

【答案】/

33

1

【詳解】由題意知圓臺的體積為V臺(16π4π8π)656π，

3

1

如圖可知AB4，則球心到圓臺上底面的距離為52423，

2

故球缺的高為538，

12448

故球缺的體積為V球缺π(158)8π，

33

448616

所以組合體的體積為VV球缺V臺π56ππ，

33

616

故答案為：π．

3

題型06球的截面問題

9

【典例1】2．（2024上·上海松江·高二上海市松江二中?？计谀┮阎騉的體積為π，高為1的圓錐內(nèi)

2

27

接于球O，經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)的平面截球O和圓錐所得的截面面積分別為S,S，若Sπ，則S

121162

【答案】25

3

圓半徑，再求出平面截圓錐所得的截面等腰三角形底邊長及高即可計(jì)算作答.

493

【詳解】設(shè)球O半徑為R，由πR3π，得R，

322

22733

平面截球O所得截面小圓半徑r1，由S1πr1π，得r，

1614

22

3333

因此，球心O到平面的距離22，

dRr1

244

而球心O在圓錐的軸上，則圓錐的軸與平面所成的角為30o，

1

因圓錐的高為1，則球心O到圓錐底面圓的距離為d，

12

22

31

于是得圓錐底面圓半徑r2，

22

令平面截圓錐所得截面為等腰PAB，線段AB為圓錐底面圓O1的弦，

o

點(diǎn)C為弦AB中點(diǎn)，如圖，由題意CPO130，PO11，

2

32323215

則，，，

CO1PCAB22

3333

112152325

所以SSVABPC.

2PAB22333

25

故答案為：.

3

【典例2】（2023上·上?！じ叨？计谥校┣蛎嫔先c(diǎn)A、B、C所確定的截面到球心O的距離等于球半徑

3

的，且AB6，BC8，AC10，則該球的體積為.

5

15625

【答案】π

48

【詳解】設(shè)球的半徑為R，因?yàn)锳B6，BC8，AC10，則AB2BC2AC2，

所以，ABBC，則ABC為直角三角形，且AC為斜邊，

AC

所以，ABC的外接圓半徑為r5，

2

3

因?yàn)锳BC所確定的截面到球心O的距離等于球半徑的，

5

2

23225

則rRR，可得R，

54

3

4342515625

因此，該球的體積為VπRππ.

33448

15625

故答案為：π.

48

【變式1】（2023上·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）若兩球的體積之和是12π，經(jīng)過兩球球心的截面圓周長之和為6π，

則兩球的半徑之差為（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

4π4π

R3r312π

【詳解】設(shè)兩球的半徑分別為R，r(R>r)，則由題意得33，

2πR2πr6π

R2

解得，故Rr1；

r1

故選：A.

【變式2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓錐的軸截面PAB是邊長為a的正三角形，AB為圓錐的底面

V

1

直徑，球O與圓錐的底面以及每條母線都相切，記圓錐的體積為V1，球O的體積為V2，則；若

V2

a

M，N是圓錐底面圓上的兩點(diǎn)，且MN，則平面PMN截球O所得截面的面積為.

2

9πa2

【答案】；.

460

3

【詳解】如圖，設(shè)D為AB的中點(diǎn)，連接PD，由題意知PD為圓錐的高，且PDa，

2

13

易知球O的半徑RODPDa，

36

3

233

1a33πa433πaV19

所以，，所以；

V1πaV2πa

322243654V24

1a

設(shè)MN的中點(diǎn)為C，連接PC，DM，則MCMN，

24

a315

易知DM，DCCM，所以DCa，所以PCPD2DC2a.

244

OEPO

過O點(diǎn)作OEPC，垂足為E，易知△POE△PCD，則，

CDPC

23