高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步學(xué)與練（人教版）第06講 平面（解析版）

第06講8.4.1平面

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①了解平面的表示方法，點(diǎn)、直線與平面的1.認(rèn)識(shí)新的幾何元素“平面”及其性質(zhì)；

位置關(guān)系。2.讓學(xué)生經(jīng)歷將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言

②掌握關(guān)于平面基本性質(zhì)的三個(gè)基本事實(shí)。的過(guò)程；

③會(huì)用符號(hào)表示點(diǎn)、直線、平面之間的位置3.讓學(xué)生在直觀感受的基礎(chǔ)上形成三個(gè)基本事實(shí)和三

關(guān)系。個(gè)推論，初步體會(huì)歐幾里得公理化體系；

知識(shí)點(diǎn)01：平面的概念與畫法

（1）平面的概念

幾何里所說(shuō)的“平面”,是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來(lái)的.幾何里的平面是無(wú)

限延展的.

平面是絕對(duì)平的；平面是無(wú)限延展的，不可度量；平面沒(méi)有厚度.

（2）平面的畫法

①水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形,用平行四邊形表示平面,平行四邊形的銳角通常畫成45,且橫

邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍.如圖(1).

②如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住,為了增強(qiáng)它的立體感,把被遮擋部分用虛線畫出來(lái).如圖(2).

（3）平面的表示

平面通常用希臘字母,,等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或

者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母來(lái)表示，如平面AC、平面ABCD等.

知識(shí)點(diǎn)02：點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（A是點(diǎn)，l、m是直線，、是平面）

文字語(yǔ)言表達(dá)圖形語(yǔ)言表達(dá)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)

點(diǎn)A在直線l上Al

點(diǎn)A在直線l外Al

點(diǎn)A在平面內(nèi)A

點(diǎn)A在平面外A

直線l在平面內(nèi)l

直線l在平面外l

平面,相交于ll

知識(shí)點(diǎn)03：平面的基本性質(zhì)

（1）基本事實(shí)1

①過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；

②圖形語(yǔ)言：

③應(yīng)用：確定平面的依據(jù)；判斷兩個(gè)平面是否重合；證明點(diǎn)線共面.

④說(shuō)明：對(duì)于基本事實(shí)1中的“有且只有一個(gè)”，這里的“有”是說(shuō)圖形存在,“只有一個(gè)”是說(shuō)圖形唯一,

本公理強(qiáng)調(diào)的是存在性和唯一性兩個(gè)方面,因此“有且只有一個(gè)”,必須完整地使用,不能僅用“只有一個(gè)”

來(lái)代替“有且只有一個(gè)”.否則就沒(méi)有表達(dá)存在性.確定一個(gè)平面中的“確定”是“有且只有一個(gè)”的同義

詞,也就是存在性和唯一性這兩個(gè)方面的,這個(gè)術(shù)語(yǔ)今后學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常出現(xiàn).

（2）基本事實(shí)2

①如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)；

②符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言

符號(hào)語(yǔ)言：Al，Bl，且A，Bl

③應(yīng)用：判斷直線或點(diǎn)是否在平面內(nèi)的依據(jù).

④說(shuō)明：基本事實(shí)2表明，可以用直線的“直”刻畫平面的“平”，用直線的“無(wú)限延伸”刻畫平面的

“無(wú)限延展”.如圖,由基本事實(shí)勝于雄辯,給定不共線的三點(diǎn)A,B,C,它們可以確定一個(gè)平面ABC;連

接AB,BC,CA,由基本事實(shí)2.這三條直線都在平面ABC內(nèi)，進(jìn)而連接這三條直線上任意兩點(diǎn)所得直線

也都在平面ABC內(nèi),所有這些直線可以編織成一個(gè)“直線網(wǎng)”，這個(gè)“直線網(wǎng)”可以鋪滿平面ABC.組成

“直線網(wǎng)”的直線的“直”和向各個(gè)方向無(wú)限延伸，說(shuō)明了平面的“平”和“無(wú)限延展”.

（3）基本事實(shí)3

①如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線

②符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言

P，Pl且Pl

③應(yīng)用：判斷兩平面是否相交及確定交線的依據(jù)；證明三點(diǎn)共線；證明三線共點(diǎn)；作兩平面的交線.

④說(shuō)明：基本事實(shí)3告訴我們，如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面一定相交于過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的

一條直線.兩個(gè)平面相交成一條直線的事實(shí)，使我們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了平面的“平”和“無(wú)限延展”.

知識(shí)點(diǎn)04：基本事實(shí)1和基本事實(shí)2的三個(gè)推論

（1）推論1:經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面

（2）推論2:經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面

（3）推論3:經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面

【即學(xué)即練1】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）有下列四個(gè)判斷：①兩條相交直線確定一個(gè)平面；②兩條平

行直線確定一個(gè)平面；③三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；④一條直線和一點(diǎn)確定一個(gè)平面.正確的個(gè)數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【詳解】?jī)蓷l相交直線確定一個(gè)平面，兩條平行直線確定一個(gè)平面，①②正確.

在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，③錯(cuò)誤.

直線和直線上一點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，④錯(cuò)誤.

所以正確的個(gè)數(shù)為2個(gè).

故選：B

題型01文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化

【典例1】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）用符號(hào)表示“點(diǎn)A不在直線m上，直線m在平面內(nèi)”，正確的是（）

A．Am，mB．Am，m

C．Am，mD．Am，m

【答案】A

【詳解】由題意用符號(hào)表示“點(diǎn)A不在直線m上，直線m在平面內(nèi)”，

即Am，m，

故選：A

【典例2】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖所示，點(diǎn)A，線m，面之間的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言關(guān)系為（）

A．m，A?B．m，AmC．m，AmD．m，Am

【答案】B

【詳解】由圖可知：Am,A,m，

故選：B

【典例3】（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）已知，為不重合的兩個(gè)平面，A，B，M，N為空間中不同的四個(gè)

點(diǎn)，a為直線，則下列推理正確的是.（填序號(hào)）①Aa，A，Ba，Ba；②M，

M，N，NMN；③A，AA.

【答案】①②

【詳解】對(duì)于①，Aa，A，Ba，B，

由基本事實(shí)：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，

那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)，可知a，故①正確；

對(duì)于②，由M，N，可知MN，

同理，MN，所以IMN，故②正確；

對(duì)于③，若A，A，則A，

由基本事實(shí)：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，

那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線，

可知是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的一條直線而不是點(diǎn)A，故③不正確.

故答案為：①②

【變式1】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如果A點(diǎn)在直線a上，而直線a在平面內(nèi)，點(diǎn)B在內(nèi)，可以用

集合語(yǔ)言和符號(hào)表示為（）

A．Aa，a，BB．Aa，a，B

C．Aa，a，BD．Aa，a，B

【答案】B

【詳解】A點(diǎn)在直線a上，而直線a在平面內(nèi)，點(diǎn)B在內(nèi)，

表示為：Aa，a，B．

故選：B.

【變式2】（2023上·新疆阿克蘇·高二?？茧A段練習(xí)）用集合符號(hào)表示下列語(yǔ)句：

(1)點(diǎn)A在直線l上，點(diǎn)B不在直線l上；

(2)平面與平面相交于過(guò)點(diǎn)A的直線l．

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2)答案見(jiàn)解析

【詳解】（1）點(diǎn)A在直線l上，點(diǎn)B不在直線l上可表示為：Al,Bl

（2）平面與平面相交于過(guò)點(diǎn)A的直線l可表示為：l,Al

題型02平面性質(zhì)基本事實(shí)及推論的應(yīng)用

【典例1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱BC的中點(diǎn)，用

過(guò)點(diǎn)A1，E，C1的平面截正方體，則截面周長(zhǎng)為（）

A．3225B．9C．2225D．3223

【答案】A

【詳解】

如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接GE，A1G，AC．

1

因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以GE//AC，GEAC，

2

又AA1//CC1，AA1CC1，

所以四邊形ACC1A1為平行四邊形，

所以AC//A1C1，ACA1C1，

所以A1C1//GE，A1C12GE，

所以用過(guò)點(diǎn)A1，E，C1的平面截正方體，所得截面為梯形A1C1EG，

其周長(zhǎng)為225253225．

故選：A．

【典例2】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖所示的正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱CC1上的一點(diǎn)，試說(shuō)

明D1、A、E三點(diǎn)確定的平面與平面ABCD相交，并畫出這兩個(gè)平面的交線.

【答案】答案見(jiàn)解析

【詳解】解：延長(zhǎng)D1E、DC交于點(diǎn)F，連接AF交BC于點(diǎn)G，則平面AD1E與平面ABCD的交線為AF，

證明如下：

因?yàn)镕D1E，D1E平面AD1E，則F平面AD1E，

FCD，CD平面ABCD，F(xiàn)平面ABCD，

又因?yàn)锳為平面AD1E和平面ABCD的公共點(diǎn)，則平面AD1E與平面ABCD的交線為AF.

【變式1】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)平面與平面相交于直線l,直線a，直線b,abM,

則Ml（用符號(hào)表示）．

【答案】

【詳解】因?yàn)閍bM，直線a，直線b，

所以M,M，又平面與平面相交于直線l，

所以點(diǎn)M在直線l上，即Ml.

故答案為：.

【變式2】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1，P為棱BB1的中點(diǎn)，畫出由A1，

C1，P三點(diǎn)所確定的平面與長(zhǎng)方體表面的交線．

【答案】畫圖見(jiàn)解析

【詳解】如圖，由于P是BB1上的點(diǎn)，所以A1P平面AA1B1B，且A1P平面，

所以平面平面AA1B1B=A1P，

同理，平面平面BB1C1C=PC1，平面平面A1B1C1D1=A1C1，

所以平面與長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1表面的交線是A1P，PC1，A1C1.

作法：連接A1P，PC1，A1C1，它們就是平面與長(zhǎng)方體表面的交線（如圖）．

題型03四點(diǎn)共面問(wèn)題

【典例1】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）在正方體中，E、F、G、H分別是該點(diǎn)所在棱的中點(diǎn)，則下列圖

形中E、F、G、H四點(diǎn)共面的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，如下圖，點(diǎn)E、F、H、M確定一個(gè)平面，該平面與底面交于FM，而點(diǎn)G不在平

面EHMF上，故E、F、G、H四點(diǎn)不共面；

對(duì)于選項(xiàng)B，連結(jié)底面對(duì)角線AC，由中位線定理得FG//AC，又EH//AC，則EH//FG，故E、F、G、

H四點(diǎn)共面

對(duì)于選項(xiàng)C，顯然E、F、H所確定的平面為正方體的底面，而點(diǎn)G不在該平面內(nèi)，故E、F、G、H四

點(diǎn)不共面；

對(duì)于選項(xiàng)D，如圖，取部分棱的中點(diǎn)，順次連接，得一個(gè)正六邊形，即點(diǎn)E、G、H確定的平面，該平面

與正方體正面的交線為PQ，而點(diǎn)F不在直線PQ上，故E、F、G、H四點(diǎn)不共面．

故選：B

【典例2】（多選）（2023上·山西大同·高三大同一中?？茧A段練習(xí)）已知正方體ABCDA1B1C1D1中，O為

B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是（）

A．A,M,O三點(diǎn)共線B．A,M,O,A1四點(diǎn)共面

C．A,O,C,M四點(diǎn)共面D．B,B1,O,M四點(diǎn)共面

【答案】ABC

【詳解】

連接A1C1，AC，AO，因?yàn)镺為B1D1的中點(diǎn)，所以A1C1B1D1O，平面AA1C1C平面AB1D1AO，

因?yàn)锳1MI平面AB1D1M，A1M平面AA1C1C，所以點(diǎn)M是平面AA1C1C和平面AB1D1的交點(diǎn)，

所以MAO，A，M，O三點(diǎn)共線，故A正確；

因?yàn)锳，M，O三點(diǎn)共線，所以A，M，O，A1四點(diǎn)共面，A，M，O，C四點(diǎn)共面，故BC正確；

A1O1

取AC中點(diǎn)O1，連接OO交AC于點(diǎn)E，由題意得VAOM∽VCAM，，

111AC2

A1M1

所以，即M為AC的三等分點(diǎn)，因?yàn)镺，B，B不共線，O,B,B平面BB1D1D，平面BBDDIACE，

CM2111111

E為A1C的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)M平面BB1D1D，B，B1，O，M四點(diǎn)不共面，故D錯(cuò).

故選：ABC.

【變式1】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)G為正方形ABCD的中心，

點(diǎn)E為A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)，則（）

A．C、E、F、G四點(diǎn)共面，且CG與EF平行

B．C、E、F、G四點(diǎn)共面，且CE與FG相交

C．C、E、F、G四點(diǎn)共面，且CE與FG平行

D．C、E、F、G四點(diǎn)不共面

【答案】C

【詳解】連接AC，因?yàn)镚為正方形ABCD的中心，則G為AC的中點(diǎn)，

因?yàn)锳CAEA，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，故C、E、F、G四點(diǎn)共面，且CG與EF相交，

連接CE、FG，因?yàn)镕、G分別為AE、AC的中點(diǎn)，則CE//FG，

故選：C.

【變式2】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）在四面體ABCD中，H、G分別是AD、CD的中點(diǎn)，E、F分別是

BFBE

AB、BC邊上的點(diǎn)，且kk0.求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；

FCEA

【答案】證明見(jiàn)解析

【詳解】連接EF,HG，

因?yàn)镠、G分別是AD、CD的中點(diǎn)，

所以AC//HG，

BFBE

又kk0，

FCEA

所以AC//EF，

所以EF//HG，

所以E、F、G、H四點(diǎn)共面.

【變式3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在空間四面體ABCD中，E,F分別是AB，AD的中點(diǎn)，

11

G,H分別是BC，CD上的點(diǎn)，且CGBC,CHDC.求證：

33

（1）E,F,G,H四點(diǎn)共面；

【詳解】（1）連接EF，GH，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，EF∥BD.

11

又CGBC,CHDC，GH∥BD，EFGH，E,F,G,H四點(diǎn)共面.

33

題型04三點(diǎn)共線問(wèn)題

【典例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，ABC在平面外，三邊AB，AC，BC所在直線分別交

平面于P，Q，R三點(diǎn)．求證：P，Q，R三點(diǎn)在同一直線上．

【答案】證明見(jiàn)解析

【詳解】由ABP，可知點(diǎn)PAB，

且AB平面ABC，可知點(diǎn)P平面ABC，又P，

所以點(diǎn)P在平面ABC與平面的交線上，

同理可得：點(diǎn)Q，R均在平面ABC與平面的交線上，

所以P，Q，R三點(diǎn)共線．

【典例2】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，

H分別在BC，CD上，且BG:GCDH:HC1:2．設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線．

【答案】證明見(jiàn)解析

【詳解】因?yàn)镋GFHP，

所以PEG．

由已知可得，EAB,GBC,AB平面ABC，AC平面ABC，

所以EG平面ABC，

所以P平面ABC．

同理PFH，F(xiàn)H平面ADC，P平面ADC．

所以P為平面ABC與平面ADC的一個(gè)公共點(diǎn)．

又平面ABC平面ADCAC，

所以PAC，

所以P，A，C三點(diǎn)共線．

【變式1】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）在正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長(zhǎng)AB2，M，N，P分別是C1C，

B1C1，C1D1的中點(diǎn)．

(1)直線A1C1交PN于點(diǎn)E，直線AC1交平面MNP于點(diǎn)F，求證：M，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．

(2)求三棱錐DMNP的體積．

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

1

(2)

2

【詳解】（1）證明：A1C1PNE，

EA1C1，EPN，

則E平面AA1C1C，E平面MPN

又MCC1，

M平面AA1C1C，

又M平面PMN，

平面AA1C1C平面PMNME，

AC1平面MPNF，

F平面PMN，F(xiàn)平面AA1C1C，

點(diǎn)F在直線ME上，則M，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．

1

（2）解：VDMNPVNMDPSMDPNC1，

3

1113

又S22211121，

MDP2222

131

V1.

DMNP322

【變式2】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，

AC∩α＝R，如圖所示，求證：P，Q，R三點(diǎn)共線.

【答案】證明見(jiàn)解析

【詳解】證明：法一：∵AB∩α＝P，

∴P∈AB，P∈平面α.

又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.

∴由基本事實(shí)3可知：點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上.

∴P，Q，R三點(diǎn)共線.

法二：∵AP∩AR＝A，

∴直線AP與直線AR確定平面APR.

又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，

∴平面APR∩平面α＝PR.

∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC?平面APR.

∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，

∴P，Q，R三點(diǎn)共線.

題型05三線共點(diǎn)問(wèn)題

【典例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，

E，F(xiàn)分別為AA1，AB的中點(diǎn)．

(1)求證：直線D1E、CF、DA交于一點(diǎn)；

(2)若AA14，求多面體BCD1EF的體積．

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)2

【詳解】（1）連接EF、A1B，

1

因?yàn)镋、F分別為AA、AB的中點(diǎn)，所以EF//AB且EFAB．

1121

因?yàn)锳BCDA1B1C1D1是直四棱柱，且底面是正方形，

所以BC//AD//A1D1，且BCADA1D1，即四邊形A1BCD1是平行四邊形，

所以A1B//D1C且A1BD1C，所以EF//D1C，且EFD1C，

所以四邊形EFCD1為梯形，所以D1E與CF交于一點(diǎn)，記為P，

即PD1E,PCF，且D1E平面ADD1A，CF平面ABCD，

所以P平面ABCD，P平面ADD1A，

又因?yàn)槠矫鍭BCD平面ADD1A1AD，則P直線AD，

所以直線D1E、CF、DA交于一點(diǎn)P.

（2）連接D1F，

1111

由題意可得：VBCDEFVBEFDVBCDFVDBEFVDBCF1221242.

111113232

【典例2】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，在正四棱臺(tái)ABCDA1B1C1D1中，A1B11,ABAA13．

(1)求正四棱臺(tái)ABCDA1B1C1D1的體積；

(2)若E,F,G,H分別為棱A1B1,B1C1,AB,BC的中點(diǎn)，證明：GE,FH,BB1相交于一點(diǎn)．

137

【答案】(1)

3

(2)證明見(jiàn)解析

【詳解】（1）

連接AC,A1C1，取O,O1分別為AC和A1C1的中點(diǎn)，

因?yàn)锳BCDA1B1C1D1為正四棱臺(tái)，所以A1C1//AC，且OO1為ABCDA1B1C1D1的高，

2

2AB2AB

因?yàn)锳B1,ABAA3，所以211，

111OO1AA17

2

12222137

所以正四棱臺(tái)ABCDA1B1C1D1的體積為71313；

33

（2）因?yàn)镋,F,G,H分別為棱A1B1,B1C1,AB,BC的中點(diǎn)，所以EF//A1C1,GH//AC，AC//A1C1，

所以EF//GH，所以EFHG為梯形，則EG與FH必相交，

設(shè)EGFHP，因?yàn)镋G平面AA1B1B，所以P平面AA1B1B，

因?yàn)镕H平面BB1C1C，所以P平面BB1C1C，

又平面AA1B1B?平面BB1C1CBB1，所以PBB1，

所以GE,FH,BB1交于一點(diǎn).

【變式1】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在四面體ABCD中，E，G分別為BC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F

在CD上，點(diǎn)H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3，DH∶HA＝1∶3.求證：EF，GH，BD交于一點(diǎn)．

【答案】證明見(jiàn)解析

【詳解】證明連接GE，HF.

1

因?yàn)镋，G分別為BC，AB中點(diǎn)，所以GE//AC.

2

1

因?yàn)镈F∶FC＝1∶3，DH∶HA＝1∶3，所以HF//AC.

3

從而GE∥HF且GEHF，故G，E，F(xiàn)，H四點(diǎn)共面且四邊形EFHG為梯形，

因?yàn)镋F與GH不能平行，設(shè)EF∩GH＝O，則O∈平面ABD，O∈平面BCD.

而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EF，GH，BD交于一點(diǎn)．

【變式2】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，不共面的四邊形ABB'A'，BCC'B'，CAA'C'都是梯形．求證：

三條直線AA'，BB'，CC'相交于一點(diǎn)．

【答案】證明見(jiàn)解析

【詳解】

因?yàn)樵谔菪蜛BB'A'中，A'B'∥AB，

所以AA'，BB'在同一平面A'B內(nèi)．

設(shè)直線AA'，BB'相交于點(diǎn)P，如圖所示．

同理BB'，CC'同在平面BC'內(nèi)，CC'，AA'同在平面A'C內(nèi)．

因?yàn)镻∈AA'，AA'平面A'C，所以P∈平面A'C．

同理點(diǎn)P∈平面BC?'，所以點(diǎn)P在平面A'C與平面BC'的交線上，

而平面A'C∩平面BC'=CC'，故點(diǎn)P∈直線CC'，

即三條直線AA'，BB'，CC'相交于一點(diǎn)．

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）三個(gè)平面不可能將空間分成（）個(gè)部分

A．5B．6C．7D．8

【答案】A

【分析】分三個(gè)平面互相平行，三個(gè)平面有兩個(gè)平行，第三個(gè)平面與其它兩個(gè)平面相交，三個(gè)平面交于一

條直線，三個(gè)平面兩兩相交且三條交線平行，三個(gè)平面兩兩相交且三條交線交于一點(diǎn)，五種情況討論即可.

【詳解】若三個(gè)平面互相平行，則可將空間分為4個(gè)部分；

若三個(gè)平面有兩個(gè)平行，第三個(gè)平面與其它兩個(gè)平面相交，則可將空間分為6個(gè)部分；

若三個(gè)平面交于一條直線，則可將空間分為6個(gè)部分；

若三個(gè)平面兩兩相交且三條交線平行，則可將空間分為7部分；

若三個(gè)平面兩兩相交且三條交線交于一點(diǎn)，則可將空間分為8部分

故n的取值為4，6，7，8，所以n不可能是5.

故選：A.

2．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列各圖符合立體幾何作圖規(guī)范要求的是（）

A．直線在平面內(nèi)B．平面與平面相交C．直線與平面相交D．兩直線異面

【答案】D

【分析】直接根據(jù)立體幾何作圖規(guī)范要求依次判斷即可.

【詳解】若直線在平面內(nèi)，應(yīng)將直線畫在平面內(nèi)，A錯(cuò)誤；

平面與平面相交時(shí)，兩個(gè)平面相交于直線，而不是點(diǎn)，B錯(cuò)誤；

直線與平面相交，看不到的部分應(yīng)當(dāng)畫虛線，C錯(cuò)誤；

兩直線異面滿足作圖規(guī)范.

故選：D

3．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列圖形表示兩個(gè)相交平面，其中畫法正確的是（）

A．B．C．

D．

【答案】D

【分析】按照畫法原則進(jìn)行判斷即可.

【詳解】對(duì)于A，圖中沒(méi)有畫出平面與平面的交線，故A不正確；

對(duì)B，C，圖中的虛實(shí)線沒(méi)有按照畫法原則去畫，故B，C不正確；

對(duì)D，符合畫法原則，故D正確，

故選：D

4．（2023下·湖北黃岡·高一?？茧A段練習(xí)）若點(diǎn)A在平面內(nèi)，直線l在平面內(nèi)，點(diǎn)A不在直線l上，

下列用集合表示這些語(yǔ)句的描述中，正確的是（）

A．Al且AB．Al且A

C．Al且AD．Al且A

【答案】B

【分析】根據(jù)點(diǎn)線面的關(guān)系結(jié)合元素和集合、集合與集合的關(guān)系直接寫出即可.

【詳解】因?yàn)橹本€和平面都是由點(diǎn)形成的，

所以根據(jù)元素與集合的關(guān)系知，點(diǎn)A在平面內(nèi)表示為A，點(diǎn)A不在直線l上表示為Al，

根據(jù)集合與集合的關(guān)系知，直線l在平面內(nèi)可表示為l.

故選：B

5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下面表述與結(jié)論都正確的是（）

A．A，B，ABB．a(chǎn)，a，a

C．Aa，a，AD．Aa，a，A

【答案】C

【分析】根據(jù)點(diǎn)在線上，Aa；線在平面內(nèi)，a；點(diǎn)在平面內(nèi)，A，和公理1依次判斷可得答案．

【詳解】解：對(duì)A，A，B，所以直線AB在平面內(nèi)，即AB，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B，直線a在平面內(nèi)，應(yīng)為a，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C，Aa，a，A，故C正確；

對(duì)D，Aa，a，有可能A，故D錯(cuò)誤．

故選：C．

6．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列命題是真．命．題．的是（）

A．如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合

B．若四點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線

C．空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)

D．三個(gè)不重合的平面最多可將空間分成七個(gè)部分

【答案】B

【分析】A.這兩個(gè)平面可能相交或重合，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.該選項(xiàng)正確；C.空間中，相交于同一點(diǎn)的三條

直線不一定在同一平面內(nèi)，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.三個(gè)不重合的平面最多可將空間分成八個(gè)部分，所以該選

項(xiàng)錯(cuò)誤.

【詳解】A.如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面可能相交或重合，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.若四點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線，所以該選項(xiàng)正確；

C.空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線不一定在同一平面內(nèi)，如三棱錐PABC,相交于同一點(diǎn)P的三條直線

PA,PB,PC不在同一平面內(nèi)，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.三個(gè)不重合的平面最多可將空間分成八個(gè)部分，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B

二、多選題

7．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？计谥校┫铝姓f(shuō)法正確的是（）

A．棱柱的側(cè)面一定是矩形

B．三個(gè)平面至多將空間分為3個(gè)部分

C．圓臺(tái)可由直角梯形以高所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周形成

D．任意五棱錐都可以分成3個(gè)三棱錐

【答案】CD

【分析】利用斜棱柱的側(cè)面可判斷A選項(xiàng)；取三個(gè)兩兩相互垂直的平面可判斷B選項(xiàng)；利用圓臺(tái)的形成可

判斷C選項(xiàng)；利用五棱錐的結(jié)構(gòu)特征可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，斜棱柱的側(cè)面不一定是矩形，A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，若三個(gè)平面兩兩垂直，則這三個(gè)平面可將空間分為8個(gè)部分，B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，圓臺(tái)可由直角梯形以高所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周形成，C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，一個(gè)五邊形可分為三個(gè)三角形，所以，任意五棱錐都可以分成3個(gè)三棱錐，D對(duì).

故選：CD.

8．（2023下·四川成都·高一樹(shù)德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下面四個(gè)命題中，正．確．的．為（）

A．相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)．

B．ABC在平面外，其三邊延長(zhǎng)線分別和交于P，Q，R，則P，Q，R一定共線

C．一個(gè)角的兩邊所在直線分別平行于另一個(gè)角的兩邊所在直線，則這兩角相等

D．在三維空間中，三個(gè)平面最多把空間分成八部分．

【答案】BD

【分析】舉例說(shuō)明判斷A；利用平面基本事實(shí)判斷B；利用等角定理判斷C；求出三個(gè)平面分空間所成部分

數(shù)的最大值判斷D作答.

【詳解】對(duì)于A，三棱錐的三條側(cè)棱所在直線交于同一點(diǎn)，而這三條直線不共面，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，ABC所在平面與平面相交，由平面基本事實(shí)知，公共點(diǎn)P,Q,R都在交線上，B正確；

對(duì)于C，一個(gè)角的兩邊所在直線分別平行于另一個(gè)角的兩邊所在直線，則這兩角相等或互補(bǔ)，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，當(dāng)三個(gè)平面互相平行時(shí)，三個(gè)平面分空間成4部分；當(dāng)兩個(gè)平面平行，與第三個(gè)都相交

或三個(gè)平面相交于一條直線時(shí)，三個(gè)平面分空間成6部分；當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交，有3條交線，且3條交

線平行時(shí)，

三個(gè)平面分空間成7部分；當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交，有3條交線，且3條交線交于一點(diǎn)時(shí)，三個(gè)平面分空間

成8部分，

所以三個(gè)平面最多把空間分成8部分，D正確.

故選：BD

三、填空題

9．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）一個(gè)平面把空間分為部分；兩個(gè)平面把空間分為部

分；三個(gè)平面把空間分為部分．

【答案】23或44或6或7或8

【分析】根據(jù)空間中平面與平面的位置關(guān)系判斷即可；

【詳解】一個(gè)平面把空間分為2部分；

兩個(gè)平行平面將空間分成3部分，兩個(gè)相交平面可以將空間分成4部分，

故兩個(gè)平面將空間分成3或4部分；

當(dāng)三個(gè)平面互相平行時(shí)，將空間分成4部分，如圖1所示；

當(dāng)有兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與這兩個(gè)面都相交，此時(shí)將空間分成6部分，如圖2所示；

當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交于一條直線時(shí)，可以把空間分成6部分，如圖3所示；

當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交，且三條直線互相平行時(shí)，將空間分成7部分，如圖4所示；

當(dāng)兩個(gè)平面豎著相交，第三個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，

即三個(gè)平面兩兩相交于三條直線，且三條直線交于一點(diǎn)時(shí)，此時(shí)可將空間分成8部分，如圖5所示；

綜上可得三個(gè)平面把空間分為4或6或7或8部分.

故答案為：2；3或4；4或6或7或8

10．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）空間不共線的四點(diǎn)，可能確定個(gè)平面．

【答案】1或4

【詳解】空間四點(diǎn)中，任意三點(diǎn)都不共線時(shí)，可確定4個(gè)平面，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，可確定1個(gè)平面，故空間不

共線四點(diǎn)，可確定1個(gè)或4個(gè)平面．

四、解答題

11．（2023下·黑龍江大慶·高一?？计谥校?）直線a和兩條異面直線b,c都相交，畫出每?jī)蓷l相交直線所

確定的平面，并標(biāo)上字母；

（2）如圖，已知A,B,C,D是空間四點(diǎn)，且點(diǎn)A,B,C在同一直線l上，點(diǎn)D不在直線l上．求證：直線AD,BD,CD

在同一平面內(nèi)．

【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)題意直接畫圖即可，

（2）根據(jù)平面基本性質(zhì)結(jié)合題意證明即可.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意，畫出的圖形如圖所示：

直線a和直線b所確定的平面為，直線a直線c所確定的平面為．

（2）證明：因?yàn)辄c(diǎn)A,B,C在同一直線l上，點(diǎn)D不在直線l上，

所以點(diǎn)A,B,D確定唯一的一個(gè)平面，設(shè)為，所以l，

因?yàn)镃l，所以C，所以A,B,C,D，

所以AD,BD,CD，

即直線AD,BD,CD在同一平面內(nèi)．

12．（2023下·高一單元測(cè)試）如圖，P是ABC所在平面外一點(diǎn)，M,N分別是PA和AB的中點(diǎn)，試過(guò)點(diǎn)M,N

做平行于AC的平面，要求：

(1)畫出平面分別與平面ABC，平面PBC，平面PAC的交線；

(2)試對(duì)你的畫法給出證明．

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

分析】（1）分別過(guò)N點(diǎn)作NE//AC交BC于E，過(guò)M點(diǎn)作MF//AC交PC于F，連結(jié)EF，

NE,EF,MF即為平面與平面ABC，平面PBC，平面PAC的交線．

（2）首先證明直線NE與MF共面，然后證明平面MNEF即為所求的平面．

【詳解】（1）

過(guò)N點(diǎn)作NE//AC交BC于E，

過(guò)M點(diǎn)作MF//AC交PC于F，連結(jié)EF，

則平面MNEF為平行于AC的平面，

NE,EF,MF分別是平面與平面ABC，平面PBC，平面PAC的交線．

（2）NE//AC,MF//AC，

NE//MF．

直線NE與MF共面，

NE,EF,MF分別是平面MNEF與平面ABC，平面PBC，平面PAC的交線．

NE//AC,NE平面MNEF，AC平面MNEF，

AC//平面MNEF．

∴平面MNEF為所求的平面．

B能力提升

1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱BC的中點(diǎn)，用過(guò)點(diǎn)A1，

E，C1的平面截正方體，則截面周長(zhǎng)為（）

A．3225B．9C．2225D．3223

【答案】A

【分析】作出正方體的截面圖形，求出周長(zhǎng)即可.

【詳解】

如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接GE，A1G，AC．

1

因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以GE//AC，GEAC，

2

又AA1//CC1，AA1CC1，

所以四邊形ACC1A1為平行四邊形，

所以AC//A1C1，ACA1C1，

所以A1C1//GE，A1C12GE，

所以用過(guò)點(diǎn)A1，E，C1的平面截正方體，所得截面為梯形A1C1EG，

其周長(zhǎng)為225253225．

故選：A．

2．（2024上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖所示，正四棱臺(tái)ABCDA1B1C1D1中，

632

上底面邊長(zhǎng)為3，下底面邊長(zhǎng)為6，體積為，點(diǎn)E在AD上且滿足DE2AE，過(guò)點(diǎn)E的平面與平面

2

D1AC平行，且與正四棱臺(tái)各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長(zhǎng)為（）

A．72B．82C．3342D．4342

【答案】D

3232

【分析】首先過(guò)點(diǎn)A1作A1HAC于點(diǎn)H，結(jié)合已知得AH，由棱臺(tái)體積公式得AH，由勾股

212

定理得22，再求出的長(zhǎng)，最終根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得解

AA1AHA1H3AD1.

【詳解】如圖所示，

過(guò)點(diǎn)A1作A1HAC于點(diǎn)H，因?yàn)锳1C132,AC62，

32

所以AH，

2

則四棱臺(tái)的高為AH，則四棱臺(tái)的體積為122632，

13636A1H

32

32

解得AH，所以側(cè)棱長(zhǎng)為AAAH2AH23.

1211

如圖所示：

過(guò)D1FAD于點(diǎn)F，AGAD于點(diǎn)G，連接AD1，

633

由對(duì)稱性可知DFAG,GFAD3，

2211

39

所以AF6，

22

而DD1AA13，

933

所以DF9，

142

8127

所以AD33，同理CDAD33，

14411

分別在棱DC,DD1上取點(diǎn)N,M，使得DN:NCDM:MD12:1，

22

易得MENMAD23,ENAC42，

313

所以截面多邊形的周長(zhǎng)為4342.

故選：D.

3．（多選）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M為底面ABCD的中心，

D1QD1A1，0,1，N為線段AQ的中點(diǎn)，則（）

A．CN與QM共面

B．三棱錐ADMN的體積跟的取值無(wú)關(guān)

142213

C．時(shí)，過(guò)A，Q，M三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為

34

1

D．時(shí)，AMQM

4

【答案】ABC

1

【分析】由M,N為AC,AQ的中點(diǎn)，得到MN//CQ，可判定A正確；由N到平面ABCD的距離為定值，

2

11

且ADM的面積為定值，根據(jù)VADMNVNADM，可得判定B正確，由時(shí)，得到A,Q,M三點(diǎn)的正方體

43

1

的截面ACEQ是等腰梯形，可判定C正確；當(dāng)時(shí)，根據(jù)AM2AQ2QM2，可判定D不正確．

4

【詳解】在ACQ中，因?yàn)镸,N為AC,AQ的中點(diǎn)，所以MN//CQ，

所以CN與QM共面，所以A正確；

11

由VADMNVNADM，因?yàn)镹到平面ABCD的距離為定值，且ADM的面積為定值，

24

所以三棱錐ADMN的體積跟的取值無(wú)關(guān)，所以B正確；

1

當(dāng)時(shí)，過(guò)A,Q,M三點(diǎn)的正方體的截面ACEQ是等腰梯形，

3

2442213

所以平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為l221，

393

所以C正確；

1925

當(dāng)時(shí)，可得AM21,AQ21,T為AD的中點(diǎn),U為AD的中點(diǎn)

4161611

1121

QM2QT2+MT2=QU2+TU2+MT2=12()2()2，

4216

則AM2AQ2QM2，所以AMQM不成，所以D不正確．

故選：ABC

4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E為棱BC的中點(diǎn)，則過(guò)B1，E，

D三點(diǎn)的平面截正方體的截面周長(zhǎng)為．

【答案】25

【分析】如圖，取A1D1的中點(diǎn)為F，連接FD,B1F，取AD的中點(diǎn)為G，連接FG,BG，可證過(guò)B1，E，D

三點(diǎn)的平面截正方體的截面為平行四邊形FB1ED，故可求截面的周長(zhǎng).

【詳解】

如圖，取A1D1的中點(diǎn)為F，連接FD,B1F，取AD的中點(diǎn)為G，連接FG,BG，

在正方形A1D1DA中，因?yàn)镕、G分別為所在棱的中點(diǎn)，故FG//AA1，F(xiàn)GAA1

而B(niǎo)B1//AA1，BB1AA1，故FG//BB1，F(xiàn)GBB1，

故四邊形