高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步學(xué)與練（人教版）第08講 直線(xiàn)與直線(xiàn)平行（解析版）

第08講8.5.1直線(xiàn)與直線(xiàn)平行

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.讓學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系，通過(guò)

觀察得出基本事實(shí)4.基本事實(shí)4表明了平行線(xiàn)的傳

①會(huì)判斷空間兩直線(xiàn)的位置關(guān)系。

遞性，可以作為判斷空間兩條直線(xiàn)平行的依據(jù)，同時(shí)

②能用基本事實(shí)4和等角定理解決一些簡(jiǎn)

它給出了空間兩條直線(xiàn)平行的一種證法

單的相關(guān)問(wèn)題。

2.通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，為學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何知識(shí)打下

基礎(chǔ)，同時(shí)能更好地提升學(xué)生直觀想象和羅輯推理等

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

知識(shí)點(diǎn)01：直線(xiàn)與直線(xiàn)平行

（1）基本事實(shí)4（平行線(xiàn)的傳遞性）

①文字語(yǔ)言：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行

②圖形語(yǔ)言：

③符號(hào)語(yǔ)言：直線(xiàn)a,b,c,ab,bcac

④作用：證明兩條直線(xiàn)平行

⑤說(shuō)明：基本事實(shí)4表述的性質(zhì)通常叫做平行線(xiàn)的傳遞性

（2）空間四邊形

空間順次連接不共面的四點(diǎn)A,B,C,D所構(gòu)成的圖形叫做空間四邊形.如圖中的四邊形表示空

間四邊形ABCD.

點(diǎn)A,B,C,D叫做空間四邊形的頂點(diǎn)；所連接的相鄰頂點(diǎn)間的線(xiàn)段叫做空間四邊形的邊，如圖

中的線(xiàn)段AB,BC,CD,DA連接不相鄰的頂點(diǎn)的線(xiàn)段叫做空間四邊形的對(duì)角線(xiàn)，如圖中的線(xiàn)

段BD,AC.空間四邊形的對(duì)角線(xiàn)不共面.

（3）等角定理

①文字語(yǔ)言：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

②圖形語(yǔ)言：

③符號(hào)語(yǔ)言：OAOA,OBOBAOBAOB或AOBAOB180

④作用：判斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

【即學(xué)即練1】（2024上·上海長(zhǎng)寧·高二上海市民辦新虹橋中學(xué)?？计谀┮阎狝O1B和CO2D,AO1B50

且O1A//O2C,O1B//O2D，則CO2D．

【答案】50或130

【詳解】如圖1，此時(shí)CO2DAO1B50，

如圖2，此時(shí)CO2D180AO1B130，

故答案為：50或130.

題型01基本事實(shí)4的應(yīng)用

【典例1】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知直線(xiàn)a∥直線(xiàn)b，直線(xiàn)b∥直線(xiàn)c，直線(xiàn)c∥直線(xiàn)d，則a與d的

位置關(guān)系是（）

A．平行B．相交C．異面D．不確定

【答案】A

【詳解】∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.

故選：A.

【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別邊AB,BC,CD,DA上的中點(diǎn)，

則直線(xiàn)EG和FH的位置關(guān)系是．

【答案】相交

【詳解】∵E、F、G、H分別是四邊上的中點(diǎn)，

∴EFACGH，即EFGH，

同理可得：EHGF，

故E、F、G、H四點(diǎn)共面，且EFGH為平行四邊形，則直線(xiàn)EG和FH的位置關(guān)系是相交.

故答案為：相交.

【典例3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，空間四邊形ABCD，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是

CFCG

BC、CD上的點(diǎn)，且，求證：直線(xiàn)EH與直線(xiàn)FG平行．

CBCD

【答案】證明見(jiàn)詳解

【詳解】∵E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，則EHBD，

CFCG

又∵F、G分別是BC、CD上的點(diǎn)，且，則FGBD，

CBCD

∴EHFG，

故直線(xiàn)EH與直線(xiàn)FG平行．

【變式1】（2024上·上?！じ叨？计谀┤糁本€(xiàn)ab，c，d為不重合的兩條直線(xiàn)，且aPc，b∥d，則c

與d的位置關(guān)系是．

【答案】c∥d

【詳解】因?yàn)閍b且aPc

根據(jù)平行線(xiàn)的傳遞性知b,c平行或重合，

又因?yàn)閎∥d，

再次利用平行線(xiàn)的傳遞性知c,d平行或重合，

因?yàn)閏，d為不重合的兩條直線(xiàn)

所以c∥d.

故答案為：c∥d.

【變式2】（2023下·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，

且AE∶EB=AF∶FC，則EF與B1C1的位置關(guān)系是.

【答案】平行

【詳解】在△ABC中，AE∶EB=AF∶FC，

∴EF∥BC，三棱柱ABC-A1B1C1中，有BC∥B1C1，

∴EF∥B1C1.

故答案為：平行

【變式3】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱錐SABC中，M，N，E，F(xiàn)分別為棱SA，SC，AB，

BC的中點(diǎn)，試判斷直線(xiàn)MN與直線(xiàn)EF是否平行．

【答案】平行

【詳解】在三棱錐SABC中，M，N分別為棱SA，SC的中點(diǎn)，則有MN//AC，

而E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，則有EF//AC，

由平行公理得：MN//EF，

所以直線(xiàn)MN與直線(xiàn)EF平行．

題型02等角定理的應(yīng)用

【典例1】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知P為ABC所在平面外一點(diǎn)，平面//平面ABC，且交線(xiàn)段PA，

PB，PC于點(diǎn)A,B,C，若PA:AA2:3，則S△ABC:S△ABC（）

A．2：3B．2：5C．4：9D．4：25

【答案】D

【詳解】由已知可得，平面//平面ABC，平面PABAB，平面PAB平面ABCAB，

ABPA2

根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得，AB//AB，且.

ABPA5

同理可得，BC//BC，AC//AC.

根據(jù)等角定理可得，BACBAC，ABCABC，ACBACB，

所以，△ABC∽△ABC.

所以，2:2

SABC:SABCABAB4:25.

故選：D.

【典例2】（2024上·上?！じ叨?zhuān)題練習(xí)）如果OA//O1A1，OB//O1B1，那么AOB與A1O1B1之間具有什么

關(guān)系？

【答案】相等或互補(bǔ)

【詳解】當(dāng)AOB與A1O1B1在同一平面內(nèi)時(shí)，令OB交A1O1于點(diǎn)M，如圖：

因OA//O1A1，則AOBA1MB，COBO1MB，

又OB//O1B1，則A1O1B1A1MB，因此，AOBA1O1B1，COBA1O1B1O1MBA1MB180，

顯然C與A可換位，

所以AOB與A1O1B1之間相等或互補(bǔ)；

當(dāng)AOB與A1O1B1不在同一平面內(nèi)時(shí)，

若射線(xiàn)OA與O1A1同方向，射線(xiàn)OB與O1B1同方向，

在射線(xiàn)OA與O1A1上分別取點(diǎn)E，E1，使OE=O1E1，在射線(xiàn)OB與O1B1上分別取點(diǎn)D，D1，使OD=O1D1，

連接OO1，DD1，EE1，ED，E1D1，如圖，

因OA//O1A1，則四邊形OEE1O1是平行四邊形，EE1//OO1，且EE1=OO1，同理DD1//OO1，且DD1=OO1，

于是得EE1//DD1，且EE1=DD1，則四邊形DEE1D1是平行四邊形，即有ED=E1D1，

從而有EODE1O1D1，則EODE1O1D1，即AOBA1O1B1，

射線(xiàn)OC是射線(xiàn)OA的反向延長(zhǎng)線(xiàn)，則有COBAOB180，即COBA1O1B1180，顯然C與A可

換位，

因此，AOB與A1O1B1之間相等或互補(bǔ)，

若射線(xiàn)OA與O1A1方向相反或射線(xiàn)OB與O1B1方向相反，則射線(xiàn)OA的反向延長(zhǎng)線(xiàn)與O1A1同方向或射線(xiàn)

OB的反向延長(zhǎng)線(xiàn)與O1B1同方向，

在其反向延長(zhǎng)線(xiàn)上按上述同樣的方式進(jìn)行，可得AOB與A1O1B1之間相等或互補(bǔ)，

所以AOB與A1O1B1之間相等或互補(bǔ)，

綜上得：AOB與A1O1B1之間相等或互補(bǔ).

【變式1】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知AB//PQ，BC//QR，ABC30，則PQR（）

A．30B．30或150

C．150D．30或120

【答案】B

【詳解】ABC的兩邊與PQR的兩邊分別平行，

根據(jù)等角定理易知PQR30或150.

故選：B.

【變式2】（2024·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1

的中點(diǎn)．

（1）求證：四邊形BB1M1M為平行四邊形；

（2）求證：BMCB1M1C1．

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【詳解】解：(1)∵ABCDA1B1C1D1為正方體．∴ADA1D1，且AD//A1D1，

又M，M1分別為棱AD，A1D1的中點(diǎn)，∴AMA1M1且AM//A1M1，

∴四邊形AMM1A1為平行四邊形，∴MM1AA1且MM1//AA1．

又AA1BB1且AA1//BB1，∴MM1BB1且MM1//BB1，

∴四邊形BB1M1M為平行四邊形．

(2)法一：由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形，∴B1M1//BM．

同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，∴C1M1//CM．∵BMC和B1M1C1方向相同，

∴BMCB1M1C1．

法二：由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形，∴B1M1BM．

同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，∴C1M1CM．

又∵B1C1BC，∴△BCM≌△B1C1M1，∴BCMB1C1M1．

題型03空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)平行的應(yīng)用

【典例1】（2023下·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是側(cè)面AA1D1D，側(cè)面

CC1D1D的中心，G，H分別是線(xiàn)段AB，BC的中點(diǎn)，則直線(xiàn)EF與直線(xiàn)GH的位置關(guān)系是（）

A．相交B．異面C．平行D．垂直

【答案】C

【詳解】如圖，

連接AD1，CD1，AC，

因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AD1，CD1的中點(diǎn)，

由三角形的中位線(xiàn)定理知EF∥AC，GH∥AC，

所以EF∥GH.

故選：C

【典例2】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDABCD中，M，N分別為CD，AD

的中點(diǎn)．求證：四邊形MNAC是梯形．

【答案】證明見(jiàn)解析

【詳解】證明：如圖所示：

連接AC，

由正方體的性質(zhì)可知：

AA′=CC′，AA′//CC′，

∴四邊形AA′C′C為平行四邊形，

∴A′C′=AC．A′C′//AC，

又∵M(jìn)，N分別是CD，AD的中點(diǎn)，

1

∴MN∥AC，且MN＝AC，

2

∴MN∥A′C′且MN≠A′C′．

∴四邊形MNA′C′是梯形．

【變式1】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知a，b，c是空間中的三條相互不重合的直線(xiàn)，給出下列說(shuō)法：

①若a∥b，b∥c，則aPc；②若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；③若a平面，b平面，

則a，b一定是異面直線(xiàn)；④若a，b與c成等角，則a∥b．其中正確的說(shuō)法是（填序號(hào)）．

【答案】①

【詳解】由公理4知①正確；

當(dāng)a與b相交，b與c相交時(shí)，a與c可能相交、平行，也可能異面，故②不正確；

當(dāng)a平面，b平面時(shí)，a與b可能平行、相交或異面，故③不正確；

當(dāng)a，b與c成等角時(shí)，a與b可能相交、平行，也可能異面，故④不正確．

故答案為：①

【變式2】（2024上·上?！じ叨?zhuān)題練習(xí)）如圖，ABC的各邊對(duì)應(yīng)平行于△A1B1C1的各邊，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在

11

邊AB，AC上，且AEAB,AFAC，試判斷EF與B1C1的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

33

【答案】EF與B1C1平行．理由見(jiàn)解析．

【詳解】B1C1//EF，理由如下：

11AEAF

在ABC中，因?yàn)锳EAB,AFAC，即，所以EF//BC，

33ABAC

又因?yàn)锽1C1//BC，所以B1C1//EF.

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知三條不同的直線(xiàn)l，m，n，且lm，則“m∥n”是“l(fā)∥n”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既

不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】解：若m∥n，又lm，則l∥n，故充分性成立，

反之，若l∥n，又lm，則m∥n，故必要性成立.

故“m∥n”是“l(fā)∥n”的充要條件.

故選：C.

2．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在三棱錐P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F(xiàn)分別是AB，PA，AC的中點(diǎn)，

則∠DEF＝（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

【答案】D

【分析】由E,D,F分別為AB,PA,AC的中點(diǎn)，得到DE//PB,EF//BC，結(jié)合題意得出DEEF，即可求解.

【詳解】如圖所示，因?yàn)镋,D,F分別為AB,PA,AC的中點(diǎn)，可得DE//PB,EF//BC，

又因?yàn)镻BBC，所以DEEF，所以DEF90.

故選：D.

3．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1任意兩個(gè)頂點(diǎn)的連線(xiàn)中與棱AB平行的

條數(shù)為（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】D

【分析】作出幾何體的直觀圖觀察即可.

，，

【詳解】解：連接CF，C1F1，與棱AB平行的有EDCFA1B1,C1F1,E1D1，共有5條，

故選：D.

4．（2023下·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列結(jié)論中正確的是（）

①在空間中，若兩條直線(xiàn)不相交，則它們一定平行；②平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行；③一條直線(xiàn)

和兩條平行直線(xiàn)中的一條相交，那么它也和另一條相交；④空間中有四條直線(xiàn)a，b，c，d，如果a//b，c//d，

且a//d，那么b//c.

A．①②③B．②④C．③④D．②③

【答案】B

【分析】根據(jù)空間中直線(xiàn)間的位置關(guān)系逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】①錯(cuò)誤，兩條直線(xiàn)可以異面；

②正確，平行的傳遞性；

③錯(cuò)誤，和另一條直線(xiàn)可以相交也可以異面；

④正確，平行的傳遞性.

故選：B.

5．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）空間兩個(gè)角α，β的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，且α=60°，則β為（）

A．60°B．120°C．30°D．60°或120°

【答案】D

【詳解】試題分析：根據(jù)等角定理，兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，則兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，所以為或，

故選D.

考點(diǎn)：等角定理

6．（2023下·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，直線(xiàn)l平面A1B1C1D1，且直線(xiàn)l與

直線(xiàn)B1C1不平行，則下列一定不可能的是（）

A．l與AD平行B．l與AD不平行C．l與AC平行D．l與BD平行

【答案】A

【分析】假設(shè)l//AD，通過(guò)平行線(xiàn)的傳遞性推出與題中條件相反的結(jié)論來(lái)說(shuō)明直線(xiàn)l與直線(xiàn)AD一定不平行；

當(dāng)l與A1C1平行時(shí)，選項(xiàng)C正確；當(dāng)l與B1D1平行時(shí)，選項(xiàng)D正確.

【詳解】假設(shè)l//AD，則由AD//BC//B1C1，知l//B1C1，

這與直線(xiàn)l與直線(xiàn)B1C1不平行矛盾，

所以直線(xiàn)l與直線(xiàn)AD不平行.

故選：A.

二、填空題

7．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別邊AB,BC,CD,DA上的中點(diǎn)，則直線(xiàn)

EG和FH的位置關(guān)系是．

【答案】相交

【分析】根據(jù)平面的性質(zhì)結(jié)合線(xiàn)線(xiàn)位置關(guān)系分析判斷.

【詳解】∵E、F、G、H分別是四邊上的中點(diǎn)，

∴EFACGH，即EFGH，

同理可得：EHGF，

故E、F、G、H四點(diǎn)共面，且EFGH為平行四邊形，則直線(xiàn)EG和FH的位置關(guān)系是相交.

故答案為：相交.

8．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，空間四邊形ABCD中，M,N分別是△ABC和△ACD的重心，若BDm，

則MN.

1m

【答案】m/

33

1

【分析】連接AM并延長(zhǎng)交BC于E，連接AN并延長(zhǎng)交CD于F，再連接MN，EF，可知EFBD，

2

2

MNEF，從而可求出答案.

3

【詳解】連接AM并延長(zhǎng)交BC于E，連接AN并延長(zhǎng)交CD于F，再連接MN，EF，

∴BEEC,CFFD，

11

∴EFBDm，

22

2221

又∵AMAE,ANAF，∴MNEFm.

3333

1

故答案為：m.

3

9．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖是正方體的表面展開(kāi)圖，E，F(xiàn)，G，H分別是棱的中點(diǎn)，則EF與GH

在原正方體中的位置關(guān)系為.

【答案】平行

【分析】將正方體的表面展開(kāi)圖還原構(gòu)造成正方體，取AB，AA1的中點(diǎn)Q，P，連接EP，F(xiàn)Q，PQ，A1B，

得到EF∥PQ，根據(jù)PQ∥A1B，HG∥A1B，即可得到EF∥GH.

【詳解】由題意，將正方體的表面展開(kāi)圖還原構(gòu)造成正方體，如圖所示:

分別取AB，AA1的中點(diǎn)Q，P，連接EP，F(xiàn)Q，PQ，A1B，

由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得EF∥PQ，

又因?yàn)辄c(diǎn)Q，P，H，G分別是AB，AA1，A1B1，BB1的中點(diǎn)，故PQ∥A1B，HG∥A1B，

故PQ∥HG，所以EF∥GH.

故答案為：平行

三、解答題

10．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCDABCD中，底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，高為2a，

點(diǎn)M，N分別是CD和AD的中點(diǎn)．

(1)判斷四邊形MNAC的形狀；

(2)求四邊形MNAC的面積．

【答案】(1)梯形

333

(2)a2

8

11

【分析】（1）根據(jù)棱柱的幾何特征和三角形中位線(xiàn)定理，可得MN//AC//AC，且MNACAC，

22

進(jìn)而可判斷四邊形MNAC的形狀；

（2）利用勾股定理，求出梯形的高，代入梯形面積公式，可得答案.

【詳解】（1）

點(diǎn)M，N分別是CD和AD的中點(diǎn)，

1

MN//AC,MNAC，

2

AA//CC,AACC，四邊形AACC是平行四邊形，

1

AC//AC,AC=AC，MN//AC,MNAC，

2

故四邊形MNAC為梯形；

17

（2）由題意可得ACACAD2CD22a，ANCMAA2AN2a，

2

12

則MNACa，

22

22

172266

故梯形的高為，

aaaa

2244

1266333

2

故四邊形MNAC的面積Sa2aaa.