高一數(shù)學(xué)必修第二冊同步學(xué)與練（人教版）第12講 余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例（解析版）

第12講6.4.3第3課時余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①會用正弦定理、余弦定理解決生產(chǎn)實(shí)踐中

有關(guān)距離、高度、角度的測量問題。

②培養(yǎng)提出問題、正確分析問題、獨(dú)立解決1.進(jìn)一步理解三角形面積公式的推導(dǎo)過程，掌握三角形

問題的能力。的面積公式；

③理解三角形面積公式的推導(dǎo)過程，掌握三2.了解正弦、余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用.在了解的基

角形的面積公式。礎(chǔ)上熟練應(yīng)用是關(guān)鍵；

④.了解正弦、余弦定理在平面幾何中的應(yīng)3.掌握正弦、余弦定理與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用；

用。

⑤掌握正弦、余弦定理與三角函數(shù)的綜合應(yīng)

用。

知識點(diǎn)1：基線

在測量過程中,我們把根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做基線.為使測量具有較高的精確度,應(yīng)根據(jù)實(shí)

際需要選取合的基線長度.一般來說,基線越長,測量的精確度越高.

知識點(diǎn)2：仰角與俯角

在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰

角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角

【即學(xué)即練1】（2023上·四川遂寧·高三統(tǒng)考期中）某數(shù)學(xué)興趣小組到觀音湖濕地公園測量臨仙

閣的高度.如圖所示，記OT為臨仙閣的高，測量小組選取與塔底O在同一水平面內(nèi)的兩個測量點(diǎn)A,B.現(xiàn)測

得OAB45.OBA105，AB75m，在B點(diǎn)處測得塔頂T的仰角為30°，則臨仙閣高OT大致為（）

m（參考數(shù)據(jù)：62.45）

A．31.41mB．51.65mC．61.25mD．74.14m

【答案】C

【詳解】依題意，AOB中，AOB1804510530，

ABOB75OB

所以由正弦定理得，即，

sinAOBsinOABsin30sin45

解得OB752，

OT3

在BOT中，tanOBTtan30，即OTOBtan30752256252.4561.25m．

OB3

故選：C.

知識點(diǎn)3：方位角

從某點(diǎn)的指北方向線起按順時針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角．方位角的范圍是

0360.

【即學(xué)即練2】（2023下·新疆烏魯木齊·高一?？计谥校┤鐖D所示，貨輪在海上以40km/h的速度

沿著方位角（指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平轉(zhuǎn)角）為140°的方向航行，為了確定船位，船在B

點(diǎn)觀測燈塔A的方位角為110°，航行半小時后船到達(dá)C點(diǎn)，觀測燈塔A的方位角是65°，則貨輪到達(dá)C點(diǎn)時，

與燈塔A的距離是多少.

【答案】AC102（km）

1

【詳解】由題設(shè)可得ABC30，BC4020（km），

2

而ACB4065105，故A1803010545，

AC20

由正弦定理可得，故AC102（km）.

sin30sin45

知識點(diǎn)4：方向角

正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)，

例：(1)北偏東：(2)南偏西：

知識點(diǎn)5：坡角與坡比

坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比(坡度)，即

h

itan.

l

題型01測量距離問題

【典例1】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）某地為響應(yīng)習(xí)近平總書記關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)的號召，大力開展“青

山綠水”工程，造福于民，擬對該地某湖泊進(jìn)行治理，在治理前，需測量該湖泊的相關(guān)數(shù)據(jù).如圖所示，測得

∠C＝120°，BC40米，AC603米，則A，B間的直線距離約為（）

A．60米B．130米C．150米D．300米

【答案】B

【詳解】由題設(shè)，在ABC中，

由余弦定理AB2AC2BC22ACBCcosC124002400316557，

所以AB130米.

故選：B.

【典例2】（2023上·江蘇無錫·高一江蘇省南菁高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，位于我國南海海域的某直徑

為55海里的圓形海域上有四個小島，已知小島B與小島C相距為5海里（小島的大小忽略不計(jì)，測量誤

2

差忽略不計(jì)），經(jīng)過測量得到數(shù)據(jù)：cosBAD．小島C與小島D之間的距離為海里．

3

【答案】10105

3

【詳解】由于A,B,C,D四點(diǎn)共圓，

25

所以πBADCcosC,sinC1cos2C，

33

BD25

由正弦定理可知55BD，

sinC3

20400

在△BCD中，BD2CD2BC22cosCCDCBCD2CD0，

39

20205

解之得10105，

CD33

233

10105

顯然0不合題意.

3

10105

故答案為：.

3

【典例3】（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測）如圖，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)綠化某一座山體，以地面為基面，在基面上選取

A，B，C，D四個點(diǎn)，使得AD22BC，測得BAD30o，BCD45，ADC120．

(1)若B，D選在兩個村莊，兩村莊之間有一直線型隧道，且BD102km，CD20km，求A，C兩點(diǎn)間距

離；

(2)求tanBDC的值．

【答案】(1)207km

43

(2)

13

CDBD

【詳解】（1）在△BCD中，由正弦定理得，

sinCBDsinBCD

20102

即，

sinCBDsin45

解得sinCBD1，所以CBD90，

則△BCD為等腰直角三角形，所以BC102，

則AD22BC40．

在ACD中，由余弦定理得

2221

ACADCD2ADCDcosADC1600400240202800，

2

故AC207．

故A，C兩點(diǎn)間距離為207km．

（2）設(shè)BDC，則由題意可知，ADB120，ABD30．

BDADAD

在△ABD中，由正弦定理得，即2sin30，

sinBADsinABDBD

BCBDBC

在△BCD中，由正弦定理得，即2sin，

sinBDCsinBCDBD

13

又AD22BC，所以2sin30222sincossin2sin，

22

4343

解得tan，所以tanBDC．

1313

【變式1】（2023上·北京·高三北京四中?？计谥校┤鐖D，為了測量湖兩側(cè)的A，B兩點(diǎn)之間的距離，某觀

測小組的三位同學(xué)分別在B點(diǎn)，距離A點(diǎn)30km處的C點(diǎn)，以及距離C點(diǎn)10km處的D點(diǎn)進(jìn)行觀測.甲同學(xué)在

B點(diǎn)測得DBC30，乙同學(xué)在C點(diǎn)測得ACB45，丙同學(xué)在D點(diǎn)測得BDC45，則A，B兩點(diǎn)間

的距離為km.

【答案】105

【詳解】DBC30，ACB45，BDC45，AC30，CD10，

CDBCCDsinBDC10sin45

△BCD中，由正弦定理，有，則BC102，

sinDBCsinBDCsinDBCsin30

ABC中，由余弦定理，

22

有AB2BC2AC22BCACcosACB102302210230500，

2

得AB105，即A，B兩點(diǎn)間的距離為105.

故答案為：105.

【變式2】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對岸(不可到達(dá))，若在河岸選取相距20

米的C、D兩點(diǎn)，測得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此時A，B兩點(diǎn)間的距

離是多少？

【答案】106米

【詳解】根據(jù)正弦定理，

CDsin456020(sin45cos60cos45sin60)

在ACD中，有AC10(13)(米)，

sin180304560sin45

CDsin45

BC20

在△BCD中，有(米)．

sin180304560

在ABC中，由余弦定理得AB＝AC2BC22ACBCcosBCA＝106(米)．

所以A，B兩點(diǎn)間的距離為106米．

【變式3】（2023下·遼寧·高二鳳城市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，某濕地為拓展旅游業(yè)務(wù)，現(xiàn)準(zhǔn)備在

π

濕地內(nèi)建造一個觀景臺D，已知射線AB，AC為濕地兩邊夾角為的兩條公路（長度均超過4千米），在

3

兩條公路AB，AC上分別設(shè)立游客接送點(diǎn)E，F(xiàn)，且AEAF23千米．若要求觀景臺D與兩接送點(diǎn)所

成角EDF與BAC互補(bǔ)，且觀景臺D在EF的右側(cè)，并在觀景臺D與接送點(diǎn)E，F(xiàn)之間建造兩條觀光線

路DE和DF，求觀光線路之和最長是多少千米，此時DA為多少千米？

【答案】觀光線路之和最長是4千米，此時DA為4千米

π

【詳解】在△AEF中，因?yàn)锳EAF23，EAF，所以EF23，

3

2π

又EDF與EAF互補(bǔ)，所以EDF，

3

在DEF中，由余弦定理得EF2DE2DF22DEDFcosEDF，

2

即DE2DF2DEDF12，即DEDFDEDF12，

12

又因?yàn)镈EDFDEDF，所以DEDF4，

4

當(dāng)且僅當(dāng)DEDF2時取等號，

此時由于DEDF，AEAF，ADAD，所以VADE≌△ADF，

π

又EDF與EAF互補(bǔ)，所以AED，所以AD4.

2

所以觀光線路之和最長是4千米，此時DA為4千米.

題型02測量高度問題

【典例1】（2023上·新疆烏魯木齊·高三烏魯木齊市第70中?？茧A段練習(xí)）高郵鎮(zhèn)國寺是國家3A級旅游景

區(qū)地處高郵市京杭大運(yùn)河中間，東臨高郵市區(qū)，西近高郵湖實(shí)屬龍地也，今有“運(yùn)河佛城”之稱某同學(xué)想知道

鎮(zhèn)國寺塔的高度MN,他在塔的正北方向找到一座建筑物AB,高約為7.5m，在地面上點(diǎn)C處（B，C，N三點(diǎn)

共線）測得建筑物頂部A鎮(zhèn)國寺塔頂部M的仰角分別為15和60在A處測得鎮(zhèn)國寺塔頂部M的仰角為30°，

鎮(zhèn)國寺塔的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：21.41，31.73）

A．31.42mB．33.26mC．35.48mD．37.52m

【答案】C

【詳解】如圖所示：

由題意MAC153045，MCA1801560105，

AMC180MACMCA1804510530，

因?yàn)樵赗t△ABC中，有AB7.5，ACB15，ABC90，

ABAB15

所以AC，

sinACBsin152sin15

ACMC

在AMC中，運(yùn)用正弦定理有，

sinAMCsinMAC

15

152

即MC，化簡得MC，

2sin15

sin30sin452sin15

152

又因?yàn)樵赗t△MNC中，有MC，MCN60，MNC90，

2sin15

1521523156

所以有MNMCsin60sin60，

2sin152sin1524sin15

232162

因?yàn)閟in15sin4530，

22224

156156156621533

所以MN，

4sin156262622

由題意21.41，31.73，

15331531.73

所以MN35.47535.48，

22

綜上所述：鎮(zhèn)國寺塔的高度約為35.48m.

故選：C.

【典例2】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）消防車是救援火災(zāi)的主要裝備，圖①是一輛登高云梯消防車的實(shí)

物圖，圖②是其工作示意圖，起重臂AC（20米AC30米）是可伸縮的，且起重臂AC可繞點(diǎn)A在一定

范圍內(nèi)上下轉(zhuǎn)動張角CAE90≤CAE≤150，轉(zhuǎn)動點(diǎn)A距離地面的高度AE為4米．當(dāng)起重臂AC的長

度為24米，張角CAE120時，云梯消防車最高點(diǎn)C距離地面的高度CF的長為米．

【答案】16

【詳解】如圖，過點(diǎn)A作AGCF，由題意的：EAG90，GFAE4，

CAE120，CAG30，

在RtACG中，AC24，CGACsin3012，

CFCGGF12416米．

故答案為：16

【變式1】（2023上·河北承德·高三校聯(lián)考期中）河北省正定縣的須彌塔是中國建筑寶庫的珍貴遺產(chǎn)，是我

國建筑之精品，是中國古代高超的建筑工程技術(shù)和建筑藝術(shù)成就的例證．一名身高1.7m的同學(xué)假期到河北

省正定縣旅游，他在A處仰望須彌塔尖，仰角為45，他沿直線（假設(shè)他的行走路線和塔底在同一條直線上）

向塔行走了17m后仰望須彌塔尖，仰角為60，據(jù)此估計(jì)該須彌塔的高度約為m．（參考數(shù)

據(jù)：21.414,31.732，結(jié)果保留整數(shù)）

【答案】42

【詳解】如圖，A1B117，因?yàn)镃A1D145,CB1D160，所以A1CB115，

ABCB

111

在A1B1C中，由正弦定理得，

sinA1CB1sinCA1D1

A1B1sinCA1D117sin45

所以CB1，

sinA1CB1sin15

321262

其中sin15sin6045sin60cos45cos60sin45，

22224

2

17

17sin4534234262

2

故CB11731，

sin1562626262

4

1733174.732

又，且，所以，

CDCBsin6031.732CD140.2

1122

又該同學(xué)身高1.7m，所以塔高約為40.21.741.9m42m.

故答案為：42.

【變式2】（2023上·河北邢臺·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）邯鄲叢臺又名武靈叢臺，相傳始建于戰(zhàn)國趙武靈王時

期，是趙王檢閱軍隊(duì)與觀賞歌舞之地，是古城邯鄲的象征.如圖，某學(xué)習(xí)小組為了測量邯鄲叢臺的高度AB，

選取了與臺底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點(diǎn)C，D，現(xiàn)測得BCD30，BDC86，CD40米，在

點(diǎn)D處測得叢臺臺頂?shù)难鼋菫?0，則叢臺的高度為米（結(jié)果精確到0.1米，取tan501.19，

sin640.90）.

【答案】26.4

CDBD

【詳解】在△BCD中，CBD180308664，，

sin64sin30

20200AB

則BD米.在ABD中，tanADB1.19，

0.99BD

238

則AB1.19BD26.4米.

9

故答案為：26.4.

題型03測量角度問題

【典例1】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）一艘游輪航行到A處時看燈塔B在A的北偏東75，距離為126

海里，燈塔C在A的北偏西30，距離為123海里，該游輪由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時再看燈塔B在

其南偏東60方向，則此時燈塔C位于游輪的（）

A．正西方向B．南偏西75方向C．南偏西60方向D．南偏西45方向

【答案】C

ADAB126

242,AD24

【詳解】如圖，在△ABD中，B45，由正弦定理得sin45sin603，

2

在ACD中，由余弦定理得CD2AC2AD22ACADcos30，

因?yàn)锳C123,AD24，所以解得CD12，

CDAC3

由正弦定理得,sinCDA，故CDA60或CDA120，

sin30sinCDA2

因?yàn)锳DAC，故CDA為銳角，所以CDA60，

此時燈塔C位于游輪的南偏西60方向.

故選：C

【典例2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船

上．在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30方向且與該港口相距20nmile的A處，并以30nmile/h的航行

速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以vnmile/h的航行速度勻速行駛，經(jīng)過th與輪船相遇.

(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？

(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30nmile/h，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向與航行速度的大?。?，

使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由．

【答案】(1)航行速度為303nmile/h

(2)航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為30nmile/h,理由見解析

【詳解】（1）

如圖設(shè)小艇的速度為v，時間為t相遇，

則由余弦定理得:OC2AC2OA22ACOAcosOAC,

1

叩:v2t2400900t21200tcos60900t2600t400900(t)2300,

3

1

當(dāng)t時，OC取得最小值，此時速度v303nmile/h，

3

此時小艇的航行方向?yàn)檎狈较?，航行速度?03nmile/h.

（2）要用時最小，則首先速度最高，即為:30nmile/h，

則由(1)可得:

OC2AC2OA22ACOAcosOAC,

22

即:30t400900t21200tcos60,解得:t，

3

此時BOD30,

此時，在OAB中，OAOBAB20，

故可設(shè)計(jì)航行方案如下:

航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為30nmile/h，小艇能以最短時間與輪船相遇.

【典例3】（2023下·河南周口·高一周口恒大中學(xué)?？计谥校┠掣劭贠要將一件重要物品用小艇送到一艘正

在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處，并正以30海

里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時

與輪船相遇.

(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？

(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/時，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向和航行速度的大?。?/p>

使得小艇能以最短時間與輪船相遇.

【答案】(1)303海里/時

(2)航行方向?yàn)楸逼珫|30，航行速度為30海里/時，小艇能以最短時間與輪船相遇

【詳解】（1）設(shè)相遇時小艇航行的距離為S海里，則

2

221

S900t400230t20cos9030900t600t400900t300，

3

103

1v303

當(dāng)t時，S103（海里），此時1（海里/時）.

3min

3

∴小艇以303海里/時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小.

222

（2）設(shè)小艇與輪船在B處相遇，則vt400900t22030tcos9030，

600400

故v2900，又0v30，

tt2

600400232

∴900900，即0，解得t.

tt2t2t3

22

又t時，v30海里/時，即v30海里/時時，t取得最小值為.

33

此時，在△OAB中，有OAOBAB20海里，

故可設(shè)計(jì)航行方案：航行方向?yàn)楸逼珫|30，航行速度為30海里/時，小艇能以最短時間與輪船相遇.

【典例4】（2023下·浙江·高一校聯(lián)考期中）如圖，A，B是某海城位于南北方向相距30(13)海里的兩個

觀測點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45，B點(diǎn)南偏東30的C處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨發(fā)出求救信號，位于B點(diǎn)正

西方向且與B點(diǎn)相距100海里的D處的救援船立即前往營救，其航行速度為80海里/時.

(1)求B，C兩點(diǎn)間的距離；

(2)該救援船前往營救漁船時應(yīng)該沿南偏東多少度的方向航行？救援船到達(dá)C處需要多長時間？（參考數(shù)據(jù)：

cos21.790.93，角度精確到0.01）

【答案】(1)60海里

(2)方向是南偏東68.21，需要的時間為1.75小時.

【詳解】（1）依題意得BAC45,ABC30，AB3013，

所以ACB180(BACABC)180(4530)105，

BCABBC30(13)

在ABC中，由正弦定理得,,

sinBACsinACBsin45sin105

232162

sin105sin75sin(4530),

22224

2

30(13)

故BC260（海里），

62

4

所以求B,C兩點(diǎn)間的距離為60海里.

（2）依題意得DBCDBAABC9030120,BD100，

在△DBC中，由余弦定理得CD21002602210060cos12019600，

所以CD140（海里），

所以救搜船到達(dá)C處需要的時間為140801.75小時，

BD2DC2BC21002140260213

在△DBC中，由余弦定理得cosBDC0.93,

2BDDC210014014

因?yàn)?BDC90,cos21.790.93，

所以BDC21.79，

所以該救援船前往營救漁船時的方向是南偏東9021.7968.21﹒

【變式1】（2023上·廣東廣州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在

北偏東45方向，相距12公里的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時10公里的速度沿南偏東75方向前進(jìn)，

若偵察艇以每小時14公里的速度，沿北偏東45方向攔截藍(lán)方的小艇．若要在最短的時間內(nèi)攔截住，則

紅方偵察艇所需的時間為小時，角的正弦值為．

535

【答案】2/3

1414

【詳解】設(shè)紅方偵查艇經(jīng)過x小時后在C處追上藍(lán)方的小艇，則AC14x，BC10x，ABC120.

22

根據(jù)余弦定理得14x12210x240xcos120，解得x2，

故AC28，BC20.

BCAC20sin12053

根據(jù)正弦定理得，解得sin，

sinsin1202814

53

故答案為：2；.

14

【變式2】（2023·全國·高一課堂例題）一顆人造地球衛(wèi)星在地球上空1600km處沿著圓形的軌道運(yùn)行，每

2h沿軌道繞地球旋轉(zhuǎn)一圈．假設(shè)衛(wèi)星于中午12點(diǎn)正通過衛(wèi)星跟蹤站A點(diǎn)的正上空，地球半徑約為6400km．

(1)求人造衛(wèi)星與衛(wèi)星跟蹤站在12：03時相隔的距離是多少．

(2)如果此時跟蹤站天線指向人造衛(wèi)星，那么天線瞄準(zhǔn)的方向與水平線的夾角的余弦值是多少？（參考數(shù)據(jù)：

cos90.988，sin90.156）

【答案】(1)1950km

(2)0.64．

3

【詳解】（1）解：如圖所示，設(shè)人造衛(wèi)星在12:03時位于C點(diǎn)，其中AOC，則3609，

120

在△ACO中，OA6400km，OC640016008000km，9，

由余弦定理得AC26400280002264008000cos93.79106，

解得AC1.95103，

因此，在12:03時，人造衛(wèi)星與跟蹤站相距約1950km．

（2）解：如圖所示，設(shè)此時天線的瞄準(zhǔn)方向與水平線的夾角為，則CAO90，

sin90sin90

由正弦定理得，

19508000

8000

故sin90sin90.64，即cos0.64，

1950

因此，天線瞄準(zhǔn)方向與水平線的夾角的余弦值約為0.64．

【變式3】（2023下·貴州銅仁·高一?？计谥校┬抨柲蠟澈栽催h(yuǎn)流長的歷史遺產(chǎn)，濃郁豐厚的民俗風(fēng)情而

著稱；以幽、樸、秀、奇的獨(dú)特風(fēng)格，山、水、林、島的完美和諧而聞名，是融自然景觀、人文景觀、森

林生態(tài)環(huán)境、森林保健功能于一體，是河南省著名的省級風(fēng)景區(qū)．如圖，為迎接第九屆開漁節(jié)，某漁船在

湖面上A處捕魚時，天氣預(yù)報(bào)幾小時后會有惡劣天氣，該漁船的東偏北方向上有一個小島C可躲避惡劣

天氣，在小島C的正北方向有一航標(biāo)燈D距離小島25海里，漁船向小島行駛50海里后到達(dá)B處，測得

DBC45，BD2562海里．

(1)求A處距離航標(biāo)燈D的距離AD；

(2)求cos的值；

【答案】(1)502（海里）

(2)31

【詳解】（1）∵AB50，BD2562，DBC45，

∴在△ABD中由余弦定理得AD2AB2BD22ABBDcos135，

22

2

50256225025625000

2

∴AD502（海里）．

BDDC

（2）∵BCD90，由正弦定理得，

sin90sin45

BDsin45

∴cossin9031．

DC

【變式4】（2023下·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）某海岸的A哨所在凌晨1點(diǎn)15分

發(fā)現(xiàn)哨所北偏東30方向20nmile處的D點(diǎn)出現(xiàn)可疑船只，因天氣惡劣能見度低，無法對船只進(jìn)行識別，

所以將該船雷達(dá)特征信號進(jìn)行標(biāo)記并上報(bào)周圍哨所．早上5點(diǎn)15分位于A哨所正西方向20nmile的B哨

所發(fā)現(xiàn)了該可疑船只位于B哨所北偏西30方向60nmile處的E點(diǎn)，并識別出其為走私船，立刻命令位于B

哨所正西方向30nmile處C點(diǎn)的我方緝私船前往攔截，已知緝私船速度大小為30nmile/h．（假設(shè)所有船

只均保持勻速直線航行）

(1)求走私船的速度大??；

(2)緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船，并求出截獲走私船的具體時間．

【答案】(1)103nmile/h

(2)緝私船沿北偏西30方向行駛，3小時后即早上8點(diǎn)15分可截獲走私船．

【詳解】（1）D點(diǎn)位于A哨所北偏東30方向20nmile處，

BAD9030120,AD20,

AB20,BDAD2AB22ADABcos120203,

ABAD,ABDADB30,

E點(diǎn)位于B哨所北偏西30方向60nmile處，

DBE90303090，

DEBD2BE2403，

403

v103nmile/h，

4

走私船的速度大小為103nmile/h.

（2）設(shè)在F點(diǎn)處截獲走私船，截獲走私船所需時間為t，

BE60,BC30,CBE60，

CEBE2BC22BEBCcos60303，

BE2BC2CE2,BCE90,BEC30，CEF120，

走私船速度為103nmile/h，緝私船速度為30nmile/h，

EF103t,CF30t，

在△CEF中，根據(jù)余弦定理，CF2CE2EF22CEEFcos120，

900t22700300t22303103tcos120，

3

化簡得2t23t90，t(舍去)，或t3，

2

此時CEEF303，ECF30，

緝私船沿北偏西30方向行駛，3小時后即早上8點(diǎn)15分可截獲走私船．

題型04綜合應(yīng)用題

【典例1】（2023上·廣東江門·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）氣象臺A在早上8:00觀測到一臺風(fēng)，臺風(fēng)中心在氣象臺

A正西方向3002km處，它正向東北方向移動，移動速度的大小為40km/h；距離臺風(fēng)中心10010km以內(nèi)

的地區(qū)都將受到影響.若臺風(fēng)中心的這種移動趨勢不變，該氣象臺受到臺風(fēng)影響的時段為（）

A．12:0017:00B．13:0018:00C．13:0017:00D．14:0018:00

【答案】B

【詳解】如圖，由余弦定理，得

AB2OB2OA22OBOAcos45，

于是OB2600OB800000，

解得OB200或OB400，

200400

所以，臺風(fēng)從O到B用時5小時，臺風(fēng)從O到C用時10小時.

4040

故，A點(diǎn)受到臺風(fēng)影響的時間是早上8:00后的5小時至10小時之間，即13:00-18:00.

故選：B.

【典例2】（2023上·湖北武漢·高三華中師大一附中?？计谥校┠吵鞘衅矫媸疽鈭D為四邊形ABCD（如圖所

示），其中ACD內(nèi)的區(qū)域?yàn)榫用駞^(qū)，ABC內(nèi)的區(qū)域?yàn)楣I(yè)區(qū)，為了生產(chǎn)和生活的方便，現(xiàn)需要在線段AB

和線段AD上分別選一處位置，分別記為點(diǎn)E和點(diǎn)F，修建一條貫穿兩塊區(qū)域的直線道路EF，線段EF與

線段AC交于點(diǎn)G，EG段和GF段修建道路每公里的費(fèi)用分別為10萬元和20萬元，已知線段AG長2公

π

里，線段AB和線段AD長均為6公里，ABAC,CAD，設(shè)AEG.

6

(1)求修建道路的總費(fèi)用y（單位：萬元）與的關(guān)系式（不用求的范圍）；

(2)求修建道路的總費(fèi)用y的最小值.

2020

y

【答案】(1)sinπ

sin

3

(2)80萬元

AGAG2

【詳解】（1）在Rt△AEG中，因?yàn)閟inAEG，可得EG，

EGsinAEGsin

π

在AFG中，可知AFG，

3

AGsinGAF1

GFAGGF

由正弦定理，可得sinAFGπ，

sinGAFsinAFGsin

3

2020

y10EG20GF

所以sinπ.

sin

3

2020204020sin203cos

y

（2）由（1）可知：sinπsin3cossin3sincossin2

sin

3

ππ

80sin80sin

33

，

2π2π

2cos214sin3

33

πππ2π

因?yàn)?，則,，

3333

80t80

π3y

令tsin,1，則4t233，

324t

t

3333

且y4t,y在,1上單調(diào)遞增，可知y4t在,1上單調(diào)遞增，

t2t2

80t80

y3

所以4t233在,1上單調(diào)遞減，

4t2

t

π

當(dāng)t1，即時，修建道路的總費(fèi)用y取到最小值80萬元.

6

【典例3】（2023下·云南曲靖·高一?？计谥校┫募緛砼R，氣溫升高，是學(xué)生溺水事故的高發(fā)期．為有效預(yù)

防學(xué)生溺水事件的發(fā)生，增強(qiáng)學(xué)生防溺水的安全防范意識，提高學(xué)生的自護(hù)自救能力，減少安全事故的發(fā)

生，切實(shí)保護(hù)學(xué)生的生命安全，學(xué)校組織各班召開了防溺水安全教育主題班會．某地一河流的岸邊觀測站

位于點(diǎn)C處（離地面高度忽略不計(jì)），觀察到位于點(diǎn)C西南方向且距離為1003m的點(diǎn)A處有一名釣友，正

目不轉(zhuǎn)睛地盯著其東偏北15方向上點(diǎn)B處一個正在岸邊玩耍的小孩子，突然小孩不慎落水．已知BC的距

離為100m，假設(shè)A,B,C三點(diǎn)在同一水平面上．

(1)求此時釣友與小孩之間的距離．

(2)若此時釣友到點(diǎn)C處比到點(diǎn)B處的距離更近，且在孩子落水的瞬間釣友跳進(jìn)河里開始以2.8m/s的速度救

援，與此同時孩子在水流的作用下以2m/s的速度沿北偏東15方向移動，由于釣友平時缺乏鍛煉受耐力限制，

最多能持續(xù)游600m，試問釣友這次救援是否有成功的可能？若有可能，求釣友救援成功的最短時間；若不

能，請說明原因．

【答案】(1)距離為100或200米；

500

(2)釣友這次救援有成功的可能，救援成功的最短時間為s.

3

【詳解】（1）由題意得CAB451530，BC100，AC1003，

在三角形ABC中，根據(jù)余弦定理有BC2AC2AB22ACABcos30，

23

即10021003AB221003AB，解得AB200或100，

2

故釣友與小孩之間的距離為100或200米.

（2）因?yàn)獒炗训近c(diǎn)C處比到點(diǎn)B處的距離更近，則AB200m，

設(shè)釣友在最短時間內(nèi)救援到地點(diǎn)為點(diǎn)Q，ABQ159015120,AQxm，

25

則BQxxm，

2.87

5

2002(x)2x2

1

所以cosABQ7，

5

2200x2

7

1400

整理得24x27000x140020，解得x（負(fù)根舍去），

3

1400

因?yàn)?00，所以釣友這次救援有成功的可能，

3

1400500

且成功的最短時間為2.8s.

33

【變式1】（2023下·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？计谀┲貞c市某區(qū)政府計(jì)劃在一處梔子花種植地修