高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)同步學(xué)與練（人教A版）第01講 集合的概念（解析版）

第01講1.1集合的概念

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.元素與集合

①理解元素與集合的概念，熟練常用數(shù)集

的概念及其記法.

②了解“屬于”關(guān)系的意義.

③了解有限集、無(wú)限集、空集的意義.1.通過(guò)集合語(yǔ)言的學(xué)習(xí)與運(yùn)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力.

2.集合的表示方法2.通過(guò)實(shí)例能選擇自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言(列

掌握集合的常用表示方法(列舉法、描述法舉法或描述法)來(lái)描述不同的具體問(wèn)題，感受集合語(yǔ)言

及相互轉(zhuǎn)化).的意義和作用.

3.元素的性質(zhì)

理解集合元素的三個(gè)性質(zhì)：確定性、無(wú)序性、

互異性.

知識(shí)點(diǎn)01：集合的含義

一般地,我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素,通常用小寫拉丁字母a,b,c,…表示.

把一些元素組成的總體叫做集合(簡(jiǎn)稱為集),通常用大寫拉丁字母A,B,C,…表示集合.

知識(shí)拓展集合的三個(gè)特性：

①描述性：集合是一個(gè)原始的不加定義的概念，像點(diǎn)、直線一樣，只能描述性地說(shuō)明.

②廣泛性：凡是看得見(jiàn)、摸得著、想得到的任何事物都可以作為組成集合的對(duì)象.

③整體性：集合是一個(gè)整體，已暗示“所有”“全部”“全體”的含義，因此一些對(duì)象一旦組成了集合，

那么這個(gè)集合就是這些對(duì)象的全體，而非個(gè)別對(duì)象.

【即學(xué)即練1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列各組對(duì)象的全體能構(gòu)成集合的有（）

（1）正方形的全體；（2）高一數(shù)學(xué)書中所有的難題；（3）平方后等于負(fù)數(shù)的數(shù)；（4）某校高一年級(jí)學(xué)

生身高在1.7米的學(xué)生；（5）平面內(nèi)到線段AB兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的全體.

A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)

【答案】C

【詳解】（1）（3）（4）（5）中的對(duì)象是確定的，可以組成集合，（2）中的對(duì)象是不確定的，不能組成

集合.

故選：C.

知識(shí)點(diǎn)02：元素與集合

1元素與集合的關(guān)系

(1)屬于(belongto)：如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于A，記作aA.

(2)不屬于(notbelongto)：如果b不是集合A的元素，就說(shuō)b不屬于A，記作bA.

特別說(shuō)明：a表示一個(gè)元素，{a}表示一個(gè)集合.它們間的關(guān)系為：a{a}.

2集合元素的三大特性

（1）確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的，也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在

這個(gè)集合中就確定了，我們把這個(gè)性質(zhì)稱為集合元素的確定性.

（2）互異性（考試常考特點(diǎn)，注意檢驗(yàn)集合的互異性）：一個(gè)給定集合中元素是互不相同的，也就是說(shuō)，

集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的，我們把這個(gè)性質(zhì)稱為集合元素的互異性.

（3）無(wú)序性：集合中的元素是沒(méi)有固定順序的，也就是說(shuō)，集合中的元素沒(méi)有前后之分，我們把這個(gè)性質(zhì)

稱為集合元素的無(wú)序性.

【即學(xué)即練2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列集合中，不同于另外三個(gè)集合的是（）

2

A．xx2020B．yy20200

C．x2020D．2020

【答案】C

【詳解】選項(xiàng)A、B是集合的描述法表示，選項(xiàng)D是集合的列舉法表示，且都表示集合中只有一個(gè)元素2020，

都是數(shù)集．

選項(xiàng)C它是由方程構(gòu)成的集合，集合是列舉法且只含有一個(gè)方程．

故選：C

知識(shí)點(diǎn)03：集合的表示方法與分類

1常用數(shù)集及其符號(hào)

常用數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

數(shù)學(xué)符合

NN或NZQR

2集合的表示方法

（1）自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问矫枋黾系姆椒ń凶鲎匀徽Z(yǔ)言法

（2）列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法．

注用列舉法表示集合時(shí)注意：

①元素與元素之間必須用“，”隔開(kāi)．

②集合中的元素必須是明確的．

③集合中的元素不能重復(fù)．

④集合中的元素可以是任何事物．

（3）描述法定義：一般地，設(shè)A表示一個(gè)集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集

合表示為{xA|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．有時(shí)也用冒號(hào)或分號(hào)代替豎線．

具體方法：在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在

豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征．

（4）venn（韋恩圖法）：

在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖形稱為Venn圖。

3集合的分類

根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)可以將集合分為有限集和無(wú)限集.

（1）有限集：含有有限個(gè)元素的集合是有限集，如方程x24的實(shí)數(shù)解組成的集合，其中元素的個(gè)數(shù)為有

限個(gè)，故為有限集.有限集通常推薦用列舉法或描述法表示，也可將元素寫在venn圖中來(lái)表示.

（2）無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合是無(wú)限集，如不等式x10的解組成的集合，其中元素的個(gè)數(shù)為無(wú)

限個(gè)，故為無(wú)限集.通常用描述法表示。

1

【即學(xué)即練3】（2023高一課時(shí)練習(xí)）已知①5R；②Q；③0={0}；④0N；⑤πQ；⑥3Z，

3

其中正確的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____.

【答案】3

【詳解】5是無(wú)理數(shù)，屬于實(shí)數(shù)，①正確；

1

是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，②正確；

3

0表示一個(gè)元素，0表示一個(gè)集合，③錯(cuò)誤；

N表示從0開(kāi)始的所有自然數(shù)集合，0N，④錯(cuò)誤；

π是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，屬于無(wú)理數(shù)，⑤錯(cuò)誤；

Z表示所有整數(shù)的集合，-3是整數(shù)，3Z，⑥正確；

故答案為：3.

知識(shí)點(diǎn)04：集合相等

只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個(gè)集合是相等的.記作：AB,例如：A{a,b,c}，

B{a,c,b}

【即學(xué)即練4】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）集合A3,1，Bm22m,1，且AB，則實(shí)數(shù)m=________.

【答案】1或3/3或1

【詳解】因?yàn)锳3,1，Bm22m,1，且AB，

所以m22m3，

由m22m3，得m22m30，解得m1或3

故答案為：1或3

題型01判斷元素能否構(gòu)成集合

【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列各對(duì)象可以組成集合的是（）

A．與1非常接近的全體實(shí)數(shù)

B．北大附中云南實(shí)驗(yàn)學(xué)校20202021學(xué)年度第二學(xué)期全體高一學(xué)生

C．高一年級(jí)視力比較好的同學(xué)

D．高一年級(jí)很有才華的老師

【答案】B

【詳解】對(duì)于ACD，集合中的元素具有確定性，但ACD中的元素不確定，故不能構(gòu)成集合，ACD錯(cuò)誤；

B中的元素滿足集合中元素的特點(diǎn)，可以構(gòu)成集合，B正確.

故選：B.

【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是（）

A．上課遲到的學(xué)生B．2020年高考數(shù)學(xué)難題

C．所有有理數(shù)D．小于的正整數(shù)

【答案】B

【詳解】上課遲到的學(xué)生屬于確定的互異的對(duì)象，所以能構(gòu)成集合；2020年高考數(shù)學(xué)難題界定不明確，所

以不能構(gòu)成集合；任意給一個(gè)數(shù)都能判斷是否為有理數(shù)，所以能構(gòu)成集合；小于的正整數(shù)分別為1,2,3，

所以能夠組成集合.

故選：B

【變式1】（2023秋·廣東揭陽(yáng)·高一惠來(lái)縣第一中學(xué)?？计谥校┫铝兴慕M對(duì)象中能構(gòu)成集合的是（）

A．宜春市第一中學(xué)高一學(xué)習(xí)好的學(xué)生

B．在數(shù)軸上與原點(diǎn)非常近的點(diǎn)

C．很小的實(shí)數(shù)

D．倒數(shù)等于本身的數(shù)

【答案】D

【詳解】解：A：宜春市第一中學(xué)高一學(xué)習(xí)好的學(xué)生，因?yàn)閷W(xué)習(xí)好的學(xué)生不確定，所以不滿足集合的確定性，

故A錯(cuò)誤；

B：在數(shù)軸上與原點(diǎn)非常近的點(diǎn)，因?yàn)榉浅＝狞c(diǎn)不確定，所以不滿足集合的確定性，故B錯(cuò)誤；

C：很小的實(shí)數(shù)，因?yàn)楹苄〉膶?shí)數(shù)不確定，所以不滿足集合的確定性，故C錯(cuò)誤；

D：倒數(shù)等于它自身的實(shí)數(shù)為1與﹣1，∴滿足集合的定義，故正確．

故選：D．

題型02判斷是否為同一集合

【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）判斷下列命題是否正確．

（1）集合2,4,6與集合4,2,6表示同一集合；()

（2）集合2,3與集合3,2表示同一集合；()

（3）集合xx3與集合tt3不表示同一集合；()

（4）集合yy2x,xR與集合x,yy2x,xR表示同一集合．()

【答案】正確錯(cuò)誤錯(cuò)誤錯(cuò)誤

【詳解】（1）集合元素具有無(wú)序性，集合2,4,6與集合4,2,6元素相同，故表示同一集合，正確；

（2）兩集合為點(diǎn)集，(2,3)和(3,2)表示的點(diǎn)不同，所以集合2,3與集合3,2表示兩個(gè)不同的集合，錯(cuò)

誤；

（3）集合xx3與集合tt3均表示大于3的所有實(shí)數(shù)的集合，所以集合xx3與集合tt3表示

同一集合，錯(cuò)誤；

（4）集合yy2x,xR為數(shù)集，集合x,yy2x,xR為點(diǎn)集，不是同一集合，錯(cuò)誤；

故答案為：（1）正確；（2）錯(cuò)誤；（3）錯(cuò)誤；（4）錯(cuò)誤.

【典例2】（2022秋·天津?yàn)I海新·高一?？茧A段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）

A．由1，2，3組成的集合可表示為1,2,3或3,2,1

B．與0是同一個(gè)集合

C．集合xyx21與集合yyx21是同一個(gè)集合

D．集合xx25x60與集合x25x60是同一個(gè)集合

【答案】A

【詳解】集合中的元素具有無(wú)序性，故A正確；

是不含任何元素的集合，0是含有一個(gè)元素0的集合，故B錯(cuò)誤；

集合xyx21R，集合yyx21yy1，故C錯(cuò)誤；

集合xx25x60xx2x30中有兩個(gè)元素2,3，集合x25x60中只有一個(gè)元素，為

方程x25x60，故D錯(cuò)誤.

故選：A.

【變式1】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)Q是有理數(shù)，集合X{x|xab2,a,bQ,x0}，在下列集合中；

x1

（1）{y|y2x,xX}；（2）{y|y,xX}；（3）{y|y,xX}；（4）{y|yx2,xX}；與X相

2x

同的集合有（）

A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)

【答案】B

【詳解】對(duì)于（1），由2(ab2)pq2，得p2a,q2b，一一對(duì)應(yīng)，則{y|y2x,xX}X

ab2aax

對(duì)于（2），由b2pq2，得pd,q，一一對(duì)應(yīng)，則{y|y,xX}X

2222

1abab

對(duì)于（3），由2pq2，得p,q，一一對(duì)應(yīng)，則

ab2a22b2a22b2a22b2a22b2

1

{y|y,xX}X

x

對(duì)于（4），12X，但方程12x2無(wú)解，則{y|yx2,xX}與X不相同

故選：B

題型03判斷元素與集合的關(guān)系

【典例1】（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┮阎蟂y|yx21,T(x,y)|xy0,下列

關(guān)系正確的是（）

A．2SB．2,2TC．1SD．1,1T

【答案】D

【詳解】因?yàn)镾y|yx21y|y1，

所以A、C錯(cuò)誤，

因?yàn)?20，所以2,2T，所以B錯(cuò)誤，

又110，所以1,1T，所以D正確，

故選:D．

【典例2】（多選）（2023·廣西百色·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合AxNx6，則下列關(guān)系式成

立的是（）

A．0AB．1.5AC．1AD．6A

【答案】ABC

【詳解】因?yàn)锳xNx60,1,2,3,4,5，故0A，1.5A，1A，6A.

故選：ABC

【變式1】（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）若不等式3-2x<0的解集為M,則下列結(jié)論正確的是()

A．0∈M,2∈MB．0?M,2∈M

C．0∈M,2?MD．0?M,2?M

【答案】B

【詳解】當(dāng)x=0時(shí),3-2x=3>0,所以0不屬于M,即0?M;當(dāng)x=2時(shí),3-2x=-1<0,所以2屬于M,即2∈M.

選B

題型04根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)

【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合A0,m,m23m2，且2A，則實(shí)數(shù)m的值為

（）

A．3B．2C．0或3D．0或2或3

【答案】A

2

【詳解】解：因?yàn)锳0,m,m3m2，且2A，所以m2或m23m22，解得m2或m0或m3，

當(dāng)m2時(shí)m23m20，即集合A不滿足集合元素的互異性，故m2，當(dāng)m0時(shí)集合A不滿足集合元

素的互異性，故m0，當(dāng)m3時(shí)A0,3,2滿足條件；

故選：A

【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若集合Aa3,2a1,a24，且3A，則實(shí)數(shù)a___________.

【答案】0或1.

【詳解】由題意，集合Aa3,2a1,a24，且3A，

若a33時(shí)，可得a0，此時(shí)集合A3,1,4，符合題意；

若2a13時(shí)，可得a1，此時(shí)a243，不滿足集合元素的互異性，舍去；

若a243時(shí)，可得a1或a1（舍去），

當(dāng)a1時(shí)，集合A2,1,3，符合題意，

綜上可得，實(shí)數(shù)a的值為0或1.

故答案為：0或1.

【變式1】（2023秋·四川瀘州·高一統(tǒng)考期末）已知(1,2)(x,y)2xay30，則a的值為_(kāi)_____．

1

【答案】/0.5

2

1

【詳解】因?yàn)?1,2)(x,y)2xay30，所以22a30，解得：a，

2

故答案為：1．

2

【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）集合Axx1x2ax40,xR中所有元素之和為3，則實(shí)

數(shù)a________．

【答案】4

2

【詳解】由x1xax40得x10或x2ax40

所以x11A，

x2ax40，當(dāng)a2160時(shí)，x2是方程x2ax40的根，解得a4，

當(dāng)0時(shí)，若方程x2ax40的一根為1，則a5，方程的另一根為4，不合題意；

2

若1不是方程xax40的根，則方程兩根x2x3a2，此時(shí)a2不滿足0，舍去.

故答案為：4．

題型05根據(jù)集合元素互異性求參數(shù)

【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若a1,3,a2，則a的可能取值有（）

A．0B．0，1C．0，3D．0，1，3

【答案】C

【詳解】a0，則a1,3,0，符合題設(shè)；

a1時(shí)，顯然不滿足集合中元素的互異性，不合題設(shè)；

a3時(shí)，則a1,3,9，符合題設(shè)；

∴a0或a3均可以.

故選：C

【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合A中的元素1，4，a，且實(shí)數(shù)a滿足a2A，求實(shí)數(shù)a的值.

【答案】1,2，2，0.

【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)a滿足a2A，

所以a24或a21或a2a，

解得a2或a2或a1或a1或a0，

當(dāng)a1時(shí)，集合A中含有1，4，1，不合題意；當(dāng)a1或a2或a0時(shí)，滿足題意.所以實(shí)數(shù)a的值為1,2，

2，0.

22

【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知Aa2,(a1),a3a3，若1A，則實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合B

的元素個(gè)數(shù)是（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】B

【詳解】①a21a1，∴(a1)20，a23a31，則A1,0,1，不可以，

②(a1)21a0，∴a22，a23a33，則A2,1,3，可以，

或a2，∴a20，a23a31，則A0,1,1，不可以，

③a23a31a1，a21，(a1)20，則A1,0,1，不可以，

或a2，∴a20，(a1)21，則A0,1,1，不可以，

∴B{0}，

故選：B．

【變式2】（2023春·上海浦東新·高三華師大二附中校考階段練習(xí)）已知集合1,aa,a2，則實(shí)數(shù)a______．

【答案】1

a21

【詳解】因?yàn)?,aa,a2，則aa2，解得a1.

a1

故答案為：1.

題型06自然語(yǔ)言法

【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）用自然語(yǔ)言描述下列集合：

(1)1,3,5,7,9；

(2)xR3x2；

(3)3,5,7,11,13,17,19.

【答案】(1)小于10的正奇數(shù)構(gòu)成的集合；

2

(2)大于的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合；

3

(3)大于2且小于20的所有質(zhì)數(shù)構(gòu)成的集合.

(1)

解：因?yàn)榧螦1,3,5,7,9表示：小于10的正奇數(shù)構(gòu)成的集合；

(2)

2

解：集合xR3x2表示：大于的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合；

3

(3)

解：集合3,5,7,11,13,17,19表示：大于2且小于20的所有質(zhì)數(shù)構(gòu)成的集合.

題型07列舉法

【典例1】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一?？奸_(kāi)學(xué)考試）集合xNx41用列舉法表示為（）

A．0,1,2,3,4B．1,2,3,4C．0,1,2,3,4,5D．1,2,3,4,5

【答案】A

【詳解】∵x41，

∴x5．

又xN，

∴xNx410,1,2,3,4．

故選：A

xy1

【典例2】（2023·河南鶴壁·高一河南省?？h第一中學(xué)校考階段練習(xí)）方程組的解集是（）

xy3

A．2,1B．x2,y1C．x,y2,1D．2,1

【答案】D

xy1x2

【詳解】由方程組，解得：，集合應(yīng)是點(diǎn)集，正確的形式是2，1.

xy3y1

故選：D

6

【典例3】（2023·四川·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合AxZN，則用列舉法表示集合A為_(kāi)_____.

x2

【答案】{1,0,1,4}

6

【詳解】要使N，則x2可取1,2,3,6，又xZ，則x可取1,0,1,4，

x2

故答案為：1,0,1,4.

【變式1】（2023·山西運(yùn)城·高一?？茧A段練習(xí)）集合Axx23x20，用列舉法表示為（）

A．1B．2C．1,2D．2

【答案】C

【詳解】Axx23x20xx1x201,2

故選：C

12

【變式2】（2023·北京海淀·高一北京市十一學(xué)校?？计谥校┮阎螦{x|N，xZ}，用列舉法表

7x

示集合A_____________．

【答案】5,1,3,4,5,6

【詳解】由題意得7x1，2，3，4，6，12

解得x6，5，4，3，1，5

12

所以集合A{x|N，xZ}{5，1，3，4，5，6}．

7x

故答案為：5,1,3,4,5,6

題型08描述法

【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）用描述法表示下列集合：

（1）被3除余1的正整數(shù)的集合．

（2）坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限內(nèi)的點(diǎn)的集合．

（3）大于4的所有偶數(shù)．

【答案】（1）{x|x3n1,nN}；（2）{(x,y)|x0,y0}；（3）{x|x2n,n3,nZ}．

【詳解】（1）因?yàn)榧现械脑爻?余數(shù)為1，所以集合表示為：{x|x3n1,nN}；

（2）第一象限內(nèi)的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均大于0，所以集合表示為：{(x,y)|x0,y0}；

（3）大于4的所有偶數(shù)都是正整數(shù)，所以集合表示為：{x|x2n,n3,nZ}．

【典例2】（2023春·河北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)A(1,1)?B(2,2)可用集合表示

為（）

A．{(x,y)|x1,y1,x2,y2}

x1x2

B．{(x,y)|或}

y1y2

C．{(x,y)|[(x1)2(y1)2][(x2)2(y2)2]0}

D．{(x,y)|[(x1)2(y1)2][(x2)2(y2)2]0}

【答案】C

【詳解】直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)A(1,1)、B(2,2)，其余的點(diǎn)全部在集合中，

A選項(xiàng)中除去的是四條線x1,y1,x2,y2；

B選項(xiàng)中除去的是A(1,1)或除去B(2,2)或者同時(shí)除去兩個(gè)點(diǎn)，共有三種情況，不符合題意；

C選項(xiàng){(x,y)|[(x1)2(y1)2][(x2)2(y2)2]0}，則(x1)2(y1)20且(x2)2(y2)20，即除去

兩點(diǎn)A(1,1)?B(2,2)，符合題意；

D選項(xiàng){(x,y)|[(x1)2(y1)2][(x2)2(y2)2]0}，則任意點(diǎn)x,y都不能

[(x1)2(y1)2][(x2)2(y2)2]0，即不能同時(shí)排除A，B兩點(diǎn)．

故選：C

【變式1】（2023·陜西安康·高一陜西省安康中學(xué)校考階段練習(xí)）表示下列集合：

(1)請(qǐng)用列舉法表示方程2x12y10的解集；

(2)請(qǐng)用描述法表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合；

(3)請(qǐng)用描述法表示被5除余3的正整數(shù)組成的集合；

(4)請(qǐng)用描述法表示二次函數(shù)yx22x10的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合．

11

【答案】(1)(,)

22

(2)(x,y)xy0

(3){xN|x5n3，nN}

(4){y|yx22x10}

11

【詳解】（1）方程2x12y10的解集為,.

22

（2）用描述法表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合為x,yxy0.

（3）用描述法表示被5除余3的正整數(shù)組成的集合為{xN|x5n3，nN}.

（4）用描述法表示二次函數(shù)yx22x10的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合為{y|yx22x10}．

題型09兩個(gè)集合相等問(wèn)題

【典例1】（2023·江西·金溪一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合A1,a,b，Ba2,a,ab，若AB，則

a2023b2022（）

A．1B．0C．1D．2

【答案】A

a21a2b

【詳解】由題意AB可知，兩集合元素全部相等，得到或，又根據(jù)集合互異性，可知a1，

abbab1

a1a1

解得a1(舍)，和(舍)，所以a1，b0，則a2023b2022(1)2023020221，

b0b1

故選：A

【典例2】（2023·高一單元測(cè)試）設(shè)a,bR，P1,a，Q2a3,b，若PQ，則ab______．

【答案】0或4

2a31

【詳解】當(dāng)時(shí)，a1,b1，滿足PQ，則ab0；

ab

2a3a

當(dāng)時(shí)，a3,b1，滿足PQ，則ab4；

1b

故答案為：0或4

【變式1】（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合Ma,0，Na2,b，若M=N，則ab

（）

A．0B．1C．2D．1

【答案】B

【詳解】因?yàn)镸a,0,Na2,b，M=N，

aa2

b0a1

所以，解得，所以．

2ab1

abb0

a0

故選：B．

題型10根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)

【典例1】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知集合A=xax2-3x+2=0的元素只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)a的值為

（）

99

A．B．0C．或0D．無(wú)解

88

【答案】C

【詳解】集合A有一個(gè)元素，即方程ax23x20有一解，

2

當(dāng)a=0時(shí)，A=xax23x+2=0=x3x+2=0=，符合題意，

3

當(dāng)a0時(shí)，ax23x20有一解，

9

則98a0，解得：a，

8

9

綜上可得：a=0或a，

8

故選：C.

【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合Axax23x40.

（1）若A中有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若A中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的a取值范圍.

99

【答案】（1）{a|a>-且a0}；（2）{a|a￡-或a0}

1616

【詳解】（1）由于A中有兩個(gè)元素，

∴關(guān)于x的方程ax2-3x-4=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，

9

∴=9+16a>0，且a0，即a>-，且a0.

16

9

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a>-且a0}

16

4

（2）當(dāng)a0時(shí)，方程為-3x-4=0，x，集合A只有一個(gè)元素；

3

當(dāng)a0時(shí)，若關(guān)于x的方程ax2-3x-4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則A中只有一個(gè)元素，即916a0，

9

a=-，

16

9

若關(guān)于x的方程ax2-3x-4=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則A中沒(méi)有元素，即916a0，a<-.

16

9

綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a￡-或a0}

16

【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合Ax|ax24x40,aR,xR.

（1）若A中只有一個(gè)元素，求a及A；

（2）若A中至多有一個(gè)元素，求a的取值范圍.

【答案】（1）a0時(shí)，A1；a1時(shí)，A2；（2）a01,；

【詳解】（1）當(dāng)a0時(shí)，4x40，解得：x=1，

所以A中只有一個(gè)元素，即A1，

當(dāng)a0時(shí)，1616a0，解得：a1，

x24x40，解得：x2，此時(shí)A2

綜上可知a0時(shí)A1，a1時(shí)A2.

（2）當(dāng)集合A時(shí)，1616a0，解得：a1

由（1）可知集合A有1個(gè)元素時(shí)，a0或a1，

綜上可知：a0或a1，

即a01,.

題型11常見(jiàn)數(shù)集或數(shù)集關(guān)系的應(yīng)用

【典例1】（2023·海南·高一海南中學(xué)?？计谥校┫铝斜硎菊_的是（）

2

A．3N*B．0NC．ZD．πQ

7

【答案】B

【詳解】N表示正整數(shù)集，而-3是負(fù)整數(shù)，A不正確；

N表示自然數(shù)集，0是自然數(shù)，B正確；

2

Z表示整數(shù)集，是分?jǐn)?shù)，C不正確；

7

Q表示有理數(shù)集，π是無(wú)理數(shù)，D不正確.

故選：B

【典例2】（多選）（2022秋·廣東佛山·高一?？计谥校┫铝嘘P(guān)系式正確的是（）

1

A．RB．|3|NC．3QD．0{0}

2

【答案】AD

11

【詳解】對(duì)于A，是實(shí)數(shù)，即R，A正確；

22

對(duì)于B，33N，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，3是無(wú)理數(shù)，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，0{0}，D正確.

故選：AD.

【變式1】（2023·陜西榆林·高一校考階段練習(xí)）下列關(guān)系中，正確的個(gè)數(shù)為（）

1

①4R②Q③0N④Q⑤3Z

3

A．5B．4C．3D．2

【答案】C

【詳解】R是實(shí)數(shù)集，4=2是整數(shù)，有4R，故①正確，

11

Q是有理數(shù)集，是分?jǐn)?shù)，而是無(wú)理數(shù)，有Q，Q，故②正確，④不正確，

33

N表示自然數(shù)集，有0N，故③不正確；

Z表示整數(shù)集，-3是整數(shù)，有3Z，故⑤正確；

所以正確的個(gè)數(shù)是3，

故選：C

題型12新定義題

1

【典例1】（多選）（2023春·湖南邵陽(yáng)·高一統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）若對(duì)任意xA，A，則稱A為“影子

x

關(guān)系”集合，下列集合為“影子關(guān)系”集合的是（）

1

A．1,1B．,2C．xx21D．xx0

2

【答案】ABD

【詳解】根據(jù)“影子關(guān)系”集合的定義，

1

可知1,1，,2，xx0為“影子關(guān)系”集合，

2

1

由xx21，得xx1或x1，當(dāng)x2時(shí)，xx21，故不是“影子關(guān)系”集合．

2

故選：ABD

m

【典例2】（2023秋·四川成都·高一成都實(shí)外校考期末）定義ABx|x,mA,nB,若

n

A1,2,4,B2,4,8則AB中元素個(gè)數(shù)為（）

A．1B．2C．4D．5

【答案】D

m

【詳解】因?yàn)锳Bx|x,mA,nB,且A1,2,4,B2,4,8，

n

111

當(dāng)m1時(shí)，n可能為2,4,8，此時(shí)x的取值為：，，；

248

11

當(dāng)m2時(shí)，n可能為2,4,8，此時(shí)x的取值為：1,，；

24

1

當(dāng)m4時(shí)，n可能為2,4,8，此時(shí)x的取值為：2,1,；

2

111

綜上可知：AB{,,,1,2}，所以集合AB中元素個(gè)數(shù)為5，

842

故選：D.

a

【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）定義滿足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”的

b

集合A為“閉集”．試問(wèn)數(shù)集N，Z，Q，R是否分別為“閉集”？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不是，請(qǐng)舉反例說(shuō)明．

【答案】數(shù)集N，Z不是“閉集”，數(shù)集Q，R是“閉集”．舉反例見(jiàn)解析

【詳解】（1）數(shù)集N，Z不是“閉集”，

3

例如，3∈N,2∈N，而＝1.5N；

2

3?

3∈Z，－2∈Z，而＝－1.5Z，故N，Z不是閉集．

2

（2）數(shù)集Q，R是“閉集”．?

由于兩個(gè)有理數(shù)a與b的和，差，積，商，

a

即a±b，ab，(b≠0)仍是有理數(shù)，

b

故Q是閉集．

同理R也是閉集．

本節(jié)重點(diǎn)方法分類討論法

xk2x

【典例1】（多選）（2023秋·山東東營(yíng)·高一統(tǒng)考期末）關(guān)于x的方程的解集中只含有一個(gè)

x1x2x

元素，則k的值可能是（）

A．0B．1C．1D．3

【答案】ABD

x10

【詳解】由已知方程得：2，解得：x0且x1；

xx0

xk2x

由得：x22xk0；

x1x2x

xk2x

若的解集中只有一個(gè)元素，則有以下三種情況：

x1x2x

①方程x22xk0有且僅有一個(gè)不為0和1的解，44k0，解得：k1，

此時(shí)x22xk0的解為x1，滿足題意；

②方程x22xk0有兩個(gè)不等實(shí)根，其中一個(gè)根為0，另一根不為1；

由020k0得：k=0，x22x0，此時(shí)方程另一根為x2，滿足題意；

③方程x22xk0有兩個(gè)不等實(shí)根，其中一個(gè)根為1，另一根不為0；

由121k0得：k=3，x22x30，此時(shí)方程另一根為x3，滿足題意；

綜上所述：k1或0或3.

故選：ABD.

【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合AxR|ax22x10，其中aR.

（1）1是A中的一個(gè)元素，用列舉法表示A；

（2）若A中至多有一個(gè)元素，試求a的取值范圍.

1

【答案】（1）{,1}（2）a0或a1

3

【詳解】（1）因?yàn)?A，所以a210，得a3，

1

所以A{xR|3x22x10}{,1}.

3

（2）當(dāng)A中只有一個(gè)元素時(shí)，ax22x10只有一個(gè)解，

a0

所以a0或，

44a0

所以a0或a1，

a0

當(dāng)A中沒(méi)有元素時(shí)，ax22x10無(wú)解，所以，解得a1，

44a0

綜上所述：a0或a1.

【變式1】（2023·陜西咸陽(yáng)·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合Cxax24x10.

(1)若C是空集，求a的取值范圍；

(2)若C中至多有一個(gè)元素，求a的取值范圍.

【答案】(1)4,

(2)4,0

（1）

1

由題意得：當(dāng)a0時(shí)，4x10，解得：x，解集不為空集，舍去；

4

當(dāng)a0時(shí)，164a0，解得：a4，所以a的取值范圍是4,；

（2）

11

當(dāng)a0時(shí)，4x10，x，C，滿足題意；

44

當(dāng)a0時(shí)，164a0，解得：a4，

綜上：a的取值范圍是4,0.

1.1集合的概念

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)有下列關(guān)系：①2R；②4Q；③0N；④00,1．其中正確的個(gè)

數(shù)為．

A．1個(gè)B．2個(gè)

C．3個(gè)D．4個(gè)

【答案】D

【詳解】R表示實(shí)數(shù)集2R，則①正確

Q表示有理數(shù)集4Q，則②正確

QN表示自然數(shù)集0N，則③正確

0是集合0,1的一個(gè)元素00,1，則④正確

本題正確選項(xiàng)：D

2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）集合AxNx50中的元素個(gè)數(shù)是（）

A．0B．4C．5D．6

【答案】B

【詳解】AxNx501,2,3,4，

所以集合A中的元素個(gè)數(shù)有4個(gè)，

故選：B.

3．（2023秋·山東濟(jì)南·高一濟(jì)南市歷城第二中學(xué)?？计谀┓匠蘹2＝x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為

A．0,1B．0,1C．0,1D．x2x

【答案】C

【詳解】解：解方程x2＝x，得x＝0或x＝1，

方程x2＝x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為0,1．

故選：C．

4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若2{1,a21,a1}，則a=（）

A．2B．1或－1C．1D．－1

【答案】D

【詳解】當(dāng)a212時(shí)，a1，當(dāng)a1時(shí)，a1a212，不滿足互異性，舍去，當(dāng)a1時(shí)，集合為

{1,2,0}，滿足；

當(dāng)a12時(shí)，a1，不滿足互異性，舍去.

綜上a1．

故選：D．

6

5．（2023春·河北承德·高三河北省灤平縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合M=aN*,且aZ，

5a

則M等于（）

A．{2，3}B．{1，2，3，4}C．{1，2，3，6}D．{1，2，3，4}

【答案】D

6

【詳解】因?yàn)榧螹=aN*,且aZ，，所以5-a可能為1，2，3，6，

5a

即a可能為4，3，2，1.所以M={1，2，3，4}，

故選：D.

6．（2023春·黑龍江佳木斯·高一富錦市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）由實(shí)數(shù)x，x，|x|，x2，3x3所組成

的集合，最多含元素個(gè)數(shù)為（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】A

【詳解】∵x2|x|，3x3x，

∴當(dāng)x0時(shí)，集合元素最多有1個(gè)；

當(dāng)x0時(shí)，|x|x,|x|x，所以集合元素最多有2個(gè)；

當(dāng)x0時(shí)，|x|x,|x|x，所以集合元素最多有2個(gè)；

故選：A

7．（2023秋·四川達(dá)州·高一?？茧A段練習(xí)）若集合A{xR|ax23x20}中只有一個(gè)元素，則a()

999

A．B．C．0D．0或

288

【答案】D

【詳解】解：集合A{xR|ax23x20}中只有一個(gè)元素，

22

當(dāng)a0時(shí)，可得x，集合A只有一個(gè)元素為：．

33

當(dāng)a0時(shí)：方程ax23x20只有一個(gè)解：即98a0，

9

可得：a．

8

故選：D．

8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，當(dāng)A＝

{2}時(shí)，集合B＝（）

A．{1}B．{1，2}

C．{2，5}D．{1，5}

【答案】D

【詳解】由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，

x2