高一數(shù)學必修第一冊同步學與練（人教A版）第02講 三角函數(shù)的概念（解析版）

第02講5.2.1三角函數(shù)的概念

課程標準學習目標

①理解結(jié)合單位圓定義三角函數(shù)的意

義。

1.掌握三角函數(shù)的定義；

②結(jié)合任意角終邊與單位圓的交點會求任

2會求任意角的三個三角函數(shù)值；

意角的正弦、余弦、正切值。

3.能準確判斷任意角的三角函數(shù)值的符號；

③根據(jù)任意角終邊所在象限的位置，會判斷

任意角三角函數(shù)值的符號。

知識點01：任意角的三角函數(shù)定義

1、單位圓定義法：

如圖,設是一個任意角,R,它的終邊OP與單位圓相交于點P(x,y)

①正弦函數(shù)：把點P的縱坐標y叫做的正弦函數(shù),記作sin,即ysin

②余弦函數(shù)：把點P的橫坐標x叫做的余弦函數(shù),記作cos,即

xcos

yy

③正切函數(shù)：把點P的縱坐標與橫坐標的比值叫做的正切,記作tan,即tan(x0)

xx

我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)

31

【即學即練1】（2023春·北京·高一北京四中校考期中）已知角θ的終邊經(jīng)過點P,，則cos等于（）

22

133

A．B．C．3D．

223

【答案】B

22

【詳解】31，故在單位圓上，根據(jù)三角函數(shù)值的定義，的橫坐標的值即為，故

1PPcos

22

3

cos.

2

故選：B

2、終邊上任意一點定義法：

在角終邊上任取一點P(x,y)，設原點到P(x,y)點的距離為

r|OP|x2y2

y

①正弦函數(shù)：sin

r

x

②余弦函數(shù)：cos

r

y

③正切函數(shù)：tan(x0)

x

【即學即練2】（2023春·廣西欽州·高一?？计谥校┤酎cP(3,4)在角的終邊上，則sin.

4

【答案】/0.8

5

【詳解】點P(3,4)在角的終邊上，

44

sin

所以2.

3425

4

故答案為：.

5

知識點02：三角函數(shù)值在各象限的符號

sin,cos,tan在各象限的符號如下:（口訣“一全正,二正弦,三正切,四余弦”

）

知識點03：特殊的三角函數(shù)值

角度0153045607590120135150180

弧度05235

12643122346

正弦0621236213210

值42224222

sin

余弦1623216201231

值42224222

cos

正切03133130

值33

tan

知識點04：誘導公式一y

(1)語言表示:終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.T

P

(2)式子表示:

①sin(2k)sin

x

②cos(2k)cosOMA

③tan(2k)tan其中kZ.

知識點05：三角函數(shù)線

設角的終邊與單位圓相交點P；④由點P向x軸做垂線，垂足為點M；⑤由點A作單位圓的切線與終

邊相交于點T。如下圖所示：

在RtOPM中：

|PM||PM||PM|

sin|PM|

|OP|r1

|PM|為正弦線，長度為正弦值。

|OM||OM||OM|

cos|OM|

|OP|r1

|OM|為余弦線，長度為余弦值。

|AT||AT||AT|

在RtOAT中：tan|AT|。

|OA|r1

|AT|為正切線，長度為正切值。

題型01利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值

【典例1】（2023春·陜西西安·高一?？茧A段練習）已知角的頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合，

5

終邊在第三象限且與單位圓交于點P,m，則sin（）

5

552525

A．B．C．D．

5555

【答案】C

2

5

【詳解】在單位圓上即5221425

P,mm1m1m

55555

25525

終邊在第三象限所以m0，m，所以P,

555

25

所以sinm.

5

故選：C

36

【典例2】（2023·全國·高一專題練習）已知角的終邊與單位圓交于點P(,)，則sincos（）

33

3232

A．B．C．D．

3333

【答案】B

36

【詳解】的終邊與單位圓交于點P(,),

33

36

故r|OP|1,x,y，

33

6-3

故y6x3，

sin=3=，cos3=-

r13r13

632

所以sincos（-）=-，

333

故選：B.

【典例3】（2023·浙江嘉興·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系xOy中，角的頂點與原點O重合，它的始

34

邊與x軸的非負半軸重合，終邊OP交單位圓O于點P,，則tan的值為

55

3443

A．-B．C．D．

5534

【答案】C

【詳解】由題意，角的頂點與原點O重合，它的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊OP交單位圓O于點

4

34y4

P,，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得tan5.

3

55x3

5

故選：C.

13

【變式1】（2023春·湖南·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）設角的終邊與單位圓的交點坐標為,，則sin（）

22

123

A．B．C．D．1

222

【答案】C

3

3

【詳解】由題意得sin2，

132

44

故選：C

【變式2】（2023·福建泉州·高一統(tǒng)考期末）已知角的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，若

4

的終邊與圓心在原點的單位圓交于A,m，且為第四象限角，則sin（）

5

3344

A．B．-C．D．

5555

【答案】B

4

【詳解】A,m在單位圓上，

5

2

423

m1，解得m，

55

Q為第四象限角，

3

m0，則m，

5

3

sin，

5

故選：B.

題型02由終邊或終邊上點求三角函數(shù)值

【典例1】（2023秋·云南大理·高二大理白族自治州民族中學?？奸_學考試）已知角的終邊落在直線y2x

上，則sin的值為（）

2552525

A．B．C．D．

5555

【答案】D

【詳解】設直線y2x上任意一點P的坐標為(m,2m)（m0），

2

則OPm22m5m（O為坐標原點），

y2m2m

根據(jù)正弦函數(shù)的定義得：sin，

rOP5m

2525

m0時，sin；m0時，sin，

55

所以選項D正確，選項A，B，C錯誤，

故選：D.

【典例2】（多選）（2023秋·江西贛州·高二江西省全南中學?？奸_學考試）已知角的終邊經(jīng)過點

P(4m,3m)(m0)，則2sincos的值可能為（）

3322

A．B．-C．D．

5555

【答案】CD

【詳解】已知角的終邊經(jīng)過點P(4m,3m)(m0)

3m3m4m4m

sincos

所以22，22

4m3m5m4m3m5m

34342

則當m0時，sin,cos，此時2sincos2；

55555

34342

當m0時，sin,cos，此時2sincos2；

55555

22

所以2sincos的值可能為或.

55

故選：CD.

【典例3】（2023春·新疆塔城·高一塔城地區(qū)第一高級中學?？茧A段練習）已知角的終邊過點Px,2，且

5

cos，求sin及tan的值．

3

225

【答案】sin，tan

35

x5

【詳解】由角的終邊過點Px,2，可知cos，又cos，得x5．

x243

22225

所以sin，tan.

54355

【變式1】（2023春·四川達州·高一四川省萬源中學?？茧A段練習）若角的終邊經(jīng)過點(3,4)，則cos

（）

4433

A．B．C．D．-

5555

【答案】D

【詳解】設P(3,4)，則點P到原點的距離為(3)2425，

33

則cos.

55

故選：D.

【變式2】（多選）（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期中）已知角的終邊上有一點Pa,2a，若a<0，則（）

525

A．sinB．sin

55

1

C．tanD．tan2

2

【答案】BD

【詳解】由題知，因為a<0，所以點Pa,2a在第三象限，

2a252a

sin

所以2，tan2，

a22a5a

故選：BD.

【變式3】（2023秋·北京·高三北京市第六十六中學?？奸_學考試）若的終邊所在射線經(jīng)過點P1,2，則

sin，tan.

252

【答案】/52

55

【詳解】由于的終邊所在射線經(jīng)過點P1,2，

2252

所以sin,tan2.

122251

25

故答案為：；2

5

題型03由三角函數(shù)值求終邊上的點或參數(shù)

3

【典例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）角的終邊經(jīng)過點P4,b且sin，則b的值為（）

5

A．3B．3C．3D．5

【答案】B

b3

【詳解】根據(jù)三角函數(shù)定義可得sin，且b0，

16b25

即25b2916b2，解得b3．

故選：B．

2m

【典例2】（2023·全國·高一專題練習）已知角的終邊上有一點Pm,3，且cos，則實數(shù)m取

4

值為．

【答案】0或5

【詳解】因為角的終邊上有一點Pm,3，

m2m

所以cos，解得m0或5.

m234

故答案為：0或5.

2m

【典例3】（2023秋·高一課時練習）已知角的終邊上一點Pm,5，且cos，求m值.

4

【答案】m0或m3.

m2

mm2m2

【詳解】解：依題意有：24即：

m25m258

解得：m20或m23

即m0或m3

4

【變式1】（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習）已知角的終邊經(jīng)過點P8m,3，且cos，則實數(shù)m的值

5

是（）

19

A．B．

232

1199

C．或D．或

223232

【答案】A

8m

【詳解】由三角函數(shù)的定義得cos，

64m29

8m4

，m0

64m295

1

解得m

2

故選：A

【變式2】（2023春·黑龍江大慶·高一大慶中學?？茧A段練習）已知角的終邊經(jīng)過點(2a1,a2)，且

3

cos，則實數(shù)a.

5

【答案】2

2a13

【詳解】由題意，根據(jù)余弦函數(shù)的定義，可得.

(2a1)2(a2)25

2

整理得11a220a40，解得a2或a，

11

1

又因為cos0，所以2a10，即a，

2

所以a2.

3

【變式3】（2023春·廣西欽州·高一?？计谥校┮阎cP4,3m角的終邊上，且sin，求m，cos，

5

tan．

43

【答案】m1，cos，tan．

54

y3m3

【詳解】根據(jù)三角函數(shù)定義sin0，解得m1，

r169m25

x4y3

所以cos，tan．

r5x4

題型04三角函數(shù)值符號的運用

【典例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）求12sin5cos5（）

A．sin5cos5B．sin5cos5

C．cos5sin5D．sin5cos5

【答案】C

【詳解】由12sin5cos5sin252sin5cos5cos25(sin5cos5)2sin5cos5，

3π7π

又5，則cos50sin5，

24

所以12sin5cos5cos5sin5.

故選：C

sintan

【典例2】（2023春·貴州畢節(jié)·高一校考期中）若0，0，則是（）

tancos

A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角

【答案】D

sintansin

【詳解】由cos0，0，得cos0，sin0，所以是第四象限角.

tancoscos2

故選:D.

2sinxcosx

【典例3】（2023·全國·高一專題練習）所有可能取值的集合為．

1cos2x1sin2x

【答案】3,1,1,3

2sinxcosx2sinxcosx

【詳解】解：因為，

1cos2x1sin2xsinxcosx

由已知可得角x的終邊不在坐標軸上，

當角x的終邊在第一象限，則原式213，

當角x的終邊在第二象限，則原式211，

當角x的終邊在第三象限，則原式213，

當角x的終邊在第四象限，則原式211，

2sinxcosx

故所有可能取值的集合為3,1,1,3，

1cos2x1sin2x

故答案為：3,1,1,3

【變式1】（2023春·遼寧沈陽·高一沈陽市第十一中學?？茧A段練習）已知Psin1,cos2，則點P所在象限

為（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】D

【詳解】因為1（rad）是第一象限角，2（rad）是第二象限角，

所以sin10,cos20，

所以點P所在象限為第四象限.

故選：D.

【變式2】（2023春·廣東湛江·高一雷州市第一中學?？茧A段練習）已知點Pcos,tan是第三象限的點，

則的終邊位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】C

【詳解】∵點Pcos,tan是第三象限的點，∴cos0，tan0，

由cos0可得，的終邊位于第二象限或第三象限或x軸的非正半軸；

由tan0可得，的終邊位于第一象限或第三象限，

綜上所述，的終邊位于第三象限．

故選:C

【變式3】（2023秋·高一課時練習）點P(tan2022,cos2022)位于第象限．

【答案】四

【詳解】20225360222，

∴2022是第三象限角，

則tan20220，cos20220.

則點P(tan2022,cos2022)位于第四象限．

故答案為：四

題型05畫三角函數(shù)線

1

【典例1】（2023春·山東威?！じ咭恍？茧A段練習）不等式cosx在區(qū)間,上的解集為．

2

【答案】,

33

1

【詳解】如圖所示，由于coscos，

332

1

所以在,上cosx的解集為,．

233

故答案為：,

33

【典例2】（2023春·高一課時練習）利用三角函數(shù)線，寫出滿足下列條件的角x的集合：

11

(1)sinx且cos；

22

(2)tanx1．

ππ

【答案】(1)x|2kπ<x<2kπ,kZ

63

ππ

(2)x|nπx<nπ,nZ

42

【詳解】（1）分別作出三角函數(shù)線圖象如下所示：

11

由圖（1）知當sinx且cosx時，

22

ππ

角x滿足的集合x|2kπ<x<2kπ,kZ.

63

（2）由圖（2）知：當tanx1時，

ππ3π3π

角x滿足的集合x|2kπx<2kπ,kZx|2kπx<2kπk,Z，

4242

ππ

即x|nπx<nπ,nZ；

42

ππ

所以tanx1的解集為x|nπx<nπ,nZ.

42

【變式1】（2023·全國·高一專題練習）使sinxcosx成立的x的一個變化區(qū)間是（）

3πππ

A．[π，]B．[，]

4422

33

C．[π，π]D．[0，π]

44

【答案】A

【詳解】當x的終邊落在如圖所示的陰影部分時，滿足sinxcosx．

故選：A

【變式2】（2023·高一課時練習）已知0,，則sin+cos的取值范圍是．

2

【答案】(1,2]

【詳解】如圖，作出單位圓中的三角函數(shù)線，則有cosOM，sinMP，OP1，

在RtOPM中，OMMPOP，

∴sincos1,

222

又OMMPOP1，

222

∴OMMP2OMMP2即OMMP2，

當且僅當OMMP取等號，

∴1sincos2，

故答案為：(1,2].

【變式3】（2023·高一課時練習）利用單位圓分別寫出符合下列條件的角α的集合：

1

（1）sin；

2

2

（2）cos；

2

（3）tan3.

535

【答案】（1）|2k或2k,kZ；（2）|2k或2k,kZ；

6644

（3）k,kZ．

3

【詳解】解（1）作出如圖所示的圖形，則根據(jù)圖形可得

5

|2k或2k,kZ；

66

35

（2）作出如圖所示的圖形，則根據(jù)圖形可得|2k或2k,kZ；

44

（3）作出如圖所示的圖形，則根據(jù)圖形可得k,kZ．

3

題型06三角函數(shù)線的應用

【典例1】（2023秋·遼寧撫順·高一撫順一中?？计谀┮阎狝是ABC的一個內(nèi)角，且tanA30，則sinA

的取值范圍是（）

31313

A．,1B．,1C．1,D．,

22222

【答案】A

【詳解】解：tanA30，

tanA3

令tanA3，又0A，所以A，作角的正切線MT，如圖所示.由圖可得，當A時，

3332

tanA3，

33

此時，sinA1，即sinA的取值范圍是,1.

22

故選：A.

π

【典例2】（2023·全國·高三專題練習）（1）設0,，試證明：sintan；

2

π

（2）若0，試比較sin與sin的大小.

2

【答案】（1）證明見解析；（2）sinsin

【詳解】（1）如下單位圓中，若AOBAB，ADx軸，CB與單位圓切于B點，

所以sinDA0，tanBC0，而SAOB扇形SOABSOBC，

111

所以DAOBOBBCOB，即sintan.

222

（2）作單位圓如下圖，AOFAF,COFCF，且sinDA0，sinBC0，CA，

過A作AECB于E，連接AC，則BEDA，故ECsinsin，

由ECACCA，則sinsin，即sinsin.

【變式1】（2023·高一課時練習）如圖，已知點A是單位圓與x軸的交點，角的終邊與單位圓的交點為P，

PMx軸于M，過點A作單位圓的切線交角的終邊于T，則角的正弦線、余弦線、正切線分別是（）

A．OM，AT，MP

B．OM，MP，AT

C．MP，AT，OM

D．MP，OM，AT

【答案】D

PMOMAT

【詳解】由題圖，sin，cos，tan，而OPOA1，

OPOPOA

所以角的正弦線、余弦線、正切線分別是MP，OM，AT.

故選：D

13

【變式2】（2023秋·高一課時練習）利用三角函數(shù)線,確定滿足不等式cos的取值范圍.

22

22

【答案】2k2k,kZ或2k2k,kZ.

3663

131

【詳解】解:作出以坐標原點為圓心的單位圓,分別作直線x,x,直線x與單位圓交于點P1,P2與

222

3

x軸交于點M,直線x與單位圓交于點P3,P4,與x軸交于點M2,連接OP1,OP2,OP3,OP4.在,范圍

2

221322

內(nèi),coscos,coscos,則點P1,P2,P3,P4分別在角,,,的終邊上.又

3326623366

1322

cos,結(jié)合圖形可知,當,時,或,故的取值范圍為

223663

22

2k2k,kZ或2k2k,kZ.

3663

A夯實基礎B能力提升

A夯實基礎

一、單選題

1．（2023春·廣東佛山·高一?？计谥校┤艚堑慕K邊經(jīng)過點2,3，則sin（）

3223

A．13B．13C．13D．13

13131313

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，由三角函數(shù)的定義，即可得到結(jié)果.

3313

sin

【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點2,3，則2.

23313

故選：D

2．（2023秋·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）角的終邊上一點P的坐標為(3,t)，且

2

sin(t0)，則tan（）

t

A．2B．6C．2D．6

【答案】A

y

【分析】借助三角函數(shù)定義求出t，然后利用定義tan可求答案.

x

t2226

【詳解】sin,t23t，解得：t6，所以tan2.

3t2t3

故選：A.

3．（2023秋·天津武清·高三校考階段練習）已知角的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，

它的終邊過點(1,-2)，則sin的值為（）

323525

A．B．C．D．

3355

【答案】D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.

225

sin

【詳解】由題意，2.

1225

故選：D.

4．（2023春·新疆·高一八一中學?？计谥校┤鬰oscos，tantan，則的終邊在（）

2

A．第一、三象限

B．第二、四象限

C．第一、三象限或在x軸的非負半軸上

D．第二、四象限或在x軸上

【答案】D

【分析】根據(jù)題意得到是第四象限或x軸正半軸，結(jié)合角的表示方法，進求得所在的象限，得到答案.

2

【詳解】因為coscos，可得cos0，則是第一、四象限或x軸正半軸，

又因為tantan，可得tan0，則是二、四象限或x軸，

所以是第四象限或x軸正半軸，

所以k360270k360360,kZ，

可得k180135k180180,kZ，

2

令k2n,nZ，可得n360135n360180,nZ，

2

則在二象限或x軸負半軸；

2

令k2n1,nZ，可得n360315n360360,nZ，

2

則在四象限或x軸正半軸，

2

綜上可得，的終邊在第二、四象限或在x軸上.

2

故選：D.

5．（2023春·河南南陽·高一南陽中學?？茧A段練習）sin1sin2sin3sin4的符號為（）

A．正B．0C．負D．無法確定

【答案】C

【分析】先判斷所給角位于的象限，進而判斷正負即可．

【詳解】由1弧度為第一象限角，2弧度為第二象限角，3弧度為第二象限角，4弧度為第三象限角，

則sin10，sin20，sin30，sin40，

所以sin1sin2sin3sin40．

故選：C．

6．（2023·北京·高三專題練習）在平面直角坐標系中，