高一數學必修第一冊同步學與練（人教A版）第03講 二次函數與一元二次方程、不等式（解析版）

第03講2.3二次函數與一元二次方程、不等式

課程標準學習目標

①理解一元二次方程、一元二次不等式與二通過本節(jié)課的復習與學習，會解一元二次方程、一元二

次函數的關系。次方程根的情況的處理、一元二次方程根與系數的關

②掌握一元二次方程的求解方法,掌握一系；二次函數的圖象與性質；會解一元二次不等式、含

元二次方程根與系數的關系以及一元二次有參數的一元二次不等式、與一元二次不等式有關的存

方程根的分布情況。在與恒成立問題的處理；會解能轉化為一元二次不等式

③掌握圖象法解一元二次不等式，會解簡單的分式不等式；理解二次函數、一元二次方程與一元二

的能轉化為一元二次不等式的分式不等式。次不等式之間的關系，能處理與三者之間有關的問題。

知識點一：一元二次不等式的有關概念

1、一元二次不等式

只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形

式：

①ax2bxc0(a0)（其中a,b,c均為常數）

②ax2bxc0(a0)（其中a,b,c均為常數）

③ax2bxc0(a0)（其中a,b,c均為常數）

④ax2bxc0(a0)（其中a,b,c均為常數）

2、一元二次不等式的解與解集

使某一個一元二次不等式成立的x的值，叫作這個一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個一元

二次不等式的解集.

將一個不等式轉化為另一個與它解集相同的不等式，叫作不等式的同解變形.

知識點二：四個二次的關系

2.1一元二次函數的零點

一般地，對于二次函數yax2bxc，我們把使ax2bxc0的實數x叫做二次函數yax2bxc

的零點．

2.2次函數與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對應關系

2、2

對于一元二次方程axbxc0(a0)的兩根為x1x2且x1x2，設b4ac，它的解按照

0，0，0可分三種情況，相應地，二次函數yax2bxc(a0)的圖象與x軸的位置關

系也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式ax2bxc0(a0)或

ax2bxc0(a0)的解集.

判別式b24ac000

二次函數yax2bxc(a0

的圖象

有兩個相等的實數根

一元二次方程有兩個不相等的實數

沒有實數根

2b

axbxc0(a0)的根根x1，x2(x1x2)xx

122a

b

2或

axbxc0(a0)的解集{x|xx1xx2}{x|x}R

2a

2

axbxc0(a0)的解集{x|x1xx2}

知識點三：一元二次不等式的解法

1：先看二次項系數是否為正，若為負，則將二次項系數化為正數；

2：寫出相應的方程ax2bxc0(a0)，計算判別式：

、

①0時，求出兩根x1x2，且x1x2（注意靈活運用十字相乘法）；

b

②0時，求根xx；

122a

③0時，方程無解

3：根據不等式，寫出解集.

知識點四：解分式不等式

4.11、分式不等式

4.1.1定義：

f(x)f(x)

與分式方程類似，分母中含有未知數的不等式稱為分式不等式，如：形如0或0（其中

g(x)g(x)

f(x),g(x)為整式且g(x)0的不等式稱為分式不等式。

4.1.2分式不等式的解法

①移項化零：將分式不等式右邊化為0：

f(x)

②0f(x)g(x)0

g(x)

f(x)

③0f(x)g(x)0

g(x)

f(x)f(x)g(x)0

④0

g(x)g(x)0

f(x)f(x)g(x)0

⑤0

g(x)g(x)0

題型01一元二次不等式（不含參）的求解

【典例1】（2023·全國·高三專題練習）不等式-x23x100的解集為（）

A．{x|2x5}

B．{x|x2或x5}

C．{x|5x2}

D．{x|x5或x2}

【答案】A

【詳解】由-x23x100得x2-3x-100，解得-2x5，

故選：A

【典例2】（2023·全國·高一專題練習）不等式2x2x10的解集為（）

11

A．xx1B．xx或x1

22

11

C．x1xD．xx1或x

22

【答案】C

【詳解】由2x2x10，

1

即2x1x10，得1x，

2

1

所以不等式2x2x10的解集為x1x.

2

故選：C.

【典例3】（2023·全國·高三專題練習）解下列不等式：

(1)3x26x2

(2)9x26x10

(3)x26x10

(4)1x22x12

333311

【答案】(1),,(2),,.(3)(4)[3,2)(0,1]

3333

21

【詳解】（1）3x26x2，即3x26x20x22x0，配方可得(x1)2，解得

33

3333

{x|x或x}

33

11

（2）9x26x10，即(3x1)20，解得{x|x或x}；

33

（3）x26x10，即x26x100，而0x26x10(x3)211，從而不等式無解，即解集為；

（4）1x22x12x22x0且x22x30同時成立.

由x22x0解得{x|x2或x0}

由x22x30，即(x1)(x3)0，解得x3x1.

于是{x|3x2或0x1}

【變式1】（2023春·內蒙古呼倫貝爾·高一?？奸_學考試）解不等式：

(1)x2x3x1；

(2)x22x2x22.

【答案】(1)1

(2)

2

【詳解】（1）由x2x3x1得x22x10，即x10，

x10，

x1，

即不等式x2x3x1的解集為1；

（2）由x22x2x22得x22x20，

2

即x110，不可能成立，

即不等式x22x2x22的解集為.

題型02一元二次不等式（含參）的求解（二次項系數不含參數）

1

【典例1】（2023·全國·高一專題練習）若t1，則關于x的不等式txx0的解集是（）

t

1111

A．x|xtB．x|x或xtC．x|xt或xD．x|tx

tttt

【答案】A

1t1t111

【詳解】因為t，t1，所以t0，所以t.

tttt

111

原不等式txx0可化為所以xtx0，解得xt.

ttt

11

所以，不等式txx0的解集為x|xt.

tt

故選：A.

【典例2】（2023·全國·高三專題練習）解關于x的不等式x2ax10.

【答案】答案見解析

【詳解】由題意知a24，

①當a240，即a2或a2時，

aa24

方程x2ax10的兩根為x，

2

aa24aa24

所以解集為xx；

22

②若a240，即a2時，

當a2時，原不等式可化為x22x10，

2

即x10，所以x1，

當a2時，原不等式可化為x22x10，

2

即x10，所以x=1；

③當a240，

即2a2時，原不等式的解集為；

aa24aa24

綜上，當a2或a2時，原不等式的解集為xx；

22

當a2時，原不等式的解集為{1}；

當a2時，原不等式的解集為{1}；

當2a2時，原不等式的解集為.

【典例3】（2023秋·安徽六安·高一金寨縣青山中學校考期末）已知yx2(a1)xa．

(1)當a3時，求不等式y(tǒng)0的解集；

(2)解關于x的不等式x2(a1)xa0．

【答案】(1){x|x>3或x1}

(2)見解析

【詳解】（1）當a3時，x24x30，(x1)(x3)0，x3或x1，

不等式解集為：{x|x>3或x1}；

（2）不等式可化為(xa)(x1)0．

①當a1時，原不等式即為(x1)20，解得x1；

②當a1時，原不等式化為(xa)(x1)0，解得ax1；

③當a1時，原不等式化為(xa)(x1)0，解得1xa．

綜上，當a1時，不等式的解集為{x|ax1}；當a1時，不等式的解集為{x|x=1}；

當a1時，不等式的解集為{x|1xa}．

21

【變式1】（2023·全國·高三專題練習）解不等式xax10a0.

a

【答案】答案見解析

211

【詳解】解：對于不等式xax10a0，可化為xax0，

aa

211

所以方程xax10a0有兩根x1a、x2，

aa

1

令a，解得a1，

a

11

∴當a1或0a1時，a，故原不等式的解集為x|ax；

aa

1

當a=1或a1時，a，原不等式的解集為；

a

11

當1a0或a1時，a，原不等式的解集為x|xa；

aa

1

綜上可得：當當a1或0a1時解集為x|ax，當a=1或a1時解集為，

a

1

當1a0或a1時解集為x|xa.

a

【變式2】（2023·高一課時練習）解關于x的不等式x22xa0．

【答案】分類討論，答案見解析.

【詳解】方程x22xa0中44a41a，

①當1a0即a1時，不等式的解集是R，

②當1a0，即a1時，不等式的解集是{xR|x1}，

③當1a0即a1時，

2

由x2xa0解得：x111a，x211a，

a1時，不等式的解集是{x|x11a或x11a}，

綜上，a1時，不等式的解集是R，

a1時，不等式的解集是{xR|x1}，

a1時，不等式的解集是{x|x11a或x11a}，

題型03一元二次不等式（含參）的求解（二次項系數含參）

【典例1】（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考三模）不等式ax2a2x20a0的解集為（）

21

A．{x|x1}B．{x|1x}

aa

22

C．{x|x或x1}D．{x|x1或x}

aa

【答案】A

【詳解】解：原不等式可以轉化為：x1ax2≥0，

22

當a<0時，可知(x)(x1)0，對應的方程的兩根為1，，

aa

2

根據一元二次不等式的解集的特點，可知不等式的解集為：[,1].

a

故選：A.

【典例2】（2023·全國·高三專題練習）若a<0，則關于x的不等式(ax1)(x2)0的解集為（）

11

A．x2xB．xx2

aa

11

C．{xx或x2}D．{xx2或x}

aa

【答案】B

1

【詳解】解：方程(ax1)(x2)0的兩個根為x2和x，

a

1

因為a<0，所以2，

a

1

故不等式(ax1)(x2)0的解集為x|x2．

a

故選：B．

1

【典例3】（2023·全國·高三專題練習）設a1，則關于x的不等式a(xa)x0的解集為（）

a

1

A．x|xa或xB．{x|x>a}

a

11

C．xxa或xD．x|x

aa

【答案】A

11

【詳解】因為a1，所以a(xa)x0等價于(xa)x0，

aa

111

又因為當a1時，a，所以不等式(xa)x0的解集為：x|xa或x．

aaa

故選：A．

【典例4】（2023·全國·高三專題練習）已知關于x的函數yax23x2．

(1)當a1時，求不等式y(tǒng)0的解集.

(2)當a0時，求不等式y(tǒng)5ax的解集.

【答案】(1),12,

3

(2),1,

a

【詳解】（1）當a1時，fxx23x2x2x1，

由fx0得：x1或x2，fx0的解集為xx1或x2.

（2）由fx5ax得：ax2a3x3ax3x10，

3

當a0時，令ax3x10，解得：x0，x1，

1a2

3

則由ax3x10得：x1或x，

a

3

fx5ax的解集為,1,.

a

【典例5】（2023·全國·高三專題練習）解關于x的不等式ax2(a1)x10（a0）．

【答案】答案見解析.

【詳解】解：由ax2﹣（a+1）x+1＜0，得（ax﹣1）（x﹣1）＜0；

1

∵a＞0，∴不等式化為xx1＜0，

a

1

令xx10，

a

1

解得x，x1；

1a2

1

∴當0＜a＜1時，即xx，原不等式的解集為{x|1＜x＜}；

12a

當a＝1時，即x1x2，原不等式的解集為；

1

當a＞1時，即xx，原不等式的解集為{x|＜x＜1}．

12a

【變式1】（2023·高一課時練習）已知a2，關于x的不等式ax2(2a)x20的解集為（）

2222

A．xx或x1B．x|x1C．xx1或xD．x|1x

aaaa

【答案】A

【詳解】不等式ax2(2a)x20化為ax2x10，

22

a2，1，故不等式的解集為xx或x1.

aa

故選：A.

【變式2】（2023·高一課時練習）解下列關于x的不等式：ax2(a1)x10(aR).

【答案】答案見解析.

【詳解】當a0，原不等式化為x10，解得x1，

1111

當a<0，原不等式化為x2(1)x0(x)(x1)0x或x1，

aaaa

111

當a0，原不等式化為x2(1)x0(x)(x1)0，

aaa

1

其解的情況應由與1的大小關系決定，故：

a

①當a1x，

1

②當a1時，原不等式x1，

a

1

③當0x1時，原不等式1x，

a

1

綜上所述：當a<0，解集為{x|x或x1}，

a

當a0時，解集為{x|x1}，

1

當0x1時，解集為{x|1x}，

a

1

當a1時，解集為，當a1時，解集為{x|x1}.

a

題型04一元二次不等式與對應函數、方程的關系

【典例1】（2023秋·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）已知關于x的不等式ax2bxc0的解集是

{x|x1或x2}，則不等式bx2axc0的解集是（）

A．{x|1x2}B．{x|x1或x2}

C．{x|2x1}D．{x|x2或x1}

【答案】A

【詳解】由條件可知，ax2bxc0的兩個實數根是1和2，且a<0，

b

12

a

則，得ba，c2a，

c

2

a

所以bx2axc0ax2a2a0，即x2x20，

解得：1x2，

所以不等式的解集為1,2.

故選：A

11

【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知不等式ax2bx10的解集為xx，解不等式

23

bx25xa0的解集為__________

【答案】,61,

11

【詳解】由不等式ax2bx10的解集為xx，

23

11

可知,是ax2bx10的兩根，且a<0，

23

11b111

故,，則a6,b1，

23a23a

故bx25xa0即x25x60，

即x25x60，解得x6或x1，

故不等式bx25xa0的解集為,61,，

故答案為：,61,

【變式1】（2023秋·湖南郴州·高一統(tǒng)考期末）已知關于x的一元二次不等式x23x20的解集為

{x∣mxn}，則mn的值是（）

A．3B．4C．5D．6

【答案】A

【詳解】依題意可得，m,n分別是關于x的一元二次方程x23x20的兩根，根據韋達定理可得：mn3.

故選：A.

11

【變式2】（2023·全國·高三專題練習）若關于x的不等式ax2bx20的解集為x|x，則ab

23

＝_________________.

【答案】24

11

【詳解】由一元二次不等式與一元二次方程、二次函數的聯系知：a<0，x或x為方程ax2bx20

32

b11

a23

的兩個根，即a12,b2，∴ab24.

211

a23

故答案為：24

題型05分式不等式的解法

x2

【典例1】（2023·全國·高三專題練習）不等式2的解集為________.

x1

【答案】{x|1x4}

x2

【詳解】原不等式可化為20，

x1

x22x1

即0，

x1

4x

即0，即(x1)(x4)0，

x1

解得1x4，

∴原不等式的解集為{x|1x4}，

故答案為：{x|1x4}

23x

【典例2】（2023·全國·高一專題練習）已知全集UR，集合Ax1，Bx2x53，

x4

則AB______，AB______.

3

【答案】{x∣x4或x1}x∣x4或x

2

23x23x

【詳解】由1得10,

x4x4

2x3

整理得0,

x4

33

解得x>4或x≤,即A{x∣x4或x

22

因為B{x|2x53}{x∣2x53或2x53}{x∣x4或x1}

所以AB{x∣x4或x1};

3

ABx∣x4或x.

2

3

故答案為：{x∣x4或x1};x∣x4或x.

2

x5

【變式1】（2023·全國·高三專題練習）設xR，則“0”是“x14”的（）

2x

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】A

x5

【詳解】由0，得(x5)(2x)0，

2x

解得2x5；

由x14，得4x14，得3x5

因為當2x5時，一定可以推出3x5，

而當3x5時，不能推出2x5。

x5

所以“0”是“x14”的充分不必要條件，

2x

故選：A．

1x

【變式2】（2023·全國·高三專題練習）不等式0的解集為（）

2x

A．{x|2x1}B．{x|x2或x1}

C．{x|2x1}D．{x|x2或x1}

【答案】C

1xx20x1x20

【詳解】原不等式可化為，即，解得2x1．

2x02x0

故選：C．

題型06一元二次方程的實根分布問題

【典例1】（2023春·河北保定·高一河北省唐縣第二中學?？茧A段練習）若一元二次方程ax22x40（a

不等于0）有一個正根和一個負根，則實數a的取值范圍為（）

A．a0B．a2C．a1D．a1

【答案】A

2

【詳解】因為一元二次方程ax2x40（a不等于0）有一個正根和一個負根，設兩根為x1,x2，

2

Δ24a40

則4，解得a0，

xx0

12a

故選：A

【典例2】（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考開學考試）已知fxax22a3x1a.

(1)求證：a0是關于x的方程fx0有解的一個充分條件；

(2)當a0時，求關于x的方程fx0有一個正根和一個負根的充要條件．

【答案】(1)證明見解析

(2)a1

【詳解】（1）證明：當a0時，f(x)3x1，

1

則f(x)0，即：3x10，解得：x=-，

3

所以a0是關于x的方程f(x)0有解的一個充分條件.

（2）當a0時，因為方程fx0有一個正根和一個負根，

a0a0

所以Δ0(2a3)24a(1a)0，解得：a1.

xx01a

120

a

1a

反之，當a1時，(2a3)24a(1a)0，且xx0，

12a

所以fx0有一個正根和一個負根，滿足條件．

所以，當a0時，關于x的方程fx0有一個正根和一個負根的充要條件為a1.

【典例3】（2023秋·陜西西安·高一西北工業(yè)大學附屬中學?？茧A段練習）若一元二次方程

kx23kxk30的兩不等實根都是負數，求實數k的取值范圍為___________.

12

【答案】k或k3

5

xx0

212

【詳解】首先k0，設方程kx3kxk30的兩根為x1,x2，則x10,x20，

x1x20

2

Δ9k4k(k3)0

k5k120

3k12

所以0，30，又k0，解得k或k3．

k5

3

k31

0k

k

12

故答案為：k或k3．

5

【變式1】（2023春·湖南長沙·高二長沙麓山國際實驗學校?？计谥校┓匠蘹22ax5a0的兩根都

大于2，則實數

a

的取值范圍是_____．

【答案】5a4

【詳解】解：由題意，方程x2－2－ax5－a0的兩根都大于

2，

令fxx2－2－ax5－a，

0a216

可得f20，即a50，解得－5a－4．

2a2a4

2

2

故答案為：5a4.

【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知方程x22a1xaa10的兩根分別在區(qū)間0,1，1,3之

內，則實數a的取值范圍為______．

【答案】0,1.

2

【詳解】方程x－2a1xaa10xaxa10

方程兩根為x1a,x2a1，

0a1

若要滿足題意，則，解得0a1，

1a13

故答案為：0,1.

題型07一元二次不等式的實際問題

【典例1】（2023·全國·高三專題練習）某文具店購進一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價格銷售，

每天能賣出30盞；若售價每提高1元，日銷售量將減少2盞，現決定提價銷售，為了使這批臺燈每天獲得

400元以上（不含400元）的銷售收入．則這批臺燈的銷售單價x（單位：元）的取值范圍是（）

A．x10x16B．x12x18

C．x15x20D．x10x20

【答案】C

輊

【詳解】結合題意易知，臌30-2(x-15)×x>400，

即x230x2000，解得10x20，

因為x15，所以15x20，

這批臺燈的銷售單價x的取值范圍是x15x20，

故選：C.

【典例2】（2023·全國·高三專題練習）某汽車廠上年度生產汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為

12萬元/輛，年銷售量為10000輛．本年度為適應市場需求，計劃提高產品質量，適度增加投入成本．若

每輛車投入成本增加的比例為（0x1），則出廠價相應地提高比例為，同時預計年銷售量增加

的比例為，已知年利潤=（出廠價-投入成本）×年銷售量．

（1）寫出本年度預計的年利潤與投入成本增加的比例的關系式；

（2）為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比應在什么范圍內？

1

【答案】（1）y6000x22000x20000，(0x1)；（2）(0,)．

3

【詳解】（1）由題意得：y[12(10.75x)10(1x)]10000(10.6x)，(0x1)，

整理得：y6000x22000x20000，(0x1)

（2）要保證本年度的年利潤比上年度有所增加，必須y(1210)100000，(0x1)

即6000x22000x0，(0x1)．

11

解得0x，所以投入成本增加的比例應在(0,)范圍內．

33

【變式1】（2023·全國·高三專題練習）某小型服裝廠生產一種風衣，日銷售量x（件）與單價P（元）之間

的關系為P1602x，生產x件所需成本為C（元），其中C50030x元，若要求每天獲利不少于1300

元，則日銷量x的取值范圍是（）

A．20≤x≤30B．20≤x≤45

C．15≤x≤30D．15≤x≤45

【答案】B

【詳解】設該廠每天獲得的利潤為y元，

則y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0＜x＜80)．

由題意，知－2x2＋130x－500≥1300，即x2－65x＋900≤0，解得：20≤x≤45，

所以日銷量x的取值范圍是20≤x≤45．

故選：B．

【變式2】（2023·高一課時練習）黔東南某地有一座水庫，設計最大容量為128000m3．根據預測，汛期時

3*3

水庫的進水量Sn（單位：m）與天數nnN的關系是Sn5000n(nt)(n10)，水庫原有水量為80000m，

若水閘開閘泄水，則每天可泄水4000m3；水庫水量差最大容量23000m3時系統(tǒng)就會自動報警提醒，水庫水

量超過最大容量時，堤壩就會發(fā)生危險；如果汛期來臨水庫不泄洪，1天后就會出現系統(tǒng)自動報警．

(1)求t的值；

(2)當汛期來臨第一天，水庫就開始泄洪，估計汛期將持續(xù)10天，問：此期間堤壩會發(fā)生危險嗎？請說明理

由．

【答案】(1)t24

(2)汛期的第9天會有危險，理由見解析

【詳解】（1）由題意得：1280008000050001(1t)23000，

即t24

（2）由（1）得Sn5000n(n24)(n10)

設第n天發(fā)生危險，由題意得5000n(n24)4000n12800080000，即n224n2560，得n8．

所以汛期的第9天會有危險

題型08重點方法之一元二次不等式的恒成立與有解問題方法一：判別法

3

【典例1】（2023秋·內蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期末）若不等式2kx2kx0對一切實數x都成立，則k

8

的取值范圍是（）

A．3k0B．3k0

C．k3或k0D．k3或k0

【答案】A

3

【詳解】2kx2kx0對一切實數x都成立，

8

3

①k0時，0恒成立，

8

k0

②k0時，2，解得3k0，

Δk3k0

綜上可得，3k0.

故選：A.

【典例2】（2023·全國·高三專題練習）不等式m1x2mxm10的解集為，則m的取值范圍是

________.

23

【答案】,

3

【詳解】∵不等式m1x2mxm10的解集為，

∴m1x2mxm10恒成立.

①當m10，即m1時，不等式化為x20，

解得：x2，不是對任意xR恒成立，舍去；

②當m10，即m1時，對任意xR，

要使m1x2mxm10，

2

只需m10且m4m1m10，

23

解得：m.

3

23

綜上，實數m的取值范圍是,.

3

23

故答案為：,

3

1

【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知對任意xR，x2a2x0恒成立，則實數a的取值范

4

圍是________．

【答案】1,3

1

【詳解】因為對任意xR，x2a2x0恒成立，

4

21

則a241a24a30，解得1a3，

4

所以實數a的取值范圍是1,3.

故答案為：1,3.

題型09重點方法之一元二次不等式的恒成立與有解問題方法二：變量分離法

1

【典例1】（2023秋·江蘇淮安·高一淮陰中學?？计谀┤我鈞1,1，使得不等式x2xm恒成立.

2

則實數m取值范圍是（）

111

A．mB．mC．D．m2

444

【答案】B

1

【詳解】因為對任意x1,1，不等式x2xm恒成立.

2

21

所以xxm，其中x1,1，

2min