高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)同步學(xué)與練（人教A版）第03講 集合的基本運(yùn)算（解析版）

第03講1.3集合的基本運(yùn)算

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①理解并集、交集的概念，能進(jìn)行交、并的

混合運(yùn)算.1．能綜合運(yùn)用集合的運(yùn)算性質(zhì)，并能正確地進(jìn)行交、

②理解全集與補(bǔ)集的意義，能求在給定全集并、補(bǔ)集的綜合運(yùn)算.

下任何子集的補(bǔ)集2．理解集合運(yùn)算的思想，能運(yùn)用補(bǔ)集思想解題.

知識(shí)點(diǎn)01：并集

一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱為集合A與集合B的并集，記作AB（讀

作：A并B）.記作：ABxxA或xB.

并集的性質(zhì)：ABBA,AAB,BAB,AAA,AA.

高頻性質(zhì)：若ABBAB.

圖形語(yǔ)言

對(duì)并集概念的理解

(1)AB仍是一個(gè)集合,AB由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成.

(2)并集符號(hào)語(yǔ)言中的“或”與生活中的“或”字含義有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而

并集中的“或”連接的并列成分之間不一定是互斥的,“xA或xB”包括下列三種情況:①xA,且

xB;②xA,且xB;③xA,且xB.可用下圖所示形象地表示.

【即學(xué)即練1】（2023·上海松江·?？寄M預(yù)測(cè)）已知集合A{1,1,3}，B1,3,5，則AB________．

【答案】1,1,3,5

【詳解】因?yàn)榧螦{1,1,3}，B1,3,5，

則AB1,1,3,5.

故答案為：1,1,3,5

知識(shí)點(diǎn)02：交集

一般地，由既屬于集合A又屬于集合B的所有元素組成的集合即由集合A和集合B的相同元素組成的集合，

稱為集合A與集合B的交集，記作AB（讀作：A交B）.記作：ABxxA且xB.

交集的性質(zhì)：ABBA,ABA,ABB,AAA,A.

高頻性質(zhì)：若ABBBA.

圖形語(yǔ)言

對(duì)交集概念的理解

(1)AB仍是一個(gè)集合,AB由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成.

(2)對(duì)于“ABxxA且xB”,包含以下兩層意思:①AB中的任一元素都是A與B的公共元素;

②A與B的公共元素都屬于AB,這就是文字定義中“所有”二字的含義,如

A{1,2,3,4},B{2,3,4,5},則AB{2,3,4},而不是{2}或{3}或{4}.

(3)并不是任意兩個(gè)集合總有公共元素,當(dāng)集合A與集合B沒(méi)有公共元素時(shí),不能說(shuō)集合A與集合B沒(méi)有交

集,而是AB.

(4)當(dāng)AB時(shí),ABA和ABB同時(shí)成立.

【即學(xué)即練2】（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)集合AxN1x2，B2,1,0,1，

則AB（）

A．2,1,0,1,2B．1,0,1C．0,1D．1

【答案】C

【詳解】因?yàn)锳xN1x20,1,2，又B2,1,0,1，

所以AB0,1.

故選：C

知識(shí)點(diǎn)03：全集與補(bǔ)集

全集：在研究某些集合的時(shí)候，它們往往是某個(gè)給定集合的子集，這個(gè)給定的集合叫做全集，常用U表示，

全集包含所有要研究的這些集合.

補(bǔ)集：設(shè)U是全集，A是U的一個(gè)子集（即AU）,則由U中所有不屬于集合A的元素組成的集合，叫

且

做U中子集A的補(bǔ)集，記作CUA，即CUAxxUxA.

補(bǔ)集的性質(zhì)：ACUAU,ACUA,CUCUAA.

【即學(xué)即練3】（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知集合U1,2,3,4,5,A1,3,B1,2,4，則eUBA（）

A．1,3,5B．1,3C．1,2,4D．1,2,4,5

【答案】A

【詳解】由eUB{3,5}，而A{1,3}，

所以eUBA{1,3,5}.

故選：A

知識(shí)點(diǎn)04：德摩根律

(1)CU(AB)(CUA)(CUB)

(2)CU(AB)(CUA)(CUB)

知識(shí)點(diǎn)05：容斥原理

一般地，對(duì)任意兩個(gè)有限集A,B

card(AB)card(A)card(B)card(AB)

進(jìn)一步的：

card(ABC)card(A)card(B)card(C)card(AB)card(AC)card(BC)card(ABC)

題型01交集的概念及運(yùn)算

【典例1】（2023·浙江·二模）若集合Mx2x3，N1,2,3,4，則MN（）

A．1,2B．3,4

C．x1x5,xN*D．x1x4,xN*

【答案】C

3

【詳解】由題意得Mx2x3xx，N1,2,3,4，

2

故MN2,3,4x1x5,xN*，

故選：C

【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)集合Mx1x3,xZ，N1,0,1,2，則MN

（）

A．x1x2B．1,0,1,2C．0,1,2D．1,0,1,2,3

【答案】C

【詳解】因?yàn)镸x1x3,xZ，

所以M0,1,2,3，又N1,0,1,2，

所以MN0,1,2.

故選：C.

【變式1】（2023·河北承德·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合A1,0,1,2,3，By|y2x21,xA，則AB

（）

A．1,1B．1C．1,0,1D．0

【答案】A

【詳解】集合A1,0,1,2,3，By|y2x21,xA1,1,7,17，

AB1,1.

故選：A

題型02根據(jù)交集的運(yùn)算結(jié)果求集合或參數(shù)

【典例1】（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)Axx28x120，Bxax10，若ABB，

則實(shí)數(shù)a的值可以是（）

1

A．0B．C．1D．2

62

【答案】ABC

【詳解】由題意，A2,6，因?yàn)锳BB，所以BA，

若a0，則B，滿足題意；

11111

若a0，則B，因?yàn)锽A，所以2或6，則a或a.

aaa26

11

綜上：a0或a或a.

26

故選：ABC.

【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知Axx2px10，Mxx0，若AM，則實(shí)

數(shù)p的取值范圍為_(kāi)__________.

【答案】2,

【詳解】當(dāng)A時(shí)，p240，解得2p2；

當(dāng)A時(shí)，即p2或p2時(shí)，

此時(shí)方程x2px10的兩個(gè)根需滿足小于等于0，

則x1x210，x1x2p0，得p0，p2，

綜上，p2.

故答案為：2,.

【變式1】（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合Ax|axa21,aZ，B{x|2x6}，

若ABA，則a（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【詳解】由ABA，得AB，易知集合A非空，

a2a2

則a2165a5，

aZaZ

解得a2．

故選：B.

【變式2】（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）已知集合A2,5,m2m，B{2,m3}，若ABB，則m（）

A．3B．1C．2D．3

【答案】D

【詳解】因?yàn)锳BB，

所以m35或m3m2m，

當(dāng)m35時(shí)，即m2，

則A2,5,2，不滿足集合中元素的互異性，舍去；

當(dāng)m3m2m時(shí)，m3或m1，

當(dāng)m1時(shí)，A2,5,2，不滿足集合中元素的互異性，舍去；

當(dāng)m3時(shí)，A2,5,6，B{2,6}滿足題意，

所以m3，

故選：D．

題型03并集的概念及運(yùn)算

【典例1】（2023·四川成都·四川省成都列五中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）若集合Axx20，Bx1x4，

則集合AB（）

A．1,4B．xx2

C．1,4D．xx1

【答案】D

【詳解】Axx20xx2，

ABxx2x1x4xx1

故選：D.

【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若集合AxZ2x1,B0,1,2，則AB（）

A．{x|2x1}B．{1,0}

C．(2,1]{2}D．{1,0,1,2}

【答案】D

【詳解】由題意可知AxZ2x11,0，又B0,1,2，

所以AB1,00,1,2{1,0,1,2}．

故選：D．

【變式1】（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知集合Ax2x2，Bx0x3，則AB（）

A．x2x3B．x0x2C．x2x0D．x2x3

【答案】A

【詳解】根據(jù)并集的運(yùn)算可知，ABx2x2x0x3x2x3.

故選：A.

題型04根據(jù)并集的運(yùn)算結(jié)果求集合或參數(shù)

【典例1】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┰O(shè)集合Mx3x7，

Nx2tx2t1,tR，若MNM，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（）

11

A．tB．t3C．t≤3D．t3

33

【答案】C

【詳解】因?yàn)镸NM，所以NM，

1

當(dāng)2t2t1，即t時(shí)，NM，符合題意；

2

當(dāng)N時(shí)，

2t17

1

則2t3，解得t3，

2

2t12t

綜上所述實(shí)數(shù)t的取值范圍為t≤3.

故選：C.

【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合Axx24x30，Bxx22axa2a30.

(1)若a1，求AB；

(2)若ABA，求a的取值集合.

【答案】(1)AB1

(2)aa3或a2.

【詳解】（1）當(dāng)a1時(shí)，Bxx22x301,3.

因?yàn)锳xx24x303,1，

所以AB1.

（2）因?yàn)锳BA，所以BA.

當(dāng)4a24a2a34a120時(shí)，解得a3，B，符合題意；

當(dāng)4a120，即a3時(shí)，B3，符合題意；

當(dāng)4a120，即a3時(shí)，BA3,1，

312a,

則2解得a2.

31aa3,

綜上，a的取值集合是aa3或a2.

【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知A{1，2}，B{x|mx10}，若ABA，則實(shí)數(shù)m的取

值所成的集合是()

1111

A．1,B．,1C．1,0,D．,0,1

2222

【答案】D

【詳解】ABA，BA，B，{1}，{2}．

m0時(shí)，B，滿足條件．

m0時(shí)，m10，或2m10，

1

解得m1或．

2

1

綜上可得：實(shí)數(shù)m的取值所成的集合是{0，1，}．

2

故選：D

【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合Ax2x7，Bxm1x2m1，且ABA，

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．

【答案】m4

【詳解】因?yàn)锳BA，則BA.

當(dāng)m12m1時(shí)，即當(dāng)m2時(shí)，BA，滿足題意；

當(dāng)m12m1時(shí)，即當(dāng)m2時(shí)，B，

m12

由BA可得，解得3m4，此時(shí)2m4.

2m17

綜上所述，m4.

故答案為：m4.

題型05補(bǔ)集的概念及運(yùn)算

【典例1】（2023秋·湖北孝感·高一統(tǒng)考期末）設(shè)全集U0,1,2,3,4，集合AxUx21，則eUA

（）

A．x1x3B．x1x3

C．2D．0,1,3,4

【答案】D

【詳解】根據(jù)集合A的定義，絕對(duì)值的意義可知，逐一帶入x0,1,2,3,4到x21中，只有x2符合，于

是A{2}，所以eUA{0,1,3,4}.

故選：D

n1ne

【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)集合Mxx,nZ，Nxx,nZ，則NM

244

（）

n

A．B．xx,nZ

2

3n

C．xx,nZD．xx2n,nZ

4

【答案】B

n12n111

【詳解】由題意可知，x2n1,nZ，可知集合M表示的是的奇數(shù)倍，

24444

n1

而由x,nZ可知，集合N表示的是的整數(shù)倍，

44

2n2nn

即NMxx,nZ，所以eNMxx,nZ.

442

故選：B

【變式1】（2023春·四川綿陽(yáng)·高一四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）如果全集U{xN*|x5}，

e

M{1,2}，則UM

A．B．{1,2}C．{3,4}D．{0,3,4}

【答案】C

【詳解】由題意可得：U1,2,3,4，結(jié)合補(bǔ)集的定義可知eUM3,4.

本題選擇C選項(xiàng).

題型06根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算結(jié)果求集合或參數(shù)

2e

【典例1】（2023·陜西商洛·?？既＃┰O(shè)全集U2,4,a，集合A4,a2，UAa，則實(shí)數(shù)a的

值為（）

A．0B．-1C．2D．0或2

【答案】A

e2

【詳解】由集合A4,a2知，a24，即a2，而UAa，全集U2,4,a，

a2a

因此，，解得a0，經(jīng)驗(yàn)證a0滿足條件，

a22

所以實(shí)數(shù)a的值為0.

故選：A

【典例2】（多選）（2023秋·貴州遵義·高一統(tǒng)考期末）（多選題）設(shè)全集

2e

U{x|x8x150,xR}．UA{x|ax10}，則實(shí)數(shù)a的值為（）

11

A．0B．C．D．2

35

【答案】ABC

【詳解】U＝{3，5}，若a＝0，則eUA，此時(shí)A＝U；

1

若a≠0，則eA＝.

Ua

11

此時(shí)＝3或＝5，

aa

11

∴a＝或a＝.

35

11

綜上a的值為0或或.

35

故選：ABC

ee

【變式1】（2023春·山東濱州·高二校考階段練習(xí)）設(shè)集合A{1,3,5,7}，UA{2,4,6,8}，UB{1,2,3,4}，

則集合B＝___．

【答案】{5,6,7,8}

e

【詳解】因?yàn)锳{1,3,5,7}，UA{2,4,6,8}，

所以UAeUA1,2,3,4,5,6,7,8，

e

又因?yàn)閁B{1,2,3,4}，

所以B{5,6,7,8}，

故答案為：{5,6,7,8}．

題型07交集、并集、補(bǔ)集的混合運(yùn)算

【典例1】（2023春·天津南開(kāi)·高三南開(kāi)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合U{xN|0x8}，

S{1,2,4,5}，T{3,5,7}，則S(eUT)

A．{1,2,4}B．{1,2,3,4,5,7}C．{1,2}D．{1,2,4,5,6,8}

【答案】A

e

【詳解】因?yàn)閑UT1,2,4,6,8，所以S(UT){1,2,4}，選A．

ee

【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合Ax3x7，Bx2x10，求R(AB)，R(AB)，

e

RAB，AeRB.

【答案】答案見(jiàn)解析.

【詳解】因?yàn)锳x3x7，Bx2x10，

所以ABx2x10,所以eRABx|x2或x10；

因?yàn)锳x3x7，Bx2x10，

所以ABx3x7,所以eRABx|x3或x7；

因?yàn)锳x3x7，Bx2x10，

所以eRAx|x3或x7，所以eRABx|2x3或7x10；

因?yàn)锳x3x7，Bx2x10，

所以eRBx|x2或x10，所以AeRBx|x2或3x7或x10.

【變式1】（2023·天津南開(kāi)·統(tǒng)考二模）已知全集U1,0,1,2,3，集合A1,0,2，B0,1，則

痧UAUB（）

A．2B．3C．1,1,2,3D．1,0,1,2

【答案】B

ee

【詳解】由已知UA{1,3}，UB{1,2,3}，

痧

所以UAUB{3}，

故選：B．

題型08根據(jù)交集、并集、補(bǔ)集的混合運(yùn)算的結(jié)果求參數(shù)

【典例1】（2023·河南開(kāi)封·開(kāi)封高中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)集合A{x∣x2或x4},Bx∣axa1，

若eRAB，則a的取值范圍是（）

A．a(chǎn)1或a4B．a(chǎn)1或a4

C．a(chǎn)1D．a(chǎn)4

【答案】B

【詳解】由集合∣或，得eA{x∣2x4}，又集合∣且e，

A{xx2x4}RBxaxa1RAB

則a12或a4，即a1或a4.

故選：B.

【典例2】（2023春·江蘇南京·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合Axaxa1，Bx2x0．

（1）若a1，求AB；

e

（2）已知RBA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

【答案】（1）AB{x|2x0或1x2}；（2）條件選擇見(jiàn)解析，2a1.

e

（2）由RBA，得到AB，列出不等式組，即可求解；

【詳解】（1）當(dāng)a1時(shí)，集合Ax1x2，

因?yàn)锽x2x0，所以AB{x|2x0或1x2}．

a2

e

（2）因?yàn)镽BA，可得AB，則，解得2a1．

a10

x5

【變式1】（2023秋·云南玉溪·高一統(tǒng)考期末）已知集合A{x|a1xa1}，Bx|0．

x3

(1)若a3，求AB；

(2)已知BeRAR，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

【答案】(1)AB{x|4x5}

(2)答案見(jiàn)解析

【詳解】（1）因?yàn)閍3，所以A{x|4x2}，

又因?yàn)锽{x|3x5}，所以AB{x|4x5}．

e

（2）BeRAR：所以RA{x|xa1或xa1}，

a13

則滿足，所以a的取值范圍為{a|2a4}．

a15

題型09容斥原理

【典例1】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）某班一個(gè)課外調(diào)查小組調(diào)查了該班同學(xué)對(duì)物理

和歷史兩門(mén)學(xué)科的興趣愛(ài)好情況，其中該班同學(xué)對(duì)物理或歷史感興趣的同學(xué)占90％，對(duì)物理感興趣的占56％，

對(duì)歷史感興趣的占74％，則既對(duì)物理感興趣又對(duì)歷史感興趣的同學(xué)占該班學(xué)生總數(shù)的比例是（）

A．70％B．56％C．40％D．30％

【答案】C

【詳解】對(duì)物理感興趣的同學(xué)占56％，對(duì)歷史感興趣的同學(xué)占74％，

這兩組的比例數(shù)據(jù)都包含了既對(duì)物理感興趣又對(duì)歷史感興趣的同學(xué)的比例，

設(shè)既對(duì)物理感興趣又對(duì)歷史感興趣的同學(xué)占該班學(xué)生總數(shù)的比例為x，

則對(duì)物理或歷史感興趣的同學(xué)的比例是56％＋74％－x，

所以56％＋74％－x＝90％，

解得x40％，

故選：C.

【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我們把含有有限個(gè)元素的集合A叫做有限集，用cardA表示有

限集合A中元素的個(gè)數(shù).例如，Aa,b,c，則cardA3.容斥原理告訴我們，如果被計(jì)數(shù)的事物有A,B,C

三類，那么，

cardABCcardAcardBcardCcardABcardBCcardACcardABC.某校初

一四班學(xué)生46人，寒假參加體育訓(xùn)練，其中足球隊(duì)25人，排球隊(duì)22人，游泳隊(duì)24人，足球排球都參加

的有12人，足球游泳都參加的有9人，排球游泳都參加的有8人，問(wèn)：三項(xiàng)都參加的有多少人？（教材閱

讀與思考改編）（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】C

【詳解】設(shè)集合A{參加足球隊(duì)的學(xué)生}，

集合B{參加排球隊(duì)的學(xué)生}，

集合C{參加游泳隊(duì)的學(xué)生}，

則cardA25,cardB22,cardC24，

cardAB12,cardBC8,cardAC9

設(shè)三項(xiàng)都參加的有x人，即cardABCx，cardABC46，

所以由cardABCcardAcardBcardCcardABcardBCcardACcardABC

即462522241289x，

解得x4，

三項(xiàng)都參加的有4人，

故選：C.

【變式1】（2022秋·浙江臺(tái)州·高一?？茧A段練習(xí)）某高中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)，某班60名學(xué)生中有一半的學(xué)生沒(méi)有

參加比賽，參加比賽的同學(xué)中，參加田賽的有17人，參加徑賽的有23人，則田賽和徑賽都參加的學(xué)生人數(shù)

為（）

A．7B．8C．10D．12

【答案】C

【詳解】由題可得參加比賽的學(xué)生共有30人，

設(shè)參加田賽的學(xué)生為集合A，參加徑賽的學(xué)生為集合B，

則card(A)17，card(B)23，card(AB)30，

如圖，因?yàn)閏ard(AB)card(A)card(B)card(AB)，

所以田賽和徑賽都參加的學(xué)生人數(shù)為17233010.

故選：C.

題型10根據(jù)并、交、補(bǔ)集性質(zhì)求參數(shù)（解答題）

【典例1】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知全集UR，A{xxa2或xa}，Bx0x5.

e

(1)當(dāng)a1時(shí)，求AB，AB，(UA)B；

(2)若ABB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

e

【答案】(1)ABx1x5，AB{xx1或x0}，(UA)Bx0x1

(2)a7或a0

【詳解】（1）當(dāng)a1時(shí)，A{xx1或x1}，

e

UAx1x1，又Bx0x5，

e

ABx1x5，AB{xx1或x0}，(UA)Bx0x1；

（2）若ABB，則BA，

a25或a0，

a7或a0.

【典例2】（2023·高一單元測(cè)試）已知全集為R，集合Ax2x6，Bx3x782x．

(1)求AB；

(2)若Cxa4xa4，且ABC，求a的取值范圍．

【答案】(1)ABx3x6

(2)2a7

【詳解】（1）解不等式3x782x，解得x3，

所以Bxx3，

所以ABx3x6；

（2）由（1）得ABx3x6，

又ABC，

a43a43

則或，解得2a7或2a7，

a46a46

即2a7.

1

【典例3】（2023秋·山東臨沂·高一?？计谀┮阎螦xNx2，BxR2ax20

2

(1)當(dāng)a1時(shí)，求AB；

(2)若______求實(shí)數(shù)a的取值范圍.①ABB，②ABA③AeRB從這三個(gè)條件選一個(gè)填入橫線

處，并求a的取值范圍.

【答案】(1)1,2；

(2)無(wú)論選哪個(gè)條件，a的取值范圍都是[1,).

【詳解】（1）當(dāng)a1時(shí)，2x20x1，A1,2，

因此AB1,2

（2）若選①：ABBAB，

因?yàn)锳，所以B，因此a0，

1

當(dāng)a0時(shí)，2ax20x，因?yàn)锳B，A1,2，

a

1

所以有1a1，故a的取值范圍為[1,)；

a

1

當(dāng)a<0時(shí)，2ax20x，因?yàn)锳B，A1,2，

a

11

所以有2a，而a<0，所以不符合題意，

a2

故a的取值范圍為[1,).

若選②：ABAAB，

因?yàn)锳，所以B，因此a0，

1

當(dāng)a0時(shí)，2ax20x，因?yàn)锳B，A1,2，

a

1

所以有1a1，故a的取值范圍為[1,)；

a

1

當(dāng)a<0時(shí)，2ax20x，因?yàn)锳B，A1,2，

a

11

所以有2a，而a<0，所以不符合題意，

a2

故a的取值范圍為[1,).

若選③：AeRBAB

因?yàn)锳，所以B，因此a0，

1

當(dāng)a0時(shí)，2ax20x，因?yàn)锳B，A1,2，

a

1

所以有1a1，故a的取值范圍為[1,)；

a

1

當(dāng)a<0時(shí)，2ax20x，因?yàn)锳B，A1,2，

a

11

所以有2a，而a<0，所以不符合題意，

a2

故a的取值范圍為[1,).

【典例5】（2023秋·四川成都·高一成都七中校考期末）設(shè)集合

A0,4,Bxx22(a1)xa210,xR.

1

(1)若a，求AB；

2

(2)若ABB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

31

【答案】(1)AB4，，0，

22

(2),11

1331

【詳解】（1）當(dāng)a時(shí)，Bxx2x0,xR,，

2422

又A0,4

31

所以AB4，，0，.

22

（2）ABB，

BA

2

當(dāng)B時(shí)，4a14a218a80，即a1；

2a10

當(dāng)時(shí)，利用韋達(dá)定理得到，解得；

B02a1

a10

2a18

當(dāng)時(shí)，利用韋達(dá)定理得到，無(wú)解；

B42

a116

2a14

當(dāng)時(shí)，根據(jù)韋達(dá)定理得到，解得；

B0,42a1

a10

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：,11

【變式1】（2023秋·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）已知集合Mxx22xa0．

(1)若M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若Nxx2x0且MN，求實(shí)數(shù)a的值．

【答案】(1)aa1；

(2)a0或a1.

【詳解】（1）由題意得方程x22xa0有實(shí)數(shù)解，

224a0，得a1，

實(shí)數(shù)a的取值范圍是aa1；

（2）∵Nxx2x00,1，

MN，

0M或1M，

則a0或a1.

【變式2】（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）設(shè)全集UR，集合Ax1x4，Bx2ax3a.

e

(1)若a2，求BA，BUA

(2)若ABA，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

e

【答案】(1)BAx1x4；BUAx4x1或4x5

1

(2),

2

【詳解】（1）因?yàn)閍2，所以Bx2ax3ax4x5，

又因?yàn)锳x1x4，UR，

e

所以BAx1x4，UAxx1或x4，

e

故BUAx4x1或4x5.

（2）因?yàn)锳BA，所以BA，

因?yàn)锽x2ax3a，Ax1x4，

所以當(dāng)B時(shí)，2a3a，解得a1，此時(shí)BA；

當(dāng)B時(shí)，a1，

1

2a1a1

由數(shù)軸法得，解得2，故a1；

3a42

a1

11

綜上：a，即a,.

22

題型11新定義題

【典例1】（2023秋·山東淄博·高一山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎螾{1,3,4,6,8,9}，對(duì)于它

的任一非空子集A，可以將A中的每一個(gè)元素m都乘(1)m再求和，例如A{3,4,6}，則可求得和為

(1)33(1)44(1)667，對(duì)P所有非空子集，這些和的總和為（）

A．80B．160C．162D．320

【答案】B

【詳解】因?yàn)樵?，3，4，6，8，9在集合P的所有非空子集中分別出現(xiàn)25次，

則對(duì)P的所有非空子集中元素m執(zhí)行乘(1)m再求和，

5134689

則這些和的總和是2(1)1(1)3(1)4(1)6(1)8(1)9160．

故選：B.

【典例2】（多選）（2023秋·吉林·高一長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）整數(shù)集Z中，被5除所得余

數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為k，即k5nknZ，其中k0,1,2,3,4．以下判斷正確的

是（）

A．20233B．22

C．Z01234D．若ab0，則整數(shù)a，b屬同一類

【答案】ACD

【詳解】A選項(xiàng)，202354043，故20233，A正確；

B選項(xiàng)，2513，故23，B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，全體整數(shù)被5除的余數(shù)只能是0,1,2,3,4，故Z01234，C正確；

D選項(xiàng)，由題意可知ab能被5整除，故a,b分別被5除的余數(shù)相同，故整數(shù)a，b屬同一類，D正確.

故選：ACD

【變式1】（2023·江蘇·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）對(duì)于兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合A和B，我們把集合

x∣xab,aA,bB記作AB.若集合A0,1,B0,1，則AB中元素的個(gè)數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【詳解】A0,1,B0,1，則AB0,1,1，則AB中元素的個(gè)數(shù)為3

故選：C

本節(jié)重點(diǎn)方法（圖的應(yīng)用）

【典例1】（2023·遼寧朝陽(yáng)·朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)全集U={-2,-1,0,1,2}，Axx210，

Bxx1x20，則圖中陰影部分所表示的集合為（）

A．1,1,2B．2,1,0,2

C．1D．2,0

【答案】D

2

【詳解】由x2-1=0，解得x1或x=1，所以Axx101,1，

由x1x20，解得x1或x2，所以Bxx1x201,2，

=--e

所以AB1,1,2，又U{2,1,0,1,2}，則圖中陰影部分為UAB2,0.

故選：D

【典例2】（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）已知集合M1,2,3,4,5，N{1,3,5,7,9}，且M，N

都是全集U的子集，則下圖韋恩圖中陰影部分表示的集合為（）

A．{2,4}B．{1,3,5}

C．{7,9}D．{1,2,3,4,5,7,9}

【答案】C

【詳解】因?yàn)镸1,2,3,4,5，N{1,3,5,7,9}，

所以MN1,3,5，圖中陰影部分表示的集合為eNMN，

e

所以NMN7,9.

故選：C

【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示的Venn圖中，A、B是非空集合，定義集合AB為陰影

部分表示的集合．若Axx2n1,nN,n4，B2,3,4,5,6,7，則AB（）

A．2,4,6,1B．2,4,6,9C．2,3,4,5,6,7D．1,2,4,6,9

【答案】D

【詳解】由韋恩圖可知，ABxxAB,xAB，

因?yàn)锳xx2n1,nN,n41,3,5,7,9，B2,3,4,5,6,7，

則AB1,2,3,4,5,6,7,9，AB3,5,7，因此，AB1,2,4,6,9.

故選：D.

本節(jié)數(shù)學(xué)思想方法（分類討論法）

【典例1】（2021秋·福建泉州·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合

A1,1a,a23a3,Bxx22x10,Cxx2a1xa0.

(1)討論集合B與C的關(guān)系；

(2)若a<0，且ACC，求實(shí)數(shù)a的值.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

1

(2)a3或a

2

【詳解】（1）B1,Cxx1xa0，

當(dāng)a1時(shí)，BC1；

當(dāng)a1時(shí)，C1,a，B是C的真子集.

（2）當(dāng)a<0時(shí)，因?yàn)锳CC，所以CA，所以1,aA.

當(dāng)a23a3a時(shí)，解得a1（舍去）或a3，此時(shí)A1,3,2，符合題意.

1117

當(dāng)1aa時(shí)，解得a，此時(shí)A1,,符合題意.

224

1

綜上，a3或a.

2

【典例2】（2022秋·陜西安康·高一陜西省安康中學(xué)校考階段練習(xí)）已知集合A{x|(x2)(x1)0}，

B{x|m1xm1}．

e

(1)若(RA)B，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)若集合AB中僅有一個(gè)整數(shù)元素，求AB．

【答案】(1)0,1

(2)答案見(jiàn)解析

【詳解】（1）集合A{x|(x2)(x1)0}，

A(2,1)，從而eRA,21,，

e

∵(RA)B，B{x|m1xm1}，

1m2

，解得0m1，

1m1

實(shí)數(shù)m的取值范圍為0,1；

（2）由（1）知：A(2,1)，B(1m,1m)，

集合AB中僅有一個(gè)整數(shù)元素，由于集合A中只有兩個(gè)整數(shù)元素：1和0，

1m1

若集合AB中僅有一個(gè)整數(shù)元素1，則，解得：0m2，

11m0

11m0

若集合AB中僅有一個(gè)整數(shù)元素0，則，解得：1m0，

1m0

1m2，

當(dāng)1m2時(shí)，1m2，11m0，則AB(1m,1)；

當(dāng)1m0時(shí)，11m0，11m2，則AB(2,1m)；

當(dāng)0m1時(shí)，21m1，01m1，則AB(2,1)；

綜上所述，當(dāng)1m2時(shí)，AB(1m,1)；

當(dāng)1m0時(shí)，AB(2,1m)；

當(dāng)0m1時(shí)，AB(2,1)．

本節(jié)易錯(cuò)題

【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若集合A{1,1}，B{x|mx1}，且ABA，則m的值為（）

A．1或0B．1或0C．1或1或0D．1或1或2

【答案】C

【詳解】ABA,∴BA

B；B{1}；B{1}

當(dāng)B時(shí)，m0

當(dāng)B{1}時(shí)，m1

當(dāng)B{1}時(shí)，m1

故m的值是0；1；1

故選：C．

【典例2】（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高一統(tǒng)考期末）已知集合A{x|2x5}，B{x|m1x2m1}，若

ABA，則實(shí)數(shù)m的取值范圍______________

【答案】m，3

【詳解】解：A{x|2x5}，B{x|m1x2m1}，

由ABA，

BA，

①當(dāng)B時(shí)，滿足BA，

此時(shí)m12m1，

∴m2；

②當(dāng)B時(shí)，

BA，

m12m1

則m12，

2m15

解得2m3．

綜上，m，3．

故答案為：m，3．

1.3集合的基本運(yùn)算

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）已知集合Axx3，Bxx2k,kZ，則AB（）．

A．2,2B．{-2,0,2}

C．2,1,1,2D．2,1,0,1,2

【答案】B

【詳解】因?yàn)锳xx3，由x3，解得3x3，即Ax3x3，又Bxx2k,kZ，所

以AB2,0,2，

故選：B.

2．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)集R，集合A∣x0x6,B{∣xx5}，則eRBA（）

A．{x∣0x5}B．x∣0x5C．{x∣x6}D．x∣x6

【答案】B

e∣e∣

【詳解】由題意可得，RBxx5，所以RBAx0x5；

故選：B.

3．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知A1,2,a3,Ba,5，若ABA，則a（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】C

【詳解】由于ABA，所以a35,a2，

此時(shí)A1,2,5,B2,5，滿足ABA.

故選：C

4．（2023春·北京通州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知集合A