高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)同步學(xué)與練（人教A版）第05講 冪函數(shù)（解析版）

第05講3.3冪函數(shù)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①了解冪函數(shù)的概念，會(huì)求冪函數(shù)的解析

式；

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握冪函數(shù)的概念，能根據(jù)冪

②掌握常見(jiàn)冪函數(shù)的圖像；

函數(shù)的要求求出冪函數(shù)的解析式，并能根據(jù)冪函數(shù)的性

③利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)式大小。

質(zhì)求待定參數(shù).

④利用冪函數(shù)的性質(zhì)解不等式及待定參數(shù)

的求解

知識(shí)點(diǎn)01一：冪函數(shù)的概念

1、定義：一般地，函數(shù)yx叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù).

2、冪函數(shù)的特征

①yx中x前的系數(shù)為“1”

②yx中x的底數(shù)是單個(gè)的自變量“x”

③yx中是常數(shù)

x

3125

【即學(xué)即練1】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）現(xiàn)有下列函數(shù)：①yx；②y；③y4x；④yx1；

2

2

⑤yx1；⑥yx；⑦yax(a1)，其中冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【詳解】?jī)绾瘮?shù)滿(mǎn)足yxa形式，故yx3，yx滿(mǎn)足條件，共2個(gè)

故選：B

知識(shí)點(diǎn)02：冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、五個(gè)冪函數(shù)的圖象(記憶五個(gè)冪函數(shù)的圖象）

1

當(dāng)1,2,3,,1時(shí)，我們得到五個(gè)冪函數(shù)：

2

1

231

f(x)x；f(x)x；f(x)x；f(x)x2；f(x)x

2、五個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì)

1

f(x)xf(x)x2f(x)x3f(x)x2f(x)x1

定義域RRR[0,)(,0)(0,)

值域R[0,)R[0,)(,0)(0,)

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)

在(,0)上

在R上單單調(diào)遞減在R上單調(diào)在[0,)在(,0)上單調(diào)遞減

單調(diào)性

調(diào)遞增在(0,)單遞增單調(diào)遞增在(0,)上單調(diào)遞減

調(diào)遞增

定點(diǎn)(1,1)

3、拓展：

①f(x)x，當(dāng)0時(shí)，f(x)x在(0,)單調(diào)遞增；

②f(x)x，當(dāng)0時(shí)，f(x)x在(0,)單調(diào)遞減.

【即學(xué)即練2】（江西省贛州市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題）冪函數(shù)

fxm22m2x2m1在0,上為減函數(shù)，則m的值為_(kāi)_____.

【答案】1

22m1

【詳解】由函數(shù)fxm2m2x是冪函數(shù)，則m22m21，

解得m1或m3；

3

當(dāng)m1時(shí)，fxx，在0,上為減函數(shù)，滿(mǎn)足題意；

當(dāng)m3時(shí)，fxx5，在0,上為增函數(shù)，不合題意.

故答案為：1.

題型01判斷函數(shù)是否為冪函數(shù)

1

12x2

【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在函數(shù)①y，②y=x，③y2，④y2，y2x，⑥2中，

xyx

是冪函數(shù)的是（）

A．①②④⑤B．③④⑥C．①②⑥D(zhuǎn)．①②④⑤⑥

【答案】C

【詳解】?jī)绾瘮?shù)是形如yx（R，為常數(shù)）的函數(shù)，①是1的情形，②是2的情形，⑥是

1

的情形，所以①②⑥都是冪函數(shù)；③是指數(shù)函數(shù)，不是冪函數(shù)；⑤中x2的系數(shù)是2，所以不是

2

冪函數(shù)；④是常函數(shù)，不是冪函數(shù).

故選：C.

【典例2】（2023秋·云南德宏·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)既是冪函數(shù)又是奇函數(shù)的是（）

11

A．y3xB．yC．y2x2D．yx

x2x

【答案】A

1

【詳解】對(duì)于A(yíng)，由冪函數(shù)的定義知y3xx3是冪函數(shù)，由題意可知f(x)的定義域?yàn)?/p>

R,f(x)3x3xf(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，符合題意；故A正確；

1

對(duì)于B，由冪函數(shù)的定義知yx2是冪函數(shù)，由題意可知f(x)的定義域?yàn)?/p>

x2

11

,0U0,,f(x)22f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)，不符合題意；故B錯(cuò)誤；

xx

對(duì)于C，由冪函數(shù)的定義知y2x2不是冪函數(shù)，不符合題意；故C錯(cuò)誤；

1

對(duì)于D，由冪函數(shù)的定義知yx不是冪函數(shù)，不符合題意；故D錯(cuò)誤；

x

故選：A.

【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）給出下列函數(shù)：

12

①y；②y3x2；③yx4x2；④y3x5；⑤yx1；⑥y0.3x，其中是冪函數(shù)的有（）

x3

A．1個(gè)B．2個(gè)

C．3個(gè)D．4個(gè)

【答案】B

【詳解】由冪函數(shù)的定義：形如yx（為常數(shù)）的函數(shù)為冪函數(shù)，

135

則可知①yx和④353是冪函數(shù).

x3yxx

故選；B.

題型02求冪函數(shù)的值

【典例1】（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)fx的圖像過(guò)點(diǎn)64,4，則f8的值為（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】A

1

1

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)冪函數(shù)為fxx，則可得464，所以3，

3fxx

1

即f8832

故選:A

【典例2】（2023春·上海楊浦·高三復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)yf(x)的圖像過(guò)點(diǎn)(9,3)，則f(2)

的值為_(kāi)__________．

【答案】2

【詳解】設(shè)冪函數(shù)為f(x)=xa，由題意，9a3，

11

解得a，所以?xún)绾瘮?shù)解析式為2，

2f(x)x

1

所以f(2)222.

故答案為：2

11

【變式1】（2023秋·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期中）若fx是冪函數(shù)，且f2，則f__________

43

【答案】9

1

【詳解】解：因?yàn)閒x是冪函數(shù)，記fxxa，因?yàn)閒2，

4

1

所以2a，解得a2，故fxx2，

4

2

11

所以f9.

33

故答案為：9

題型03求冪函數(shù)的解析式

【典例1】（2023·浙江·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知fx是冪函數(shù)，且滿(mǎn)足：①fxfx；②fx在0,

上單調(diào)遞增，請(qǐng)寫(xiě)出符合上述條件的一個(gè)函數(shù)fx___________.

n

2

【答案】x（答案不唯一）(形如fxxm，m為正奇數(shù)，n為正偶數(shù)，均可)

【詳解】因?yàn)閒x是冪函數(shù)，且fx在0,上單調(diào)遞增，

n

故可設(shè)fxxm，（m,nN，m,n互質(zhì)），

又fxfx，所以m為奇數(shù)，n為偶數(shù)，

故fxx2為符合條件的一個(gè)函數(shù)，

n

2

故答案為：x(形如fxxm，m為正奇數(shù)，n為正偶數(shù)，均可).

73t2t2

【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）冪函數(shù)fxt3t1x5是偶函數(shù)，且在(0,)上為增函數(shù)，則

函數(shù)解析式為_(kāi)________．

28

【答案】f(x)x5或f(x)x5

73t2t2

【詳解】3是冪函數(shù)，也是偶函數(shù)，

fxtt1x5

且在(0,)上為增函數(shù)，

t3t11

且22為偶數(shù)，

2273t2t

73t2t0

解得t1或t1，

8

當(dāng)t1時(shí)，fxx5，

2

當(dāng)t1時(shí)，fxx5.

28

故答案為：f(x)x5或f(x)x5

【變式1】（2023秋·遼寧·高一大連二十四中校聯(lián)考期末）已知冪函數(shù)fxm23m1xm在第一象限

單調(diào)遞減，則fm______.

1

【答案】

27

【詳解】由題知，冪函數(shù)fxm23m1xm在第一象限單調(diào)遞減，

m23m11

所以，解得m0（舍去），或m3，

m0

所以fxx3，

1

所以f3，

27

1

故答案為：

27

題型04根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)

2

【典例1】（2023·遼寧錦州·渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）若冪函數(shù)fxm22m2xm4m1

在區(qū)間0,上單調(diào)遞增，則m（）

A．1B．3C．1或3D．1或3

【答案】A

2

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fxm22m2xm4m1為冪函數(shù)，且在區(qū)間0,上單調(diào)遞增，

所以m22m21且m24m10，

由m22m30，得m1或m3，

當(dāng)m1時(shí)，m24m10，滿(mǎn)足題意；

當(dāng)m3時(shí)，足m24m10，不符合題意.

綜上m1.

故選：A.

2

【典例2】（2023·寧夏銀川·銀川一中?？级＃┮阎瘮?shù)fxm2m1xm2m2是冪函數(shù)，且為偶

函數(shù)，則實(shí)數(shù)m______．

【答案】2

2m22m2

【詳解】由函數(shù)fxmm1x是冪函數(shù)，則m2m11，得m2或m1，

111

當(dāng)m2時(shí)，函數(shù)fxx2，其定義域?yàn)閤|x0，fxfx，則fx是偶函數(shù)，

x2(x)2x2

滿(mǎn)足條件；

當(dāng)m1時(shí)，函數(shù)fxx是奇函數(shù)，不合題意.

故答案為：2.

【變式1】（2023秋·陜西咸陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)fxm22m2xm滿(mǎn)足f2f3，則

m______.

【答案】3

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fxm22m2xm為冪函數(shù)，

則m22m21，解得m3或m1，

又因?yàn)閒2f3，所以m3，

故答案為：3.

2

【變式2】（2023春·上海楊浦·高一上海市控江中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知冪函數(shù)fxm2m5xm3m2

的圖像不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m__________.

【答案】2

2

【詳解】由已知函數(shù)fxm2m5xm3m2為冪函數(shù)，

得m2m51，解得m2或m3，

當(dāng)m2時(shí)，fxx4，定義域?yàn)?0U0,，函數(shù)圖像不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

16

當(dāng)m3時(shí)，fxx，定義域?yàn)镽，且f00，函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

綜上所述：m2，

故答案為：2.

題型05求冪函數(shù)的定義域

【典例1】（2023秋·浙江·高一校聯(lián)考期末）已知冪函數(shù)y3x，則此函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______．

【答案】,0U0,.

1

11

【詳解】由冪函數(shù)y3x，可得31，解得a，即yx3，

33x

則滿(mǎn)足x0，即冪函數(shù)y3x的定義域?yàn)?0U0,.

故答案為：,0U0,.

1

【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)fxx2的定義域?yàn)開(kāi)______．

【答案】0,

1

1

【詳解】fxx2，所以，x0.

x

1

因此，函數(shù)fxx2的定義域?yàn)?,.

故答案為：0,.

【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(25,5)，求f(x)的定義域.

【答案】[0,)

【詳解】因?yàn)閒(x)為冪函數(shù)，所以設(shè)f(x)x．

又f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(25,5)，可得525，

11

解得，所以2．

2f(x)xx

故f(x)的定義域?yàn)閇0,)．

題型06求冪函數(shù)的值域

x,0x1,

【典例1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)fx1的值域?yàn)開(kāi)_______.

,x1.

x

【答案】0,1

【詳解】0x1時(shí)，fxx0,1，

1

x1時(shí)，fx0,1，

x

所以fx的值域?yàn)?,1.

故答案為：0,1

1

【典例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若冪函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)4,，則f(x)的值域?yàn)開(kāi)___________．

16

【答案】0,

112

【詳解】設(shè)f(x)x，因?yàn)閮绾瘮?shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)4,，所以44

1616

1

所以2，所以f(x)x20,

x2

故答案為：0,

3x,x?a

【典例3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f(x)，若函數(shù)f(x)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的取值范

2R

x,xa

圍為_(kāi)_________．

【答案】0,1

【詳解】由函數(shù)y3x單調(diào)遞增，

①當(dāng)a<0時(shí)，若xa，有3x3a0，

而x20，此時(shí)函數(shù)f(x)的值域不是R；

②當(dāng)a0時(shí)，若xa，有3x3a，而x2a2，

若函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽，必有a23a，可得0a1．

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為0,1．

故答案為：0,1

【變式1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知冪函數(shù)f(x)x的圖像過(guò)點(diǎn)(8,4)，則f(x)x的值域是

（）

A．,0B．,00,

C．0,D．0,

【答案】D

【詳解】?jī)绾瘮?shù)f(x)x的圖像過(guò)點(diǎn)(8,4)，

2

84，解得，

3

2

f(x)x33x20，

f(x)的值域是0,.

故選：D.

題型07冪函數(shù)的圖象的判斷及應(yīng)用

p

【典例1】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知冪函數(shù)q（p,qZ且p與q互質(zhì)）的圖像如圖所示，

yx

則（）

pp

A．p、q均為奇數(shù)且0B．p為奇數(shù)，q為偶數(shù)且0

qq

pp

C．p為奇數(shù)，q為偶數(shù)且0D．p為偶數(shù)，q為奇數(shù)且0

qq

【答案】D

p

【詳解】由圖像知函數(shù)為偶函數(shù)，所以p為偶數(shù)，且由圖像的形狀判定0，

q

又因?yàn)閜與q互質(zhì)，所以q為奇數(shù)，

故選：D.

【典例2】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）給定一組函數(shù)解析式：

3232311

①yx4；②yx3；③yx2；④yx3；⑤yx2；⑥yx3；⑦yx3．

如圖所示一組函數(shù)圖象．圖象對(duì)應(yīng)的解析式號(hào)碼順序正確的是（）

A．⑥③④②⑦①⑤B．⑥④②③⑦①⑤

C．⑥④③②⑦①⑤D．⑥④③②⑦⑤①

【答案】C

1

【詳解】圖象（1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，為奇函數(shù)，且不過(guò)原點(diǎn)、第一象限遞減，故yx3滿(mǎn)足；

2

y

圖象（2）關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，為偶函數(shù)，且不過(guò)原點(diǎn)、第一象限遞減，故yx3滿(mǎn)足；

3

圖象（3）非奇非偶函數(shù)，且不過(guò)原點(diǎn)、第一象限遞減，故yx2滿(mǎn)足；

y2

圖象（4）關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，為偶函數(shù)，且過(guò)原點(diǎn)、第一象限遞增，故yx3滿(mǎn)足；

1

圖象（5）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，為奇函數(shù)，且過(guò)原點(diǎn)、第一象限遞增，故yx3滿(mǎn)足；

3

圖象（6）非奇非偶函數(shù)，且過(guò)原點(diǎn)、第一象限遞增，而增長(zhǎng)率隨x增大遞減，故yx4滿(mǎn)足；

3

圖象（7）非奇非偶函數(shù)，且過(guò)原點(diǎn)、第一象限遞增，而增長(zhǎng)率隨x增大遞增，故yx2滿(mǎn)足；

故圖象對(duì)應(yīng)解析式順序?yàn)棰蔻堍邰冖撷佗?

故選：C

x2,x0,

【變式1】（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)則函數(shù)f(x)1g(x)f(x)，則函數(shù)g(x)的

,x0,

x

圖象大致是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【詳解】因?yàn)間xfx，所以gx圖像與fx的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，

由fx解析式，作出fx的圖像如圖

從而可得gx圖像為B選項(xiàng).

故選：B.

1

x3x1

【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)fx的圖像大致為（）

x

A．B．

C．D．

【答案】B

1

【詳解】由，排除，．當(dāng)時(shí)，1，所以，排除．

f10ADx1x3x0fx0C

故選：B．

題型08冪函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)yx110恒過(guò)定點(diǎn)______．

【答案】2,2

【詳解】當(dāng)x11，即x2時(shí)，y2，函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)2,2.

故答案為：2,2.

【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）冪函數(shù)fx的圖象過(guò)點(diǎn)2,2，則函數(shù)gxafx31aR,a0

的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)__________．

【答案】3,1

1

【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)fxx過(guò)點(diǎn)2,2，可解得，

2

1

所以fxx2，

1

故g(x)a(x3)21，

當(dāng)x3時(shí)，g(3)a011，

故g(x)恒過(guò)定點(diǎn)(3,1).

故答案為3,1

2

【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）冪函數(shù)yxnn1nN的圖像一定經(jīng)過(guò)第______象限

【答案】一、三

【詳解】因?yàn)閚為自然數(shù)，所以n(n1)為偶數(shù)，所以n2+n+1為奇數(shù)，

2

所以yxnn1nN是奇函數(shù)，

且函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)O(0,0)和點(diǎn)(1,1)并且在0,單調(diào)遞增，

2

所以?xún)绾瘮?shù)yxnn1nN的圖像一定經(jīng)過(guò)第一、三象限．

故答案為：一、三

題型09冪函數(shù)的單調(diào)性

【典例1】（多選）（2023秋·重慶長(zhǎng)壽·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)既是冪函數(shù)，又在,0上單調(diào)遞減

的是（）

A．yxB．y=x-2

C．yx1D．y=x2

【答案】CD

【詳解】對(duì)于A(yíng)，函數(shù)yx在,0上單調(diào)遞減但不是冪函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，函數(shù)y=x-2是冪函數(shù)，在(,0)上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，函數(shù)yx1是冪函數(shù)且在,0上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D，函數(shù)y=x2是冪函數(shù)且在,0上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)D正確，

故選：CD.

434

-2

【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)：①y=x，②yx3，③yx5，④yx5，既是偶函數(shù)，

又在(,0)上為增函數(shù)的是_________．

【答案】①④

【詳解】對(duì)于①y=x-2，設(shè)f(x)x2，定義域?yàn)閧xR|x0}，滿(mǎn)足f(x)(x)2f(x)，

1

故y=x-2為偶函數(shù)，又y，在(,0)上為增函數(shù)，符合題意；

x2

41

對(duì)于②，yx3(x4)3定義域?yàn)镽，且為偶函數(shù)，在(0,)上為增函數(shù)，

故在(,0)上為減函數(shù)，不符題意；

333

對(duì)于③yx5，定義域?yàn)镽，設(shè)g(x)x5，則g(x)(x)5g(x)，

3

故yx5為奇函數(shù)，不符題意；

444

對(duì)于④yx5，定義域?yàn)閧xR|x0}，設(shè)F(x)x5，滿(mǎn)足F(x)(x)5F(x)，

4

故yx5為偶函數(shù)，在(0,)上為減函數(shù)，故在(,0)上為增函數(shù)，符合題意，

故答案為：①④

【變式1】（2023·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）冪函數(shù)fxm23m3xm在區(qū)間0,上單

調(diào)遞減，則下列說(shuō)法正確的是（）

A．m4B．fx是減函數(shù)

C．fx是奇函數(shù)D．fx是偶函數(shù)

【答案】C

2m

【詳解】函數(shù)fxm3m3x為冪函數(shù)，則m23m31，解得m4或m1.

當(dāng)m4時(shí)，fxx4在區(qū)間0,上單調(diào)遞增，不滿(mǎn)足條件，排除A；

當(dāng)m1時(shí)，fxx1在區(qū)間0,上單調(diào)遞減，滿(mǎn)足題意.

函數(shù)fxx1在,0和0,上單調(diào)遞減，但不是減函數(shù)，排除B；

1

因?yàn)楹瘮?shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且f(x)f(x)，

x

所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：C.

11

【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知2,1,,,1,2,3，若冪函數(shù)fxx奇函數(shù)，且

22

在0,上為嚴(yán)格減函數(shù)，則__________.

【答案】-1

【詳解】解：因?yàn)閮绾瘮?shù)fxx在0,上為嚴(yán)格減函數(shù)，

所以0，

1

所以2,1,，

2

1

又因?yàn)閮绾瘮?shù)fxx奇函數(shù)，且2,1,，

2

所以1，

故答案為：-1

題型10冪函數(shù)的奇偶性

【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)ym23m3xm1的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則m等于（）

A．1B．2C．1或2D．3

【答案】A

【詳解】由于函數(shù)是冪函數(shù)，所以m23m31，解得m1或m2.

當(dāng)m1時(shí)，y=x2，是偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，符合題意.

當(dāng)m2時(shí)，yx3，是奇函數(shù)，圖像不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，不符合題意.

所以m的值為1.

故選：A

【典例2】（2023秋·山東棗莊·高一棗莊八中?？计谀┮阎獌绾瘮?shù)fxm2m5xm1的圖像關(guān)于y

軸對(duì)稱(chēng).

(1)求m的值;

(2)若函數(shù)g(x)f(x)4f(x)，求gx的單調(diào)遞增區(qū)間.

【答案】(1)m3

(2)(2,0),(2,)

【詳解】（1）解:由題意知m2m51，解得m2，或m3．

又因?yàn)閒(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以f(x)為偶函數(shù)，從而m3．

所以，fxx2.

（2）解：由（1）知，g(x)f(x)4f(x)x24x2x24|x|，

當(dāng)x0時(shí)，g(x)x24|x|x24x，對(duì)稱(chēng)軸為x2，

所以g(x)在0,2上單調(diào)遞減，在2,上單調(diào)遞增．

當(dāng)x0時(shí)，g(x)x24|x|x24x，對(duì)稱(chēng)軸為x2，

所以g(x)在(,2)上單調(diào)遞減，在(2,0)上單調(diào)遞增．

所以，g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,0),(2,)．

2

【變式1】（2023春·河北保定·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)mR，若冪函數(shù)yxm2m1定義域?yàn)镽，且其圖

像關(guān)于y軸成軸對(duì)稱(chēng)，則m的值可以為（）

A．1B．4C．7D．10

【答案】C

【詳解】解：由題意知m22m10m1，

因?yàn)槠鋱D像關(guān)于y軸成軸對(duì)稱(chēng)，則m7.

故選：C．

【變式2】（2023春·江蘇南京·高一江蘇省高淳高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件①和②

的冪函數(shù)f(x)，條件：①f(x)是偶函數(shù)；②f(x)為0,上的減函數(shù)．則f(x)________．

【答案】x2(答案不唯一)

【詳解】設(shè)fxx，根據(jù)冪函數(shù)為偶函數(shù)，則為偶數(shù)，又f(x)為0,上單調(diào)遞減，故0，故可

取f(x)x2，

故答案為：x2（答案不唯一）

題型11根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

2

【典例1】（2023秋·浙江杭州·高一杭州市長(zhǎng)河高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎獌绾瘮?shù)fxn22n2xn2n

在0,上是減函數(shù)，則n的值為（）

A．3B．1C．3D．1或3

【答案】B

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx是冪函數(shù)，則n22n21，

所以n3或n1.

當(dāng)n3時(shí)，fxx15在0,上是增函數(shù)，不合題意.

當(dāng)n1時(shí)fxx1在0,上是減函數(shù)，成立.

故選：B.

【典例2】（2023春·四川廣安·高一?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)fxm2m5xm1mR在0,

上單調(diào)遞增．

(1)求m的值及函數(shù)fx的解析式；

2

(2)若函數(shù)gx3fx2ax1a在0,2上的最大值為3，求實(shí)數(shù)a的值．

【答案】(1)m2，fxx3；

(2)a2.

【詳解】（1）冪函數(shù)fxm2m5xm1mR在0,上單調(diào)遞增，

m2m51

故，解得m2，故fxx3；

m10

（2）由（1）知：fxx3，

22

所以gx3fx2ax1ax2ax1a，

所以函數(shù)gx的圖象為開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)xa；

由于gx在0,2上的最大值為3，

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，解得；

①a2gx0,2gxmaxg23a33a2

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故，解得；

②a0gx0,2gxmaxg01a3a2

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故2，解得

③0a2gx0,aa,2gxmaxgaa1a3

a1（舍去）或a2（舍去）．

綜上所述，a2．

【變式1】（2023秋·河南許昌·高三?？计谀┮阎瘮?shù)fxm2m1xm是冪函數(shù)，且在0,上

是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_____．

【答案】1

2m

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fxmm1x是冪函數(shù)，則m2m11，解得m2或m1，

又因?yàn)閒x在0,上是增函數(shù)，所以m0，所以m1.

故答案為：1

2

【變式2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）冪函數(shù)fxm23m3xm6m6在0,上單調(diào)遞減，則m的值為

______．

【答案】2

2

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)fxm23m3xm6m6是冪函數(shù)，

則有m23m31，解得m1或m2，

當(dāng)m1時(shí)，函數(shù)f(x)x在0,上單調(diào)遞增，不符合題意，

當(dāng)m2時(shí)，函數(shù)f(x)x2在0,上單調(diào)遞減，符合題意.

所以m的值為m2

故答案為：2

題型12根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式

【典例1】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)f(x)過(guò)點(diǎn)(2,2)，則滿(mǎn)足f(2a)f(a1)的實(shí)數(shù)a的取值

范圍是______．

3

【答案】[1,)

2

1

【詳解】可得冪函數(shù)f(x)x2，且函數(shù)在其定義域[0,)上單調(diào)遞增．

2a0

3

因?yàn)閒(2a)f(a1)，所以a10，解得1a，

2

2aa1

3

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,)．

2

3

故答案為：[1,)

2

22

【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）求不等式x133x13的解.

【答案】1,0

22

3232

【詳解】解：(x1)3(3x1)3等價(jià)于(x1)(3x1)，

則(x1)2(3x1)2，即x2x0，

解得1x0，

故答案為：1,0．

1

110

【變式1】（2023·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù)f(x)，若fa1f82a，

x

則a的取值范圍是__________.

【答案】(3,4)

1

1

1101

【詳解】由冪函數(shù)f(x)x10，可得函數(shù)fx的定義域?yàn)?0,)，且是遞減函數(shù)，

x10x

a182a

因?yàn)閒a1f82a，可得a10，解得3a4，

82a0

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(3,4).

故答案為：(3,4).

【變式2】（2023秋·湖南常德·高一漢壽縣第一中學(xué)?？计谀┤魞绾瘮?shù)fx過(guò)點(diǎn)4，2，則滿(mǎn)足不等

式f2afa1的實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．

3

【答案】1，

2

1

【詳解】設(shè)冪函數(shù)yfxx，其圖像過(guò)點(diǎn)4，2，則42，解得；

2

1

∴fxx2x，函數(shù)定義域?yàn)?,，在0,上單調(diào)遞增，

3

不等式f2afa1等價(jià)于2aa10，解得1a；

2

3

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是1,.

2

3

故答案為：1,

2

題型13根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小

1

【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知fx，若0ab1，則下列各式中正確的是（）

x2

1111

A．fafbffB．fffbfa

abab

1111

C．fafbffD．ffaffb

baab

【答案】B

111

【詳解】fxx2在0,上單調(diào)遞減，0ab1，故0ab1，

x2ba

11

故fffbfa.

ab

故選：B.

【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

33

(1)2，2.5；

7

7

(2)，18；

88

9

331

(3)14，14，14．

252

33

【答案】(1)22.5

7

7

18

(2)88

9

331

141414

(3)

522

33

【詳解】（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)yx3在,0上單調(diào)遞減，且22.5，所以22.5．

777

7

781188

（）因?yàn)閮绾瘮?shù)在上為增函數(shù)，且81，，所以11，所以

2y