2025版高考數(shù)學一輪復習第1章集合與常用邏輯用語第1講集合的概念與運算講義理含解析

PAGEPAGE11第1講集合的概念與運算[考綱解讀]1.了解集合的含義．體會元素與集合的關(guān)系，能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述詳細問題．2.理解集合間的相等與包含關(guān)系，會求集合的子集，了解全集與空集的含義．(重點)3.在理解集合間的交、并、補的含義的基礎(chǔ)上，會求兩個集合的并集與交集，會求給定子集的補集．(重點、難點)4.能運用Venn圖表達集合間的基本關(guān)系及基本運算．[考向預料]從近三年高考狀況來看，本講始終是高考中的熱點．預料2024年高考會以考查集合交、并、補的運算為主，結(jié)合不等式的解法，求函數(shù)的定義域、值域等簡潔綜合命題，試題難度不大，以選擇題形式呈現(xiàn).1．集合與元素(1)集合中元素的三個特征：eq\o(□,\s\up3(01))確定性、eq\o(□,\s\up3(02))互異性、eq\o(□,\s\up3(03))無序性．(2)元素與集合的關(guān)系有eq\o(□,\s\up3(04))屬于或eq\o(□,\s\up3(05))不屬于兩種，用符號eq\o(□,\s\up3(06))∈或eq\o(□,\s\up3(07))?表示．(3)集合的表示法：eq\o(□,\s\up3(08))列舉法、eq\o(□,\s\up3(09))描述法、eq\o(□,\s\up3(10))圖示法．(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*(或N＋)ZQR2．集合間的基本關(guān)系3．集合的基本運算4．集合的運算性質(zhì)(1)并集的性質(zhì)：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?eq\o(□,\s\up3(01))B?A.(2)交集的性質(zhì)：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?eq\o(□,\s\up3(02))A?B.(3)補集的性質(zhì)：A∪(?UA)＝eq\o(□,\s\up3(03))U；A∩(?UA)＝eq\o(□,\s\up3(04))?；?U(?UA)＝eq\o(□,\s\up3(05))A；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)．(4)若有限集A中有n個元素，則A的子集個數(shù)為eq\o(□,\s\up3(06))2n個，非空子集個數(shù)為eq\o(□,\s\up3(07))2n－1個，真子集有eq\o(□,\s\up3(08))2n－1個，非空真子集的個數(shù)為eq\o(□,\s\up3(09))2n－2個．

1．概念辨析(1)若1∈{x，x2}，則x＝±1.()(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．()(3){x|x≥2}＝{t|t≥2}．()(4)對于隨意兩個集合A，B，總有(A∩B)?A，A?(A∪B)．()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．小題熱身(1)若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，則A∩B＝()A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}答案A解析A∩B＝{x|－2<x<－1}．(2)設(shè)全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，則?U(A∪B)等于()A．{1,4}B．{1,5}C．{2,5}D．{2,4}答案D解析∵U＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，∴?U(A∪B)＝{2,4}．(3)已知集合A＝{1,3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，若B?A，則m＝________.答案0或3解析∵A＝{1,3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，B?A，∴m＝3或m＝eq\r(m)，∴m＝3或0或1，經(jīng)檢驗m＝0或3.(4)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)，y))，B＝{0，x2}，且A＝B，則集合A的子集為________．答案?，{0}，{4}，{0,4}解析由題意得eq\f(8,x)＝x2，y＝0，解得x＝2，所以A＝{0,4}，其子集為?，{0}，{4}，{0,4}．題型eq\a\vs4\al(一)集合的基本概念1．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a等于()A.eq\f(9,2)B.eq\f(9,8)C．0D．0或eq\f(9,8)答案D解析當a＝0時，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))，符合題意；當a≠0時，Δ＝(－3)2－4×a×2＝0，解得a＝eq\f(9,8)，此時A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))，符合題意．綜上知a＝0或eq\f(9,8).2．(2024·全國卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數(shù)為()A．9B．8C．5D．4答案A解析∵x2＋y2≤3，∴x2≤3，∵x∈Z，∴x＝－1,0,1，當x＝－1時，y＝－1,0,1；當x＝0時，y＝－1,0,1；當x＝1時，y＝－1,0,1，所以A中元素共有9個，故選A.3．若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，則實數(shù)a答案0或1解析因為－3∈A，所以a－3＝－3或2a－1＝－3或a2解得a＝0或a＝－1或a＝1.當a＝0時，A＝{－3，－1，－4}，符合題意；當a＝－1時，2a－1＝a2當a＝1時，A＝{－2,1，－3}，符合題意．綜上知a＝0或1.1．用描述法表示集合的兩個關(guān)鍵點(1)搞清晰集合中的代表元素是什么．如舉例說明1,3是數(shù)，舉例說明2是有序數(shù)對(或平面內(nèi)的點)．(2)看這些元素滿意什么限制條件．如舉例說明1，關(guān)于x的方程只有一個實根．舉例說明2，x，y是整數(shù)且滿意x2＋y2≤3.2．兩個易錯點(1)忽視集合中元素的互異性．如舉例說明3，求出a值后應留意檢驗．(2)忽視分類探討．如舉例說明1，要分a＝0與a≠0兩種狀況探討．1．設(shè)集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x?A}，則集合B中元素的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4答案A解析若x∈B，則－x∈A，所以x只可能取0，－1，－2，－3.逐一檢驗可知B＝{－3}，只有1個元素．2．已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，則下列表示正確的是()A．－1?A B．－11∈AC．3k2－1∈A D．－34?A答案C解析令k＝0得x＝－1，故－1∈A；令－11＝3k－1，解得k＝－eq\f(10,3)?Z，故－11?A；令－34＝3k－1，解得k＝－11∈Z，故－34∈A；對于3k2－1，因為k∈Z時，k2∈Z，所以3k2－1∈A.所以C項正確．題型eq\a\vs4\al(二)集合間的基本關(guān)系1．已知a，b∈R，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，則a2024＋b2024為()A．1B．0C．－1D．±1答案A解析∵eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，∴a≠0.∴b＝0，a2＝1，又∵a≠1，∴a＝－1，∴a2024＋b2024＝1.2．已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(kπ,4)＋\f(π,4)，k∈Z))))，集合N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(kπ,8)－\f(π,4)，k∈Z))))，則()A．MN B．NMC．M＝N D．以上都不對答案A解析∵eq\f(kπ,4)＋eq\f(π,4)＝eq\f(2k＋1,8)π，k∈Z，eq\f(kπ,8)－eq\f(π,4)＝eq\f(k－2,8)π，k∈Z，∴任取x∈M，有x∈N，且eq\f(π,8)∈N，但eq\f(π,8)?M，∴MN.3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，則實數(shù)m答案(－∞，3]解析因為B?A，所以①若B＝?，則2m－1<m＋1，此時m②若B≠?，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5.))解得2≤m≤3.由①②可得，符合題意的實數(shù)m的取值范圍為m≤3.條件探究1舉例說明3中的集合B改為“B＝{x|m≤x≤m＋1}”，其余不變，該如何求解？解B＝{x|m≤x≤m＋1}≠?，為使B?A，m須滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥－2，,m＋1≤5，))解得－2≤m≤4.條件探究2舉例說明3中的集合A改為“A＝{x|x<－2或x>5}”，如何求解？解因為B?A，所以①當B＝?時，即2m－1<m＋1時，m②當B≠?時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1>5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,2m－1<－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥2，,m>4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥2，,m<－\f(1,2)，))即m>4.綜上可知，實數(shù)m的取值范圍為(－∞，2)∪(4，＋∞)．1．推斷集合間關(guān)系的三種方法列舉法依據(jù)題中限定條件把集合元素表示出來，然后比較集合元素的異同，從而找出集合之間的關(guān)系．如舉例說明1結(jié)構(gòu)法從元素的結(jié)構(gòu)特點入手，結(jié)合通分、化簡、變形等技巧，從元素結(jié)構(gòu)上找差異進行推斷．如舉例說明2數(shù)軸法在同一個數(shù)軸上表示出兩個集合，比較端點之間的大小關(guān)系，從而確定集合與集合之間的關(guān)系．如舉例說明32．依據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)的策略(1)留意對集合是否為空集進行分類探討因為??A對隨意集合A都成立．如舉例說明3中2m－1<m＋1時，B＝?，B?A(2)借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化．(3)留意檢驗區(qū)間端點值，如舉例說明3，若將兩個集合改為A＝{x|－2<x≤5}，B＝{x|m＋1≤x<2m－1}，若B≠?，為使B?A，m須滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1>m＋1，,m＋1>－2，,2m－1≤5.))1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，則()A．B?AB．A＝BC．ABD．BA答案C解析由題意得A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，∴AB.2．已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)≥2B．a(chǎn)>2C．a(chǎn)<0D．a(chǎn)≤0答案A解析∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x≤a}，∴為使A?B，a須滿意a≥2.3．滿意{0,1,2}A?{0,1,2,3,4,5}的集合A的個數(shù)為________．答案7解析集合A除含元素0,1,2外，還至少含有3,4,5中的一個元素，所以集合A的個數(shù)等于{3,4,5}的非空子集的個數(shù)，即為23－1＝7.題型eq\a\vs4\al(三)集合的基本運算角度1集合的并、交、補運算1．(2024·天津高考)設(shè)集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，則(A∪B)∩C＝()A．{－1,1} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}答案C解析因為集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}，所以(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．2．(2024·皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考)已知集合A＝{y|y＝eq\r(x2－1)}，B＝{x|y＝lg(x－2x2)}，則?R(A∩B)＝()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B．(－∞，0)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D．(－∞，0]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))答案D解析因為A＝{y|y＝eq\r(x2－1)}＝[0，＋∞)，B＝{x|y＝lg(x－2x2)}＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，所以A∩B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，所以?R(A∩B)＝(－∞，0]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).角度2知集合的運算結(jié)果求參數(shù)3．設(shè)U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(?UA)∩B＝?，則m＝________.答案1或2解析A＝{－2，－1}，由(?UA)∩B＝?，得B?A.x2＋(m＋1)x＋m＝0可化為(x＋1)(x＋m)＝0，當m＝1時，B＝{－1}，符合題意；當m≠1時，B＝{－1，－m}，為使B?A成立，須有－m＝－2，即m＝2.綜上知m＝1或2.1．求集合交集、并集或補集的步驟2．知集合的運算結(jié)果求參數(shù)問題的兩個關(guān)鍵點(1)分析運算結(jié)果并進行恰當轉(zhuǎn)換．如舉例說明3中，由(?UA)∩B＝?，知B?A.(2)化簡集合為求參數(shù)創(chuàng)建有利條件．如舉例說明3中，A＝{－2，－1}．當m＝1時，B＝{－1}；當m≠1時，B＝{－1，－m}．1．已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)<0}，N＝{x||x|≤1}，則陰影部分(如圖)表示的集合是()A．[－1,1)B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D．(－3，－1)答案D解析由題意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，所以陰影部分表示的集合為M∩(?UN)＝(－3，－1)．2．(2024·全國卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，則?RA＝()A．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}答案B解析解不等式x2－x－2>0得x<－1或x>2，所以A＝{x|x<－1或x>2}，所以?RA＝{x|－1≤x≤2}，故選B.3．(2024·遼寧五校模擬)已知集合P＝{x|x2－2x－8>0}，Q＝{x|x≥a}，P∪Q＝R，則a的取值范圍是()A．(－2，＋∞) B．(4，＋∞)C．(－∞，－2] D．(－∞，4]答案C解析集合P＝{x|x2－2x－8>0}＝{x|x<－2或x>4}，Q＝{x|x≥a}，若P∪Q＝R，則a≤－2，即a的取值范圍是(－∞，－2]．題型eq\a\vs4\al(四)集合的新定義問題已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若對于隨意實數(shù)對(x1，y1)∈M，都存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，則稱集合M是“垂直對點集”．給出下列四個集合：①M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a