2024年高考數(shù)學一輪復習專題19同角三角函數(shù)基本關系式及誘導公式含解析

PAGEPAGE1專題19同角三角函數(shù)基本關系式及誘導公式最新考綱1.理解同角三角函數(shù)的基本關系式：sin2x＋cos2x＝1，eq\f(sinx,cosx)＝tanx.2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導出eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導公式.基礎學問融會貫穿1．同角三角函數(shù)的基本關系(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα(α≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z)．2．三角函數(shù)的誘導公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名變更，符號看象限【學問拓展】1．同角三角函數(shù)關系式的常用變形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.2．誘導公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變更．重點難點突破【題型一】同角三角函數(shù)關系式的應用【典型例題】α是第四象限角，tanα，則sinα＝（）A． B． C． D．【解答】解：∵α是第四象限角，，∴cosα，∴sinα．故選：B．

【再練一題】已知，若θ是其次象限角，則tanθ的值為（）A． B．﹣2 C． D．【解答】解：∵，∴sin2θ+cos2θ＝（）2+（）2＝1，解得：a＝0，或a＝4，∵θ為其次象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0．∴a＝4，∴可得：sinθ，cosθ，tanθ．故選：C．

思維升華(1)利用sin2α＋cos2α＝1可實現(xiàn)正弦、余弦的互化，開方時要依據(jù)角α所在象限確定符號；利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實現(xiàn)角α的弦切互化．(2)應用公式時留意方程思想的應用：對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(3)留意公式逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.【題型二】誘導公式的應用【典型例題】已知，則cos（60°﹣α）的值為（）A． B． C． D．【解答】解：cos（60°﹣α）＝sin[90°﹣（60°﹣α）]＝sin（30°+α），故選：C．

【再練一題】已知，則（）A．5 B．﹣5 C． D．【解答】解：∵，∴2，解得：tanα＝﹣5，∴．故選：C．

思維升華(1)誘導公式的兩個應用①求值：負化正，大化小，化到銳角為終了．②化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了．(2)含2π整數(shù)倍的誘導公式的應用由終邊相同的角的關系可知，要利用誘導公式一，然后再進行運算．【題型三】同角三角函數(shù)基本關系式和誘導公式的綜合應用【典型例題】已知cos（α），|α|，則tanα等于（）A．﹣2 B．2 C． D．【解答】解：∵cos（α）＝﹣sinα，|α|，∴sinα，cosα，∴tanα2．故選：A．

【再練一題】已知，θ在第四象限，則．【解答】解：∵，θ在第四象限，∴sinθ，∴sinθ．故答案為：．

思維升華(1)利用同角三角函數(shù)關系式和誘導公式求值或化簡時，關鍵是尋求條件、結論間的聯(lián)系，敏捷運用公式進行變形．(2)留意角的范圍對三角函數(shù)符號的影響．基礎學問訓練1．【河北省深州中學2024-2025學年高一下學期期末考試】若，則（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因為tan＝3，所以cos所以：.故選B.2．【四川省涼山州2024-2025學年高一上學期期末檢測】已知是第三象限角，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵α是第三象限角，tanα，sin2α+cos2α＝1，得sinα，故選：D．3．【安徽省淮北師范高校附屬試驗中學2024-2025學年高一下學期其次次月考】已知，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：∵，∴兩邊平方可得：，∴即故選：D.4．【甘肅省天水市第一中學2024-2025學年高一下學期其次次段考】的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故選A.5．若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題設可得，即．故選C．6．若角的終邊經(jīng)過點，則()A． B． C． D．【答案】C【解析】由誘導公式可得，又角的終邊經(jīng)過點，所以，所以．故選C．7．【廣西南寧市第三中學、柳州市高級中學2024-2025學年高二下學期聯(lián)考（第三次月考)】已知，則（）A． B．3 C． D．【答案】D【解析】因為，所以，，故選D.8．已知，則的值為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】==故選：C9．【寧夏石嘴山市第三中學2024-2025學年高一5月月考】下列不等式中，成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由正弦函數(shù)的性質和誘導公式，可得，所以A不正確；由，依據(jù)余弦函數(shù)的單調性，可得，所以，所以B正確；由，，因為，所以C不正確；由，所以D不正確，故選B.10．【2024年山西省太原市高三模擬試題（二)】已知，且，則下列結論正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】有，得，，，由于，所以，故選A.11．sin330°–cos240°+tan150°的值為__________．【答案】【解析】sin330°–cos240°+tan150°＝sin（360°–30°）–cos（180°+60°）+tan（180°–30°）＝–sin30°+cos60°–tan30°．故答案為：．12．已知sin（），則sin（2）＝__________．【答案】【解析】解：由sin（），可得=，即：，，即：，即：，故答案：.13．【甘肅省蘭州市第一中學2024-2025學年高一5月月考】已知，則的值是_______.【答案】0【解析】=.故答案為：014．【河南省南陽市第一中學2024-2025學年高一下學期第四次月考】設，用“<”把排序__________．【答案】【解析】，由于，且在上遞減，故，即，而，故.15．【四川省涼山州2024-2025學年高一上學期期末檢測】已知，則__________.【答案】【解析】∵=故答案為．16．【吉林省蛟河市一中2024-2025學年高一下學期第三次測試】設，則的最大值為_____【答案】【解析】令，則因為，所以原式可化為，因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以當時，.17．【寧夏石嘴山市第三中學2024-2025學年高一5月月考】若2，則_____．【答案】【解析】由題意知，得，代入，解得，所以，所以．故答案為：．18．【甘肅省會寧縣第一中學2024-2025學年高一下學期期中考試】已知角的終邊經(jīng)過點，且．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為已知角的終邊經(jīng)過點，且，所以有，求得；（2）由（1）可得，，原式===．19．已知2．（1）求tan（）的值；（2）求3sin2θ+4cos2θ的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵2，∴tanθ，∴tan2θ．∴tan（）．（2）由（1）知，tanθ，∴3sin2θ+4cos2θ＝6sinθcosθ+4（cos2θ–sin2θ）．20．【上海市華東師范高校其次附屬中學2024-2025學年高一下期中考試】已知．（1）求的值；（2）若為其次象限的角，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1），平方得，得，得．（2）若為其次象限的角，，，則．實力提升訓練1．【2024年甘肅省蘭州市高考數(shù)學一診】已知sinα+cosα=，sinα＞cosα，則tanα=______．【答案】【解析】∵，即2sinαcosα=．又cos2α+sin2α=1，且sinα＞cosα，∴sinα=，cosα=，tanα=．故答案為：．2．已知，則________________．【答案】或.【解析】由題意可得，兩邊平方可得，則，則或，所以或0．3．【內(nèi)蒙古第一機械制造（集團)有限公司第一中學2024-2025學年高一下學期期中考試】的內(nèi)角的對邊分別為，已知.則__________【答案】【解析】解：因為，所以，所以，因為，所以，解得：或，因為所以.4．【貴州省貴陽市2025屆高三5月適應性考試（二)】的內(nèi)角的對邊分別為，且，則__________．【答案】【解析】由題意結合正弦定理有：，即，整理變形可得：，，即.5．【福建省福州市三校聯(lián)盟（連江文筆中學、永泰城關中學、長樂高級中學)2024-2025學年高一下學期期中考試】已知，則的最小值為__________．【答案】【解析】因為，所以，，所以，當且僅當，即時等號成立．所以．6．【江西省宜春市2025屆高三4月模擬考試】函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【解析】解：f（x）＝x3+2024x﹣2024﹣x+1，可得f（x）＝﹣x3+2024﹣x﹣2024x+1，則f（x）+f（x）＝2，f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2，即為f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2＝f（x）+f（x），f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2對?θ∈R恒成立，可令x＝sinθ+cosθ，則f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜f（sinθ+cosθ）+f（1﹣sinθ﹣cosθ），可得f（sin2θ﹣t）＜f（1﹣sinθ﹣cosθ）恒成立，由于f（x）在R上遞增，f（x）的圖象向右平移個單位可得f（x）的圖象，則f（x）在R上遞增，可得sin2θ﹣t＜1﹣sinθ﹣cosθ恒成立，即有t＞sin2θ+sinθ+cosθ﹣1，設g（θ）＝sin2θ+sinθ+cosθ﹣1＝（sinθ+cosθ）2+（sinθ+cosθ）﹣2再令sinθ+cosθ＝m，則msin（θ），則，則g（m）＝m2+m﹣2，其對稱軸m，故當m時，g（m）取的最大值，最大值為2．則t，故答案為：（，+∞）7．【安徽省示范中學2024-2025學年高一下學期聯(lián)考】已知.（1）化簡；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）（2）因為，即，所以整理得：，則，即8．【四川省瀘州市2024-2025學年高一上學期期末統(tǒng)一考試】已知．（1）若在第三象限，求的值．（2）求的值．【答案】（1）；（2）-3.【解析】由于．所以，又在第三象限，故：，，則：