《直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式復(fù)習(xí)課》教學(xué)設(shè)計

1/14直線的傾斜角與斜率直線方程直線的傾斜角與斜率直線方程直線直線方程的幾種形式直線系問題對稱問題傾斜角與斜率的定義斜率公式平行與垂直的關(guān)系平行直線間的距離點(diǎn)與直線的距離距離（名師：梁波）一、思維導(dǎo)圖二、例題：例1、過點(diǎn)的直線被兩平行直線和截得的線段中點(diǎn)在直線上，求直線的方程．【知識點(diǎn)】直線方程【數(shù)學(xué)思想】方程思想【解題過程】經(jīng)驗證直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則直線的方程為，由解得：；由解得：又，解得，所以方程為：.【思路點(diǎn)撥】列方程分別解出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)在直線上解未知數(shù)．【答案】例2、已知射線和點(diǎn),試在上求一點(diǎn)，使得由所在直線和及直線在第一象限圍成的面積最小，并寫出此時直線的方程.【知識點(diǎn)】直線特征，直線方程【數(shù)學(xué)思想】函數(shù)思想【解題過程】設(shè)，則的方程為：，由得，又，（令），當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，此時直線方程為：.【思路點(diǎn)撥】建立面積的函數(shù)關(guān)系式．【答案】面積最小值為40，此時直線方程為：.例3、直線和軸，軸分別交于點(diǎn)，以線段為邊在第一象限內(nèi)作等邊，如果在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)使得和的面積相等，求的值.【知識點(diǎn)】直線特征，直線方程【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】直線的傾斜角為，直線與x軸和y軸分別交于A和B(0,1)，C點(diǎn)在第一象限，畫出圖，觀察發(fā)現(xiàn)：直線BC的傾斜角為，直線AC垂直與x軸，則直線BC為：,直線AC為：，直線BC與直線AC相交于C點(diǎn)，聯(lián)立方程得：，P點(diǎn)在第一象限，要使得,則點(diǎn)P必在平行于直線AB且過點(diǎn)C的直線上，則直線CP為：，把代入方程，m=.【思路點(diǎn)撥】從圖形分析等邊三角形的條件，進(jìn)而得到直線的傾斜角與斜率，再分析面積相等，則點(diǎn)P必在平行于直線AB且過點(diǎn)C的直線上．【答案】m=.章末檢測一、選擇題1．在x軸與y軸上截距分別為－2,2的直線的傾斜角為()A．45°B．135°C．90°D．180°答案：A．解析：【知識點(diǎn)】直線特征的概念．【解題過程】在x軸與y軸上截距分別為－2,2，則直線斜率為-1．點(diǎn)撥：根據(jù)關(guān)系求值．2．直線x＋ay－6＝0和直線(a－4)x－3y＋2a＝0平行，則a的值是()A．1B．－1C．1或3D．－1或3答案：A.解析：【知識點(diǎn)】兩直線平行的關(guān)系．【解題過程】，當(dāng)a＝0時，兩直線方程分別為x＋6＝0和－4x－3y＝0，不平行；當(dāng)a≠0時，eq\f(a－4,1)＝eq\f(－3,a)≠eq\f(2a,－6)，解得a＝1.點(diǎn)撥：根據(jù)關(guān)系建立方程，求值．3．直線AB的斜率為2，其中點(diǎn)A(1，－1)，點(diǎn)B在直線y＝x＋1上，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是()A．(4,5)B．(5,7)C．(2,1)D．(2,3)答案：A解析：【知識點(diǎn)】兩點(diǎn)間連線的斜率關(guān)系．【解題過程】根據(jù)題意，點(diǎn)B在直線y＝x＋1上，設(shè)B的坐標(biāo)為(x，x＋1)，則直線AB的斜率k＝eq\f(x＋2,x－1)＝2，解得x＝4，即B的坐標(biāo)為(4,5)，故選A．點(diǎn)撥：根據(jù)關(guān)系建立方程，求值．4．下列說法的正確的是（）A．經(jīng)過定點(diǎn)的直線都可以用方程表示B．經(jīng)過定點(diǎn)的直線都可以用方程表示C．不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用方程表示D．經(jīng)過任意兩個不同的點(diǎn)的直線都可以用方程來表示答案：D解析：【知識點(diǎn)】直線的方程．【解題過程】根據(jù)直線方程的特征．點(diǎn)撥：考慮斜率不存在的關(guān)系5．過點(diǎn)(1,2)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是()A．y＝2xB．x＋y－3＝0C．x＋y－3＝0或y＝2xD．x＋y－3＝0或x－y＋1＝0答案：C解析：【知識點(diǎn)】直線的方程，【解題過程】當(dāng)所求直線過原點(diǎn)時，它在兩坐標(biāo)軸上的截距都是0，適合題意，此時直線方程為y＝2x；當(dāng)所求直線不過原點(diǎn)時，可設(shè)它的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，把點(diǎn)(1,2)的坐標(biāo)代入得eq\f(3,a)＝1，解得a＝3，故此時直線的方程為x＋y－3＝0.點(diǎn)撥：理解截距相等6．設(shè)兩條直線的方程分別為，已知是方程的兩個實根，且，則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是（）A.B.C.D.答案：D解析：【知識點(diǎn)】距離公式，韋達(dá)定理．【解題過程】距離，，點(diǎn)撥：建立關(guān)系，分析范圍7．兩平行線l1：x－y＋2＝0與l2：2x＋ay＋c＝0(c＞0)之間的距離是eq\r(2)，則eq\f(a－2,c)的值是()A.eq\f(1,2)B．1C．－1D．－eq\f(1,2)答案：D解析：【知識點(diǎn)】距離公式．【解題過程】解析：根據(jù)兩直線平行得：eq\f(1,2)＝eq\f(－1,a)≠eq\f(2,c)，所以a＝－2.又兩直線的距離是eq\r(2)，所以有：eq\r(2)＝eq\f(|c－4|,\r(22＋22))，即|c－4|＝4，所以c＝8或c＝0(舍去)，所以a＝－2，c＝8代入eq\f(a－2,c)＝eq\f(－2－2,8)＝－eq\f(1,2).點(diǎn)撥：建立關(guān)系，分析范圍8．兩條直線l1：eq\f(x,a)－eq\f(y,b)＝1和l2：eq\f(x,b)－eq\f(y,a)＝1在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可以是()答案：A解析：【知識點(diǎn)】圖像與斜率的關(guān)系．【解題過程】分析a,b的正負(fù)，考慮斜率的正負(fù)點(diǎn)撥：數(shù)形結(jié)合9．已知點(diǎn)A(－3,8)和B(2,2)，在x軸上求一點(diǎn)M，使|AM|＋|BM|取最小值，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為()A．(－1,0)B．(1,0)C．(4,0)D．(－4,0)答案：B解析：【知識點(diǎn)】數(shù)形結(jié)合，點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)【解題過程】A(－3,8)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)為N(－3,－8)，直線NB與x軸的交點(diǎn)為(1,0)．點(diǎn)撥：數(shù)形結(jié)合10．經(jīng)過兩直線和的交點(diǎn)，且和原點(diǎn)相距為1的直線的條數(shù)為（）A．0B．1C．2D．3答案：C解析：【知識點(diǎn)】數(shù)形結(jié)合【解題過程】兩直線和的交點(diǎn)為N(1，3)，N與原點(diǎn)的距離為，結(jié)合圖像，有兩條直線．點(diǎn)撥：數(shù)形結(jié)合11．若動點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動，則線段AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為()A．2eq\r(3)B．3eq\r(3)C．3eq\r(2)D．4eq\r(2)答案：C解析：【知識點(diǎn)】數(shù)形結(jié)合【解題過程】由題意知，M點(diǎn)的軌跡為平行于直線l1，l2且到l1，l2距離相等的直線l，故其方程為x＋y－6＝0，∴M到原點(diǎn)的距離的最小值為d＝eq\f(6,\r(2))＝3eq\r(2).點(diǎn)撥：數(shù)形結(jié)合12．如圖所示，已知A(4,0)，B(0,4)，從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程是()A．2eq\r(10)B．6C．3eq\r(3)D．2eq\r(5)答案：A解析：【知識點(diǎn)】對稱問題【解題過程】分別求P關(guān)于直線x＋y＝4及y軸的對稱點(diǎn)，為P1(4,2)、P2(－2,0)，由物理知識知，光線所經(jīng)路程即為|P1P2|＝．點(diǎn)撥：數(shù)形結(jié)合二、填空題13．若直線l1的傾斜角為30°，l1⊥l2，則直線l2的斜率為________．【知識點(diǎn)】相互垂直的直線間的斜率關(guān)系【解題過程】l1，l2的斜率之積為－1.點(diǎn)撥：建立等式答案：－eq\r(3)14．已知直線l與直線3x＋4y－1＝0平行，且與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形面積是6，則直線l的方程為________．答案：3x＋4y＋12＝0或3x＋4y－12＝0解析：【知識點(diǎn)】相互平行的直線間的斜率關(guān)系【解題過程】設(shè)直線l的方程為3x＋4y＋m＝0(m≠－1)，則直線l與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是，，所以有eq\f(1,2)××＝6，解得m＝±12，即直線l的方程是3x＋4y＋12＝0，或3x＋4y－12＝0.點(diǎn)撥：設(shè)出平行直線建立等式15．若，滿足，則直線過定點(diǎn)__________．答案：解析：【知識點(diǎn)】直線過定點(diǎn)問題【解題過程】，則直線，過定點(diǎn)點(diǎn)撥：消去一個參數(shù)，變成含有一個參數(shù)的直線16．定義點(diǎn)到直線的有向距離為.已知點(diǎn)到直線的有向距離分別是，給出以下命題：①若，則直線與直線平行；②若，則直線與直線平行；③若，則直線與直線垂直；④若，則直線與直線相交；其中正確命題的序號是_________.答案：④解析：【知識點(diǎn)】新定義，新信息問題【解題過程】根據(jù)定義逐一帶入驗證選項的正確性點(diǎn)撥：根據(jù)定義與條件推理三、解答題17．求過直線l1：2x＋y－5＝0，l2：3x－y－5＝0的交點(diǎn)P，且平行于直線x＋3y－3＝0的直線方程．答案：x＋3y－5＝0解析：【知識點(diǎn)】直線的交點(diǎn)問題，直線間平行的關(guān)系【解題過程】：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0,3x－y－5＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝1))，再設(shè)x＋3y＋c＝0，則c＝－5x＋3y－5＝0為所求．點(diǎn)撥：先求出交點(diǎn)，再求出直線18．已知直線．（1）若，求實數(shù)的值；（2）當(dāng)時，求直線與之間的距離．答案：（1）（2）解析：【知識點(diǎn)】直線間平行的關(guān)系與垂直關(guān)系【解題過程】（1）則（2）當(dāng)時，有，經(jīng)檢驗，不符條件所以：所以此時點(diǎn)撥：根據(jù)關(guān)系建立等式19．已知△ABC的頂點(diǎn)A(5,1)，AB邊上的高線CH所在的直線方程為x－2y－5＝0，AC邊上的中線BM所在的直線方程為2x－y－1＝0，求（1）頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）BC邊的垂直平分線方程．答案：（1）(3,5)；（2）21x＋24y＋43＝0.解析：【知識點(diǎn)】直線方程與直線間平行的關(guān)系與垂直關(guān)系【解題過程】：(1)∵kCH＝eq\f(1,2)，AB⊥CH，∴kAB＝－2，∴AB邊所在直線方程為y－1＝－2(x－5)，整理得2x＋y－11＝0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－11＝0，,2x－y－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝5，))B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,5)，(2)設(shè)C(x0，y0)，則M(eq\f(x0＋5,2)，eq\f(y0＋1,2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0－2y0－5＝0，,2×\f(x0＋5,2)－\f(y0＋1,2)－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(19,3)，,y0＝－\f(17,3)，))∴C(－eq\f(19,3)，－eq\f(17,3))，則BC中點(diǎn)為(－eq\f(5,3)，－eq\f(1,3))，∴kBC＝eq\f(8,7)，BC垂直平分線的斜率為k＝－eq\f(7,8)，BC垂直平分線的方程為y＋eq\f(1,3)＝－eq\f(7,8)(x＋eq\f(5,3))，整理得21x＋24y＋43＝0.點(diǎn)撥：準(zhǔn)確解讀幾何條件：高，垂直平分線20.已知直線l1：5x－2y＋3m(3m＋1)＝0和直線l2：2x＋6y－3m(9m＋20)＝0，求：（1）兩直線l1，l2交點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）m取何值時，直線l1與l2的交點(diǎn)到直線4x－3y－12＝0的距離最短？最短距離是多少？答案：（1）P(3m，eq\f(9,2)m2＋9m)；（2）最小值為dmin＝eq\f(47,30).解析：【知識點(diǎn)】直線方程與直線間距離【解題過程】：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x－2y＋3m3m＋1＝0,2x＋6y－3m9m＋20＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3m,y＝\f(9,2)m2＋9m))，∴兩直線的交點(diǎn)P(3m，eq\f(9,2)m2＋9m)．(2)設(shè)點(diǎn)P到直線4x－3y－12＝0的距離為d，則＝eq\f(3,10)|9m2＋10m＋8|＝eq\f(27,10)|(m＋eq\f(5,9))2＋eq\f(47,92)|，∴當(dāng)m＝－eq\f(5,9)時，點(diǎn)P到直線4x－3y－12＝0的距離d有最小值，最小值為dmin＝eq\f(47,30).點(diǎn)撥：建立函數(shù)關(guān)系求最值21.過點(diǎn)的直線與軸、軸正半軸交于兩點(diǎn)，求滿足下列條件的直線的方程，為坐標(biāo)原點(diǎn)，（1）面積最小時；（2）最小時；（3）最小時.答案：（1）；（2），（3）,解析：【知識點(diǎn)】直線方程與函數(shù)最值【解題過程】由題意，設(shè)，直線方程為.又直線過點(diǎn)，得（1）當(dāng)面積最小時，即最小,得當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，此時直線的方程為，即（2）當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時直線的方程為，即.（3）當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時