遼寧省鞍山市2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷 含解析

2024—2025學(xué)年度下學(xué)期月考高三數(shù)學(xué)時間：120分鐘滿分：150分第I卷（選擇題，共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)集合并集定義計算即可.【詳解】由，解得，所以集合，所以，所以.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運算法則及共軛復(fù)數(shù)的定義得到，即可求出結(jié)果.【詳解】由，得到，所以，其對應(yīng)點，位于第三象限.故選：C.3.已知向量，，若與垂直，則等于（）A. B. C.3 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)與垂直，可得，即可求出，再根據(jù)模的坐標公式即可得解.【詳解】，因為與垂直，所以，解得，所以.故選：B.4.某校高三共有200人參加體育測試，根據(jù)規(guī)則，82分以上的考生成績等級為，則估計獲得的考生人數(shù)約為（）A.100 B.75 C.50 D.25【答案】C【解析】【分析】首先計算出82分以上的考生的頻率，即可得獲得的考生人數(shù).【詳解】由頻率分布直方圖可得82分以上的考生的頻率約為，所以獲得的考生人數(shù)約為人，故選：C.5.已知是等比數(shù)列的前n項和，，，則（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)求得，，即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，可得，則，所以．故選：B.6.黃地綠彩云龍紋盤是收藏于中國國家博物館的一件明代國寶級瓷器．該龍紋盤敞口，弧壁，廣底，圈足．器內(nèi)施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并填綠彩，美不勝收．黃地綠彩云龍紋盤可近似看作是圓臺和圓柱的組合體，其口徑，足徑，高，其中底部圓柱高，則黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為（）（附：的值取3，）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求圓臺母線長，再代入圓臺和圓柱側(cè)面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)該圓臺的母線長為，兩底面圓半徑分別為，（其中），則，，，所以，故圓臺部分的側(cè)面積為，圓柱部分的側(cè)面積為，故該黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為.故選：B.7.已知拋物線的焦點為，點在上．若以為圓心，為半徑的圓被軸截得的弦長為，則該圓的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義，可以得到該圓的半徑為，再利用弦長公式，結(jié)合已知即可解出，最后根據(jù)該圓的半徑計算面積即可.【詳解】由于在上，故，即，所以.根據(jù)拋物線的定義，就是點到直線的距離，從而該圓的半徑為.由于圓心到軸距離為，故該圓被軸截得的弦長為.從而據(jù)已知有，故，解得.所以該圓的半徑為，故面積為.故選：C.8.已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】利用已知條件求出切點的橫坐標，從而得到，利用基本不等式即可求解.【詳解】由于直線與曲線相切，設(shè)切點為，且，所以，則切點的橫坐標，則，即.又，所以，即，當且僅當時取等號，所以的最小值為1.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)的最小正周期為，則下列說法正確的有（）A.的圖象可由的圖象平移得到B.在上單調(diào)遞增C.圖象的一個對稱中心為D.圖象的一條對稱軸為直線【答案】BD【解析】【分析】先由輔助角公式和周期公式計算得到，由圖象平移的性質(zhì)可得A錯誤；由整體代入結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可得B正確；代入可得C錯誤；整體代入結(jié)合余弦函數(shù)對稱軸的性質(zhì)可得D正確；【詳解】，因為最小正周期為，所以，所以，A：由以上解析式可得的圖象不可由的圖象平移得到，故A錯誤；B：當時，，由余弦函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，故B正確；C：，故C錯誤；D：當時，，此時為最小值，所以圖象的一條對稱軸為直線，故D正確；故選：BD.10.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過點的直線與的左支相交于，兩點，若，且，則（）A. B.C.的離心率為 D.直線的斜率為【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)，，結(jié)合雙曲線的定義與勾股定理可以求得的值，即可判斷出A，B選項；再結(jié)合勾股定理可以求得的關(guān)系，再求出離心率；求直線的斜率，在直角三角形中，用斜率的定義求正切值可以求得直線的斜率.【詳解】如圖，由，可設(shè)，.因為，所以.設(shè)，，則，，，解得，則，，所以，故A選項正確；，故B選項錯誤；在中，由，得，則，從而的離心率為，故C選項正確.又，所以直線的斜率為，故D選項正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，是函數(shù)的一個極值點，則下列說法正確的是（）A. B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.過點能作兩條不同直線與相切 D.函數(shù)有5個零點【答案】AD【解析】【分析】求得，根據(jù)，可判定A正確；由，利用導(dǎo)數(shù)的符號求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可判定B錯誤；設(shè)過點且與函數(shù)相切的切點為，求得切線方程，列出方程求得的值，可判定C錯誤；令，作出函數(shù)的圖象，得到，進而的函數(shù)零點的個數(shù)，可判定以D正確．【詳解】對于A中，由函數(shù)，可得，因為是函數(shù)的一個極值點，可得，解得，經(jīng)檢驗適合題意，所以A正確；對于B中，由，令，解得或，當時，；當時，；當時，，故在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，所以B錯誤；對于C中，設(shè)過點且與函數(shù)相切的切點為，則該切線方程為，由于切點滿足直線方程，則，整理得，解得，所以只能作一條切線，所以C錯誤；對于D中，令，則的根有三個，如圖所示，，所以方程有3個不同根，方程和均有1個根，故有5個零點，所以D正確．故選：AD．第II卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為___________.【答案】【解析】【分析】利用列舉法把互質(zhì)的2個數(shù)找出來，然后利用古典概型求概率的公式求概率即可.【詳解】從2至8的整數(shù)有2,3,4,5,6,7,8，互質(zhì)的兩個數(shù)有2和3,2和5,2和7,3和4,3和5,3和7,3和8,4和5,4和7,5和6,5和7,5和8,6和7,7和8，共14對，所以隨機取2個數(shù)，互質(zhì)的概率為.故答案：.13.已知，則________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)正弦和角公式得到，進而求出，利用二倍角公式求出答案.【詳解】因為，而，因此，則，所以.故答案為：14.已知等差數(shù)列的公差，首項，是與的等比中項，記為數(shù)列的前項和，則______【答案】105【解析】【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)得到方程，即可求出公差，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算可得.【詳解】等差數(shù)列中，，是與的等比中項，設(shè)公差為，所以，即，解得或（不合題意，舍去）；所以．故答案為：．15.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角C大?。唬?）若，的面積為，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角形的面積公式及余弦定理變形整理可得答案；（2）先利用面積公式求，再利用余弦定理求，則面積可求.【小問1詳解】因為，又，所以，整理得，即，因為，所以，所以，則；【小問2詳解】由（1）得，得，所以，所以，所以的周長為.16.如圖，在四棱臺中，底面是中點．底面為直角梯形，且．（1）證明：直線平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意先證平面，進而可得，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)線面垂直的判定定理分析證明；（2）建系，分別求平面、平面的法向量，利用空間向量求二面角.【小問1詳解】因為底面，底面，則，由題意可知：，且平面，所以平面，且平面，可得，不妨設(shè)，由題意可得：，可知：，即，且，平面，所以直線平面.【小問2詳解】如圖，以A為坐標原點建立空間直角坐標系，不妨設(shè)，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，可得，設(shè)二面角為，則，所以二面角的正弦值.17.甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第次投籃人是甲的概率；（3）已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求出；（2）設(shè)，由題意可得，根據(jù)數(shù)列知識，構(gòu)造等比數(shù)列即可解出；（3）先求出兩點分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．【小問1詳解】記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.【小問2詳解】設(shè)，依題可知，，則，即，構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，解得，則，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，即．【小問3詳解】因為，，所以當時，，故．【點睛】本題第一問直接考查全概率公式的應(yīng)用，后兩問的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)列的基本知識求解．18.已知橢圓的右焦點為，且該橢圓過點，直線l交橢圓E于A，B兩點.（1）求橢圓E的方程；（2）若AB的中點坐標為，求直線l的方程；（3）若直線l方程為，過A、B作直線的垂線，垂足分別為P、Q，點R為線段PQ的中點，求證：四邊形ARQF為梯形.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的方程.（2）利用點差法求得直線的斜率，進而求得直線的方程.（3）聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，計算，以及AF與RQ，從而判斷出四邊形ARQF為梯形.【小問1詳解】由題得，將代入得：，橢圓E的方程為.【小問2詳解】設(shè)，則，且，兩式相減得：，可得，l方程為，即.【小問3詳解】由得：，且，，∴，又直線的斜率存在，AF與RQ不平行，∴四邊形ARQF為梯形.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)已知條件求得，和是兩個未知參數(shù)，要求出兩個參數(shù)的值，需要兩個已知條件，如本題中“橢圓的右焦點以及橢圓所過點”兩個已知條件，再結(jié)合即可求得，從而求得橢圓的標準方程.19.記，若，滿足：對任意，均有，則稱為函數(shù)在上“最接近”直線．已知函數(shù)．（1）若，證明：對任意；（2）若，證明：在上的“最接近”直線為：，其中且為二次方程的根．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）首先求，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合“最接近”直線的定義，分情況分析證明；（2）首先設(shè)函數(shù)，再令，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值，并結(jié)合并結(jié)合“最接近”直線的定義，分析證明.【小問1詳解】由題意，則當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，，在區(qū)間上的最大值為，根據(jù)函數(shù)的圖象特點，可知對任意，均有，，下面討論的大?。孩偃糁辽儆幸粋€大于等于1，則，②若兩個都小于1，則，因為是直線，故對任意，