大題12+應用數(shù)學歸納法和圖像法解決多次碰撞問題（原卷版）

大題12應用數(shù)學歸納法和圖像法解決多次碰撞問題撞問題”的考查將延續(xù)“重邏輯推演、強數(shù)學整合、拓實際應用”建模與數(shù)學工具的深度融合能力。備考需以遞推思想為核心，強化力，同時關注材料科學與智能科技熱點，做到“以數(shù)解物，以理馭可以多關注：如乒乓球連續(xù)彈跳、多米諾骨牌碰撞連鎖反應 時將質(zhì)量為m的物塊A從距離物塊B斜上方L處由靜止釋放，t=9t0時，物塊A、B發(fā)生第一次碰撞，t=19t0時，二者發(fā)生第二次碰撞，在兩次碰撞間物塊A的v-t圖線如圖乙所示（其中v0、t0均為未知量若每次碰撞均為彈性碰撞且碰撞時間極短，兩物塊均可視為質(zhì)點且與斜面間的最大靜摩擦力均等于滑動摩擦力。2(1)求物塊A沿斜面上滑與下滑加速度大小的比值；(2)求第一次碰撞后物塊A沿斜面向上運動的最大距離；(3)已知物塊B的質(zhì)量M=17m，且A、B物塊每次碰撞前物塊B均已經(jīng)停止運動，求物塊B沿斜面下滑的最大距離。例2.在光滑水平地面上有一凹槽A，中央放一小物塊B，物塊與左右兩邊槽壁的距離如圖所示，L為1.0m，凹槽與物塊的質(zhì)量均為m，兩者之間的動摩擦因數(shù)μ為0.05，開始時物塊靜止，凹槽以v0＝5m/s的初速度向右運動，設物塊與凹槽槽壁碰撞過程中沒有能量損失，且碰撞時間不計。g取10m/s2。求：(1)物塊與凹槽相對靜止時的共同速度；(2)從凹槽開始運動到兩者相對靜止物塊與右側(cè)槽壁碰撞的次數(shù)；(3)從凹槽開始運動到兩者剛相對靜止所經(jīng)歷的時間及該時間內(nèi)凹槽運動的位移大小。12025湖南長沙一模）人們越來越深刻地認識到冰山對環(huán)境的重要性，冰山的移動將給野生動物帶來一定影響。為研究冰山移動過程中表面物體的滑動，小星找來一個足夠長的水槽，將質(zhì)量為M長為L的車廂放在水槽中模擬冰山，車廂內(nèi)有一個質(zhì)量為m(m<M)、體積可以忽略的滑塊。車廂的上下表面均光滑，車廂與滑塊的碰撞均為彈性碰撞且忽略碰撞的時間。開始時水槽內(nèi)未裝水，滑塊與車廂左側(cè)的距離為d。在車廂上作用一個大小為F，方向水平向右的恒力，當車廂即將與滑塊發(fā)生第一次碰撞時撤去水平恒力。(1)求車廂即將與滑塊發(fā)生第一次碰撞時車廂的速度v0的大?。?2)求從車廂與滑塊發(fā)生第一次碰撞到發(fā)生第二次碰撞的過程中，車廂的位移xM；(3)若在水槽中裝入一定深度的水，車廂在水槽中不會浮起。開始時滑塊與車廂左側(cè)的距離為d，由于外界碰撞，車廂在極短時間內(nèi)速度變?yōu)関0'，方向水平向右。車廂移動過程中受到水的阻力大小與速率的關系為f=kv（k為已知常數(shù)除第一次碰撞以外，以后車廂與滑塊之間每次碰撞前車廂均已停止。求全程車廂通過的總路程s。例32024重慶模擬預測）如圖所示，粗糙絕緣水平面上方，豎直線MN右側(cè)空間存在水平向右的勻強電場，完全相同的多個不帶電絕緣滑塊沿電場方向依次排列在一條直線上，編號依次為2、3、4……它們的間距均為L，2號滑塊與MN邊界距離也為L。另一個編號為1的帶正電滑塊以初速度v0從左邊界進入電場，所有滑塊的質(zhì)量都為m，與水平面間的動摩擦因數(shù)為滑塊1所受電場力恒為，所有滑塊均在一條直線上且可視做質(zhì)點，滑塊碰后均會粘在一起。已知重力加速度為g?？赡苡玫降臄?shù)學公式有求：(1)滑塊1剛進入電場時的加速度大??；(2)滑塊1、2碰撞過程中損失的機械能；(3)能發(fā)生碰撞的滑塊的最大編號。4例4.（2024湖南永州一模）如圖所示，物塊A、B質(zhì)量分別為mA=2kg,mB=1kg，用輕繩相連并用勁度系數(shù)k=500N/m的輕質(zhì)彈簧系住掛在天花板上靜止不動。B正下方有一個半徑為R=0.6m的四分之一光滑固定圓弧軌道，其頂點a距離物塊B的高度h=0.2m。某時刻A、B間的繩子被剪斷，然后A做周期T=0.4s的簡諧運動，B下落并從a點平滑地進入光滑固定圓弧軌道。當A第二次到達平衡位置時，B恰好運動到圓弧末端與質(zhì)量為mC=0.6kg的滑塊C相碰結(jié)合為滑塊D。D平滑的滑上與圓弧末端等高的傳送帶，傳送帶的水平長度為L=1m、以v0=1m/s的速度順時針轉(zhuǎn)動，D與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.2。傳送帶右端有一等高的固定水平平臺，平臺上表面光滑，平臺上靜置著2024個相距較近的質(zhì)量為m1=3.2kg的小球，D能夠平滑地滑上平臺，且D與小球、小球與小球之間的碰撞均為彈性正碰（A、B、D、小球均可以看作質(zhì)點，重力加速度g=10m/s2，忽略空氣阻力）。求：(1)物塊A做簡諧運動的振幅；(2)光滑固定圓軌道對物塊B的沖量大?。?3)整個運動過程中D與傳送帶之間因摩擦產(chǎn)生的熱量。22024江西二模）如圖所示，質(zhì)量均為m的n個小物塊等間距地放置在傾角為θ的足夠長的斜面上，斜面與物塊間的動摩擦因數(shù)均為μ=2tanθ,相鄰物塊間距為L?，F(xiàn)給物塊1一個瞬時沖量I，使其向下運動與物塊2碰撞并粘在一起，之后向下運動再與物塊3碰撞并粘在一起……碰撞時間極短，物塊均可看成質(zhì)點，不計空氣阻力，重力加速度為g，已知5（1）物塊1和2碰撞后瞬間的速度大?。唬?）從物塊1開始運動到物塊n-1和n碰撞前瞬間，運動的物塊克服摩擦力做的功；（3）為使第n個物塊能向下運動，求給物塊1的瞬時沖量I應滿足的條件。124-25廣東湛江期中）如圖所示，在光滑固定水平圓環(huán)中有兩個可看成質(zhì)點的小球，小球a位于A點，小球b位于B點，AB是圓環(huán)的一條直徑，ma=4mb，圓環(huán)的周長L=10m，剛開始兩球都靜止，現(xiàn)給小球a一方向垂直AB、大小為10m/s的速度v，兩球碰撞都是彈性碰撞，且碰撞時間極短。(1)分別求出第一次碰撞后瞬間兩球的速度大小va、vb；(2)求從小球a、b第一次相碰到第二次相碰的時間間隔t；(3)求小球a從開始運動到與小球b第100次相碰過程中運動的總路程s0。22024山東濰坊二模）如圖所示，空間內(nèi)存在水平向右的勻強電場（圖中未畫出電場強度E=250V/m，絕緣的水平面上有一均勻帶電的長板A，右側(cè)有一絕緣擋板，長板A的上表面光滑，下表面與水平面間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，一絕緣的物塊B靜置在長板的左端。長板A與物塊B質(zhì)量均為m=1kg，長板A的長度l=0.48m，長板A帶有q=1.6×10-2C的正電荷。某時刻對物塊B施加一個水平向右的恒力F=6N，運動過程中物塊B與擋板的碰撞均為彈性碰撞且碰撞時間極短，水平面足夠長，電場區(qū)域足夠大，運動過程中長板A所帶電荷量及電荷分布不發(fā)生變化，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取10m/s2。求：（1）物塊B與檔板第一次碰撞后，長板A與物塊B的速度vA和vB；6（2）物塊B從開始到即將與擋板發(fā)生第二次碰撞，長板A電勢能的減少量；（3）物塊B從開始到即將與擋板發(fā)生第三次碰撞，恒力F的沖量I；（4）物塊B從開始到即將與擋板發(fā)生第n次碰撞，長板的位移x。32024湖北武漢二模）如圖所示，傾角θ=30o的足夠長斜面固定在水平面上，t=0時刻，將物塊A、B（均可視為質(zhì)點）從斜面上相距l(xiāng)=0.05m的兩處同時由靜止釋放。已知A的質(zhì)量是B的質(zhì)量的3倍，A、B與斜面之間的動摩擦因數(shù)分別為、，A、B之間的碰撞為彈性碰撞，且碰撞時間極短，重力加速度大小g=10m/s2，求：（1）A、B發(fā)生第一次碰撞后瞬間，A、B的速度大??；（2）A、B發(fā)生第三次碰撞的時刻；（3）從靜止釋放到第n次碰撞，A運動的位移。42024四川一模）如圖所示，水平地面上固定一水平長直軌道ABC，AB段和BC段足夠長，在水平軌道A點放置一小物塊P，在BC段沿軌道有n個與物塊P相同的小物塊，相鄰兩個小物塊的間距均為L=1m，從左往右依次編號1、2、3、?、n，其中1號小物塊距B點的距離也為L。小物塊P在水平向右的拉力F作用下，從A點開始運動，P到達B點前已經(jīng)開始做勻速運動，拉力F的功率恒為P0=28W，物塊P運動到B點前瞬間撤去F，此后物塊P滑上BC段，物塊P運動L后與1號物塊碰撞，碰后二者粘連在一起繼續(xù)向前運動L與2號物塊碰撞，碰后三者粘連在一起繼續(xù)向前運動L與3號物塊碰撞，此后每次兩物塊碰后都粘連在一起向前運動與下一個物塊碰撞。已知物塊與AB段軌道動摩擦因數(shù)為μ0=0.2，物塊與BC段軌道動摩擦因數(shù)為μ=0.07，每個物塊質(zhì)量均為m=1kg，所有物塊都視為質(zhì)點，當?shù)刂亓铀俣萭取求：（1）小物塊到達B點的速度；（2）物塊P與1號物塊碰后二者的總動能；（3）最多能發(fā)生幾次碰撞。75．如圖，左右無限長的光滑水平地面上有2022個大小相同的小球排成一排，相鄰小球間的間距均為L，將其從左到右依次編號。1號小球質(zhì)量為m，2~2022號小球質(zhì)量均為km（k為比例系數(shù)）。用一根不可伸長的輕繩拴接于1號小球，上端拴接于固定結(jié)點處，拴好后輕繩剛好豎直伸直。在輕繩旁邊固定一電熱絲，通電時可將輕繩瞬間燒斷。將1號小球向左上方提起H高度，此時輕繩伸直，與豎直方向的夾角為θ,所有小球仍在同一豎直面內(nèi)，將電熱絲通電后再由靜止釋放1號小球。所有小球之間的碰撞均為彈性正碰，重力加速度為g，不計空氣阻力，忽略輕繩燒斷后對小球運動的影響。（1）求1號小球釋放后瞬間的加速度大??；（2）求1號小球與2號小球第一次碰撞中給2號小球的沖量大小以及對2號小球做的功；（3）1、2號小球間第一次碰撞后立即給1號小球施加水平向右的恒定外力F（圖中未畫出使1號小球每次碰撞前瞬間的速度都相等，直到所有小球速度第一次相等時撤去外力，求外力F的大小以及最終1號和2022號小球間的距離（小球大小忽略不計）。6．如圖所示光滑圓弧軌道AB固定在水平面上與水平面平滑連接，圓弧軌道最低點A靜止放置物塊b、c（可看做質(zhì)點b、c的質(zhì)量分別為m、2m，b、c間有少量火藥（質(zhì)量可忽略某時刻火藥燃燒將b、c迅速分開，分開后b以速度v0向左沖上圓弧，經(jīng)一段時間再次回到b、c分開位置后繼續(xù)向右運動，當c剛好停止運動時b與之發(fā)生第一次碰撞。已知b與c的所有碰撞均為彈性碰撞，b與水平面間沒有摩擦，c與水平面間的動摩擦因數(shù)為μ,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度大小為g。已知該物塊b從圓弧底端沖上圓弧到再次回到圓弧底端所用時間與b沖上圓弧速度大小無關，可用圓弧半徑R表示為 （R為題中未知量）求：（1）圓弧軌道半徑的大?。唬?）b與c發(fā)生第3次碰撞前的速度；（3）b、c第n次碰撞后到第n+1次碰撞前c運動的位移大?。╪=l、2、3……）。7．如圖所示，傾角為θ的光滑斜面末端與水平傳送帶的左端D平滑連接傳送帶DC間的距離為L，沿順時針方向運行的速度為v0，其右端C與光滑且足夠長的水平平臺平滑連接，平臺上有n個質(zhì)量為2m的小滑塊。編號依次為B1、B2、B3、B4…Bn。將質(zhì)量為m的滑塊A由斜面上某一高度由靜止釋放。當滑塊A滑到傳送帶右端C時，恰好與傳送帶速度相同。小滑塊間的碰撞均為彈性碰撞。已知滑塊A與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為μ,重力加速度為g，滑塊均視為質(zhì)點，求：（1）滑塊A下滑的高度；（2）小滑塊B1的最終速度及被碰撞的次數(shù)。12024湖南高考真題）如圖，半徑為R的圓環(huán)水平放置并固定，圓環(huán)內(nèi)有質(zhì)量為mA和mB的小球A和B（mA>mB）。初始時小球A以初速度v0沿圓環(huán)切線方向運動，與靜止的小球B發(fā)生碰撞。不計小球與圓環(huán)之間的摩擦，兩小球始終在圓環(huán)內(nèi)運動。（1）若小球A與B碰撞后結(jié)合在一起，求碰撞后小球組合體的速度大小及做圓周運動所需向心力的大（2）若小球A與B之間為彈性碰撞，且所有的碰撞位置剛好位于等邊三角形的三個頂點，求小球的質(zhì)量比。（3）若小球A與B之間為非彈性碰撞，每次碰撞后的相對速度大小為碰撞前的相對速度大小的e倍（0<e<1），求第1次碰撞到第2n+1次碰撞之間