大題02+曲線運(yùn)動(dòng)與萬有引力定律（原卷版）

1大題02曲線運(yùn)動(dòng)與萬有引力定律曲線運(yùn)動(dòng)與萬有引力定律是高考物理的高頻模塊，在全國卷及新高考卷中占比約10%~15%，2025年高考對(duì)“曲線運(yùn)動(dòng)與萬有引力定律”的考查將延續(xù)“重基礎(chǔ)、強(qiáng)應(yīng)用、拓創(chuàng)新”的風(fēng)格，突出物理模型構(gòu)建與實(shí)際問題轉(zhuǎn)化能力。備考需緊扣核心素養(yǎng)，強(qiáng)化天體運(yùn)動(dòng)與曲線運(yùn)動(dòng)的綜合分析，同時(shí)關(guān)注航天科技熱點(diǎn)與跨學(xué)科融合，做到“以模型破萬題，以思想馭變化”。例1.（2024山東煙臺(tái)三模）跑酷，又稱自由奔跑，是一種結(jié)合了速度、力量和技巧的極限運(yùn)動(dòng)。如圖甲所示的是一城墻的入城通道，通道寬度L＝6m，一跑酷愛好者從左墻根由靜止開始正對(duì)右墻加速運(yùn)動(dòng)，加速到M點(diǎn)時(shí)斜向上躍起，到達(dá)右墻壁P點(diǎn)時(shí)，豎直方向的速度恰好為零，P點(diǎn)距好能躍到左墻壁上的Q點(diǎn)，P點(diǎn)與Q點(diǎn)等高，飛躍過程中跑酷愛好者距地面的最大高度為H＝2.05m，重力加速度g取10m/s2，整個(gè)過程中跑酷愛好者的姿態(tài)可認(rèn)為保持不變，如圖乙所示，則：（1）跑酷愛好者助跑的距離是多少？（2）跑酷愛好者剛離開墻壁時(shí)的速度大小是多少？2（3）跑酷愛好者剛離開P點(diǎn)時(shí)的速度方向與豎直方向夾角的正切值是多少？例2.(2024廣東二模)如圖所示，傾角θ=30°的足夠長斜面固定于水平地面上，將一小球(可視為質(zhì)點(diǎn))從斜面底端O以速度v0斜向上方拋出，速度方向與斜面間的夾角為α。經(jīng)歷一段時(shí)間，小球以垂直于斜面方向的速度打在斜面上的P點(diǎn)。已知重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力，求：(1)小球拋出時(shí)的速度方向與斜面間的夾角α的正切值tanα;(2)小球到斜面的最大距離；(3)小球到水平地面的最大高度。1.平拋運(yùn)動(dòng)（類平拋運(yùn)動(dòng)）問題的求解方法2.斜拋運(yùn)動(dòng)（類斜拋運(yùn)動(dòng)）的處理方法（1）斜拋運(yùn)動(dòng)是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，以斜上拋運(yùn)動(dòng)為例（如圖所示）θ-gt。（2）當(dāng)物體做斜上拋運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)時(shí)，運(yùn)用逆向思維，可轉(zhuǎn)化為平拋運(yùn)動(dòng)。1．拋體運(yùn)動(dòng)在各類體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中很常見，如乒乓球運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)討論乒乓球發(fā)球問題，設(shè)球臺(tái)長2L、網(wǎng)高h(yuǎn)，乒乓球反彈前后的水平分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反，且不考慮乒乓球的旋轉(zhuǎn)和空氣阻力。(設(shè)重力加速度為g)3(1)若球在球臺(tái)邊緣O點(diǎn)正上方高度h1處，以速度v1水平發(fā)出，落在球臺(tái)上的P1點(diǎn)(如圖中實(shí)線所示)，(2)若球從O點(diǎn)正上方某高度處以速度v2水平發(fā)出，恰好在最高點(diǎn)時(shí)越過球網(wǎng)落在球臺(tái)上的P2點(diǎn)(軌跡如圖中虛線所示)，求v2的大??；(3)若球從O點(diǎn)正上方水平發(fā)出后，球經(jīng)反彈恰好越過球網(wǎng)且剛好落在對(duì)方球臺(tái)邊緣P3點(diǎn)，求發(fā)球點(diǎn)距O例3．如圖所示為賽車場(chǎng)的一個(gè)“梨形”賽道，兩個(gè)彎道分別為半徑R的大圓弧和半徑r的小圓弧，直道與彎道相切，直道長度L．賽車沿彎道路線行駛時(shí)，路面對(duì)輪胎的最大徑向靜摩擦力是賽車重力的k倍，假設(shè)賽車在直道上做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，在圓心角為120°和240°的彎道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且R＝4r．若賽車不側(cè)滑且繞賽道一圈時(shí)間最短，發(fā)動(dòng)機(jī)功率足夠大，重力加速度(1)賽車行駛的最大速率．(2)賽車?yán)@賽道一圈的最短時(shí)間．例4.如圖所示，裝置BO′O可繞豎直軸O′O轉(zhuǎn)動(dòng)，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A與兩細(xì)線連接后分別系于B、C兩點(diǎn)，裝置靜止時(shí)細(xì)線AB水平，細(xì)線AC與豎直方向的夾角θ=37°。已知小球的質(zhì)量m＝1kg，細(xì)線AC長L＝1m，B點(diǎn)到C點(diǎn)的水平和豎直距離相等。(重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8)4(1)若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω1，細(xì)線AB上的張力為零而細(xì)線AC與豎直方向夾角仍為37°,求角速(2)若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω2時(shí)，細(xì)線AB剛好豎直，且張力為零，求此時(shí)角速度ω2的大小。1.解決圓周運(yùn)動(dòng)問題的主要步驟2.求解豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)問題的思路22024山東青島一模）很多青少年在山地自行車上安裝了氣門嘴燈，夜間騎車時(shí)猶如踏著風(fēng)火輪，格外亮眼。圖甲是某種自行車氣門嘴燈，氣門嘴燈內(nèi)部開關(guān)結(jié)構(gòu)如圖乙所示，彈簧一端固定，另一端與質(zhì)量為m的小滑塊（含觸點(diǎn)a）連接，當(dāng)觸點(diǎn)a、b接觸，電路接通使氣門嘴燈發(fā)光，觸點(diǎn)b位于車輪邊緣。車輪靜止且氣門嘴燈在最低點(diǎn)時(shí)觸點(diǎn)a、b距離為L，彈簧勁度系數(shù)為，重力加速度大小為g，自行車輪胎半徑為R，不計(jì)開關(guān)中的一切摩擦，滑塊和觸點(diǎn)a、b均可視為質(zhì)點(diǎn)。5（1）若自行車勻速行駛過程中氣門嘴燈可以一直亮，求自行車行駛的最小速度；（2）若自行車以2gR的速度勻速行駛，求車輪每轉(zhuǎn)一圈，氣門嘴燈的發(fā)光時(shí)間。例42024江蘇南通三模）兩顆相距較遠(yuǎn)的行星A、B的半徑分別為RA、RB，且RB=2RA，距行星中心r處的衛(wèi)星圍繞行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度的平方v2隨r變化的關(guān)系如圖所示。行星可看作質(zhì)量分布均勻的球體，忽略行星的自轉(zhuǎn)和其他星球的影響。（2）假設(shè)有相同的人形機(jī)器人在行星A、B表面的水平地面上從肩位水平射出相同的鉛球，在初速度相同的情況下，求鉛球射程的比值xA:xB。天體質(zhì)量和密度的計(jì)算注意1）天體表面的重力加速度g是g的決定式，具有普適性。（2）若繞行天體繞中心天體表面（如近地）做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，軌道半徑r≈R，則中心天體的密度ρ=。6人造衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)問題的分析要點(diǎn)32024四川達(dá)州一模）2024年10月30日，神舟十九號(hào)載人飛船發(fā)射取得圓滿成功。不僅體現(xiàn)了中國航天技術(shù)進(jìn)步，也標(biāo)志著中國在全球航天領(lǐng)域競(jìng)爭(zhēng)力提升。下圖為神舟十九號(hào)載人飛船與天和核心艙對(duì)接過程的示意圖，天和核心艙處于圓軌道Ⅲ,神舟十九號(hào)飛船處于圓軌道Ⅰ,變軌操作后，飛船沿橢圓軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)與天和核心艙對(duì)接。已知軌道Ⅰ的半徑為r1，軌道Ⅲ的半徑為r3，神舟十九號(hào)飛船的質(zhì)量為m，地球質(zhì)量為M，飛船在地球周圍的引力勢(shì)能求：(1)神舟十九號(hào)載人飛船從軌道Ⅰ變軌到軌道Ⅲ穩(wěn)定運(yùn)行的過程中外界需要提供的能量E（不考慮整個(gè)過程中質(zhì)量的變化，不計(jì)一切阻力(2)飛船通過軌道Ⅱ到達(dá)B點(diǎn)時(shí)卻發(fā)現(xiàn)核心艙在其正前方，飛船通過向后噴氣使其加速追趕核心艙和側(cè)向向外噴氣讓其在軌道Ⅲ上運(yùn)動(dòng)。假設(shè)核心艙在飛船正前方，兩者間的圓弧長為s(s<<r3)，飛船瞬間向后噴氣加速后獲得恒定速率，經(jīng)過時(shí)間t飛船追上核心艙。已知飛船側(cè)向每秒向外噴出質(zhì)量為m0的粒子。7求向側(cè)向噴出粒子的速度v。12024山東煙臺(tái)三模）跑酷，又稱自由奔跑，是一種結(jié)合了速度、力量和技巧的極限運(yùn)動(dòng)。如圖甲所示的是一城墻的入城通道，通道寬度L＝6m，一跑酷愛好者從左墻根由靜止開始正對(duì)右墻加速運(yùn)動(dòng)，加速到M點(diǎn)時(shí)斜向上躍起，到達(dá)右墻壁P點(diǎn)時(shí)，豎直方向的速度恰好為零，P點(diǎn)距離地面高h(yuǎn)＝0.8m，然后立即蹬右墻壁，使水平方向的速度變?yōu)榈却蠓聪颍@得一豎直方向速度，恰好能躍到左墻壁上的Q點(diǎn)，P點(diǎn)與Q點(diǎn)等高，飛躍過程中跑酷愛好者距地面的最大高度為H＝2.05m，重力加速度g取10m/s2，整個(gè)過程中跑酷愛好者的姿態(tài)可認(rèn)為保持不變，如圖乙所示，則：（1）跑酷愛好者助跑的距離是多少？（2）跑酷愛好者剛離開墻壁時(shí)的速度大小是多少？（3）跑酷愛好者剛離開P點(diǎn)時(shí)的速度方向與豎直方向夾角的正切值是多少？2．電磁炮滅火消防車（圖甲）采用電磁彈射技術(shù)投射滅火彈進(jìn)入高層建筑快速滅火。電容器儲(chǔ)存的能量通過電磁感應(yīng)轉(zhuǎn)化成滅火彈的動(dòng)能，設(shè)置儲(chǔ)能電容器的工作電壓可獲得所需的滅火彈出膛速度。如圖乙所示，若電磁炮正對(duì)高樓，與高樓之間的水平距離L＝60m，滅火彈出膛速度v0＝50m/s，方向與水平面夾角θ=53°,不計(jì)炮口離地面高度及空氣阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2，sin53°=0.8。（1）求滅火彈擊中高樓位置距地面的高度H；（2）已知電容器儲(chǔ)存的電能E＝CU2，轉(zhuǎn)化為滅火彈動(dòng)能的效率η=15％，滅火彈的質(zhì)量為3kg，電容C=2.5×104μF，電容器工作電壓U應(yīng)設(shè)置為多少？3．如圖所示的是跳臺(tái)滑雪軌道簡(jiǎn)化模型，AB段光滑曲面為加速滑道，BCD段圓弧滑道為半徑r＝16m的姿態(tài)調(diào)整滑道，左側(cè)與AB段平滑連接，右側(cè)與水平跳臺(tái)DE連接，EF段為傾角30°的速降斜坡。質(zhì)量為60kg的滑雪運(yùn)動(dòng)員從加速滑道滑下后到達(dá)圓弧軌道的最低點(diǎn)C點(diǎn)時(shí)的速度大小v1＝20m/s，經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)8的速度大小為v2＝15m/s，運(yùn)動(dòng)員整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程的最高點(diǎn)P恰好在E點(diǎn)的正上方h＝7.2m處，最后落在斜坡上的Q點(diǎn)。已知重力加速度為10m/s2，不計(jì)空氣阻力，速降斜坡足夠長，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：（1）運(yùn)動(dòng)員在C點(diǎn)時(shí)受到圓弧軌道的彈力；（2）水平平臺(tái)DE的長度；（3）經(jīng)過P點(diǎn)之后，運(yùn)動(dòng)員距斜坡的最遠(yuǎn)距離（結(jié)果用根式表示）。4．單板滑雪U型池比賽是冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目，其場(chǎng)地可以簡(jiǎn)化為如圖甲所示的模型：U形滑道由兩個(gè)半徑相同的四分之一圓柱面軌道和一個(gè)中央的平面直軌道連接而成，軌道傾角為17.2°。某次練習(xí)過程中，運(yùn)動(dòng)員以vM＝10m/s的速度從軌道邊緣上的M點(diǎn)沿軌道的豎直切面ABCD滑出軌道，速度方向與軌道邊緣線AD的夾角α=72.8°,騰空后沿軌道邊緣的N點(diǎn)進(jìn)入軌道。圖乙為騰空過程左視圖。該運(yùn)動(dòng)員可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，取重力加速度的大小g＝10m/s2，sin72.8°=0.96，cos72.8°=0.30。求：（1）運(yùn)動(dòng)員騰空過程中離開AD的距離的最大值d；（2）M、N之間的距離L。52024吉林長春模擬預(yù)測(cè)）我國為了防御小行星撞擊地球，計(jì)劃在2030年實(shí)現(xiàn)一次對(duì)小行星的動(dòng)能撞擊。已知地球質(zhì)量為M，可視為質(zhì)量分布均勻的球體，引力常量為G。若一顆質(zhì)量為m的小行星距離地心為r時(shí)，速度的大小，m遠(yuǎn)小于M。不考慮地球運(yùn)動(dòng)及其它天體的影響。（1）如圖（a若小行星的速度方向垂直于它與地心的連線，通過分析判斷該小行星能否圍繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)；（2）如圖（b若小行星的速度方向沿著它與地心的連線指向地心。已知取無窮遠(yuǎn)處的引力勢(shì)能為零，則小行星在距地心為r處的引力勢(shì)能設(shè)想提前發(fā)射質(zhì)量為0.1m的無人飛行器，在距離地心為r處與小行星發(fā)生迎面撞擊，撞擊過程視為完全非彈性對(duì)心碰撞且撞擊后均未解體。為徹底解除小行星對(duì)地球的威脅（碰撞后運(yùn)動(dòng)到距地球無窮遠(yuǎn)求飛行器撞擊小行星時(shí)的最小速度v0。962024山西太原一模）在完成登陸任務(wù)后，登陸艇自某行星表面升空與飛船會(huì)合并與飛船一起繞行星做圓周運(yùn)動(dòng)，其速率為v。飛船與登陸艇的質(zhì)量均為m，行星的質(zhì)量為M，萬有引力恒量為G。已知質(zhì)量為m的物體與該行星的萬有引力勢(shì)能（以無窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為零，M為行星質(zhì)量，r表示物體到行星中心的距離）。（1）求飛船與登陸艇繞行星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T和軌道半徑R。（2）在啟動(dòng)返程時(shí)，飛船上火箭作一短時(shí)間的噴射（噴出氣體的質(zhì)量可忽略使飛船相對(duì)登陸艇以速度u分離，且飛船分離時(shí)方向與速度v同向。若分離后飛船恰能完全脫離行星的引力。ⅰ.求飛船相對(duì)登陸艇的速度u。ⅱ.求飛船和登陸艇在火箭噴射過程中共獲得的機(jī)械能ΔE。72024重慶九龍坡三模）2024年4月25日神舟十八號(hào)載人飛船成功發(fā)射，標(biāo)志著中國載人航天技術(shù)已走在世界前列。有人對(duì)今后神舟系列飛船的發(fā)射構(gòu)想：沿著地球的某條弦挖一通道，并鋪設(shè)成光滑軌道，在通道的兩個(gè)出口分別將一物體和飛船同時(shí)釋放，利用兩者碰撞（彈性碰撞）效應(yīng)，將飛船發(fā)射出去，已知地表重力加速度g，地球的半徑為R；物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為物體的質(zhì)量，k為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)物體的回復(fù)力和其離開平衡位置的位移大小之比。（1）若神舟十八號(hào)飛船貼近地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則其運(yùn)行的線速度大?。唬?）如圖甲，設(shè)想在地球上距地心h處挖一條光滑通道AB，從A點(diǎn)靜止釋放一個(gè)質(zhì)量為m的物體，求物體從A運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的時(shí)間，以及物體通過通道中心O′的速度大小（質(zhì)量分布均勻的空腔對(duì)空腔內(nèi)的物體的萬有引力為零（3）如圖乙，若通道已經(jīng)挖好，且，如果在AB處同時(shí)釋放質(zhì)量分別為M和m的物體和飛船，他們同時(shí)到達(dá)O′點(diǎn)并發(fā)生彈性碰撞，要使飛船飛出通道口時(shí)速度達(dá)到第一宇宙速度，M和m應(yīng)該滿足什么關(guān)系？82025云南昭通模擬預(yù)測(cè)）某固定裝置的豎直截面如圖所示，該裝置由弧形光滑軌道AB、豎直光滑圓軌道、水平粗糙直軌道BD、傾角為37。的粗糙斜軌道DE、圓弧形光滑管道EF平滑連接而成?，F(xiàn)將一質(zhì)量為0.1kg、可視為質(zhì)點(diǎn)的小滑塊m1由弧形軌道AB上高h(yuǎn)處由靜止釋放（h未知在經(jīng)歷幾段不同的運(yùn)動(dòng)后，m1在F點(diǎn)與靜止在水平臺(tái)面上質(zhì)量為0.4kg的長木板M發(fā)生正碰。已知圓軌道半徑R=0.5m，LBD=LDE=1m；m1與軌道BD、DE間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ1=0.25，M與水平臺(tái)面間的動(dòng)摩擦因數(shù)=0.3，M最右端停放一質(zhì)量為0.1kg、可視為質(zhì)點(diǎn)的小滑塊m2，M與m2間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ3=0.2；水平臺(tái)面和木板M足夠長；m1從軌道AB上滑下后進(jìn)入圓弧軌道，運(yùn)動(dòng)到與圓心O等高的C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為10N。忽略空氣阻力，重力加速度g取10m/s2，sin37。=0.6、cos37。=0.8。(1)求h的大小。(2)求m1剛到達(dá)F點(diǎn)時(shí)的速度大小。(3)若m1與M碰撞時(shí)間極短，且碰后立即粘在一起，求最終m2與M最右端之間的距離。92024福建福州二模）如圖所示，在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中有軌道ABCDFMNP，其中BC部分為水平軌道，與曲面AB平滑連接。CDF和FMN是豎直放置的半圓軌道，在最高點(diǎn)F對(duì)接，與BC在C點(diǎn)相切。NP為一與FMN相切的水平平臺(tái)，P處固定一輕彈簧。點(diǎn)D、N、P在同一水平線上。水平軌道BC粗糙，其余軌道均光滑，可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m=0.02kg的帶正電的滑塊從曲面AB上某處由靜止釋放。已知?jiǎng)驈?qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E=2N/C，BC段長度L=1m，CDF的半徑R=0.2m。FMN的半徑r=0.1m?；瑝K帶電量q=0.1C，滑塊與BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，重力加速度g=10m/s2；求：(1)滑塊通過半圓軌道CDF最高點(diǎn)F的最小速度vF；(2)若滑塊恰好能通過F點(diǎn)，求滑塊釋放點(diǎn)到水平軌道BC的高度h0；(3)若滑塊在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，始終不脫離軌道，且彈簧的形變始終在彈性限度內(nèi)，求滑塊釋放點(diǎn)到水平軌道BC的高度h需要滿足的條件。12024北京高考真題）科學(xué)家根據(jù)天文觀測(cè)提出宇宙膨脹模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物質(zhì)（星體等）在做彼此遠(yuǎn)離運(yùn)動(dòng)，且質(zhì)量始終均勻分布，在宇宙中所有位置觀測(cè)的結(jié)果都一樣。以某一點(diǎn)O為觀測(cè)點(diǎn)，以質(zhì)量為m的小星體（記為P）為觀測(cè)對(duì)象。當(dāng)前P到O點(diǎn)的距離為r0，宇宙的密度為P0。（1）求小星體P遠(yuǎn)離到2r0處時(shí)宇宙的密度ρ;（2）以O(shè)點(diǎn)為球心，以小星體P到O點(diǎn)的距離為半徑建立球面。P受到的萬有引力相當(dāng)于球內(nèi)質(zhì)量集中于O點(diǎn)對(duì)P的引力。已知質(zhì)量為m1和m2、距離為R的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的引力勢(shì)能為引力常量。僅考慮萬有引力和P遠(yuǎn)離O點(diǎn)的徑向運(yùn)動(dòng)。a．求小星體P從r0處遠(yuǎn)離到2r0。處的過程中動(dòng)能的變化量ΔEk；b．宇宙中各星體遠(yuǎn)離觀測(cè)點(diǎn)的速率v滿足哈勃定律v=Hr，其中r為星體到觀測(cè)點(diǎn)的距離，H為哈勃系數(shù)。H與時(shí)間t有關(guān)但與r無關(guān)，分析說明H隨t增大還是減小。22023北京高考真題）螺旋星系中有大量的恒星和星際物質(zhì)，主要分布在半徑為R的球體內(nèi)，球體外僅有極少的恒星。球體內(nèi)物質(zhì)總質(zhì)量為M，可認(rèn)為均勻分布，球體內(nèi)外的所有恒星都繞星系中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，恒星到星系中心的距離為r，引力常量為G。（1）求r>R區(qū)域的恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小v與r的關(guān)系；（2）根據(jù)電荷均勻分布的球殼內(nèi)試探電荷所受庫侖力的合力為零，利用庫侖力與萬有引力的表達(dá)式的相似性和相關(guān)力學(xué)知識(shí)，求r≤R區(qū)域的恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小v與r的關(guān)系；（3）科學(xué)家根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小v隨r的變化關(guān)系圖像，如圖所示，根據(jù)在r>R范圍內(nèi)的恒星速度大小幾乎不變，科學(xué)家預(yù)言螺旋星系周圍（r>R）存在一種特殊物質(zhì)，稱之為暗物質(zhì)。暗物質(zhì)與通常的物質(zhì)有引力相互作用，并遵循萬有引力定律，求r=nR內(nèi)暗物質(zhì)的質(zhì)量M’。32024江西高考）雪地轉(zhuǎn)椅是一種游樂項(xiàng)目，其中心傳動(dòng)裝置帶動(dòng)轉(zhuǎn)椅在雪地上滑動(dòng)。如圖a、b所示，傳動(dòng)裝置有一高度可調(diào)的水平圓盤，可繞通過中心O點(diǎn)的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。圓盤邊緣A處固定連接一輕繩，輕繩另一端B連接轉(zhuǎn)椅（視為質(zhì)點(diǎn)）。轉(zhuǎn)椅運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定后，其角速度與圓盤角速度相等。轉(zhuǎn)椅與雪地之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力。（1）在圖a中，若圓盤在水平雪地上以角速度ω1勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)椅運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定后在水平雪地上繞O點(diǎn)做半徑為r1的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。求A