大題02+曲線運(yùn)動(dòng)與萬有引力定律（解析版）

1大題02曲線運(yùn)動(dòng)與萬有引力定律曲線運(yùn)動(dòng)與萬有引力定律是高考物理的高頻模塊，在全國卷及新高考卷中占比約10%~15%，2025年高考對(duì)“曲線運(yùn)動(dòng)與萬有引力定律”的考查將延續(xù)“重基礎(chǔ)、強(qiáng)應(yīng)用、拓創(chuàng)新”的風(fēng)格，突出物理模型構(gòu)建與實(shí)際問題轉(zhuǎn)化能力。備考需緊扣核心素養(yǎng)，強(qiáng)化天體運(yùn)動(dòng)與曲線運(yùn)動(dòng)的綜合分析，同時(shí)關(guān)注航天科技熱點(diǎn)與跨學(xué)科融合，做到“以模型破萬題，以思想馭變化”。例1.（2024山東煙臺(tái)三模）跑酷，又稱自由奔跑，是一種結(jié)合了速度、力量和技巧的極限運(yùn)動(dòng)。如圖甲所示的是一城墻的入城通道，通道寬度L＝6m，一跑酷愛好者從左墻根由靜止開始正對(duì)右墻加速運(yùn)動(dòng)，加速到M點(diǎn)時(shí)斜向上躍起，到達(dá)右墻壁P點(diǎn)時(shí)，豎直方向的速度恰好為零，P點(diǎn)距好能躍到左墻壁上的Q點(diǎn)，P點(diǎn)與Q點(diǎn)等高，飛躍過程中跑酷愛好者距地面的最大高度為H＝2.05m，重力加速度g取10m/s2，整個(gè)過程中跑酷愛好者的姿態(tài)可認(rèn)為保持不變，如圖乙所示，則：（1）跑酷愛好者助跑的距離是多少？（2）跑酷愛好者剛離開墻壁時(shí)的速度大小是多少？2（3）跑酷愛好者剛離開P點(diǎn)時(shí)的速度方向與豎直方向夾角的正切值是多少？答案（1）3.6m（2）61m/s（3）解析（1）跑酷愛好者到達(dá)右墻壁P點(diǎn)時(shí)，豎直方向的速度恰好為零，根據(jù)逆向思維可知，從M點(diǎn)到P2點(diǎn)的逆過程為平拋運(yùn)動(dòng)，則h＝gt12，從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的過程為斜拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)對(duì)稱性可得H－h(huán)＝g，2L＝v0t2，解得t1＝0.4s，t2＝1s，v0＝6m/s，跑酷愛好者助跑的距離為x＝L－v0（2）跑酷愛好者剛離開墻壁時(shí)豎直方向的速度大小為跑酷愛好者剛離開墻壁時(shí)的速度大小為（3）跑酷愛好者剛離開P點(diǎn)時(shí)的速度方向與豎直方向夾角的正切值為tan例2.(2024廣東二模)如圖所示，傾角θ=30°的足夠長斜面固定于水平地面上，將一小球(可視為質(zhì)點(diǎn))從斜面底端O以速度v0斜向上方拋出，速度方向與斜面間的夾角為α。經(jīng)歷一段時(shí)間，小球以垂直于斜面方向的速度打在斜面上的P點(diǎn)。已知重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力，求：(1)小球拋出時(shí)的速度方向與斜面間的夾角α的正切值tanα;(2)小球到斜面的最大距離；(3)小球到水平地面的最大高度。解析(1)小球拋出后，將小球的速度與重力分別沿斜面與垂直于斜面分解，則小球在這兩個(gè)方向上均做勻變速直線運(yùn)動(dòng)。小球以垂直于斜面方向的速度撞擊在斜面上的P點(diǎn)，表明此時(shí)沿斜面方向的分速度恰好減為0，根據(jù)對(duì)稱性可知，小球打在P點(diǎn)時(shí)垂直于斜面方向的分速度與拋出時(shí)垂直于斜面方向的分速α-gcosθ·t，則小球拋出時(shí)的速度方向與斜面夾角α的正切值tan由可得cos當(dāng)小球垂直于斜面的分速度減為0時(shí)，距離斜面最遠(yuǎn)，則有(3)小球做斜拋運(yùn)動(dòng)，將其運(yùn)動(dòng)沿水平與豎直方向分解，當(dāng)球體到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，豎直方向的速度減為0，則有解得31.平拋運(yùn)動(dòng)（類平拋運(yùn)動(dòng)）問題的求解方法2.斜拋運(yùn)動(dòng)（類斜拋運(yùn)動(dòng)）的處理方法（1）斜拋運(yùn)動(dòng)是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，以斜上拋運(yùn)動(dòng)為例（如圖所示）θ-gt。（2）當(dāng)物體做斜上拋運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)時(shí)，運(yùn)用逆向思維，可轉(zhuǎn)化為平拋運(yùn)動(dòng)。1．拋體運(yùn)動(dòng)在各類體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中很常見，如乒乓球運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)討論乒乓球發(fā)球問題，設(shè)球臺(tái)長2L、網(wǎng)高h(yuǎn)，乒乓球反彈前后的水平分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反，且不考慮乒乓球的旋轉(zhuǎn)和空氣阻力。(設(shè)重力加速度為g)(1)若球在球臺(tái)邊緣O點(diǎn)正上方高度h1處，以速度v1水平發(fā)出，落在球臺(tái)上的P1點(diǎn)(如圖中實(shí)線所示)，(2)若球從O點(diǎn)正上方某高度處以速度v2水平發(fā)出，恰好在最高點(diǎn)時(shí)越過球網(wǎng)落在球臺(tái)上的P2點(diǎn)(軌跡如圖中虛線所示)，求v2的大??；(3)若球從O點(diǎn)正上方水平發(fā)出后，球經(jīng)反彈恰好越過球網(wǎng)且剛好落在對(duì)方球臺(tái)邊緣P3點(diǎn)，求發(fā)球點(diǎn)距O解析(1)根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得hEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),1)聯(lián)立解得(2)根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得h2＝gtEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),2)，x2＝v2t2聯(lián)立解得(3)球的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，得h3＝gtEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),3)且3x3＝2L設(shè)球從恰好越過球網(wǎng)到達(dá)到最高點(diǎn)所用的時(shí)間為t，水平距離為s，則有h3－h(huán)＝gt2由幾何關(guān)系得x3＋s＝L例3．如圖所示為賽車場的一個(gè)“梨形”賽道，兩個(gè)彎道分別為半徑R的大圓弧和半徑r的小圓弧，直道與彎道相切，直道長度L．賽車沿彎道路線行駛時(shí)，路面對(duì)輪胎的最大徑向靜摩擦力是賽車重力的k倍，假設(shè)賽車在直道上做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，在圓心角為120°和240°的彎道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且R＝4r．若賽車不側(cè)滑且繞賽道一圈時(shí)間最短，發(fā)動(dòng)機(jī)功率足夠大，重力加速度(1)賽車行駛的最大速率．(2)賽車?yán)@賽道一圈的最短時(shí)間．答案解析(1)根據(jù)題意，由牛頓第二定律有解得最大速率為(2)根據(jù)題意，由公式可得，賽車在兩直道的時(shí)間為小圓弧彎道的時(shí)間為大圓弧彎道的時(shí)間為則賽車?yán)@賽道一圈的最短時(shí)間 例4.如圖所示，裝置BO′O可繞豎直軸O′O轉(zhuǎn)動(dòng)，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A與兩細(xì)線連接后分別系于B、C兩點(diǎn)，裝置靜止時(shí)細(xì)線AB水平，細(xì)線AC與豎直方向的夾角θ=37°。已知小球的質(zhì)量m＝1kg，細(xì)線AC長L＝1m，B點(diǎn)到C點(diǎn)的水平和豎直距離相等。(重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8)(1)若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω1，細(xì)線AB上的張力為零而細(xì)線AC與豎直方向夾角仍為37°,求角速6(2)若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω2時(shí)，細(xì)線AB剛好豎直，且張力為零，求此時(shí)角速度ω2的大小。答案解析(1)細(xì)線AB上的張力恰為零時(shí)有mgtan37°=mwEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),1)Lsin37°解得(2)細(xì)線AB恰好豎直，但張力為零時(shí)，由幾何關(guān)系得cosθ′=,則有θ′=53°EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),2)解得1.解決圓周運(yùn)動(dòng)問題的主要步驟2.求解豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)問題的思路22024山東青島一模）很多青少年在山地自行車上安裝了氣門嘴燈，夜間騎車時(shí)猶如踏著風(fēng)火輪，格外亮眼。圖甲是某種自行車氣門嘴燈，氣門嘴燈內(nèi)部開關(guān)結(jié)構(gòu)如圖乙所示，彈簧一端固定，另一端與質(zhì)量為m的小滑塊（含觸點(diǎn)a）連接，當(dāng)觸點(diǎn)a、b接觸，電路接通使氣門嘴燈發(fā)光，觸點(diǎn)b位于車輪邊緣。車輪靜止且氣門嘴燈在最低點(diǎn)時(shí)觸點(diǎn)a、b距離為L，彈簧勁度系數(shù)為，重力加速度大小為g，自行車輪胎半徑為R，不計(jì)開關(guān)中的一切摩擦，滑塊和觸點(diǎn)a、b均可視為質(zhì)點(diǎn)。7（1）若自行車勻速行駛過程中氣門嘴燈可以一直亮，求自行車行駛的最小速度；（2）若自行車以2gR的速度勻速行駛，求車輪每轉(zhuǎn)一圈，氣門嘴燈的發(fā)光時(shí)間。答案（2）解析（1）只要?dú)忾T嘴燈位于最高點(diǎn)時(shí)a、b接觸即可保證全程燈亮，彈簧原長時(shí)a、b間的距離為＋L=2L氣門嘴燈位于最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)于小滑塊，有解得滿足要求自行車行駛的最小速度為v＝3gR。（2）速度為2gR時(shí)輪子滾動(dòng)的周期為此速度下氣門嘴燈所需的向心力為此力恰好等于a、b接觸時(shí)彈簧的彈力，即無重力參與向心力，對(duì)應(yīng)與圓心等高的點(diǎn)，故當(dāng)氣門嘴燈位于下半圓周時(shí)燈亮，即例42024江蘇南通三模）兩顆相距較遠(yuǎn)的行星A、B的半徑分別為RA、RB，且RB=2RA，距行星中心r處的衛(wèi)星圍繞行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度的平方v2隨r變化的關(guān)系如圖所示。行星可看作質(zhì)量分布均勻的球體，忽略行星的自轉(zhuǎn)和其他星球的影響。（2）假設(shè)有相同的人形機(jī)器人在行星A、B表面的水平地面上從肩位水平射出相同的鉛球，在初速度相同的情況下，求鉛球射程的比值xA:xB。解析（1）設(shè)質(zhì)量為m的衛(wèi)星繞行星做圓周運(yùn)動(dòng)整理得由RB=2RA，結(jié)合圖像得兩行星的質(zhì)量關(guān)系MB=2MA密度解得（2）在每個(gè)行星表面兩行星表面的重力加速度之比gA:gB=2:1鉛球做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向水平方向x=v0t解得9天體質(zhì)量和密度的計(jì)算注意1）天體表面的重力加速度g是g的決定式，具有普適性。（2）若繞行天體繞中心天體表面（如近地）做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，軌道半徑r≈R，則中心天體的密度ρ=。人造衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)問題的分析要點(diǎn)32024四川達(dá)州一模）2024年10月30日，神舟十九號(hào)載人飛船發(fā)射取得圓滿成功。不僅體現(xiàn)了中國航天技術(shù)進(jìn)步，也標(biāo)志著中國在全球航天領(lǐng)域競爭力提升。下圖為神舟十九號(hào)載人飛船與天和核心艙對(duì)接過程的示意圖，天和核心艙處于圓軌道Ⅲ,神舟十九號(hào)飛船處于圓軌道Ⅰ,變軌操作后，飛船沿橢圓軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)與天和核心艙對(duì)接。已知軌道Ⅰ的半徑為r1，軌道Ⅲ的半徑為r3，神舟十九號(hào)飛船的質(zhì)量為m，地球質(zhì)量為M，飛船在地球周圍的引力勢能Ep=-。求：(1)神舟十九號(hào)載人飛船從軌道Ⅰ變軌到軌道Ⅲ穩(wěn)定運(yùn)行的過程中外界需要提供的能量E（不考慮整個(gè)過程中質(zhì)量的變化，不計(jì)一切阻力(2)飛船通過軌道Ⅱ到達(dá)B點(diǎn)時(shí)卻發(fā)現(xiàn)核心艙在其正前方，飛船通過向后噴氣使其加速追趕核心艙和側(cè)向向外噴氣讓其在軌道Ⅲ上運(yùn)動(dòng)。假設(shè)核心艙在飛船正前方，兩者間的圓弧長為s(s<<r3)，飛船瞬間向后噴氣加速后獲得恒定速率，經(jīng)過時(shí)間t飛船追上核心艙。已知飛船側(cè)向每秒向外噴出質(zhì)量為m0的粒子。求向側(cè)向噴出粒子的速度v。答案解析（1）飛船在軌道Ⅰ上，根據(jù)牛頓第二定律有飛船在軌道Ⅲ上，根據(jù)牛頓第二定律有根據(jù)能量守恒定律有解得（2）令飛出沿軌道Ⅲ的線速度為v2，則有v2t-v3t=s時(shí)間Δt內(nèi)對(duì)側(cè)向向外噴出的粒子進(jìn)行分析，根據(jù)動(dòng)量定理有F其中根據(jù)牛頓第三定律，粒子對(duì)飛船的作用力F2=F1對(duì)飛船進(jìn)行分析，根據(jù)牛頓第二定律有解得12024山東煙臺(tái)三模）跑酷，又稱自由奔跑，是一種結(jié)合了速度、力量和技巧的極限運(yùn)動(dòng)。如圖甲所示的是一城墻的入城通道，通道寬度L＝6m，一跑酷愛好者從左墻根由靜止開始正對(duì)右墻加速運(yùn)動(dòng)，加速到M點(diǎn)時(shí)斜向上躍起，到達(dá)右墻壁P點(diǎn)時(shí)，豎直方向的速度恰好為零，P點(diǎn)距離地面高h(yuǎn)＝0.8m，然后立即蹬右墻壁，使水平方向的速度變?yōu)榈却蠓聪?，并獲得一豎直方向速度，恰好能躍到左墻壁上的Q點(diǎn)，P點(diǎn)與Q點(diǎn)等高，飛躍過程中跑酷愛好者距地面的最大高度為H＝2.05m，重力加速度g取10m/s2，整個(gè)過程中跑酷愛好者的姿態(tài)可認(rèn)為保持不變，如圖乙所示，則：（1）跑酷愛好者助跑的距離是多少？（2）跑酷愛好者剛離開墻壁時(shí)的速度大小是多少？（3）跑酷愛好者剛離開P點(diǎn)時(shí)的速度方向與豎直方向夾角的正切值是多少？答案（1）3.6m（2）61m/s（3）解析（1）跑酷愛好者到達(dá)右墻壁P點(diǎn)時(shí)，豎直方向的速度恰好為零，根據(jù)逆向思維可知，從M點(diǎn)到P2點(diǎn)的逆過程為平拋運(yùn)動(dòng)，則2點(diǎn)的逆過程為平拋運(yùn)動(dòng)，則h＝1gt12，從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的過程為斜拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)對(duì)稱性可得H－h(huán)＝1gt2，L＝v0t2，解得t1＝0.4s，t2＝1s，v0＝6m/s，跑酷愛好者助跑的距離為x＝L－v0（2）跑酷愛好者剛離開墻壁時(shí)豎直方向的速度大小為vy＝g×=5m/s，跑酷愛好者剛離開墻壁時(shí)的速度大小為（3）跑酷愛好者剛離開P點(diǎn)時(shí)的速度方向與豎直方向夾角的正切值為tanθ==。2．電磁炮滅火消防車（圖甲）采用電磁彈射技術(shù)投射滅火彈進(jìn)入高層建筑快速滅火。電容器儲(chǔ)存的能量通過電磁感應(yīng)轉(zhuǎn)化成滅火彈的動(dòng)能，設(shè)置儲(chǔ)能電容器的工作電壓可獲得所需的滅火彈出膛速度。如圖乙所示，若電磁炮正對(duì)高樓，與高樓之間的水平距離L＝60m，滅火彈出膛速度v0＝50m/s，方向與水平面夾角θ=53°,不計(jì)炮口離地面高度及空氣阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2，sin53°=0.8。（1）求滅火彈擊中高樓位置距地面的高度H；（2）已知電容器儲(chǔ)存的電能E＝CU2，轉(zhuǎn)化為滅火彈動(dòng)能的效率η=15％，滅火彈的質(zhì)量為3kg，電容C=2.5×104μF，電容器工作電壓U應(yīng)設(shè)置為多少？答案（1）60m（2）10002V解析（1）滅火彈離開炮口后做斜拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向上做豎直上拋運(yùn)動(dòng)。則滅火彈在水平方向上有vx＝v0cos53°=30m/s，滅火彈從離開炮口到擊中高樓所用的時(shí)間在豎直方向上有vy＝v0sin53°=40m/s，滅火彈擊中高樓位置距地面的高度H＝vyt－gt2，代入數(shù)據(jù)解得H＝60m。解得E＝25000J，代入數(shù)據(jù)解得U＝10002V。3．如圖所示的是跳臺(tái)滑雪軌道簡化模型，AB段光滑曲面為加速滑道，BCD段圓弧滑道為半徑r＝16m的姿態(tài)調(diào)整滑道，左側(cè)與AB段平滑連接，右側(cè)與水平跳臺(tái)DE連接，EF段為傾角30°的速降斜坡。質(zhì)量為60kg的滑雪運(yùn)動(dòng)員從加速滑道滑下后到達(dá)圓弧軌道的最低點(diǎn)C點(diǎn)時(shí)的速度大小v1＝20m/s，經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)的速度大小為v2＝15m/s，運(yùn)動(dòng)員整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程的最高點(diǎn)P恰好在E點(diǎn)的正上方h＝7.2m處，最后落在斜坡上的Q點(diǎn)。已知重力加速度為10m/s2，不計(jì)空氣阻力，速降斜坡足夠長，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：（1）運(yùn)動(dòng)員在C點(diǎn)時(shí)受到圓弧軌道的彈力；（2）水平平臺(tái)DE的長度；（3）經(jīng)過P點(diǎn)之后，運(yùn)動(dòng)員距斜坡的最遠(yuǎn)距離（結(jié)果用根式表示）。答案（1）2100N，方向豎直向上（2）10.8m（3）m解析（1）在C點(diǎn)，對(duì)運(yùn)動(dòng)員，由牛頓第二定律有即運(yùn)動(dòng)員在C點(diǎn)時(shí)受到圓弧軌道的彈力大小為2100N，方向豎直向上。（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)員在由D點(diǎn)飛出時(shí)速度與水平方向成α角，從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的過程中，豎直方向有（v2sin2＝2gh，v2sinα=gt1水平方向有xDE＝v2t1cosα（3）運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的速度vP＝v2cosα當(dāng)垂直于斜坡方向上的速度減為0時(shí)，距離斜坡最遠(yuǎn)，由幾何關(guān)系可知d＝hcosθ+H其中vy2＝2ayH解得4．單板滑雪U型池比賽是冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目，其場地可以簡化為如圖甲所示的模型：U形滑道由兩個(gè)半徑相同的四分之一圓柱面軌道和一個(gè)中央的平面直軌道連接而成，軌道傾角為17.2°。某次練習(xí)過程中，運(yùn)動(dòng)員以vM＝10m/s的速度從軌道邊緣上的M點(diǎn)沿軌道的豎直切面ABCD滑出軌道，速度方向與軌道邊緣線AD的夾角α=72.8°,騰空后沿軌道邊緣的N點(diǎn)進(jìn)入軌道。圖乙為騰空過程左視圖。該運(yùn)動(dòng)員可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，取重力加速度的大小g＝10m/s2，sin72.8°=0.96，cos72.8°=0.30。求：（1）運(yùn)動(dòng)員騰空過程中離開AD的距離的最大值d；（2）M、N之間的距離L。答案（1）4.8m（2）12m解析（1）在M點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)員在ABCD面內(nèi)垂直于AD方向的分速度為v1，由運(yùn)動(dòng)的合成與分解規(guī)律得v1=vMsin72.8°①設(shè)運(yùn)動(dòng)員在ABCD面內(nèi)垂直于AD方向的分加速度為a1，由牛頓第二定律得mgcos17.2°=ma1②由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得③聯(lián)立①②③式，代入數(shù)據(jù)得d＝4.8m④（2）在M點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)員在ABCD面內(nèi)平行AD方向的分速度為v2，由運(yùn)動(dòng)的合成與分解規(guī)律得設(shè)運(yùn)動(dòng)員在ABCD面內(nèi)平行AD方向的分加速度為a2，由牛頓第二定律得mgsin17.2°=ma2⑥設(shè)騰空時(shí)間為t，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得⑦⑧聯(lián)立①②⑤⑥⑦⑧式，代入數(shù)據(jù)得L＝12m⑨52024吉林長春模擬預(yù)測）我國為了防御小行星撞擊地球，計(jì)劃在2030年實(shí)現(xiàn)一次對(duì)小行星的動(dòng)能撞擊。已知地球質(zhì)量為M，可視為質(zhì)量分布均勻的球體，引力常量為G。若一顆質(zhì)量為m的小行星距離地心為r時(shí)，速度的大小，m遠(yuǎn)小于M。不考慮地球運(yùn)動(dòng)及其它天體的影響。（1）如圖（a若小行星的速度方向垂直于它與地心的連線，通過分析判斷該小行星能否圍繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)；（2）如圖（b若小行星的速度方向沿著它與地心的連線指向地心。已知取無窮遠(yuǎn)處的引力勢能為零，則小行星在距地心為r處的引力勢能。設(shè)想提前發(fā)射質(zhì)量為0.1m的無人飛行器，在距離地心為r處與小行星發(fā)生迎面撞擊，撞擊過程視為完全非彈性對(duì)心碰撞且撞擊后均未解體。為徹底解除小行星對(duì)地球的威脅（碰撞后運(yùn)動(dòng)到距地球無窮遠(yuǎn)求飛行器撞擊小行星時(shí)的最小速度v0。答案（1）見解析解析（1）若小行星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則解得由此可知，小行星不能圍繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)；（2）根據(jù)題意，當(dāng)小行星和飛行器發(fā)生完全非彈性碰撞，則有聯(lián)立可得62024山西太原一模）在完成登陸任務(wù)后，登陸艇自某行星表面升空與飛船會(huì)合并與飛船一起繞行星做圓周運(yùn)動(dòng)，其速率為v。飛船與登陸艇的質(zhì)量均為m，行星的質(zhì)量為M，萬有引力恒量為G。已知質(zhì)量為m的物體與該行星的萬有引力勢能（以無窮遠(yuǎn)處勢能為零，M為行星質(zhì)量，r表示物體到行星中心的距離）。（1）求飛船與登陸艇繞行星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T和軌道半徑R。（2）在啟動(dòng)返程時(shí)，飛船上火箭作一短時(shí)間的噴射（噴出氣體的質(zhì)量可忽略使飛船相對(duì)登陸艇以速度u分離，且飛船分離時(shí)方向與速度v同向。若分離后飛船恰能完全脫離行星的引力。ⅰ.求飛船相對(duì)登陸艇的速度u。ⅱ.求飛船和登陸艇在火箭噴射過程中共獲得的機(jī)械能ΔE。解析（1）在做圓周運(yùn)動(dòng)過程中，由萬有引力提供向心力知代入得故（2）ⅰ.由動(dòng)量守恒令登陸艇的速度為知v’，由能量守恒知代入得故方向與v相同ⅱ.噴射過程中共獲得的機(jī)械能為72024重慶九龍坡三模）2024年4月25日神舟十八號(hào)載人飛船成功發(fā)射，標(biāo)志著中國載人航天技術(shù)已走在世界前列。有人對(duì)今后神舟系列飛船的發(fā)射構(gòu)想：沿著地球的某條弦挖一通道，并鋪設(shè)成光滑軌道，在通道的兩個(gè)出口分別將一物體和飛船同時(shí)釋放，利用兩者碰撞（彈性碰撞）效應(yīng)，將飛船發(fā)射出去，已知地表重力加速度g，地球的半徑為R；物體做簡諧運(yùn)動(dòng)的周期T=2兀為物體的質(zhì)量，k為簡諧運(yùn)動(dòng)物體的回復(fù)力和其離開平衡位置的位移大小之比。（1）若神舟十八號(hào)飛船貼近地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則其運(yùn)行的線速度大?。唬?）如圖甲，設(shè)想在地球上距地心h處挖一條光滑通道AB，從A點(diǎn)靜止釋放一個(gè)質(zhì)量為m的物體，求物體從A運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的時(shí)間，以及物體通過通道中心O′的速度大?。ㄙ|(zhì)量分布均勻的空腔對(duì)空腔內(nèi)的物體的萬有引力為零（3）如圖乙，若通道已經(jīng)挖好，且，如果在AB處同時(shí)釋放質(zhì)量分別為M和m的物體和飛船，他們同時(shí)到達(dá)O′點(diǎn)并發(fā)生彈性碰撞，要使飛船飛出通道口時(shí)速度達(dá)到第一宇宙速度，M和m應(yīng)該滿足什么關(guān)系？解析（1）神舟十八號(hào)飛船貼近地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力根據(jù)萬有引力與重力的關(guān)系解得運(yùn)行的線速度大小為（2）半徑為r的球體質(zhì)量為質(zhì)點(diǎn)在距離球心r處所受到的引力為故引力在AB通道方向分力為（設(shè)向右為正方向）該力與x成正比，故物體做簡諧運(yùn)動(dòng)，當(dāng)r=R時(shí)，有根據(jù)萬有引力與重力的關(guān)系則物體從A運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的時(shí)間為從A到O9點(diǎn)，萬有引力做功為W=Fx.xAO’=.xAO’=.R2.R2h2R2R2h2=(R2h2)解得（3）由（2）可知，物體到達(dá)O9點(diǎn)速度均為碰撞中滿足動(dòng)量守恒根據(jù)機(jī)械能守恒可得22222Mv0+2mv0=2Mv1+2mv2解得返回出口過程中，萬有引力做功為返回出口過程中，根據(jù)動(dòng)能定理其中代入得5M214Mm3m2=0解得M=3m82025云南昭通模擬預(yù)測）某固定裝置的豎直截面如圖所示，該裝置由弧形光滑軌道AB、豎直光滑圓軌道、水平粗糙直軌道BD、傾角為37。的粗糙斜軌道DE、圓弧形光滑管道EF平滑連接而成?，F(xiàn)將一質(zhì)量為0.1kg、可視為質(zhì)點(diǎn)的小滑塊m1由弧形軌道AB上高h(yuǎn)處由靜止釋放（h未知在經(jīng)歷幾段不同的運(yùn)動(dòng)后，m1在F點(diǎn)與靜止在水平臺(tái)面上質(zhì)量為0.4kg的長木板M發(fā)生正碰。已知圓軌道半徑R=0.5m，LBD=LDE=1m；m1與軌道BD、DE間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ1=0.25，M與水平臺(tái)面間的動(dòng)摩擦因數(shù)=0.3，M最右端停放一質(zhì)量為0.1kg、可視為質(zhì)點(diǎn)的小滑塊m2，M與m2間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ3=0.2；水平臺(tái)面和木板M足夠長；m1從軌道AB上滑下后進(jìn)入圓弧軌道，運(yùn)動(dòng)到與圓心O等高的C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為10N。忽略空氣阻力，重力加速度g取10m/s2，sin37。=0.6、cos37。=0.8。(1)求h的大小。(2)求m1剛到達(dá)F點(diǎn)時(shí)的速度大小。(3)若m1與M碰撞時(shí)間極短，且碰后立即粘在一起，求最終m2與M最右端之間的距離。答案(1)h=3m(2)vF=6m/s(3)Δx=0.105m解析（1）m1運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得m1從A到C的運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)動(dòng)能定理得聯(lián)立代入數(shù)據(jù)解得h=3m（2）m1從A到F的運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)動(dòng)能定理得代入數(shù)據(jù)解得vF=6m/s（3）m1與M相碰，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得m1vF=(m1+M)v1代入數(shù)據(jù)解得v1=1.2m/sm1與M碰后對(duì)m2分析得μ3m2g=m2a1代入數(shù)據(jù)解得a1=2m/s2對(duì)M和m1構(gòu)成的整體受力分析得μ2(M+m1+m2)g+μ3m2g=(M+m1)a2代入數(shù)據(jù)解得a2=4m/s2代入數(shù)據(jù)解得共速的速度v=0.4m/s，t=0.2s該過程中m2運(yùn)動(dòng)的位移M運(yùn)動(dòng)的位移共速過后，m2與M分別減速運(yùn)動(dòng)，對(duì)m2受力分析得μ3m2g=m2a1代入數(shù)據(jù)解得a1=2m/s2對(duì)M和m1構(gòu)成的整體受力分析得μ2(M+m1+m2)g—μ3m2g=(M+m1)a3代入數(shù)據(jù)解得a3=3.2m/s2m2對(duì)地位移M的對(duì)地位移最終計(jì)算可得m2距離M最右端的長度Δx=x2—x1+x4—x3=0.105m92024福建福州二模）如圖所示，在豎直向下的勻強(qiáng)電場中有軌道ABCDFMNP，其中BC部分為水平軌道，與曲面AB平滑連接。CDF和FMN是豎直放置的半圓軌道，在最高點(diǎn)F對(duì)接，與BC在C點(diǎn)相切。NP為一與FMN相切的水平平臺(tái)，P處固定一輕彈簧。點(diǎn)D、N、P在同一水平線上。水平軌道BC粗糙，其余軌道均光滑，可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m=0.02kg的帶正電的滑塊從曲面AB上某處由靜止釋放。已知?jiǎng)驈?qiáng)電場的場強(qiáng)E=2N/C，BC段長度L=1m，CDF的半徑R=0.2m。FMN的半徑r=0.1m?；瑝K帶電量q=0.1C，滑塊與BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，重力加速度g=10m/s2；求：(1)滑塊通過半圓軌道CDF最高點(diǎn)F的最小速度vF；(2)若滑塊恰好能通過F點(diǎn)，求滑塊釋放點(diǎn)到水平軌道BC的高度h0；(3)若滑塊在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，始終不脫離軌道，且彈簧的形變始終在彈性限度內(nèi)，求滑塊釋放點(diǎn)到水平軌道BC的高度h需要滿足的條件。答案(1)2m/s(2)1m(3)km≤h≤（0.7+k）m（k=0，1，2，3……）解析（1）小球在F點(diǎn)根據(jù)牛頓第二定律有解得（2）設(shè)小球由h0處釋放恰好通過F點(diǎn)，對(duì)小球從釋放至F點(diǎn)這一過程由動(dòng)能定理得(mg+qE)(h02R)μ(mg+qE)L=mvEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),F)解得（3）討論①小球第一次運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)速度為零，對(duì)該過程由動(dòng)能定理得(mg+qE)(h1R)μ(mg+qE)L=0解得則當(dāng)h≤0.7m時(shí)，小球不過D點(diǎn)，不脫離軌道。②小球第一次進(jìn)入圓軌道可以經(jīng)過F點(diǎn)，壓縮彈簧被反彈，沿軌道PNMFDCBA運(yùn)動(dòng)，再次返回后不過D。小球恰好可以經(jīng)過F點(diǎn)，由動(dòng)能定理可得(mg+qE)(h22R)μ(mg+qE)L=mvEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),F)解得則當(dāng)h≥1m時(shí)，小球可以通過F點(diǎn)。小球再次返回剛好到D點(diǎn)(mg+qE)(h3R)μ(mg+qE).3L=0解得則當(dāng)h≤1.7m時(shí)，小球被彈簧反彈往復(fù)運(yùn)動(dòng)后不過D點(diǎn)；綜上，當(dāng)1m≤h≤1.7m，小球第一次進(jìn)入圓軌道可以通過F點(diǎn)，往復(fù)運(yùn)動(dòng)第二次后不過D點(diǎn)，滿足始終不脫離軌道。③小球第一次進(jìn)入圓軌道可以經(jīng)過F點(diǎn)，壓縮彈簧被反彈，第二次往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)滿足小球恰好可以經(jīng)過F點(diǎn)，由動(dòng)能定理可得解得則當(dāng)h≥2m時(shí)，小球可以兩次通過F點(diǎn)；小球再次返回剛好到D點(diǎn)(mg+qE)(h5R)μ(mg+qE).5L=0解得則當(dāng)h≤2.7m時(shí)，小球被彈簧反彈第二次往復(fù)運(yùn)動(dòng)后不過D點(diǎn)；綜上2m≤h≤2.7m，小球第一、二次進(jìn)入圓軌道可以通過F點(diǎn)，往復(fù)運(yùn)動(dòng)第二次后不過D點(diǎn)，滿足始終不脫離軌道。以此類推，可得當(dāng)h滿足km≤h≤（0.7+k）m（k=0，1，2，3……）小球不脫離軌道。12024北京高考真題）科學(xué)家根據(jù)天文觀測提出宇宙膨脹模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物質(zhì)（星體等）在做彼此遠(yuǎn)離運(yùn)動(dòng)，且質(zhì)量始終均勻分布，在宇宙中所有位置觀測的結(jié)果都一樣。以某一點(diǎn)O為觀測點(diǎn)，以質(zhì)量為m的小星體（記為P）為觀測對(duì)象。當(dāng)前P到O點(diǎn)的距離為r0，宇宙的密度為P0。（1）求小星體P遠(yuǎn)離到2r0處時(shí)宇宙的密度ρ;（2）以O(shè)點(diǎn)為球心，以小星體P到O點(diǎn)的距離為半徑建立球面。P受到的萬有引力相當(dāng)于球內(nèi)質(zhì)量集中于O點(diǎn)對(duì)P的引力。已知質(zhì)量為m1和m2、距離為R的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的引力勢能為引力常量。僅考慮萬有引力和P遠(yuǎn)離O點(diǎn)的徑向運(yùn)動(dòng)。a．求小星體P從r0處遠(yuǎn)離到2r0。處的過程中動(dòng)能的變化量ΔEk；b．宇宙中各星體遠(yuǎn)離觀測點(diǎn)的速率v滿足哈勃定律v=Hr，其中r為星體到觀測點(diǎn)的距離，H為哈勃系數(shù)。H與時(shí)間t有關(guān)但與r無關(guān)，分析說明H隨t增大還是減小。答案隨t增大而減小解析（1）在宇宙中所有位置觀測的結(jié)果都一樣，則小星體P運(yùn)動(dòng)前后距離O點(diǎn)半徑為r0和2r0的球內(nèi)質(zhì)量相同，即解得小星體P遠(yuǎn)離到2r0處時(shí)宇宙的密度（2）a．此球內(nèi)的質(zhì)量P從r0處遠(yuǎn)離到2r0處，由能量守恒定律得，動(dòng)能的變化量b．由a知星體的速度隨r0增大而減小，星體到觀測點(diǎn)距離越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t越長，由v=Hr知，H減小，故H隨t增大而減小。22023北京高考真題）螺旋星系中有大量的恒星和星際物質(zhì)，主要分布在半徑為R的球體內(nèi)，球體外僅有極少的恒星。球體內(nèi)物質(zhì)總質(zhì)量為M，可認(rèn)為均勻分布，球體內(nèi)外的所有恒星都繞星系中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，恒星到星系中心的距離為r，引力常量為G。（1）求r>R區(qū)域的恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小v與r的關(guān)系；（2）根據(jù)電荷均勻分布的球殼內(nèi)試探電荷所受庫侖力的合力為零，利用庫侖力與萬有引力的表達(dá)式的相似性和相關(guān)力學(xué)知識(shí)，求r≤R區(qū)域的恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小v與r的關(guān)系；（3）科學(xué)家根據(jù)實(shí)測數(shù)據(jù)，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小v隨r的變化關(guān)系圖像，如圖所示，根據(jù)在r>R范圍內(nèi)的恒星速度大小幾乎不變，科學(xué)家預(yù)言螺旋星系周圍（r>R）存在一種特殊物質(zhì)，稱之為暗物質(zhì)。暗物質(zhì)與通常的物質(zhì)有引力相互作用，并遵循萬有引力定律，求r=nR內(nèi)暗物質(zhì)的質(zhì)量M’。答案（2）詳解（1）由萬有引力定律和向心力公式有解得（2）在r≤R內(nèi)部，星體質(zhì)量由萬有引力定律和向心力公式有解得（3）對(duì)處于R球體邊緣的恒星，由萬有引力定律和向心力公式有對(duì)處于r=nR處的恒星，由萬有引力定律和向心力公式有解得M’=(n1)M32024江西高考）雪地轉(zhuǎn)椅是一種游樂項(xiàng)目，其中心傳動(dòng)裝置帶動(dòng)轉(zhuǎn)椅在雪地上滑動(dòng)。如圖a、b所示，傳動(dòng)裝置有一高度可調(diào)的水平圓盤，可繞通過中心O點(diǎn)的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。圓盤邊緣A處固定連接一輕繩，輕繩另一端B連接轉(zhuǎn)椅（視為質(zhì)點(diǎn)）。轉(zhuǎn)椅運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定后，其角速度與圓盤角速度相等。轉(zhuǎn)椅與雪地之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力。（1）在圖a中，若圓盤在水平雪地上以角速度ω1勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)椅運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定后在水平雪地上繞O點(diǎn)做半徑為r1的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。求AB與OB之間夾角α的正切值。（2）將圓盤升高，如圖b所示。圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)椅運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定后在水平雪地上繞O1點(diǎn)做半徑為r2的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，繩子與豎直方向的夾角為θ,繩子在水平雪地上的投影A1B與O1B的夾角為β。求此時(shí)圓盤的角速度ω2。答案（12）解析（1）對(duì)轉(zhuǎn)椅受力分析，轉(zhuǎn)椅在水平面內(nèi)受摩擦力、輕繩拉力，兩者合力提供其做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，如圖所示。設(shè)轉(zhuǎn)椅的質(zhì)量為m，則轉(zhuǎn)椅所需的向心力Fn1＝mw12r1轉(zhuǎn)椅受到的摩擦力f1=μmg根據(jù)幾何關(guān)系有聯(lián)立解得（2）轉(zhuǎn)椅在題圖b情況下所需的向心力Fn2＝mw22r2轉(zhuǎn)椅受到的摩擦力f2=μN(yùn)2根據(jù)幾何關(guān)系有tanβ=豎直方向上由平衡條件有N2＋Tcosθ=mg聯(lián)立解得42022江蘇高考真題）在軌