山西省忻州一中等重點中學(xué)2025屆高三5月一診模擬數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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文檔簡介

山西省忻州一中等重點中學(xué)2025屆高三5月一診模擬數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知向量,,且與的夾角為,則()A. B.1 C.或1 D.或92.函數(shù)f(x)=sin(wx+)(w>0,<)的最小正周期是π,若將該函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)圖象關(guān)于直線x=對稱,則函數(shù)f(x)的解析式為()A.f(x)=sin(2x+) B.f(x)=sin(2x-)C.f(x)=sin(2x+) D.f(x)=sin(2x-)3.?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,則實數(shù)λ的最大值為()A. B. C. D.4.已知函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù))有兩個零點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.5.函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A. B.C. D.6.已知集合,,若,則實數(shù)的值可以為()A. B. C. D.7.某空間幾何體的三視圖如圖所示(圖中小正方形的邊長為1),則這個幾何體的體積是()A. B. C.16 D.328.已知為等差數(shù)列,若,,則()A.1 B.2 C.3 D.69.若函數(shù)恰有3個零點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.10.已知函數(shù),關(guān)于x的方程f(x)=a存在四個不同實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(0,1)∪(1,e) B.C. D.(0,1)11.給甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三項工作,每項工作至少一人,每人做且僅做一項工作,甲不能安排木工工作,則不同的安排方法共有()A.12種 B.18種 C.24種 D.64種12.雙曲線x2a2A.y=±2x B.y=±3x二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的一條準(zhǔn)線與兩條漸近線所圍成的三角形的面積為______.14.已知向量,,,則__________.15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A,B為x軸正半軸上的兩個動點,P(異于原點O)為y軸上的一個定點.若以AB為直徑的圓與圓x2+(y-2)2=1相外切,且∠APB的大小恒為定值,則線段OP的長為_____.16.已知數(shù)列與均為等差數(shù)列(),且,則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,求的最小值.18.(12分)網(wǎng)絡(luò)看病就是國內(nèi)或者國外的單個人、多個人或者單位通過國際互聯(lián)網(wǎng)或者其他局域網(wǎng)對自我、他人或者某種生物的生理疾病或者機(jī)器故障進(jìn)行查找詢問、診斷治療、檢查修復(fù)的一種新興的看病方式.因此,實地看病與網(wǎng)絡(luò)看病便成為現(xiàn)在人們的兩種看病方式,最近某信息機(jī)構(gòu)調(diào)研了患者對網(wǎng)絡(luò)看病,實地看病的滿意程度,在每種看病方式的患者中各隨機(jī)抽取15名,將他們分成兩組,每組15人,分別對網(wǎng)絡(luò)看病,實地看病兩種方式進(jìn)行滿意度測評,根據(jù)患者的評分(滿分100分)繪制了如圖所示的莖葉圖:(1)根據(jù)莖葉圖判斷患者對于網(wǎng)絡(luò)看病、實地看病那種方式的滿意度更高?并說明理由;(2)若將大于等于80分視為“滿意”,根據(jù)莖葉圖填寫下面的列聯(lián)表:滿意不滿意總計網(wǎng)絡(luò)看病實地看病總計并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否有的把握認(rèn)為患者看病滿意度與看病方式有關(guān)?(3)從網(wǎng)絡(luò)看病的評價“滿意”的人中隨機(jī)抽取2人,求這2人平分都低于90分的概率.附,其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819.(12分)已知A是拋物線E:y2=2px(p>0)上的一點,以點A和點B(2,0)為直徑兩端點的圓C交直線x=1于M,N兩點.(1)若|MN|=2,求拋物線E的方程;(2)若0<p<1,拋物線E與圓(x﹣5)2+y2=9在x軸上方的交點為P,Q,點G為PQ的中點,O為坐標(biāo)原點,求直線OG斜率的取值范圍.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以原點為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程;(2)直線(t為參數(shù))與曲線C交于A,B兩點,求最大時,直線l的直角坐標(biāo)方程.21.(12分)在底面為菱形的四棱柱中,平面.(1)證明:平面;(2)求二面角的正弦值.22.(10分)在中,、、分別是角、、的對邊,且.(1)求角的值;(2)若,且為銳角三角形,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

由題意利用兩個向量的數(shù)量積的定義和公式,求的值.【詳解】解:由題意可得,求得,或,故選:C.本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義和公式,屬于基礎(chǔ)題.2.D【解析】

由函數(shù)的周期求得,再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱,得到,由此求得滿足條件的的值,即可求得答案.【詳解】分析:由函數(shù)的周期求得,再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱,得到,由此求得滿足條件的的值,即可求得答案.詳解:因為函數(shù)的最小正周期是,所以,解得,所以,將該函數(shù)的圖像向右平移個單位后,得到圖像所對應(yīng)的函數(shù)解析式為,由此函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱,得:,即,取,得,滿足,所以函數(shù)的解析式為,故選D.本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換,以及函數(shù)的解析式的求解,其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力.3.D【解析】

利用等差數(shù)列通項公式推導(dǎo)出λ,由d∈[1,2],能求出實數(shù)λ取最大值.【詳解】∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,∴1+3d+λ(1+9d)+1+15d=15,解得λ,∵d∈[1,2],λ2是減函數(shù),∴d=1時,實數(shù)λ取最大值為λ.故選D.本題考查實數(shù)值的最大值的求法,考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題.4.B【解析】

求出導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,確定函數(shù)的最值,根據(jù)零點存在定理可確定參數(shù)范圍.【詳解】,當(dāng)時,,單調(diào)遞增,當(dāng)時,,單調(diào)遞減,∴在上只有一個極大值也是最大值,顯然時,,時,,因此要使函數(shù)有兩個零點,則,∴.故選:B.本題考查函數(shù)的零點,考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,根據(jù)零點存在定理確定參數(shù)范圍.5.D【解析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性,再研究函數(shù)在上的符號,即可判斷選擇.詳解:令,因為,所以為奇函數(shù),排除選項A,B;因為時,,所以排除選項C,選D.點睛:有關(guān)函數(shù)圖象的識別問題的常見題型及解題思路:(1)由函數(shù)的定義域,判斷圖象的左、右位置,由函數(shù)的值域,判斷圖象的上、下位置;(2)由函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢;(3)由函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對稱性;(4)由函數(shù)的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復(fù).6.D【解析】

由題意可得,根據(jù),即可得出,從而求出結(jié)果.【詳解】,且,,∴的值可以為.故選:D.考查描述法表示集合的定義,以及并集的定義及運算.7.A【解析】幾何體為一個三棱錐,高為4,底面為一個等腰直角三角形,直角邊長為4,所以體積是,選A.8.B【解析】

利用等差數(shù)列的通項公式列出方程組,求出首項和公差,由此能求出.【詳解】∵{an}為等差數(shù)列,,∴,解得=﹣10,d=3,∴=+4d=﹣10+11=1.故選:B.本題考查等差數(shù)列通項公式求法,考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題.9.B【解析】

求導(dǎo)函數(shù),求出函數(shù)的極值,利用函數(shù)恰有三個零點,即可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,令,則或,上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,所以0或是函數(shù)y的極值點,函數(shù)的極值為:,函數(shù)恰有三個零點,則實數(shù)的取值范圍是:.故選B.該題考查的是有關(guān)結(jié)合函數(shù)零點個數(shù),來確定參數(shù)的取值范圍的問題,在解題的過程中,注意應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的走向,利用數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象間交點個數(shù)的問題,難度不大.10.D【解析】

原問題轉(zhuǎn)化為有四個不同的實根,換元處理令t,對g(t)進(jìn)行零點個數(shù)討論.【詳解】由題意,a>2,令t,則f(x)=a????.記g(t).當(dāng)t<2時,g(t)=2ln(﹣t)(t)單調(diào)遞減,且g(﹣2)=2,又g(2)=2,∴只需g(t)=2在(2,+∞)上有兩個不等于2的不等根.則?,記h(t)(t>2且t≠2),則h′(t).令φ(t),則φ′(t)2.∵φ(2)=2,∴φ(t)在(2,2)大于2,在(2,+∞)上小于2.∴h′(t)在(2,2)上大于2,在(2,+∞)上小于2,則h(t)在(2,2)上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減.由,可得,即a<2.∴實數(shù)a的取值范圍是(2,2).故選:D.此題考查方程的根與函數(shù)零點問題,關(guān)鍵在于等價轉(zhuǎn)化,將問題轉(zhuǎn)化為通過導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性解決問題.11.C【解析】

根據(jù)題意,分2步進(jìn)行分析:①,將4人分成3組,②,甲不能安排木工工作,甲所在的一組只能安排給泥工或油漆,將剩下的2組全排列,安排其他的2項工作,由分步計數(shù)原理計算可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,分2步進(jìn)行分析:①,將4人分成3組,有種分法;②,甲不能安排木工工作,甲所在的一組只能安排給泥工或油漆,有2種情況,將剩下的2組全排列,安排其他的2項工作,有種情況,此時有種情況,則有種不同的安排方法;故選:C.本題考查排列、組合的應(yīng)用,涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12.A【解析】分析:根據(jù)離心率得a,c關(guān)系,進(jìn)而得a,b關(guān)系,再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程,得結(jié)果.詳解:∵e=因為漸近線方程為y=±bax點睛:已知雙曲線方程x2a2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

求出雙曲線的漸近線方程,求出準(zhǔn)線方程,求出三角形的頂點的坐標(biāo),然后求解面積.【詳解】解:雙曲線:雙曲線中,,,則雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為,雙曲線的漸近線方程為:,可得準(zhǔn)線方程與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形的頂點的坐標(biāo),,,,則三角形的面積為.故答案為:本題考查雙曲線方程的應(yīng)用,雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中檔題.14.3【解析】

由題意得,,再代入中,計算即可得答案.【詳解】由題意可得,,∴,解得,∴.故答案為:.本題考查向量模的計算,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查運算求解能力,求解時注意向量數(shù)量積公式的運用.15.【解析】分析:設(shè)O2(a,0),圓O2的半徑為r(變量),OP=t(常數(shù)),利用差角的正切公式,結(jié)合以AB為直徑的圓與圓x2+(y-2)2=1相外切.且∠APB的大小恒為定值,即可求出線段OP的長.詳解:設(shè)O2(a,0),圓O2的半徑為r(變量),OP=t(常數(shù)),則∵∠APB的大小恒為定值,

∴t=,∴|OP|=.故答案為點睛:本題考查圓與圓的位置關(guān)系,考查差角的正切公式,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.16.20【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為,由數(shù)列為等差數(shù)列,且,根據(jù)等差中項的性質(zhì)可得,,解方程求出公差,代入等差數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,由數(shù)列為等差數(shù)列知,,因為,所以,解得,所以數(shù)列的通項公式為,所以.故答案為:本題考查等差數(shù)列的概念及其通項公式和等差中項;考查運算求解能力;等差中項的運用是求解本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.【解析】

討論和的情況,然后再分對稱軸和區(qū)間之間的關(guān)系,最后求出最小值【詳解】當(dāng)時,,它在上是減函數(shù)故函數(shù)的最小值為當(dāng)時,函數(shù)的圖象思維對稱軸方程為當(dāng)時,,函數(shù)的最小值為當(dāng)時,,函數(shù)的最小值為當(dāng)時,,函數(shù)的最小值為綜上,本題主要考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題。18.(1)實地看病的滿意度更高,理由見解析;(2)列聯(lián)表見解析,有;(3).【解析】

(1)對實地看病滿意度更高,可以從莖葉圖四個方面選一個回答即可;(2)先完成列聯(lián)表,再由獨立性檢驗得有的把握認(rèn)為患者看病滿意度與看病方式有關(guān);(3)利用古典概型的概率公式求得這2人平分都低于90分的概率.【詳解】(1)對實地看病滿意度更高,理由如下:(i)由莖葉圖可知:在網(wǎng)絡(luò)看病中,有的患者滿意度評分低于80分;在實地看病中,有的患者評分高于80分,因此患者對實地看病滿意度更高.(ii)由莖葉圖可知:網(wǎng)絡(luò)看病滿意度評分的中位數(shù)為73分,實地看病評分的中位數(shù)為87分,因此患者對實地看病滿意度更高.(iii)由莖葉圖可知:網(wǎng)絡(luò)看病的滿意度評分平均分低于80分;實地看病的滿意度的評分平均分高于80分,因此患者對實地看病滿意度更高.(iV)由莖葉圖可知:網(wǎng)絡(luò)看病的滿意度評分在莖6上的最多,關(guān)于莖7大致呈對稱分布;實地看病的評分分布在莖8,上的最多,關(guān)于莖8大致呈對稱分布,又兩種看病方式打分的分布區(qū)間相同,故可以認(rèn)為實地看病評分比網(wǎng)絡(luò)看病打分更高,因此實地看病的滿意度更高.以上給出了4種理由,考生答出其中任意一一種或其他合理理由均可得分.(2)參加網(wǎng)絡(luò)看病滿意度調(diào)查的15名患者中共有5名對網(wǎng)絡(luò)看病滿意,10名對網(wǎng)絡(luò)看病不滿意;參加實地看病滿意度調(diào)查的15名患者中共有10名對實地看病滿意,5名對實地看病不滿意.故完成列聯(lián)表如下:滿意不滿意總計網(wǎng)絡(luò)看病51015實地看病10515總計151530于是,所以有的把握認(rèn)為患者看病滿意度與看病方式有關(guān).(3)網(wǎng)絡(luò)看病的評價的分?jǐn)?shù)依次為82,85,85,88,92,由小到大分別記為,從網(wǎng)絡(luò)看病的評價“滿意”的人中隨機(jī)抽取2人,所有可能情況有:;;;共10種,其中,這2人評分都低于90分的情況有:;;共6種,故由古典概型公式得這2人評分都低于90分的概率.本題主要考查莖葉圖的應(yīng)用和獨立性檢驗,考查古典概型的概率的計算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.19.(1).(2)【解析】

(1)設(shè)A的坐標(biāo)為A(x0,y0),由題意可得圓心C的坐標(biāo),求出C到直線x=1的距離.由半個弦長,圓心到直線的距離及半徑構(gòu)成直角三角形可得p的值,進(jìn)而求出拋物線的方程;(2)將拋物線的方程與圓的方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理,進(jìn)而求出中點G的坐標(biāo),再求出直線OG的斜率的表達(dá)式,換元可得斜率的取值范圍.【詳解】(1)設(shè)A(x0,y0)且y02=2px0,則圓心C(),圓C的直徑|AB|,圓心C到直線x=1的距離d=|1|=||,因為|MN|=2,所以()2+d2=()2,即1,y02=2px0,整理可得(2p﹣4)x0=0,所以p=2,所以拋物線的方程為:y2=4x;(2)聯(lián)立拋物線與圓的方程整理可得x2﹣2(5﹣p)x+16=0,△>0,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=2(5﹣p),x1x2=16,所以中點G的橫坐標(biāo)xG=5﹣p,yG(),所以kOG(0<P<1),令t=5﹣p(t∈(4,5)),則kOG(),解得0<kOG,所以直線OG斜率的取值范圍(0,).本題考查拋物線的性質(zhì)及直線與拋物線的綜合,換元方法的應(yīng)用,屬于中檔題.20.(1);(2).【解析】

(1)利用消去參數(shù),得到曲線的普通方程,再將,代入普通方程,即可求出結(jié)論;(2)由(1)得曲線表示圓,直線曲線C交于A,B兩點,最大值為圓的直徑,直線過圓心,即可求出直線的方程.【詳解】(1)由曲線C的參數(shù)方程(為參數(shù)),可得曲線C的普通方程為,因為,所以曲線C的極坐標(biāo)方程為,即.(2)因為直線(t為參數(shù))表示的是過點的直線,曲線C的普通方程為,所以當(dāng)最大時,直線l經(jīng)過圓心.直線l的斜率為,方程為,所以直線l的直角坐標(biāo)方程為.本題考查參數(shù)方程與普通方程互化、直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化、直線與曲線的位置關(guān)系,考查化歸和轉(zhuǎn)化思

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