2025年初中專練09 幾何題（20題）八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考點必殺200題（北師版）（解析版）

專練09幾何題（20題）1．（2022·全國·八年級期末）如圖，△ABC為等邊三角形，AE＝CD，AD、BE相交于點P．(1)求證：△ABE≌△CAD；(2)求∠BPD的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠BPD＝60°【解析】(1)證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，又∵AE＝CD，∴△ABE≌△CAD（SAS）；(2)解：由（1）得△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD，∴∠BPD＝∠BAD＋∠ABE＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝60°．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)及判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2021·云南紅河·八年級期末）如圖，在△ABC中，，點為的中點，邊的垂直平分線交、、于點、、，連接OA、OB．(1)求證：△OBC為等腰三角形；(2)若∠ACF=23°，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明；：∵AC=BC，點F為AB的中點，∴CF⊥AB，∴CF垂直平分AB，∴OA=OB，∵DE垂直平分AC，∴OA=OC，∴OB=OC，∴△OBC為等腰三角形；(2)解：∵CA=CB，CF⊥AB，∴CF平分∠ACB，∴∠BCF=∠ACF=23°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=23°，∵∠EDC=90°，∴∠DEC=180°-90°-∠DCE=90°-23°-23°=44°，∵∠OEC=∠OBE+∠BOE，∴∠BOE=44°-23°=21°.【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等知識；掌握相關(guān)性質(zhì)和定理是解題關(guān)鍵．3．（2022·河南·永城市教育體育局教研室八年級期末）已知M是等邊△ABC的邊BC上的點．(1)如圖①，過點M作MN∥CA，交AB于點N，求證：BM=BN；(2)如圖②，連接AM，過點M作∠AMH=60°，MH與∠ACB的鄰補角的平分線交于點H，過點H作HD⊥BC，交BC延長線于點D．（?。┣笞C：MA=MH；（ⅱ）直接寫出CB，CM，CD之間的數(shù)量關(guān)系式．【答案】(1)見解析(2)（ⅰ）見解析；（ⅱ）BCCM2CD【解析】(1)證明：∵，∴∠BMN=∠C=60°，∠BNM=∠B=60°，∴∠BMN=∠BNM，∴BM=BN；(2)（?。┳C明：如圖2，過M點作交AB于N，則BM=BN，∠ANM=120°∵AB=BC，∴AN=MC，∵CH是∠ACB外角平分線，所以∠ACH=60°，∴∠MCH=∠ACB+∠ACH=120°，又∵∠NMC=120°，∠AMH=60°，∴∠HMC+∠AMN=60°，又∵∠NAM+∠AMN=∠BNM=60°，∴∠HMC=∠MAN，在△ANM和△MCH中∵，∴△AMN≌△MHC（ASA），∴MA=MH；（ⅱ）CB=CM+2CD；理由如下：證明：如圖2，過M點作MG⊥AB于G，∵△AMN≌△MHC，∴MN=HC，∵△BMN為等邊三角形，MG⊥AB

∴MN=MB，BM=2BG，∴HC=BM，

在△BMG和△CHD中，∴△BMG≌△CHD（AAS），∴CD=BG，∴BM=2CD，所以BC=MC+2CD．【點睛】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是正確作出輔助線，熟練掌握證明三角形全等的方法．4．（2022·江蘇鹽城·八年級期末）已知：∠AOB＝120°，OC平分∠AOB．(1)把三角尺的60°角的頂點落在射線OC上的任意一點P處，繞點P轉(zhuǎn)動三角尺，某一時刻，恰好使得OE＝OF（圖1），此時PE與PF相等嗎？為什么？(2)把三角尺繼續(xù)繞點P轉(zhuǎn)動，兩邊分別交OA、OB于點E、F（圖2），求證：△PEF為等邊三角形．【答案】(1)相等，理由見解析(2)見解析【解析】(1)解：，理由如下：∵平分，∴，∵，，∴，∴；(2)證明：在OB上取OD=OP，連接PD，∵OC平分，，是等邊三角形，，，，，即：，，，，，是等邊三角形．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022·河南信陽·八年級期末）如圖，ΔABC，ΔADE均是等邊三角形，點B，D，E三點共線，連按CD，CE；且CD⊥BE．(1)求證：BD=CE；(2)若線段DE=3，求線段BD的長．【答案】(1)見解析(2)6【解析】(1)證明：∵△ABC、△ADE是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE；(2)解：∵△ADE是等邊三角形，∴∠ADE=∠AED=60°，∵點B，D，E三點共線∴∠ADB=120°，∵△ABD≌△ACE，∴∠AEC=∠ADB=120°，∴∠CED=∠AEC-∠AED=60°，∵CD⊥BE，∴∠CDE=90°，∴∠DCE=30°，∴BD=CE=2DE=6．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是本題的關(guān)鍵．6．（2021·重慶市黔江區(qū)教育科學(xué)研究所八年級期末）如圖，在中，，，平分，交于點．(1)求作的垂直平分線；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，若交于點，連接．求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】(1)解：以點A，B為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，交于兩點，過這兩點作直線MN，則MN為所求，如圖，即為所求；(2)證明：，且，，，是的平分線，，是的垂直平分線，，，，又是的一個外角，，，．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖—作線段的垂直平分線，三角形的內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合題意和圖形準(zhǔn)確找到相關(guān)角的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．7．（2022·廣西百色·八年級期末）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，AD與EF相交于點M．(1)求證：△ADE≌△ADF；(2)求證：AD垂直平分EF．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】(1)證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，∴在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）；(2)證明：∵Rt△ADE≌Rt△ADF∴AE＝AF又∵AD是△ABC的角平分線∴AD是線段EF的垂直平分線．【點睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理、“HL”及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理、“HL”及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2022·河北唐山·八年級期末）已知：如圖，在中，，，，垂足分別為D、E，與交于點O．發(fā)現(xiàn)：與有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；探索：判斷的形狀，并說明理由；拓展：連接并延長，交于點F，請你直接寫出一條關(guān)于的結(jié)論．【答案】發(fā)現(xiàn)：BD=CE，理由見詳解；探索：△BOC是等腰三角形，理由見詳解；拓展：AF⊥BC，理由見詳解（或者AF平分∠BAC，證明過程同AF⊥BC的證明過程）【解析】發(fā)現(xiàn)：BD=CE，理由如下：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠CEB=∠BDC=90°，又有BC=CB，∴，∴BD=CE，得證；探索：△BOC是等腰三角形，理由如下：在“發(fā)現(xiàn)”中已經(jīng)證得，∴∠DBC=∠ECB，∴有OC=OB，即△BOC是等腰三角形，得證；拓展：AF⊥BC，理由如下：如圖：在“探索”中已經(jīng)證得BO=CO，又∵AB=AC，AO=AO，∴，∴∠EAO=∠DAO，∴AF平分∠BAC，又∵AB=AC，AF=AF，∴，∴∠AFB=∠AFC=90°，∴AF⊥BC．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的判定等知識，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．9．（2022·湖北襄陽·八年級期末）已知四邊形中，，，，，，將繞點旋轉(zhuǎn)．(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖的位置，此時的兩邊分別交，于，，且，求證：；(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖的位置，此時的兩邊分別交，于，，且時，小穎猜想中的仍然成立，并嘗試作出了延長至點，使，連接，請你證明小穎的猜想；(3)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖的位置，此時的兩邊分別交，于，，猜想線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，見解析【解析】(1)證明：①在和中，，≌．；②由知≌，．，，∴是等邊三角形．．；(2)解：延長至點使得，如圖．在和.中，≌．，，，，即，，．在和中，，≌．．．；(3)解：如圖，猜想．證明如下：在的延長線上取點，使，連接．在和中，≌．，，，，即．，．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線和理解相關(guān)知識是解答關(guān)鍵．10．（2022·云南紅河·八年級期末）如圖，已知中，，于點，的平分線分別交，于點．(1)試說明是等腰三角形；(2)若點恰好在線段的垂直平分線上，猜想：線段與線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)在（2）的條件下，若，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析(3)4【解析】(1)∵，∴，∵，∴，∴∵是的平分線，∴，∵，，∴∴．∴是等腰三角形；(2)理由如下：∵點恰好在線段的垂直平分線上，∴，∴，∵是的平分線，∴，∴，∵∴，∴∴．(3)過點作于點，由（2）得，，∵，∴，∵是的平分線，，∴∴．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)等知識點，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．11．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┰凇鰽BC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E．(1)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1所示位置時，求證：DE=AD-BE；(2)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2、圖3所示位置時，補全圖形，并探索線段DE、AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出答案）．【答案】(1)見解析；(2)如圖2所示：DE=BE-AD；如圖3所示：DE=BE+AD【解析】(1)證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90，在Rt△CEB中，∠CBE+∠BCE=90，又∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90，∴∠CBE=∠ACD，在△ADC與△CEB中，，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴CD=BE，AD=CE，∴DE=CE-CD=AD-BE；(2)如圖2所示：DE=BE-AD；如圖3所示：DE=BE+AD，理由：如圖2，∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90，在Rt△CEB中，∠CBE+∠BCE=90，又∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90，∴∠CBE=∠ACD，在△ADC與△CEB中，，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴CD=BE，AD=CE，∴DE=CD-CE=BE-AD；圖3的證明方法與圖2相同，均是通過證明△ADC≌△CEB(AAS)來得到結(jié)論．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明△ADC≌△CEB(AAS)是解答本題的關(guān)鍵．12．（2022·河南南陽·八年級期末）解決問題(1)感知：如圖1，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝x，將邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，過點D作DE⊥CB交CB的延長線于點E，連接CD．則線段BC與DE的數(shù)量關(guān)系是_____，△BCD的面積為______（用含x的式子表示）；(2)應(yīng)用：如圖2，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝x，將邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連接CD，用含x的式子表示△BCD的面積，并說明理由．(3)拓展：如圖3所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，將邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AB⊥BD，連接CD，若△BCD的面積為9，則CD的長為_______.【答案】(1)BC=DE，x2；(2)S△BCD=x2，理由見解析；(3)【解析】(1)解：由題意得：△BDE≌△ABC，∴DE=BC=x，∴S△BCD=BC?DE=x2，故答案是：BC=DE，x2；(2)解：如圖1，S△BCD=x2，理由如下：作DE⊥CB于E，∴∠E=∠ACE=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°，∴∠A=∠DBE，在Rt△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴DE=BC=x，∴S△BCD=BC?DE=x2；(3)解：如圖2，作AF⊥BC于F，作DE⊥CB于E，由（2）知：△ABF≌△BDE，∴DE=BF，BE=AF，∵AC=AB，∴BF=BC，∴S△BCD=BC?DE，∴BF2=9，∴BF=3，∴AF==4，BC=2BF=6，在Rt△CDE中，CE=BC+BE=6+4=10，DE=3，∴CD=．故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“一線三等角”模型．13．（2022·湖北武漢·八年級期末）如圖，在等邊△ABC中，D為BC上一點，DEAB，且DE＝BD．(1)如圖1，若點E在AC邊上，求證：AE＝CE；(2)如圖2，若點E在△ABC內(nèi)，連接CE，F(xiàn)為CE的中點，連接AF、DF，求證：AF⊥DF；(3)如圖3，點N為AB邊上一點，連接BE，AN＝BE．若CN＋CE的值最小時，∠NCE的度數(shù)為___________°（直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)30【解析】(1)證明：連接，在等邊中，∠ABC=60°，∵，∴∠EDC=∠ABC=60°，且，∴，∴平分，∴；(2)證明：連接，延長到點，使，連接，，∵為的中點，∴，又，∴，∴，，∴，又，∴，∴∠ABC+∠BCG=180°，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ACG=60°，∴∠ABC=∠ACB=∠ACG=60°，又，∴，又，∴，∴，；(3)將△CAN繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，到△CBM，點N的對應(yīng)點為點M，連接ME，MN，EN，則∠A=∠CMB=60°,AN=BM，∴∠EBM=∠EBC+∠CBM=30°+60°=90°，∵AN=BE，∴BM=BE，∴△BEM是等腰直角三角形，∵∠MCN=∠ACB=60°，CM=CN，∴△CMN是等邊三角形，∴CM=CN，∴CE+CN=CE+CM，當(dāng)△CEM是直角三角形，∠MCE==90°時，CE+CM的值最小，CE+CN的值就最小，此時∠ECN=∠MCE-∠MCN=30°，故當(dāng)CE+CN的值最小時，∠ECN=．故答案為30【點睛】本題主要考查了等腰三角形，等邊三角形，全等三角形，旋轉(zhuǎn)．熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，是解決此類問題的關(guān)鍵．14．（2022·江蘇宿遷·八年級期末）問題背景：如圖1，在等邊中，點為邊上一個動點（點不與，重合），連接，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°到，連接．探究、、之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)的探究思路是：過點作，交邊于點（如圖2），易證是等邊三角形，并且，所以，從而．(1)結(jié)論應(yīng)用：①在圖1中，若，，則______cm；②在圖1中，若，點為的中點，則的最小值為______cm；(2)類比探究：如圖3，若點為等邊邊延長線上一點，連接，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°到，連接．若，，求的長．(3)拓展延伸：如圖4，是等腰直角三角形，，，點為邊上一個動點（點不與、重合），連接，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°到，連接．直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①3；②(2)(3)【解析】(1)解：①作PE∥AB，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴∠PEC=∠CPE=∠B=60°∴△PEC為等邊三角形∴PE=PC又∵∠APE+∠EPD=∠EPD+∠DPC=60°∴∠APE=∠DPC在△PEA與△PCD中，∴△PEA≌△PCD(SAS)∴CD=AE∵PC=CE∴AC=AE+EC=CD+PC∵AC=5，CD=2∴PC=AC-CD=3故答案為：3；②∵O為AC的中點∴AO=CO==2（cm）由①知，∠AEP=∠PCD=120°∵∠ACB=60°∴∠ACD=60°為定角，∵OC=2∴當(dāng)OD⊥CD時，OD最小∴此時∠DOC=30°∴CD=OC=1∴OD=（cm）故答案為：．(2)解：如圖，過點作，交邊延長線于點，則∠CPE=∠B=60°，∠E=∠BAC=60°∴是等邊三角形，∴PC=PE=CE∵繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°到∴∠APD=∠CPE=60°∴∠CPD=∠APE在△PCD和△PEA中∴（SAS）∴，∴(3)解：作PM⊥AB交AC于M．如圖，∵△ABC是等腰直角三角形∴△PMC是等腰直角三角形∴MC=∵∠PMC=45°∴∠AMP=135°又∵∠APM+∠MPD=∠MPD+∠DPC=90°∴∠APM=∠DPC在△AMP和△DCP中，∴△AMP≌△DCP（SAS）∴AM=CD∵AC=AM+MC，AM=CD，MC=∴【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，采取類比的方法是解題的關(guān)鍵．15．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┮阎?，是對角線與的交點，是的中位線，聯(lián)結(jié)并延長與的延長線交于點，聯(lián)結(jié)．求證：四邊形是平行四邊形．【答案】證明見解析【解析】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴且，∵是的中位線，∴點是的中點，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵即，∴四邊形是平行四邊形．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，中位線的定義等知識．注意證得是解此題的關(guān)鍵．16．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，在中，，是上一點，交于點，且，是上一點，，連接．(1)試判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)求證：．【答案】(1)四邊形是等腰梯形；證明見解析(2)證明見解析【解析】(1)解：結(jié)論：四邊形是等腰梯形．理由：∵、是的兩邊，∴與不平行，即與不平行，∵，∴四邊形是梯形，∵，∴，∴梯形是等腰梯形．(2)證明：∵梯形是等腰梯形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴．【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰梯形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵是掌握等腰梯形的判定方法，平行四邊形的判定方法．17．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，平行四邊形的對角線、交于點，，，連接．(1)求證：；(2)求證：四邊形是平行四邊形．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】(1)證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴．(2)∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定、平行線的性質(zhì)和判定等知識．解題的關(guān)鍵是首先證明四邊形是平行四邊形．18．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┰诘冗呏?，點是線段BC的中點，與線段AB相交于點與射線AC相交于點F．(1)如圖，若，垂足為求BE的長；(2)如圖，將（1）中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF仍與線段AC相交于點F．求證：．(3)如圖，將（2）中的繼續(xù)繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使DF與線段AC的延長線交于點F作于點N，若設(shè)，寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．【答案】(1)BE＝1(2)見解析(3)y=【解析】(1)如圖1，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，BC＝AC＝AB＝4．∵點D是線段BC的中點，∴BD＝DC＝BC＝2．∵DF⊥AC，即∠AFD＝90°，∴∠AED＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，∴∠BED＝90°，∴∠BDE=30°，∴BE＝BD＝1；(2)過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如圖2，則有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．∵∠A＝60°，∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．∵∠EDF＝120°，∴∠MDE＝∠NDF．在△MBD和△NCD中，∵∠BMD＝∠CND，∠B＝∠C，BD=CD，∴△MBD≌△NCD（AAS），∴BM＝CN，DM＝DN．在△EMD和△FND中，∵∠EMD＝∠FND，DM＝DN，∠MDE＝∠NDF，∴△EMD≌△FND（ASA），∴EM＝FN，∴BE+CF＝BM+EM+CN－FN＝BM+CN＝2BM＝BD＝BC＝AB；(3)過點D作DM⊥AB于M，如圖3，同（2）的方法可得：BM＝CN，DM＝DN，EM＝FN．∵DN＝FN，∴DM＝DN＝FN＝EM，∴BE+CF＝BM+EM+FN－CN＝NF+EM＝2DM=x+y，BE﹣CF＝BM+EM﹣（FN－CN）＝BM+NC＝2BM=x－y，在Rt△BMD中，∵∠BDM=30°，∴BD=2BM，∴DM＝，∴，整理，得．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、30°角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，具有一定的綜合性，正確添加輔助線、熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵．19．（2022·湖南永州·八年級期末）△ACB和△DCE是共頂點C的兩個大小不一樣的等邊三角形．(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點A，D，E在同一直線上，連接AE，BE．①求證：△ACD≌△BCE；②求∠AEB的度數(shù)．(2)類比探究：如圖2，點B、D、E在同一直線上，連接AE，AD，BE，CM為△DCE中DE邊上的高，請求∠ADB的度數(shù)及線段DB，AD，DM之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)拓展延伸：如圖3，若設(shè)AD（或其延長線）與BE的所夾銳角