高中數(shù)學(xué)第六章推理與證明6.2直接證明與間接證明6.2.2間接證明：反證法

1．了解間接證實一個基本方法——反證法．2．了解反證法思索過程、特點．3．結(jié)合已經(jīng)學(xué)過數(shù)學(xué)實例，了解反證法推理過程，證實步驟，體會直接證實與間接證實區(qū)分與聯(lián)絡(luò)．6．2.2間接證實：反證法【課標(biāo)要求】

第1頁1．間接證實不是從正面確定論題真實性，而是證實它

為假，或改證它

為真，以間接地到達目標(biāo)．

是間接證實一個基本方法．2．普通地，先假設(shè)原命題

，從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理，得出與已知事實相矛盾結(jié)果，這個矛盾結(jié)果說明原命題結(jié)論否定不成立，從而間接必定了原命題結(jié)論成立，像這么一個間接證法，稱為

．自學(xué)導(dǎo)引反論題等價命題反證法否定成立反證法第2頁3．反證法證題普通步驟：(1)

；(2)

；(3)

．4．利用反證法關(guān)鍵是

．反設(shè)歸謬結(jié)論導(dǎo)出矛盾第3頁有些人說，反證法就是經(jīng)過證實逆否命題來證實原命題，這種說法對嗎？為何？提醒

這種說法是錯誤，反證法是否定命題，然后再證實命題否定是錯誤，從而必定原命題正確，不是經(jīng)過逆否命題證題．命題否定與原命題是對立，原命題為真，其命題否定一定為假．自主探究第4頁用反證法證實命題“三角形三個內(nèi)角中最少有一個大于等于60°”時，反設(shè)正確是 (

)A．三個內(nèi)角都小于60°B．三個內(nèi)角都大于60°C．三個內(nèi)角中至多有一個大于60°D．三個內(nèi)角中至多有兩個大于60°解析

“最少有一個”否定是“一個都沒有”，則反設(shè)為“三個內(nèi)角都小于60°”．答案：A預(yù)習(xí)測評1．第5頁反證法關(guān)鍵是在正確推理下得出矛盾，這個矛盾能夠是(

)①與已知條件矛盾②與假設(shè)矛盾③與定義、公理、定理矛盾④與事實矛盾A．①②

B．①③

C．①③④

D．①②③④答案

D“x＝0且y＝0”否定形式為________．答案：x≠0或y≠0用反證法證實：“△ABC中，若∠A＞∠B，則a＞b”結(jié)論否定為________．答案

a≤b2．3．4．第6頁間接證實不是從正面確定命題真實性，而是證實它結(jié)論否定不成立，或改證它等價命題為真，以間接地到達目標(biāo)，反證法是間接證實一個基本方法．反證法在于表明：若必定命題條件而否定其結(jié)論，就會造成矛盾．詳細地說，反證法不直接證實命題“若p則q”，而是先必定命題條件p，并否定命題結(jié)論q，即從原命題否定入手，由p與綈q合乎邏輯地推出一個矛盾結(jié)果；依據(jù)矛盾律，兩個相互矛盾判斷不能同真，必有一假，斷定命題否定為假；從而依據(jù)排中律，兩個相互矛盾判斷不能同假，必有一真．由此必定命題“若p則q”為真．關(guān)鍵點闡釋第7頁第8頁第三步：由p和綈q出發(fā)，應(yīng)用正確推理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步：斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果原因在于開始所作假定綈q不真，于是原結(jié)論q成立，從而間接地證實了命題p→q為真．第三步所說矛盾結(jié)果，通常是指推出結(jié)果與已知公理、已知定義、已知定理或已知條件矛盾，與暫時假定矛盾以及自相矛盾等各種情況．第9頁典例剖析題型一“至多”、“最少”型問題第10頁點評從正面說明需分各種情況討論，而從反面進行證實只要研究一個情況題目，適宜用反證法．第11頁若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，求證：方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至多有一個實根．證實假設(shè)方程f(x)＝0在[a，b]上最少有兩個實根α，β，即f(α)＝f(β)＝0.∵α≠β，不妨設(shè)α>β.又∵f(x)在[a，b]上為增函數(shù)，∴f(α)>f(β)，這與f(α)＝f(β)＝0矛盾．所以f(x)＝0在[a，b]上至多有一個實根．1．第12頁如圖所表示，設(shè)SA、SB是圓錐SO兩條母線，O是底面圓心，C是SB上一點，求證：AC與平面SOB不垂直．證實假設(shè)AC⊥平面SOB，因為直線SO在平面SOB內(nèi)，所以SO⊥AC.因為SO⊥底面圓O，所以SO⊥AB.所以SO⊥平面SAB.所以平面SAB∥底面圓O.這顯然與平面SAB與底面圓O相交矛盾，所以假設(shè)不成立，即AC與平面SOB不垂直．題型二“否定性”“必定性”問題【例2】

第13頁點評否定性問題慣用反證法，比如證實異面直線，能夠假設(shè)共面，再把假設(shè)作為已知條件推導(dǎo)出矛盾．第14頁若a是整數(shù)，且a2能被4整除，求證：a能被2整除．證實假設(shè)a不能被2整除，則a≠2n(n∈Z)，所以a2≠4n2，所以a2不一定能被4整除，這與已知相矛盾，假設(shè)不成立，即a能被2整除．2．第15頁函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，對命題“若a＋b≥0(a、b∈R)，則f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)寫出其逆命題，判斷其真假，并證實你結(jié)論；(2)寫出其逆否命題，判斷其真假，并證實你結(jié)論．解

(1)逆命題是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0.(真命題)下面用反證法證實：假設(shè)a＋b＜0，則a＜－b，b＜－a.因為f(x)是(－∞，＋∞)上增函數(shù)，則f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，所以f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，與已知條件矛盾，故假設(shè)不成立，所以逆命題為真．題型三綜合性問題【例3】第16頁(2)逆否命題：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，則a＋b＜0，(真命題)下面用反證法證實：假設(shè)a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a，因為f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．與已知矛盾，故假設(shè)不成立，所以逆否命題為真．點評