2024年高考數(shù)學(xué)考綱解讀與熱點(diǎn)難點(diǎn)突破專題13空間幾何體熱點(diǎn)難點(diǎn)突破理含解析

PAGEPAGE1空間幾何體1．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，l是一條直線，給出下列說法：①若l⊥α，α⊥β，則l∥β；②若l∥α，α∥β，則l∥β；③若l⊥α，α∥β，則l⊥β；④若l∥α，α⊥β，則l⊥β.其中說法正確的個(gè)數(shù)為()A．3B．2C．1D．4答案C解析①若l⊥α，α⊥β，則l∥β或l?β，不正確；②若l∥α，α∥β，則l∥β或l?β，不正確；③若l⊥α，α∥β，則l⊥β，正確；④若l∥α，α⊥β，則l⊥β或l∥β或l與β相交且l與β不垂直，不正確，故選C.2．如圖，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示GH，MN是異面直線的圖形的序號為()A．①②B．③④C．①③D．②④答案D解析由題意可得圖①中GH與MN平行，不合題意；圖②中GH與MN異面，符合題意；圖③中GH與MN相交，不合題意；圖④中GH與MN異面，符合題意．8．已知正四棱錐P－ABCD的各頂點(diǎn)都在同一球面上，底面正方形的邊長為eq\r(2)，若該正四棱錐的體積為2，則此球的體積為()A.eq\f(124π,3)B.eq\f(625π,81)C.eq\f(500π,81)D.eq\f(256π,9)答案C解析如圖所示，設(shè)底面正方形ABCD的中心為O′，正四棱錐P－ABCD的外接球的球心為O，∵底面正方形的邊長為eq\r(2)，∴O′D＝1，∵正四棱錐的體積為2，∴VP－ABCD＝eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×PO′＝2，解得PO′＝3，∴OO′＝|PO′－PO|＝|3－R|，在Rt△OO′D中，由勾股定理可得OO′2＋O′D2＝OD2，即(3－R)2＋12＝R2，解得R＝eq\f(5,3)，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))3＝eq\f(500π,81).9．在三棱錐S－ABC中，側(cè)棱SA⊥底面ABC，AB＝5，BC＝8，∠ABC＝60°，SA＝2eq\r(5)，則該三棱錐的外接球的表面積為()A.eq\f(64,3)π B.eq\f(256,3)πC.eq\f(436,3)π D.eq\f(2048\r(3),27)π答案B解析由題意知，AB＝5，BC＝8，∠ABC＝60°，則依據(jù)余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2×AB×BC×cos∠ABC，解得AC＝7，設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，則△ABC的外接圓直徑2r＝eq\f(AC,sinB)＝eq\f(7,\f(\r(3),2))，∴r＝eq\f(7,\r(3))，又∵側(cè)棱SA⊥底面ABC，∴三棱錐的外接球的球心到平面ABC的距離d＝eq\f(1,2)SA＝eq\r(5)，則外接球的半徑R＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,\r(3))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5)))2)＝eq\r(\f(64,3))，則該三棱錐的外接球的表面積為S＝4πR2＝eq\f(256,3)π.10．一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．16 B．8eq\r(2)＋8C．2eq\r(2)＋2eq\r(6)＋8 D．4eq\r(2)＋4eq\r(6)＋8答案D解析由三視圖知，該幾何體是底面邊長為eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)的正方形，高PD＝2的四棱錐P－ABCD，因?yàn)镻D⊥平面ABCD，且四邊形ABCD是正方形，易得BC⊥PC，BA⊥PA，又PC＝eq\r(PD2＋CD2)＝eq\r(22＋2\r(2)2)＝2eq\r(3)，所以S△PCD＝S△PAD＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2)，S△PAB＝S△PBC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(3)＝2eq\r(6).所以幾何體的表面積為4eq\r(6)＋4eq\r(2)＋8.11．在正三棱錐S－ABC中，點(diǎn)M是SC的中點(diǎn)，且AM⊥SB，底面邊長AB＝2eq\r(2)，則正三棱錐S－ABC的外接球的表面積為()A．6π B．12πC．32π D．36π答案B解析因?yàn)槿忮FS－ABC為正三棱錐，所以SB⊥AC，又AM⊥SB，AC∩AM＝A，AC，AM?平面SAC，所以SB⊥平面SAC，所以SB⊥SA，SB⊥SC，同理SA⊥SC，即SA，SB，SC三線兩兩垂直，且AB＝2eq\r(2)，所以SA＝SB＝SC＝2，所以(2R)2＝3×22＝12，所以球的表面積S＝4πR2＝12π，故選B.12．若四棱錐P－ABCD的三視圖如圖所示，則該四棱錐的外接球的表面積為()A.eq\f(81π,5)B.eq\f(81π,20)C.eq\f(101π,5)D.eq\f(101π,20)答案C解析依據(jù)三視圖還原幾何體為一個(gè)四棱錐P－ABCD，如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，由于△PAD為等腰三角形，PA＝PD＝3，AD＝4，四邊形ABCD為矩形，CD＝2，過△PAD的外心F作平面PAD的垂線，過矩形ABCD的中心H作平面ABCD的垂線，兩條垂線交于一點(diǎn)O，則O為四棱錐外接球的球心，在△PAD中，cos∠APD＝eq\f(32＋32－42,2×3×3)＝eq\f(1,9)，則sin∠APD＝eq\f(4\r(5),9)，2PF＝eq\f(AD,sin∠APD)＝eq\f(4,\f(4\r(5),9))＝eq\f(9\r(5),5)，PF＝eq\f(9\r(5),10)，PE＝eq\r(9－4)＝eq\r(5)，OH＝EF＝eq\r(5)－eq\f(9\r(5),10)＝eq\f(\r(5),10)，BH＝eq\f(1,2)eq\r(16＋4)＝eq\r(5)，OB＝eq\r(OH2＋BH2)＝eq\r(\f(5,100)＋5)＝eq\f(\r(505),10)，所以S＝4π×eq\f(505,100)＝eq\f(101π,5).13．如圖所示，正方形ABCD的邊長為2，切去陰影部分圍成一個(gè)正四棱錐，則正四棱錐側(cè)面積的取值范圍為()A．(1,2) B．(1,2]C．(0,2] D．(0,2)答案D解析設(shè)四棱錐一個(gè)側(cè)面為△APQ，∠APQ＝x，過點(diǎn)A作AH⊥PQ，則AH＝eq\f(1,2)PQ×tanx＝eq\f(AC－PQ,2)＝eq\f(2\r(2)－PQ,2)＝eq\r(2)－eq\f(1,2)PQ，∴PQ＝eq\f(2\r(2),1＋tanx)，AH＝eq\f(\r(2)tanx,1＋tanx)，∴S＝4×eq\f(1,2)×PQ×AH＝2×PQ×AH＝2×eq\f(2\r(2),1＋tanx)×eq\f(\r(2)tanx,1＋tanx)＝eq\f(8tanx,1＋tanx2)，x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∵S＝eq\f(8tanx,1＋tanx2)＝eq\f(8tanx,1＋tan2x＋2tanx)＝eq\f(8,\f(1,tanx)＋tanx＋2)≤eq\f(8,2＋2)＝2，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)且僅當(dāng)tanx＝1，即x＝\f(π,4)時(shí)取等號))，而tanx>0，故S>0，∵S＝2時(shí)，△APQ是等腰直角三角形，頂角∠PAQ＝90°，陰影部分不存在，折疊后A與O重合，構(gòu)不成棱錐，∴S的取值范圍為(0,2)，故選D.14．已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是頂角為120°的等腰三角形，側(cè)(左)視圖為直角三角形，則該三棱錐的表面積為________，該三棱錐的外接球的體積為________．答案4＋eq\r(3)＋eq\r(15)eq\f(20\r(5),3)π解析由三視圖得幾何體的直觀圖如圖所示，∴S表＝2×eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\r(5)＋eq\f(1,2)×2eq\r(3)×1＝4＋eq\r(15)＋eq\r(3).以D為原點(diǎn)，DB所在直線為x軸，DE所在直線為y軸，DA所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則D(0,0,0)，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(－1，eq\r(3)，0)，設(shè)球心坐標(biāo)為(x，y，z)，∵(x－2)2＋y2＋z2＝x2＋y2＋z2，①x2＋y2＋(z－2)2＝x2＋y2＋z2，②(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＋z2＝x2＋y2＋z2，③∴x＝1，y＝eq\r(3)，z＝1，∴球心坐標(biāo)是(1，eq\r(3)，1)，∴球的半徑是eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)))2＋12)＝eq\r(5).∴球的體積是eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5)))3＝eq\f(20\r(5),3)π.15.如圖所示，三棱錐P－ABC中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，D是線段AB的中點(diǎn)，DE∩PB＝E，且DE⊥AB，若∠EDC＝120°，PA＝eq\f(3,2)，PB＝eq\f(3\r(3),2)，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為________．答案13π解析在三棱錐P－ABC中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，設(shè)△ABC的外心為O1，外接圓的半徑O1A＝eq\f(3,2sin60°)＝eq\r(3)，在△PAB中，PA＝eq\f(3,2)，PB＝eq\f(3\r(3),2)，AB＝3，滿意PA2＋PB2＝AB2，所以△PAB為直角三角形，△PAB的外接圓的圓心為D，由于CD⊥AB，ED⊥AB，∠EDC＝120°為二面角P－AB－C的平面角，分別過兩個(gè)三角形的外心O1，D作兩個(gè)半平面的垂線交于點(diǎn)O，則O為三棱錐P－ABC的外接球的球心，在Rt△OO1D中，∠ODO1＝30°，DO1＝eq\f(\r(3),2)，則cos30°＝eq\f(O1D,OD)＝eq\f(\r(3),2OD)，OD＝1，連接OA，設(shè)OA＝R，則R2＝AD2＋OD2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋12＝eq\f(13,4)，S球＝4πR2＝4π×eq\f(13,4)＝13π.如圖，過P作PO⊥AE，垂足為O，因?yàn)槠矫鍼AE⊥平面ABCDE，平面PAE∩平面ABCDE＝AE，PO?