數(shù)學(xué)史知識(shí)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的初探

目錄

L.赤字和負(fù)數(shù)....................................................錯(cuò)誤!未定義書簽。

2.話說(shuō)有理數(shù).....................................................................3

江沾滿鮮血的一個(gè)數(shù)一一A..........................................................................................................3

生“化圓為方”問(wèn)題..............................................錯(cuò)誤!未定義書簽。

2代數(shù)式歷史發(fā)展的三步曲........................................................6

區(qū)“一元一次方程”小史.........................................錯(cuò)誤!未定義書簽。

乙未知數(shù)與方程的解..............................................................8

區(qū)自然數(shù)........................................................錯(cuò)誤!未定義書簽。

江古人測(cè)量太陽(yáng)高度的方法.......................................錯(cuò)誤!未定義書簽。

LL巧用等腰三角形知識(shí)，測(cè)金字塔的高............................錯(cuò)誤!未定義書簽。

心概率中的故事與故事中的概率..................................錯(cuò)誤!未定義書簽。

12.數(shù)學(xué)史中的二元一次方程式....................................................14

國(guó)中國(guó)的半符號(hào)代數(shù)——天元術(shù)和四元術(shù)........................錯(cuò)誤!未定義書簽。

目函數(shù)小史.....................................................錯(cuò)誤!未定義書簽。

15.”一元二次方程”小史........................................錯(cuò)誤!未定義書簽。

電一元三次方程的故事..........................................................21

”不定方程和韓信點(diǎn)兵..........................................錯(cuò)誤!未定義書簽。

叁方程的歷史...................................................錯(cuò)誤!未定義書簽。

里黃金分割.....................................................錯(cuò)誤!未定義書簽。

辿坐標(biāo)系的由來(lái).................................................錯(cuò)誤!未定義書簽。

2L數(shù)學(xué)神童維納的年齡..........................................錯(cuò)誤!未定義書簽。

22.哥德巴赫猜想................................................................322

22韋達(dá)與根的判別式............................................錯(cuò)誤!未定義書簽。

為小歐拉智改羊圈...............................................錯(cuò)誤!未定義書簽。

坦可用于與外星人交流的語(yǔ)言：勾股定理.........................................38

絕數(shù)學(xué)世界三大難題..........................................錯(cuò)誤!未定義書簽。2

公三次數(shù)學(xué)危機(jī)..............................................錯(cuò)誤!未定義書簽。4

迄數(shù)學(xué)之美..................................................錯(cuò)誤!未定義書簽。8

空由博弈產(chǎn)生的概率..........................................錯(cuò)誤!未定義書簽。1

幽不會(huì)考試的數(shù)學(xué)家埃爾米特................................錯(cuò)誤!未定義書簽。2

編者：吳志明供學(xué)生閱讀

1.赤字和負(fù)數(shù)

一個(gè)會(huì)計(jì)的會(huì)計(jì)簿中，有時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)用紅筆寫的數(shù)字，這叫“赤字”，表示是會(huì)計(jì)付出的

錢。一個(gè)國(guó)家，如果支出大于收入，那么也稱為出現(xiàn)“赤字”。這種用不同顏色的數(shù)字來(lái)區(qū)

別正數(shù)和負(fù)數(shù)的做法，最早是源于古代中國(guó)的。

中國(guó)古代用算籌進(jìn)行計(jì)算，稱為籌算，這種算籌最初是用竹子制成的，長(zhǎng)度大約13-

-16cm,徑約0.3cm,后來(lái)發(fā)現(xiàn)也有木、骨或金屬制的算籌。用籌排出數(shù)碼有縱橫兩種式樣

（如圖所示）：

II?41<IS>

iiiininimuTTIITI

一=三11X

這與老式鐘表上的西方常用的羅馬數(shù)字的原理是一致的。

多位數(shù)的排法是：個(gè)位、百位、萬(wàn)位上的數(shù)用縱式，十位、千位上的數(shù)字用橫線，間隔

著寫，在最后一數(shù)上加一斜杠表示負(fù)數(shù)，如873190783和-873190783表示成如下圖所示。

873190783

￥1lll-WT±lll

TT1lll-W

-873190763

這種籌算制度，早在秦漢以前就已形成，到了西漢末年（公元前1世紀(jì)），我國(guó)數(shù)學(xué)家

們對(duì)先秦時(shí)期的數(shù)學(xué)成就就作了總結(jié)，寫成了《九章算術(shù)》這篇數(shù)學(xué)古典名著。

《九章算術(shù)》中的數(shù)學(xué)成就很多，其中的一項(xiàng)重要成就是肯定負(fù)數(shù)的存在，并且闡明了

正負(fù)數(shù)加、減運(yùn)算性質(zhì)。

《九章算術(shù)》中的“正負(fù)術(shù)”是這樣的：“同名相符，異名相益，正無(wú)入負(fù)之，負(fù)無(wú)入

正之。其異名相符，同名相益，正無(wú)入正之，負(fù)無(wú)入負(fù)之?！?/p>

如果用今天的符號(hào)來(lái)表示，就是：正負(fù)數(shù)減法法則

a—(―Z?)=a+b（異名相益）

0—(a)=—ci（正無(wú)入負(fù)之）

0—(―tz)=a（負(fù)無(wú)入正之）

正負(fù)數(shù)加法法則：

(一〃)+(―Z?)——(a+b)（同名相益）

0+⑷=a（正無(wú)入正之）

0+(―a)=一a（負(fù)無(wú)入負(fù)之）

至于正負(fù)數(shù)減法如何進(jìn)行，三國(guó)時(shí)期的平民數(shù)學(xué)家劉徽在注《九章算術(shù)》時(shí)說(shuō)：“今算

得失相反，要令正負(fù)以名之，正酸赤，負(fù)算黑。否則以邪正為異。”這里明確指出：正數(shù)與

負(fù)數(shù)是“得失相反”性質(zhì)不同的數(shù)，和正數(shù)可以進(jìn)行運(yùn)算。運(yùn)算時(shí)，用不同顏色的算籌來(lái)區(qū)

別正、負(fù)數(shù)（雖然這里用紅色表示正數(shù)），這在世界上是關(guān)于負(fù)數(shù)的最早記錄。

公元5世紀(jì)，東方另一個(gè)文明古國(guó)印度的早期數(shù)學(xué)家也承認(rèn)“負(fù)數(shù)”是一種新的數(shù)，并

在數(shù)字上加一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示它。但當(dāng)印度數(shù)學(xué)通過(guò)阿拉伯傳入歐洲后，負(fù)數(shù)反而被當(dāng)作“偽數(shù)”、

“假想數(shù)”、“不可能數(shù)”而排斥在數(shù)的家族之外。一直到了16世紀(jì)，著名數(shù)學(xué)家代數(shù)之父

韋達(dá)存在負(fù)數(shù)的合法地位，甚至17世紀(jì)數(shù)學(xué)大師、哲學(xué)家解析幾何的奠基人笛卡爾也沒(méi)有

認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)的本質(zhì)。

歐洲直到1655年，英國(guó)數(shù)學(xué)家沃利斯在原來(lái)只有正軸的坐標(biāo)系里引進(jìn)了負(fù)的橫、縱坐

標(biāo)軸，把負(fù)數(shù)與負(fù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，這樣才使負(fù)數(shù)取得了與正數(shù)的平等地位。

縱觀負(fù)數(shù)的歷史，不能不欽佩中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的遠(yuǎn)見(jiàn)卓識(shí)。

2.話說(shuō)有理數(shù)

同學(xué)們對(duì)“有理數(shù)，，這一名稱有什么看法嗎？它是不是比別的數(shù)更有理？

事實(shí)上，這似乎是一個(gè)翻譯上的失誤。有理數(shù)一詞是從西方傳來(lái)，在英語(yǔ)中是rational

number,而rational通常的意義是“理性的”。中國(guó)在近代翻譯西方科學(xué)著作，依據(jù)日語(yǔ)中的

翻譯方法，以訛傳訛，把它譯成了“有理數(shù)”。但是，這個(gè)詞來(lái)源于古希臘，其英文詞根為ratio,

就是比率的意思（這里的詞根是英語(yǔ)中的，希臘語(yǔ)意義與之相同）。所以這個(gè)詞的意義也很

顯豁，就是整數(shù)的“比”。與之相對(duì)，“無(wú)理數(shù)”就是不能精確表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，而并

非沒(méi)有道理。

有理數(shù)的概念，相信起源于史前時(shí)期。古埃及人約于公元前17世紀(jì)已使用分?jǐn)?shù)，古希

臘，古印度都有有理數(shù)理論研究的記載，中國(guó)《九童算術(shù)》中也載有分?jǐn)?shù)的各種運(yùn)算。分?jǐn)?shù)

的使用是由于除法運(yùn)算的需要。

有理數(shù)概念的確立有兩個(gè)重要的階段：除法的建立，邊長(zhǎng)為1的正方形對(duì)角線不是有理

數(shù)，前者標(biāo)志著有理數(shù)正式的建立，后者標(biāo)志著人們終于明白了千萬(wàn)年以來(lái)研究的數(shù)據(jù)有的

本質(zhì)特征：兩個(gè)整數(shù)的比。除法運(yùn)算可以看作求解方程px=q（pWO）,如果p,q是整數(shù)，

則方程不一定有整數(shù)解。為了使它恒有解，就必須把整數(shù)系擴(kuò)大成為有理系。關(guān)于有理數(shù)系

的嚴(yán)格理論，一切有理數(shù)所成之集記為Q。因此，有理數(shù)系可說(shuō)是由整數(shù)系擴(kuò)大后的數(shù)系。

邊長(zhǎng)為1的正方形對(duì)角線的長(zhǎng)是什么數(shù)？這對(duì)古希臘畢達(dá)格拉斯學(xué)派的人來(lái)說(shuō)意味著

什么嗎？這意味著褻瀆神靈，被驅(qū)逐出學(xué)派，經(jīng)年被追殺和最后被扔進(jìn)大海喂魚(yú)。就因?yàn)檫@

條對(duì)角線的長(zhǎng)不能表示為兩個(gè)整數(shù)的商。這使人類意識(shí)到有理數(shù)只是數(shù)的一部分。

3.沾滿鮮血的一個(gè)數(shù)一一V2

西方理論數(shù)學(xué)的巨人鼻祖一一畢達(dá)哥拉斯，生于公元前560年愛(ài)琴?？拷喖?xì)亞的薩

摩斯島（今土耳其西岸一個(gè)小島），與中國(guó)的先圣孔子處于同一時(shí)代，他在哲學(xué)、數(shù)學(xué)、天

文學(xué)、音樂(lè)理論方面有很深的造詣，更是西方理論數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人，深得人們的崇敬。據(jù)說(shuō)連

浪花碰到老先生都會(huì)親切地問(wèn)候數(shù)學(xué)巨人：畢達(dá)哥拉斯，你好！從某種意義上來(lái)講，現(xiàn)代意

義下的數(shù)學(xué)（也就是作為演繹系統(tǒng)的純粹數(shù)學(xué)）來(lái)源于古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。

畢達(dá)哥拉斯對(duì)人類作出最大貢獻(xiàn)的莫過(guò)于直角三角形中的勾股定理（西方稱之為畢達(dá)哥

拉斯定理）：即以直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的正方形面積和等于斜邊為邊長(zhǎng)的正方形面積。

畢達(dá)哥拉斯最得意的弟子一一希巴斯正是在應(yīng)用老師發(fā)現(xiàn)的最偉大的數(shù)學(xué)定理時(shí)發(fā)現(xiàn)，

正方形的邊長(zhǎng)是1,它的對(duì)角線為d,根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理，這個(gè)d與兩條邊之間的表示，

應(yīng)該有等式：d~=I2+12,c?2=2,那么〃是多少呢？記〃為

也是什么數(shù)呢？

希巴斯用了很多時(shí)間，發(fā)現(xiàn)也不是整數(shù)，也不是兩個(gè)整數(shù)之比。這與老師倡導(dǎo)的萬(wàn)物

皆數(shù)（這里的數(shù)指的是整數(shù)或整數(shù)比）的理論相抵觸。于是他就登門向畢達(dá)哥拉斯請(qǐng)教。

“什么？”畢達(dá)哥拉斯大吃一驚，“竟然有不是整數(shù)又不是整數(shù)之比的東西？”

“是的！”希巴斯說(shuō)，“我已經(jīng)證明了這一點(diǎn)！”希巴斯證明痣不是兩個(gè)整數(shù)的比的過(guò)

程采用的是反證法。

假設(shè)痣可以用兩個(gè)整數(shù)之比來(lái)表示，雖然后W0,那么必有一個(gè)不可約分?jǐn)?shù)目，使

P

2

后=幺，（。，4為質(zhì)的正整數(shù)），則2=4，，2/=/,所以/是偶數(shù)，g也是偶數(shù)，設(shè)g=2左

Pp

（左為正整數(shù)），；.202=儂）2,p2=2U,所以，/是偶數(shù)，p也是偶數(shù)，這和「、

E矛盾。既不可約分?jǐn)?shù)矛盾。因此假設(shè)不成立。所以痣不是兩個(gè)整數(shù)的比，那亞是什

么數(shù)。希巴斯的論證極富邏輯性，無(wú)懈可擊。畢達(dá)哥拉斯看過(guò)希巴斯的證明后，悶聲不響，

雙手顫抖，額面上冒出漢珠。希巴斯連忙問(wèn)：“怎么了老師，我做錯(cuò)了嗎？”

“你沒(méi)有錯(cuò)！你……你給我出去！”畢達(dá)哥拉斯神態(tài)異常，揮手讓希巴斯出去。希巴斯

不解地看著老師，邁步出門。剛要關(guān)上門，畢達(dá)哥拉斯又突然喊到：“回來(lái)！”希巴斯又走

回來(lái)。畢達(dá)哥拉斯口氣十分嚴(yán)肅地說(shuō)：“你給我保證！這事不許外傳，除了你除了我，不許

讓第三個(gè)人知道！”

“為什么？”

“不為什么！這是我的規(guī)矩，懂嗎？”

希巴斯狐疑地點(diǎn)點(diǎn)頭，告辭走了。

出現(xiàn)一個(gè)小小的五，畢達(dá)哥拉斯為什么令他驚恐不安呢？我們知道，是無(wú)理數(shù)，是不

能表示為分?jǐn)?shù)的數(shù)，盡管當(dāng)時(shí)畢達(dá)哥拉斯大名鼎鼎，但對(duì)無(wú)理數(shù)也一無(wú)所知。他早就宣布世

界上只有整數(shù)或整數(shù)之比，卻偏偏出現(xiàn)一個(gè)像這樣的既不是整數(shù)又不是整數(shù)之比的數(shù)，他怎

么能不感到為難呢？為了維護(hù)自己尊敬的信仰，也為了保住自己的臉面，數(shù)學(xué)巨人畢達(dá)哥拉

斯對(duì)這類新的數(shù)采取“不承認(rèn)主義”，他威生又叫人駕船追捕，追到大海上，把希巴斯逮住。

希巴斯據(jù)理爭(zhēng)辯，被畢氏的其它門徒拳打腳踢，打得遍體鱗傷，最后被扔進(jìn)了大海。逼希巴

斯保密，不要把事情說(shuō)出去。還在他的弟子中宣布：“誰(shuí)泄密的話埋誰(shuí)！"畢達(dá)哥拉斯惟恐

事情張揚(yáng)，會(huì)動(dòng)搖他們整個(gè)畢氏學(xué)派的基礎(chǔ)。

但希巴斯是一個(gè)很有思想，敢于堅(jiān)持真理的人。他沒(méi)有被權(quán)威嚇倒，也沒(méi)有放棄對(duì)的探

求，一有機(jī)會(huì)仍然要宣傳我客觀存在。希巴斯的觀點(diǎn)和畢達(dá)哥拉斯大權(quán)威的觀點(diǎn)針?shù)h相對(duì)。

對(duì)此，畢達(dá)哥拉斯恨之入骨，以為希巴斯反叛，也是拆他的臺(tái)，便指使人把希巴斯當(dāng)叛徒者

處死。希巴斯聞?dòng)崳B忙跳上一只剛啟航的海船逃離。

畢達(dá)哥拉斯為了掩蓋小小的帶來(lái)的矛盾，慘忍殺害了一個(gè)有才華的青年。公元500年畢

學(xué)派經(jīng)歷的這場(chǎng)數(shù)學(xué)思想的矛盾沖突表明：幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無(wú)關(guān)，幾何量不能完全

由整數(shù)及其比來(lái)表示，反之?dāng)?shù)卻可以由幾何量表示出來(lái)。整數(shù)的尊崇地位受到挑戰(zhàn)，于是幾

何學(xué)開(kāi)始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位。同時(shí)這也反映出，直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，而推理

證明才是可靠的。從此希臘人開(kāi)始由“自明的”公理出發(fā)，經(jīng)過(guò)演繹推理，并由此建立幾何

學(xué)體系，這不能不說(shuō)是數(shù)學(xué)思想上一次巨大革命，這也是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的自然產(chǎn)物。

回顧以前的各種數(shù)學(xué)，無(wú)非都是“算。也就是提供算法。即使在古希臘，數(shù)學(xué)也是從

實(shí)際出發(fā)，應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中去的。比如泰勒斯預(yù)測(cè)日食，利用影子距離計(jì)算金字塔高度，

測(cè)量船只離岸距離等等，都是屬于計(jì)算技術(shù)范圍的。至于埃及、巴比倫、中國(guó)、印度等國(guó)的

數(shù)學(xué)，并沒(méi)有經(jīng)歷過(guò)這樣的危機(jī)和革命，所以也就一直停留在“算學(xué)”階段。而希臘數(shù)學(xué)則

走向了完全不同的道路，形成了歐幾里得《幾何原本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系。

另外說(shuō)明了一些新的數(shù)學(xué)知識(shí)、內(nèi)容、理論、學(xué)科的發(fā)現(xiàn)不僅要付出自己的聰明才智，

甚至要付出生命的代價(jià)，所以先輩說(shuō)是一個(gè)充滿著血腥味的數(shù)。

4,“化圓為方”問(wèn)題

公元前5世紀(jì),古希臘哲學(xué)家安那薩哥拉斯因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)太陽(yáng)是個(gè)大火球,而不是阿波羅神,

被判犯有“褻瀆神靈罪”而被投入監(jiān)獄，判處死刑。在監(jiān)獄的夜晚，安那薩哥拉斯睡不著。

圓圓的月亮透過(guò)正方形的鐵窗照進(jìn)牢房，他對(duì)方鐵窗和圓月亮產(chǎn)生了興趣。他不斷變換觀察

的位置，一會(huì)兒看見(jiàn)圓比正方形大，一會(huì)兒看見(jiàn)正方形比圓大。最后他說(shuō)：“好了，就算兩

個(gè)圖形面積一樣大好了。”安那薩哥拉斯把“求作一個(gè)正方形，使它的面積等于已知的圓

面積”作為一個(gè)尺規(guī)作圖問(wèn)題來(lái)研究。起初他認(rèn)為這個(gè)問(wèn)題很容易解決，誰(shuí)料想他把所有的

時(shí)間都用上，也一無(wú)所獲。

經(jīng)過(guò)好朋友、政治家伯里克利的多方營(yíng)救，安那薩哥拉斯獲釋出獄。他把自己在監(jiān)獄中

想到的問(wèn)題公布出來(lái)，許多數(shù)學(xué)家對(duì)這個(gè)問(wèn)題很感興趣，都想解決，可是一個(gè)也沒(méi)有成功。

這就是著名的“化圓為方”問(wèn)題。

化圓為方問(wèn)題，實(shí)際上就是用直尺圓規(guī)作出線段"的問(wèn)題。設(shè)圓半徑為r,正方形邊長(zhǎng)

為a,則有“r2=a2,a=J5r.關(guān)鍵求作長(zhǎng)為石的線段。直到1882年，化圓為方的問(wèn)題才最

終有了合理的答案。德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼（Lindemann,1852~1939）在這一年成功地證明了圓周

率“=3.1415926是超越數(shù)，并且尺規(guī)作圖是不可能作出超越數(shù)來(lái)，所以用尺規(guī)作圖的

方式解決化圓為方的問(wèn)題才被證明是不可能實(shí)現(xiàn)的。

二千年間，盡管對(duì)化圓為方問(wèn)題上的研究沒(méi)有成功，但卻發(fā)現(xiàn)了一些特殊曲線。希臘安

提豐（公元前430）為解決此問(wèn)題而提出的“窮竭法”，是近代極限論的雛形。大意是指先

作圓內(nèi)接正方形（或正6邊形），然后每次將邊數(shù)加倍，得內(nèi)接8、16、32、…邊形，他相

信“最后”的正多邊形必與圓周重合，這樣就可以化圓為方了。雖然結(jié)論是錯(cuò)誤的，但卻提

供了求圓面積的近似方法，成為阿基米得計(jì)算圓周率方法的先導(dǎo)，與中國(guó)劉徽的割圓術(shù)不謀

而合，對(duì)窮竭法等科學(xué)方法的建立產(chǎn)生直接影響。其實(shí)，若不受標(biāo)尺的限制，化圓為方問(wèn)題

并非難事，歐洲文藝復(fù)興時(shí)代的大師芬蘭數(shù)學(xué)家達(dá)芬奇（1452—1519）用已知圓為底，圓半

徑的工為高的圓柱，在平面上滾動(dòng)一周，所得的矩形，其面積恰為圓的面積，如圖，

2

注①古代數(shù)學(xué)史上有世界三大難題（倍立方體、化圓為方、三分角）。1、“立方倍積”

要求用尺規(guī)法作一立方體，使其體積為原立方體體積的兩倍。2、“三分角”要求用尺規(guī)法

三等分任意角。3、“化圓為方”要求用尺規(guī)法作出一個(gè)正方形，其面積與一已知圓的面積相

等。

5.代數(shù)式歷史發(fā)展的三步曲

數(shù)學(xué)與算術(shù)最顯著的區(qū)別，是以字母表示數(shù)，代數(shù)式x+a,2/+b中的

字母a、b、x表示數(shù)，但都是可以取不同值的數(shù)。

字母代數(shù)的歷史發(fā)展經(jīng)歷了三個(gè)階段，這就是言語(yǔ)代數(shù)一一簡(jiǎn)字代數(shù)（半符號(hào)代數(shù)）一一

符號(hào)代數(shù)。

公元三世紀(jì)以前，無(wú)論是東方還是西方，都是言語(yǔ)代數(shù)，即用普通語(yǔ)言來(lái)敘述的代數(shù)，

例如：對(duì)于代數(shù)式爐_5,+8x7說(shuō)成是：一個(gè)數(shù)的三次方，減去這個(gè)數(shù)平方的5倍，加上

這個(gè)數(shù)的8倍，減去1。

這種方式敘述的代數(shù)式，十分繁瑣，又不便計(jì)算。

首先設(shè)法簡(jiǎn)化這種語(yǔ)言代數(shù)的，是希臘數(shù)學(xué)家丟番圖，他被后人稱為『代數(shù)學(xué)之父』。丟

番圖對(duì)數(shù)學(xué)有兩大貢獻(xiàn),其一是采用縮寫方式簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)表達(dá),人稱縮寫代數(shù),推進(jìn)了數(shù)學(xué)符號(hào)

的采用；其二是求解不定方程,人稱丟番圖方程,開(kāi)辟了數(shù)論研究的一個(gè)重要領(lǐng)域,這個(gè)領(lǐng)域

后來(lái)被稱為丟番圖分析.丟番圖曾寫過(guò)三部書，其中13卷本的《算術(shù)》最為出色,后失傳.大

約在1463年雷瓊蒙塔努力發(fā)現(xiàn)了這部書的6卷,1560年,帕茨發(fā)現(xiàn)了這部書原稿抄本,1621

年出版了《算術(shù)》的拉丁文,希臘文版本.《算術(shù)》中大部分問(wèn)題是求解不定方程的,其解法

非常巧妙,很少給出一般法則，即使性質(zhì)相近的題,其解法也會(huì)大不相同.著名數(shù)學(xué)家漢克爾

說(shuō):''研究丟番圖100道題后,去解第101道，仍然感到困難重重這些問(wèn)題曾經(jīng)引起所有歐洲

數(shù)學(xué)家的興趣。例如，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬就曾經(jīng)仔細(xì)研究過(guò)《算術(shù)》的拉丁譯本，并在書中空

白出寫下了著名的“費(fèi)馬定理”，這個(gè)沒(méi)有證明的定理（因此又稱“費(fèi)馬猜想”）困惑人們達(dá)

350年之久，直到1993年，才有英國(guó)數(shù)學(xué)家懷而斯予以邏輯論證。

丟番圖在《算術(shù)》中的創(chuàng)造性成就，是用語(yǔ)頭的字母作為縮寫符號(hào)，來(lái)簡(jiǎn)化代數(shù)式。例

如，他用希臘文“塞”的頭兩個(gè)字母來(lái)表示未知數(shù)的平方，用希臘文“立方”的頭兩個(gè)字母

表示未知數(shù)的立方；用希臘文“缺少”中的頭一個(gè)字母表示減號(hào)等等。于是他把前面所說(shuō)的

那個(gè)代數(shù)式子，寫成了：

Kyd3/]eMd

其中希臘字母a,〃道分別表示字母1,8,5；S表示未知數(shù)，M表示常數(shù)。相比之下，這

種表示比完全用語(yǔ)言來(lái)表示，簡(jiǎn)單多了。

簡(jiǎn)字代數(shù)邁向代數(shù)的決定性一步，是16實(shí)際的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)，他在《分析術(shù)入門》一

書中創(chuàng)設(shè)了大量的代數(shù)符號(hào)，是早期符號(hào)代數(shù)的專著，他用拉丁字母中的元音表示未知數(shù)，

用字音表示已知數(shù)。用Aguad,Acub分別表示A?和,并采用加，減號(hào)(但沒(méi)有符號(hào))。就

這樣，代數(shù)式5區(qū)42一204+42=。就變成了

BsinAguad---Cp1ano2inA+AcubaeguaturDsolido

其中數(shù)c寫成“平面”的，D寫成“立體”的，這是為了遵循古希臘同彼數(shù)的數(shù)才能相

加減的傳統(tǒng)規(guī)定。

后來(lái),法國(guó)另一個(gè)數(shù)學(xué)大師笛卡兒改用拉丁字母表示最后幾個(gè)字母X,y,z等表示未知數(shù),

2

用前面字母a,b,c等表示已知數(shù)；還將x的立方、平方號(hào)寫成x\x-x(x),這種符號(hào)一直

用到了今天。

等號(hào)“=”是雷科德在1557年出版的《礪智石》一書中首先提出來(lái)的。他解釋說(shuō)：“沒(méi)

有任何別的東西比這兩短橫更相等了。但直到17世紀(jì)末，等號(hào)才被人們普遍接受。英國(guó)數(shù)

學(xué)家沃利斯在1693年正式在代數(shù)中使用符號(hào)。此后，就實(shí)現(xiàn)代數(shù)式的完全符號(hào)化了。

6.“一元一次方程”小史

一元一次方程(LinearEquationofOneVariable)是只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未

知數(shù)的最高次數(shù)是一的整式方程，它的標(biāo)準(zhǔn)形式為ax+6=0o

一元一次方程最早出現(xiàn)在萊因特草紙書中，現(xiàn)收藏在倫敦博物館里，是由古埃及僧

人阿默士所著的，全書共有85個(gè)題目。有些題目是屬于一元一次方程的，如第11題是：“一

211

個(gè)數(shù)的一，加上這個(gè)數(shù)的一，再加上它的一，再加上這個(gè)數(shù)本身等于37,求這個(gè)數(shù)。”相

327

211

當(dāng)于解一x+—x+—1+尤=37o

327

《方程》是我國(guó)《九章算術(shù)》中的第八章，它除了給出一次聯(lián)立方程組的解法外，

還使用了負(fù)數(shù)，這在數(shù)學(xué)史上具有重要的意義。

被譽(yù)為希臘代數(shù)學(xué)鼻祖的丟番圖(公元246-330年)，在代數(shù)方程理論方面遠(yuǎn)遠(yuǎn)超

出了他同時(shí)代的人。他曾在一本大約于4世紀(jì)時(shí)寫的希臘文詩(shī)集上作了一首關(guān)于他生平的短

詩(shī)（有的說(shuō)是墓志銘）：“丟番圖的一生，幼年占工，青少年占又過(guò)了!才結(jié)婚，婚

6127

后5年之后生子，子先父4年而卒，壽為其父之半”。求丟番圖究竟活了多少年歲，列出方

程后得：-x+—x+—x+5+—x+4=x,可知x=84o

61272

有關(guān)方程的歷史名題很多，如哲人聚會(huì)，女神分果，遺產(chǎn)分配，……，有興趣的同學(xué)

不妨在網(wǎng)上找一些做一做，和古人比試一下。

7.未知數(shù)與方程的解

未知數(shù)（unknownnumber）是在解方程中，有待確定的值。

我國(guó)古代并不用符號(hào)來(lái)表示未知數(shù)，而是用籌算來(lái)解方程。13世紀(jì)，高次方程的數(shù)值

解法是數(shù)學(xué)難題之一。當(dāng)時(shí)許多數(shù)學(xué)家都致力于這個(gè)問(wèn)題。用天元（相當(dāng)于x）作為未知數(shù)符

號(hào)，立出高次方程，古代稱為天元術(shù)，這是中國(guó)數(shù)學(xué)史上首次引入符號(hào)，并用符號(hào)運(yùn)算來(lái)解

決建立高次方程的問(wèn)題?，F(xiàn)存最早的天元術(shù)著作是李冶的《測(cè)圓海鏡》。具體方法：用“立

天元”表示未知數(shù)，并在相應(yīng)的系數(shù)旁寫一個(gè)元字以為記號(hào)。至元朝朱世杰（約13世紀(jì)）

用天、地、人、物表示四個(gè)未知數(shù)，建立了四元高次方程組理論。

古希臘的丟番圖（約246-330）用字母來(lái)表示未知數(shù)，但以后進(jìn)展很慢。過(guò)去不同未知

數(shù)會(huì)用同一個(gè)符號(hào)來(lái)表示，容易混淆，所以1559年法國(guó)數(shù)學(xué)家彪特（1485至1492-1560

至1572）開(kāi)始用A、B、C表示不同的未知數(shù)。

1591年韋達(dá)用A、E、I等元音字母表示未知數(shù)。

1637年笛卡兒（1596-1650）在《幾何學(xué)》中始用x、y、z表示正數(shù)的未知數(shù)。直至

1657年約翰哈德才用字母表示正數(shù)和負(fù)數(shù)的未知數(shù)。

方程的解（SolutionofEquation）是指使方程兩邊相等的未知數(shù)的值。

九世紀(jì)，中亞細(xì)亞著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家阿爾?花拉子米著《代數(shù)學(xué)》，書中把

未知數(shù)叫根（jidr）,是樹(shù)根、基礎(chǔ)或事物根本的意思，譯成拉丁文是（radix）,既可以

指一個(gè)方程的解，又可指一個(gè)數(shù)的方根，一直沿用到現(xiàn)在。

8.自然數(shù)

自然數(shù)（naturalnumber）用以計(jì)量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù)。即用數(shù)碼0,1,

2,3,4,……所表示的數(shù)。自然數(shù)由0開(kāi)始，一個(gè)接一個(gè)，組成一個(gè)無(wú)窮集合。自然數(shù)集

有加法和乘法運(yùn)算，兩個(gè)自然數(shù)相加或相乘的結(jié)果仍為自然數(shù)，也可以作減法或除法，但相

減和相除的結(jié)果未必都是自然數(shù)，所以減法和除法運(yùn)算在自然數(shù)集中并不是總能成立的。自

然數(shù)是人們認(rèn)識(shí)的所有數(shù)中最基本的一類，為了使數(shù)的系統(tǒng)有嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)，19世紀(jì)的

數(shù)學(xué)家建立了自然數(shù)的兩種等價(jià)的理論：自然數(shù)的序數(shù)理論和基數(shù)理論，使自然數(shù)的概念、

運(yùn)算和有關(guān)性質(zhì)得到嚴(yán)格的論述。

基于基數(shù)的自然數(shù)概念可溯源于原始人類用匹配方法計(jì)數(shù)。古希臘人用小石卵記畜群的

頭數(shù)或部落的人數(shù)?，F(xiàn)在使用的英語(yǔ)calculate（計(jì)算）一詞是從希臘文calculus（石卵）

演變來(lái)的。中國(guó)古代《易?系辭》中說(shuō)，上古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書契，這都是匹配

計(jì)算法的反映。

集合的基數(shù)具有元素"個(gè)數(shù)''的意義，當(dāng)集合是有限集時(shí)，該集合的基數(shù)就是自然數(shù)。由

此可通過(guò)集合的并、交運(yùn)算定義自然數(shù)的加法與乘法（見(jiàn)算術(shù)）

為了計(jì)數(shù)，必須有某種數(shù)制，即建立一個(gè)依次排列的標(biāo)準(zhǔn)集合。隨后對(duì)某一有限集合計(jì)

數(shù)。就是將該集合中每個(gè)元素順次與標(biāo)準(zhǔn)集合中的項(xiàng)對(duì)應(yīng)，所對(duì)應(yīng)的最后的項(xiàng)，就標(biāo)志著給

定集合元素的個(gè)數(shù)。這種想法導(dǎo)致G.皮亞諾1889年建立了自然數(shù)的序數(shù)理論。使自然數(shù)的

概念、運(yùn)算和有關(guān)性質(zhì)得到嚴(yán)格的論述。

9.古人測(cè)量太陽(yáng)高度的方法

漢代天文學(xué)家采用下面的方法來(lái)測(cè)量太陽(yáng)的高度：如圖1,選定夏至這一天，在南北相

隔1000里的兩個(gè)地方A和B,各立一根8尺長(zhǎng)的標(biāo)竿AM和BN,同時(shí)測(cè)出它們?cè)谔?yáng)下的影

子AE和BC的長(zhǎng)度的差為1寸，從而應(yīng)用公式算出了太陽(yáng)的高度。

這種測(cè)量方法稱為重（重復(fù)）差（日影的相差）術(shù)，最早記載于約公元前一世紀(jì)的《周

髀算經(jīng)》?o大數(shù)學(xué)家劉徽（魏晉之際的數(shù)學(xué)家）系統(tǒng)地總結(jié)了這種方法，流傳至今就是著

名的《海島算經(jīng)》②。

這個(gè)測(cè)太陽(yáng)的公式是怎樣的，又是怎樣推導(dǎo)出來(lái)的呢？這就要應(yīng)用相似三角形的知識(shí)。

現(xiàn)在我們來(lái)看“古人測(cè)量太陽(yáng)高度”的公式。

如圖1中，設(shè)AB=a,AD=d,AE=BC=

AM=BN=DP=p,0P=h,

由MA〃0D得△EAMs^EDO

.AMEApm

??-----------------RR|Jrl-----------=------------

DOEDh+pm+d

.../,+p=g叱同理，〃+p=p（〃+4+”）

mn

由比例性質(zhì)得

/+_p(m+d)_p(n+a+d)

mn

_p(n+a+d)~p(m+<7)pa+

n—mn—m

即0D='①+po

n-m

漢代天文學(xué)家就是把a(bǔ)=1000里，p=8尺，“-m=1寸,代入這個(gè)公式求得太陽(yáng)的高

度約為80000里。

只是劉徽在推導(dǎo)這個(gè)公式時(shí)應(yīng)用的是面積方法，比應(yīng)用相似三角形的方法要復(fù)雜。你能

用同樣的方法求《海島算經(jīng)》第一題嗎？

今有望海島，立兩表齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直，從前表卻行一

百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合，從后表卻行一百二十七步，人目著地，取

望島峰，亦與表末參合，問(wèn)島高及去表各幾何？

答：島高7530尺，海島與前表3075步。

10.巧用等腰三角形知識(shí)，測(cè)

金字塔的高

埃及的金字塔是古埃及國(guó)王的墳?zāi)?，那些古老雄偉的?/p>

筑物，是古埃及勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶。據(jù)傳二千六百多年前,

埃及一個(gè)國(guó)王想知道已修好的胡夫大金字塔有多高，可誰(shuí)也

不知道怎樣去測(cè)量。因?yàn)樗硎切钡?，爬上去測(cè)量很危險(xiǎn)，事實(shí)上曾有過(guò)爬塔喪生的故事。

但真要是有人爬上去了，又用什么方法測(cè)量呢？這個(gè)問(wèn)題的確困惑了人們?cè)S多年。

后來(lái)，有一個(gè)叫泰勒斯(Thales,公元前624-前547)的學(xué)者說(shuō)他能試試。便選擇了一

個(gè)特定的日子，在國(guó)王、祭司的親自主持下，舉行了測(cè)塔儀式，人們擁擠著、議論看，連千

里之外都有不少人趕來(lái)觀看，這可是當(dāng)時(shí)當(dāng)?shù)氐囊患笫?、奇事呢！時(shí)辰已到，祭司開(kāi)壇拍

板，泰勒斯果然不負(fù)眾望，在助手的幫助下測(cè)出了大金字塔的高度。

那么，泰勒斯是怎樣解決這一難題的呢？原來(lái)是用了等腰三角形的有關(guān)知識(shí)。

現(xiàn)在我們來(lái)看泰勒斯是怎樣測(cè)算大金字塔高度的。這一天，泰勒斯站在金字塔一邊的中

點(diǎn)D、看到自己的身影與邊垂直。當(dāng)他的身影恰好等于自己的

身高時(shí)，測(cè)量開(kāi)始。此時(shí)陽(yáng)光正好以45°的角度射向地面（如/O|A

圖1）。于是，

A

ZACB=90°,ZCBA=ZCAB=45°.

由金字塔的頂點(diǎn)A,塔底的中心點(diǎn)C和陰影的端點(diǎn)B所

組成的三角形是等腰直角三角形。D

而塔的底邊長(zhǎng)度是早已測(cè)量好的，它的一半正好等于CD的長(zhǎng)（因?yàn)樗牡酌媸莻€(gè)正方形）,

DB的長(zhǎng)當(dāng)場(chǎng)測(cè)出，所以泰勒斯只把CD與DB的長(zhǎng)相加即得到了胡夫大金字塔的高度約為

146.6米。

今天我們用初中知識(shí)就可以有多種方法求金字塔的高。

1.還是用太陽(yáng)光，可以用相似三角形知識(shí)在任何時(shí)候求得金字塔的高，如圖2；

2.在白天只要有小木桿和皮帶尺的幫助，如圖3。

3.在沒(méi)有太陽(yáng)光的時(shí)候，可以用面小鏡子幫助，如圖4；

11.概率中的故事與故事中的概率

研讀數(shù)學(xué)史我們可以發(fā)現(xiàn)，在概率的起源和發(fā)展過(guò)程中有許多生動(dòng)有趣的故事，相信大

家會(huì)在故事中得到啟發(fā)。

一、賭金風(fēng)波。

公元1651年夏天，當(dāng)時(shí)盛譽(yù)歐洲號(hào)稱"神童"的數(shù)學(xué)家帕斯卡爾(B.Pascal,1623~

1662),在旅途中偶然遇到了賭徒梅累，梅累是一個(gè)貴族公子哥兒，他對(duì)帕斯卡爾大談“賭

經(jīng)”，以消磨旅途時(shí)光。梅累還向帕斯卡爾請(qǐng)教一個(gè)親身所遇的“分賭金”問(wèn)題。

問(wèn)題是這樣的：一次梅累和賭友擲骰子，各押賭注32個(gè)金幣，梅累若先擲出三次“6

點(diǎn)”，或賭友先擲出三次“4點(diǎn)”，就算贏了對(duì)方。賭博進(jìn)行了一段時(shí)間，梅累已擲出了兩

次“6點(diǎn)”，賭友也擲出了一次“4點(diǎn)”。這時(shí)，梅累奉命要立即去晉見(jiàn)國(guó)王，賭博只好中

斷。那么兩人應(yīng)該怎么分這64個(gè)金幣的賭金呢？

賭友說(shuō)，梅累要再擲一次“6點(diǎn)”才算贏，而他自己若能擲出兩次“4點(diǎn)”也就贏了。

這樣，自己所得應(yīng)該是梅累的一半，即得64個(gè)金幣的三分之一，而梅累得三分之二。梅累

爭(zhēng)辯說(shuō)，即使下一次賭友擲出了“4點(diǎn)”，兩人也是秋色平分，各自收回32個(gè)金幣，何況

那一次自己還有一半的可能得16個(gè)金幣呢？所以他主張自己應(yīng)得全部賭金的四分之三，賭

友只能得四分之一。

公說(shuō)公有理，婆說(shuō)婆有理。梅累的問(wèn)題居然把帕斯卡爾給難住了。他為此苦苦想了三

年，終于在1654年悟出了一點(diǎn)道理。于是他把自己的想法寫信告訴他的好友，當(dāng)時(shí)號(hào)稱數(shù)

壇“怪杰”的費(fèi)爾馬(Fermat,1601~1665),兩人對(duì)此展開(kāi)熱烈的討論。后來(lái)荷蘭數(shù)學(xué)家

惠更斯(C.Huygens,1629~1695)也加入了他們的探討行列。最后，他們一致認(rèn)為，梅累

的分法是對(duì)的！惠更斯還把他們討論的結(jié)果，載入1657年出版的一本叫《論賭博中的計(jì)算》

的書中。這本書至今被公認(rèn)為概率論的第一部著述。

梅累的分法為什么是對(duì)的？帕斯卡爾和費(fèi)爾馬他們又是怎么想的？這一連串的疑團(tuán)要

等今后大家學(xué)到更多概率論知識(shí)的時(shí)候，才能一一解開(kāi)。

賭金風(fēng)波終于以概率論的誕生命宣告平息。

二、布豐的投針試驗(yàn)

公元1777年的一天，法國(guó)科學(xué)家D?布豐(D-buffonl707~1788)的家里賓客滿堂，

原來(lái)他們是應(yīng)主人的邀請(qǐng)前來(lái)觀看一次奇特試驗(yàn)的。

試驗(yàn)開(kāi)始，但見(jiàn)年已古稀的布豐先生興致勃勃地拿出一張紙來(lái)，紙上預(yù)先畫好了一條

條等距離的平行線。接著他又抓出一大把原先準(zhǔn)備好的小針，這些小針的長(zhǎng)度都是平行線間

距離的一半。然后布豐先生宣布：“請(qǐng)諸位把這些小針一根一根往紙上扔吧！不過(guò)，請(qǐng)大家

務(wù)必把扔下的針是否與紙上的平行線相交告訴我?！?/p>

客人們不知布豐先生要干什么，只好客隨主意，一個(gè)個(gè)加入了試驗(yàn)的行列。一把小針

扔完了，把它撿起來(lái)又扔。而布豐先生本人則不停地在一旁數(shù)著、記著，如此這般地忙碌了

將近一個(gè)鐘頭。最后，布豐先生高聲宣布：“先生們，我這里記錄了諸位剛才的投針結(jié)果，

共投針2212次，其中與平行線相交的有704次?？倲?shù)2212與相交數(shù)704的比值為3.142?！?/p>

說(shuō)到這里，布豐先生故意停了停，并對(duì)大家報(bào)以神秘的一笑，接著有意提高聲調(diào)說(shuō)：“先生

們，這就是圓周率”的近似值！”

眾賓嘩然，一時(shí)議論紛紛，個(gè)個(gè)感到莫名其妙；“圓周率口？這可是與圓半點(diǎn)也不沾

邊的呀！”

布豐先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解釋道：”諸位，這里用的是概率的原

理，如果大家有耐心的話，再增加投針的次數(shù)，還能得到m的更精確的近似值。不過(guò)，要想

弄清其間的道理，只好請(qǐng)大家去看敝人的新作了?！彪S著布豐先生揚(yáng)了揚(yáng)自己手上的一本《或

然算術(shù)試驗(yàn)》的書。

n在這種紛紜雜亂的場(chǎng)合出現(xiàn)，實(shí)在是出乎人們的意料，然而它卻是千真萬(wàn)確的事實(shí)。

由于投針試驗(yàn)的問(wèn)題，是布豐先生最先提出的，所以數(shù)學(xué)史上就稱它為布豐問(wèn)題。布豐得出

的一般結(jié)果是：如果紙上兩平行線間相距為d,小針長(zhǎng)為1,投針的次數(shù)為n,所投的針當(dāng)

。1

中與平行線相交的次數(shù)是m,那么當(dāng)n相當(dāng)大時(shí)有：便是著名的布豐公式。

dm

概率雖然起源于歐洲，但在我國(guó)古代的許多成語(yǔ)故事中，我們?nèi)詴?huì)發(fā)現(xiàn)概率的萌芽和應(yīng)

用的影子。

三、著名的生日悖論

很多人喜歡用緣分來(lái)解釋一些事，其實(shí)你有沒(méi)有想過(guò)很多時(shí)候是概率在起作用呢，讓我

們來(lái)看看有名的生日悖論：

23個(gè)人里有兩個(gè)生日相同的人的幾率有多大呢？

居然有50%!

問(wèn)題是這樣的：如果一個(gè)房間里有23個(gè)或23個(gè)以上的人，那么至少有兩個(gè)人的

生日相同的概率要大于50虬這就意味著在一個(gè)典型的標(biāo)準(zhǔn)小學(xué)班級(jí)(30人)中，存在兩人生

日相同的可能性更高。對(duì)于60或者更多的人，這種概率要大于99虬

不計(jì)特殊的年月，如閏二月。先計(jì)算房間里所有人的生日都不相同的概率，那么

第一個(gè)人的生日是365選365

第二個(gè)人的生日是365選364

第三個(gè)人的生日是365選363

第n個(gè)人的生日是365選365-(nT)

所以所有人生日都不相同的概率是：—X—X—x---x365~n+1

365365365365

那么，n個(gè)人中有至少兩個(gè)人生日相同的概率就是：

,365364363365-n+l

365365365365

所以當(dāng)n=23的時(shí)候，概率為0.507

當(dāng)n=100的時(shí)候，概率為0.9999996。這個(gè)結(jié)論現(xiàn)在你是否還感到不可思議呢？

四、輪盤

在電視臺(tái)舉辦的猜隱藏在門后面的汽車的游戲節(jié)目中，在參賽者的對(duì)面有三扇關(guān)

閉的門，其中只有一扇門的后面有一輛汽車，其它兩扇門后是山羊。游戲規(guī)則是，參

賽者先選擇一扇他認(rèn)為其后面有汽車的門，但是這扇門仍保持關(guān)閉狀態(tài)，緊接著主持

人打開(kāi)沒(méi)有被參賽者選擇的另外兩扇門中后面有山羊的一扇門，這時(shí)主持人問(wèn)參賽

者，要不要改變主意，選擇另一扇門，以使得贏得汽車的機(jī)率更大一些？

正確結(jié)果是，如果此時(shí)參賽者改變主意而選擇另一扇關(guān)閉著的門，他贏得汽車的

機(jī)率會(huì)增加一倍。如果他不改變主意，則他贏得汽車的概率為工，而改變后的概率為

3

.2，他第一次選好后，有2士的可能性在另兩扇門后，主持人把一扇有山羊的去掉了，

33

但概率沒(méi)變。所以開(kāi)始時(shí)這三扇門后汽車的概率相同，但你選了一扇，主持人打開(kāi)一

扇后，這兩扇門后汽車的概率不一樣了，這才是問(wèn)題的關(guān)鍵啊！

12.數(shù)學(xué)史中的二元一次方程式

二元一次方程式在數(shù)學(xué)中是十分基本且重要的概念，下面將對(duì)中國(guó)、巴比倫和印度數(shù)學(xué)

史中的二元一次方程式做一簡(jiǎn)介。由于筆者才疏學(xué)淺，數(shù)據(jù)來(lái)源又以中文為主，所以自覺(jué)這

篇文章有三點(diǎn)不足之處：一、未考慮時(shí)代背景與數(shù)學(xué)發(fā)展背景。二、未述及解析幾何中的二

元一次方程式。三、未述及西方數(shù)學(xué)對(duì)二元一次方程式和二元一次聯(lián)立方程式解法的發(fā)展。

此外，在收集資料的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)關(guān)于二元一次方程式的資料很少，論及二元一次聯(lián)立

方程式的更少，猜測(cè)這或許與絕大多數(shù)的二元一次聯(lián)立方程式題目都可以用一元一次方程式

來(lái)解決有關(guān)。

《九章算術(shù)》成書于漢代，集之前數(shù)學(xué)知識(shí)之大成，是中國(guó)最重要的一本算書；劉

徽為其作注時(shí)，全面的證明其中的公式與解法（注一），不但對(duì)中國(guó)后世的數(shù)學(xué)發(fā)展，甚至鄰

近地區(qū)的數(shù)學(xué)發(fā)展都有深遠(yuǎn)的影響。

《九章算術(shù)》第八章《方程》中共有十八個(gè)問(wèn)題，都是關(guān)于一次聯(lián)立方程的問(wèn)題，其

中二元的問(wèn)題有八個(gè)，三元的問(wèn)題有六個(gè)，四元的問(wèn)題有二個(gè)，五元的問(wèn)題有一個(gè)，屬于不

定方程（六個(gè)未知數(shù)五個(gè)方程）的有一個(gè)（注二）。屬于二元的是第二、四、五、六、七、九、

十、十一問(wèn)，其中第二問(wèn)是：

今有上禾七秉，損實(shí)一斗，異之下禾二秉，而實(shí)一十斗；下禾八秉，益實(shí)一斗，

與上禾二秉，而實(shí)一~h斗；問(wèn)上、下禾一秉個(gè)幾何？

答曰：上禾一秉實(shí)一斗五十二分斗之一十八，下禾一秉實(shí)五十二分斗之四十一

術(shù)曰：如方程。損之曰益，益之曰損。損實(shí)一斗者，其實(shí)過(guò)一十斗也。益實(shí)一斗

者，其實(shí)不滿一十斗也。

術(shù)曰就是解法。''如方程〃便是列出方程式，用現(xiàn)今之符號(hào)（上禾一秉x斗，下禾一秉y斗）

列出：

(7x-l)+2y=10

2x+(8y+l)=10

''損之曰益，益之曰損。損實(shí)一斗者，其實(shí)過(guò)一十斗也。益實(shí)一斗者，其實(shí)不滿一十斗也?！?/p>

就是指常數(shù)項(xiàng)的移項(xiàng)，原方程式變成：7x+2y=ll--------(1)

2x+8y=9---------(2)

至于接下來(lái)的算法便是利用方程術(shù)，由于方程術(shù)是在第一問(wèn)(三元一次)后所提出的，所

以第二問(wèn)中就沒(méi)有再寫出計(jì)算過(guò)程，下面是我用現(xiàn)在的符號(hào)改寫方程術(shù)的計(jì)算過(guò)程：

(2)乘以(1)的x項(xiàng)系數(shù)7,得14x+56y=63--------(3)

用⑶去減(1),直到(3)之x項(xiàng)系數(shù)為0,得52y=41--------(4)

⑴乘以⑷的y項(xiàng)系數(shù)52后，再一直減去(4),到y(tǒng)項(xiàng)系數(shù)為0止，得364x=490,再除以

原x項(xiàng)之系數(shù)7(即⑴x項(xiàng)之系數(shù))，得52x=70--------(5)

由(4)、(5)可知上禾一秉實(shí)一斗五十二分斗之一^h八，下禾一秉實(shí)五十二分斗之四H^一。

其實(shí)方程術(shù)相當(dāng)于利用系數(shù)列出一增廣矩陣后再做運(yùn)算，也就是將上述的過(guò)程寫成：

27147070364052

82-562—522.520—520

91163114111414904170

由于這只是二元的問(wèn)題，并不能全盤看出方程術(shù)的法則，有興趣的讀者不妨看郭書春所著《古

代世界數(shù)學(xué)泰斗一劉徽》書中第42頁(yè)，在那清楚的演示用方程術(shù)解第一問(wèn)。

《方程》章在第二問(wèn)已經(jīng)有了常數(shù)項(xiàng)的移項(xiàng)；第四問(wèn)中不但有常數(shù)項(xiàng)的移項(xiàng)，還有未知

數(shù)項(xiàng)的移項(xiàng)；而第六問(wèn)中更出現(xiàn)了負(fù)數(shù)的情形，熟知負(fù)數(shù)發(fā)展歷史的讀者必定會(huì)明了此為一

重大之突破；到了第十問(wèn)更是出現(xiàn)分?jǐn)?shù)系數(shù)的情形，而其解法與我們現(xiàn)今相同，將其化成整

系數(shù)方程式后再求解。

方程術(shù)是《九章算術(shù)》最高的數(shù)學(xué)成就(注三)，劉徽亦在此基礎(chǔ)上創(chuàng)立了方程新術(shù),

使中國(guó)數(shù)學(xué)成為這一領(lǐng)域中的佼佼者。

《九章算術(shù)》在第七章《盈不足》中雖然不是用方程式的方式來(lái)解，但許多問(wèn)題亦可劃

歸于二元一次方程式的范疇，若能適當(dāng)?shù)囊胝n堂之中，必能啟發(fā)學(xué)生更多的興趣與共鳴。

典型的盈不足問(wèn)題是共買物問(wèn)題：各人所出A,盈a；所出B,不足b,求人數(shù)、物

價(jià)(注四)?！毒耪滤阈g(shù)》給出了一般公式：

每人應(yīng)出的錢=(Ab+aB)/(a+b)

物價(jià)=(Ab+aB)/(A-B)

人數(shù)=(a+b)/(A-B)

《九章算術(shù)》還給出了兩盈(或兩不足)的公式，并利用這兩組公式解決了大量的一般二元一

次的算術(shù)問(wèn)題(含分配問(wèn)題、混合分配問(wèn)題等等)，因?yàn)樵谶@類問(wèn)題中，任意代入兩個(gè)數(shù)，必

定是上述兩種情形之一。舉第十三問(wèn)為例：

今有醇酒一斗，直錢五十；行酒一斗，直錢一十。今將錢三十，得酒二斗。問(wèn)醇酒、行酒各

得幾何？

答曰：醇酒二升半，行酒一斗七升半。

術(shù)曰：假令醇酒五升，行酒一斗五升，有余一十。令之醇酒二升，行酒一斗八升，不足二。

解法意思是若買醇酒五升，行酒一斗五升，貝心較三十錢)盈十錢；若買醇酒二升，行酒一斗

八升，貝。(較三十錢)不足二錢。所以就可以利用先前的公式得：

醇酒升數(shù)=(5*2+10*2)/(10+2)=2.5升

行酒升數(shù)=(15*2+10?18)/(10+2)

=17.5升

從中可以看出，中國(guó)古人是先把一些實(shí)例歸類，得出相應(yīng)公式，后人只要代入求值即可。

這讓我們想到所謂的“秘籍”。優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易操作，只要背出各種類型，套進(jìn)去即可；缺點(diǎn)

它只是幫助人們應(yīng)用解決生活問(wèn)題，而不是為了傳播知識(shí)本身。同樣作為古代的教科書，與

古希臘的歐幾里德《幾何原本》相比較，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)其差異是非常大的。

巴比倫

巴比倫人在解決二元及三元問(wèn)題時(shí)有兩種方法(注五)，第一種很類似于我們現(xiàn)在的

代入消元法；第二種今日稱為丟番圖法(Diophantine),但這并不是丟番圖(Diophantus,約

A.D.250)所創(chuàng)，而是他學(xué)習(xí)了巴比倫人的方法，這種方法特別適合于解決有一個(gè)方程式為

x+y=s(s為已知)，此時(shí)令x=s/2+w,y=s/2-w,代入另一個(gè)方程式中便可解出w,如便可以

求得x與y了。下面舉的例子是出自于漢摩拉比王朝時(shí)代(B.C.17921750)的一塊泥板上，

雖然是二元二次的題目，但可以看出此方法的運(yùn)用：

有一長(zhǎng)方形，將其面積加上長(zhǎng)，減去寬得183；長(zhǎng)、寬之和為27,求長(zhǎng)、寬及面積。

解：假設(shè)長(zhǎng)為x,寬為y,依題意列式，

xy+x-y=183,.

(Q)

x+y=27o

令y'=y+2,則y=y'-2.

代入，可得到新的二元一次方程組：

^?=183+27=210,

⑵

x+y'=27+2=29<>

k.

把方程組⑵的第1式加到方程組⑴的第2式，可立刻得出(在原典中，清楚地寫著)

'xy'=p,

x+y'=q。

k.

其解為:x=：q+l,

(其中t1=J(^q)2~p)

.1.

y=>-1。

291

X=---F—=15

x=15

即＜22所以《

29_j_、y=12

y=~T~2=14.

在泥板上并未出現(xiàn)類似未知數(shù)列式的符號(hào)算式，只有敘述計(jì)算的過(guò)程，而且是六十進(jìn)制

制的，有興趣的讀者可參看梁宗巨著的《數(shù)學(xué)歷史典故》。讀者不難發(fā)現(xiàn)，丟番圖法運(yùn)用時(shí)

需要較高的技巧，也就是要先把其中一個(gè)方程式化成x+y=s的形式才可，不過(guò)不論是丟番圖

法或是第一種方法，在推廣到多元一次聯(lián)立方程式的問(wèn)題時(shí)就顯得十分繁雜，不如《九章算

術(shù)》方程術(shù)來(lái)的簡(jiǎn)便，但巴比倫人的方法在解決非線性的問(wèn)題時(shí)便可以看出其優(yōu)越性，由此

可以反映出巴比倫人的泥板上有許多的非線性問(wèn)題，而《九章算術(shù)》幾乎沒(méi)有非線性問(wèn)題的

情形。

古印度

古印度在數(shù)學(xué)方面有相當(dāng)大的成就，在世界數(shù)學(xué)史上有重要地位。印度人在二元一

次方程式方面的成就當(dāng)首推阿揚(yáng)巴哈一世(AryabhataI,A.D.476~?),他在所寫的

《Aryabhatiya》中不但清楚的描述出當(dāng)時(shí)印度數(shù)學(xué)的現(xiàn)況，更給了印度數(shù)學(xué)繼續(xù)發(fā)展的動(dòng)

力(注六)，關(guān)于二元一次方程式方面的成就也記載于此書中。阿揚(yáng)巴哈一世他首先給出不定

方程式ax+by=c的所有整數(shù)解，其方法經(jīng)傳人改進(jìn)后十分類似于現(xiàn)今的方法(注七)，概說(shuō)如

下：

不妨只考慮a,b互質(zhì)的情形，則存在兩整數(shù)p、q使得

ap+bq=l

ax+by=c(ap+bq)

(x-cp)/b=(cq-y)/a,令之等于t,t為整數(shù)

x=cp+bt,y=cq-at

丟番圖也曾經(jīng)討論過(guò)二元一次不定方程式的情形，不過(guò)他都只給出一組正的有理數(shù)解。至于

在中國(guó)，清朝李銳的''求強(qiáng)弱術(shù)〃雖只用以求49x+17尸A的所有整數(shù)解，但其算則

(algorithm)具有一般性，也就是說(shuō)可以推廣到求ax+by=c的所有整數(shù)解(注八)。

13.中國(guó)的半符號(hào)代數(shù)——天元術(shù)和四元術(shù)

中國(guó)的古典數(shù)學(xué)，特別是代數(shù)學(xué)，曾經(jīng)有學(xué)多輝煌的成就，其中“天元術(shù)”“和“四元

術(shù)”代表了13世紀(jì)——