第01講 相交線（原卷版）

第01講相交線知識點(diǎn)1：相交線1.相交線的定義在同一平面內(nèi)，如果兩條直線只有一個公共點(diǎn)，那么這兩條直線叫做相交線，公共點(diǎn)稱為兩條直線的交點(diǎn).如圖1所示，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O.圖1圖2圖32.對頂角的定義若一個角的兩條邊分別是另一個角的兩條邊的反向延長線，那么這兩個角叫做對頂角．如圖2所示，∠1與∠3、∠2與∠4都是對頂角．注意：兩個角互為對頂角的特征是：（1）角的頂點(diǎn)公用；（2）角的兩邊互為反向延長線；（3）兩條相交線形成2對對頂角．3.對頂角的性質(zhì)：對頂角相等．4.鄰補(bǔ)角的定義如果把一個角的一邊反向延長，這條反向延長線與這個角的另一邊構(gòu)成一個角，此時就說這兩個角互為鄰補(bǔ)角．如圖3所示，∠1與∠2互為鄰補(bǔ)角，由平角定義可知∠1＋∠2＝180°．知識點(diǎn)2：垂線1．垂線的定義：如果兩條直線相交所成的四個角中有一個角是直角，那么這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足．如下圖，兩條直線互相垂直，記作或AB⊥CD垂足為點(diǎn)O.注意：垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質(zhì)，即：CD⊥AB．2．垂線的畫法：過一點(diǎn)畫已知直線的垂線，可通過直角三角板來畫，具體方法是使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合，沿直線左右移動三角板，使另一條直角邊經(jīng)過已知點(diǎn)，沿此直角邊畫直線，則所畫直線就為已知直線的垂線(如圖所示)．注意：(1)如果過一點(diǎn)畫已知射線或線段的垂線時，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長線上，也可能在線段的延長線上．(2)過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，這點(diǎn)與垂足間的線段為垂線段．3．垂線的性質(zhì)：（1）在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．（2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．簡單說成：垂線段最短．4．點(diǎn)到直線的距離：定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度叫做點(diǎn)到直線的距離．圖4如圖4所示，m的垂線段PB的長度叫做點(diǎn)P到直線m的距離．注意：點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長度，是一個數(shù)量，不能說垂線段是距離；（2）求點(diǎn)到直線的距離時，要從已知條件中找出垂線段或畫出垂線段，然后計(jì)算或度量垂線段的長度．知識點(diǎn)3：三線八角兩條直線被第三條線所截，可得八個角，即“三線八角”，如圖5所示．（1）同位角：可以發(fā)現(xiàn)∠1與∠5都處于直線的同一側(cè)，直線、的同一方，這樣位置的一對角就是同位角．圖中的同位角還有∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8．（2）內(nèi)錯角：可以發(fā)現(xiàn)∠3與∠5處于直線的兩旁，直線、的兩方，這樣位置的一對角就是內(nèi)錯角．圖中的內(nèi)錯角還有∠4與∠6．（3）同旁內(nèi)角：可以發(fā)現(xiàn)∠4與∠5都處于直線的同一側(cè)，直線、的兩方，這樣位置的一對角就是同旁內(nèi)角．圖中的同旁內(nèi)角還有∠3與∠6．圖5考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一：鄰補(bǔ)角【典例1】如圖所示，直線，交于點(diǎn)O，射線平分，若，則等于（

）

A． B． C． D．【變式1-1】下列圖形中，與是鄰補(bǔ)角的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式1-2】如圖，直線，相交于點(diǎn)O，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【變式1-3】如圖，已知是直線上的點(diǎn)，平分，，則的度數(shù)為．考點(diǎn)二：對頂角及其性質(zhì)【典例2】如圖，已知直線與相交于點(diǎn)F，平分，若，則度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【變式2-1】光線從空氣射入水中會發(fā)生折射現(xiàn)象，如圖①所示．小華為了觀察光線的折射現(xiàn)象，設(shè)計(jì)了圖②所示的實(shí)驗(yàn)：通過細(xì)管可以看見水底的物塊，但從細(xì)管穿過的直鐵絲，卻碰不上物塊．圖③是實(shí)驗(yàn)的示意圖，點(diǎn)A，C，B在同一直線上，下列各角中，的對頂角是（

）

A． B． C． D．【變式2-2】如圖，兩條直線相交于點(diǎn)O，若，則度．【變式2-3】【真實(shí)問題情境】如圖，為了測量古塔外墻底角的度數(shù)，王明設(shè)計(jì)了如下方案：作，的延長線，，量出的度數(shù)，就得到了的度數(shù)，王明這樣做的依據(jù)是．

考點(diǎn)三：垂線的定義【典例3】如圖，直線相交于點(diǎn)O，平分，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【變式3-1】如圖，在同一平面內(nèi)，，，垂足為O，則與重合的理由是（

）

A．兩點(diǎn)確定一條直線B．垂線段最短C．同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直D．垂直于同一直線的兩條直線平行【變式3-2】如圖，直線相交于點(diǎn)于點(diǎn)，且，則（

）

A． B． C． D．【變式3-3】如圖，，，則A，，三點(diǎn)共線的理由是（

）

A．垂線段最短B．兩點(diǎn)確定一條直線C．過一點(diǎn)只能作一條垂線D．在同一平面內(nèi)，經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線考點(diǎn)四：垂線的畫法【典例4】如圖，已知直線和直線外一點(diǎn)A，按下列要求作圖：過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)D．【變式4-1】下列各圖中，過直線l外一點(diǎn)P畫它的垂線，三角板操作正確的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式4-2】如圖是一條河，是河邊外一點(diǎn)，是河邊上一碼頭．

(1)若要從走到碼頭，請?jiān)趫D1中作出最短路線示意圖．(2)現(xiàn)欲用水管從河邊將水引到處，請?jiān)趫D2上作出所需水管最短的鋪設(shè)方案．考點(diǎn)五：垂線段的性質(zhì)【典例5】如圖，測量運(yùn)動員跳遠(yuǎn)成績選取的是的長度，其依據(jù)是（

）A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．垂線段最短C．兩點(diǎn)之間線段最短 D．垂直的定義【變式5-1】如圖，斑馬線的作用是為了引導(dǎo)行人安全地通過馬路．小麗覺得行人沿垂直馬路的方向走過斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（

）

A．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 B．垂線段最短C．兩點(diǎn)之間，線段最短 D．兩點(diǎn)確定一條直線【變式5-2】如圖所示，小暢家住在點(diǎn)處，計(jì)劃從門前小河引河水到家，過點(diǎn)作于點(diǎn)，然后沿鋪水管，可節(jié)省材料和工錢，這樣做法的依據(jù)是．【變式5-3】如圖，三角形中，，為邊上的任意一點(diǎn)，連接，為線段上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作點(diǎn)F．，，，則的最小值為（

）

A．6 B． C． D．5考點(diǎn)六：點(diǎn)到直線的距離【典例6】如圖，在三角形中，，，垂足為D，則下列說法不正確的是（

）

A．線段的長是點(diǎn)A到的距離 B．線段的長是點(diǎn)C到的距離C．線段的長是點(diǎn)B到的距離 D．線段的長是點(diǎn)B到的距離【變式6-1】如圖，，，則點(diǎn)到的距離是線段（

）的長度

A． B． C． D．【變式6-2】如圖，點(diǎn)和在線段上，，，，，，則點(diǎn)到線段的距離是（

）

A．7.2 B．6 C．4.8 D．3.6【變式6-3】P為直線m外一點(diǎn)，A，B，C為直線m上三點(diǎn)，，則點(diǎn)P到直線m的距離（）A．等于 B．等于 C．小于 D．不大于考點(diǎn)七：同位角【典例7】下列圖形中和不是同位角的是（

）A．B．

C．

D．

【變式7-1】下列所示的四個圖形中，和是同位角的是（

）A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④【變式7-2】如圖，直線被直線所截，與是（

）A．同位角 B．內(nèi)錯角 C．同旁內(nèi)角 D．對頂角考點(diǎn)八：內(nèi)錯角【典例8】如圖，下列各角與是內(nèi)錯角的是（）

A． B． C． D．【變式8-1】如圖，直線被直線所截，則與是（

）

A．鄰補(bǔ)角 B．同位角 C．對頂角 D．內(nèi)錯角【變式8-2】下列四個圖中，和是內(nèi)錯角的是（

）A．

B．

C．

D．

考點(diǎn)九：同旁內(nèi)角【典例9】如圖，的同旁內(nèi)角是（

）

A． B． C． D．【變式9-1】如圖所示，兩只手的食指和拇指在同一平面內(nèi)，它們構(gòu)成的一對角可以看成（

）A．同位角 B．同旁內(nèi)角 C．內(nèi)錯角 D．對頂角【變式9-2】如圖所示，和是（）

A．同位角 B．內(nèi)錯角 C．同旁內(nèi)角 D．鄰補(bǔ)角【變式9-3】如圖，a，b，c三條直線兩兩相交，下列說法錯誤的是（

）

A．與是同位角 B．與是內(nèi)錯角C．與是對頂角 D．與是同旁內(nèi)角過關(guān)檢測一、選擇題1．如圖，點(diǎn)O在直線DB上，OA⊥OC，∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（）A．150° B．120° C．110° D．100°2．如圖，在鐵路旁有一李莊，現(xiàn)要建一火車站，為了使李莊人乘車最方便，請你在鐵路線上選一點(diǎn)來建火車站，應(yīng)建在（）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D3．若點(diǎn)P為直線a外一點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D為直線a上的不同的點(diǎn)，其中PA＝3，PB＝4，PC＝5，PD＝3.那么點(diǎn)P到直線a的距離是A．小于3 B．3 C．不大于3 D．不小于34．如圖，直線相交形成四個角，互為對頂角的是（

）A．與 B．與C．與 D．與5．下列各圖中，∠1和∠2可能是鄰補(bǔ)角的只有（）A． B． C． D．6．已知:如圖,直線AB、CD被直線EF所截,則∠EMB的同位角是（

）A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END7．如圖，相交于點(diǎn)O，且，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．二、填空題8．自