機(jī)械制圖（第四版）-課件 2-2點(diǎn)、直線、平面的投影

Pb

●●AP

過空間點(diǎn)A作投射線與投影面P的交點(diǎn)，即為點(diǎn)A在P面上的投影。B3●B2●B1●

點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空間位置。a

●第二章投影基礎(chǔ)

§2-2點(diǎn)、直線、平面的投影一、點(diǎn)的投影

1.三投影面體系的建立

三投影面體系由三個(gè)相互垂直的投影面所組成。正立投影面簡稱正面水平投影面簡稱水平面?zhèn)攘⑼队懊婧喎Q側(cè)面

兩投影面的交線稱為投影軸OX、OY、OZ。三投影軸交于O點(diǎn)，稱為原點(diǎn)。

VHWXYZOa點(diǎn)A的水平投影a'

點(diǎn)A的正面投影a

點(diǎn)A的側(cè)面投影●●●●XZOVHWAaa

a

xaazayY如：空間點(diǎn)A2．點(diǎn)在三投影面體系中的投影規(guī)律

HWV●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay繞Z軸向右旋轉(zhuǎn)90o繞X軸向下旋轉(zhuǎn)90o不動(dòng)投影面展開aaxazZaa

yayaXYHYWO

●●●●●●●XYZOVHWAaa

a

點(diǎn)的投影規(guī)律:xaazay●●YWZaza

XYHayOaaxaya

●（1）點(diǎn)的正面投影與水平投影的連線a

a⊥OX軸；（2）點(diǎn)的正面投影與側(cè)面投影的連線a

a

⊥OZ軸；（3）點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離與點(diǎn)的側(cè)面投影到OZ軸的距離相等，即aax=a

aZ

。

為了作圖方便，可過原點(diǎn)O作

YHOYW的角平分線，則aaY與a

aY的延長線必與這條輔助線交于一點(diǎn)，從而體現(xiàn)a

az=aax

的對應(yīng)關(guān)系。[例2-1]已知點(diǎn)A的兩個(gè)投影a,a

,求第三投影a"?！馻

●●a

aaxaz解法一:通過作45°線使a

az=aax解法二:用圓規(guī)直接量取a

az=aaxZOXYWYHYWaza

●●●a

aaxZOXYH3.點(diǎn)的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系A(chǔ)a′a″aaxayazVHWOXYZXa′a″aOaxayazZayYHYWxyzxyzy[例2-2]已知點(diǎn)A（20，10，15）和B（0，15，20），求作其三面投影。解：量取坐標(biāo)值，作點(diǎn)的投影。

XOYHYWZaa'a"bb'b"10201010空間點(diǎn)的求法(a)坐標(biāo)法(b)逆投射線法4.點(diǎn)的相對位置（1）兩點(diǎn)的相對位置XOZY兩點(diǎn)中X值大的點(diǎn)

——在左兩點(diǎn)中Y值大的點(diǎn)——在前兩點(diǎn)中Z值大的點(diǎn)——在上a

a

ab

b

bBAXZYWYHOa

a

ab

bb

[例2-3]已知A點(diǎn)在B點(diǎn)之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A點(diǎn)的投影。a

a

aXZYWYHOb

bb

985()a

b●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay●●●b

Bb

(b)●（2）重影點(diǎn)及其可見性

若空間兩點(diǎn)位于某一投影面（如H面）的同一投射線上，則它們在該投影面上的投影重合為一點(diǎn)，稱這兩點(diǎn)為對H面的重影點(diǎn)。

被擋住的投影加()b

●●●a

a

b

ZXYWOYH●●二、直線的投影1．直線的投影

HabDCc(d)AB

直線的投影一般仍為直線。

只有當(dāng)直線垂直于某一投影面時(shí)，它的投影才積聚成一點(diǎn)。

O

兩點(diǎn)確定一條直線只需作出直線上兩端點(diǎn)的投影，然后連接其同面投影。oYHYW2．直線上點(diǎn)的投影特性

⑴

從屬性若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各投影必在該直線的各同面投影上，且符合點(diǎn)的投影規(guī)律。

⑵定比性直線上的點(diǎn)分割線段之比，等于該點(diǎn)的投影分割線段的同面投影之比。

AK:KB=ak:kb=a

k

:k

b

=a

k

:k

b

ABbb

aa

XOk

KkYHYW[例2-4]已知點(diǎn)C在線段AB上，求點(diǎn)C的正面投影。XOABbb

aa

c

CcHVb

Xa

bacc

accb采用定比性O(shè)解法二cc

b

aba

c

b

a

采用從屬性XZYOYb

Xa

abcc

[例2-5]在已知線段AB上取一點(diǎn)，將AB分成2：1兩段，求點(diǎn)C的投影。（1）過a引一任意直線，并在其上作三等分；（2）連接bb0，再推出平行線，交ab于c；（3）由c再求出c′。b0O3.各種位置直線的投影特性

分為三類：投影面平行線、投影面垂直線、一般位置直線；前兩類又稱為特殊位置直線。

（1）投影面平行線

平行于一個(gè)投影面而傾斜于另兩個(gè)投影面的直線。

可分為：水平線----平行于H面，傾斜于V、W面的直線；正平線----平行于V面，傾斜于H、W面的直線；側(cè)平線----平行于W面，傾斜于V、H面的直線。

、

、

分別表示直線對H、V、W面的傾角。水平線—

平行于水平投影面的直線XZYOaa

b

a

bb

Xa

b

a

b

baOzYHYW

AB投影特性：1、a

b

OX;a

b

OY2、ab=AB3、反映

、

角的真實(shí)大小XZYO正平線—

平行于正立投影面的直線aa

b

b

a

b

Xa

b

a

b

baOZYHYWAB

投影特性：1、ab

OX;a

b

OZ2、a

b

=AB3、反映

、

角的真實(shí)大小XZYO側(cè)平線—

平行于側(cè)立投影面的直線XZa

b

b

baOYHYWa

aa

b

a

b

b

AB投影特性：1、a

b

OZ;ab

OY2、a

b

=AB3、反映

、

角的真實(shí)大小（2）投影面垂直線垂直于一個(gè)投影面而平行于另兩個(gè)投影面的直線?？煞譃椋恒U垂線----垂直于H面，平行于V、W面的直線；正垂線----垂直于V面，平行于H、W面的直線；側(cè)垂線----垂直于W面，平行于V、H面的直線。OXZYb

a(b)a

a

b

Zb

Xa

b

a(b)OYHYWa

投影特性：1、a（b）積聚成一點(diǎn)

2、a

b

OX;a

b

OY

3、a

b

=a

b

=AB鉛垂線—

垂直于水平投影面的直線AB正垂線—

垂直于正立投影面的直線OXZYbb

(c)c

b

c投影特性：1、b(c)積聚成一點(diǎn)

2、bc

OX;b

c

OZ

3、bc=b

c

=BCCBb

YWzXb

(c

)cOYHc

b側(cè)垂線—

垂直于側(cè)立投影面的直線OXZYAB投影特性：1、a

（b

）積聚成一點(diǎn)

2、

ab

OY;a

b

OZ

3、ab=a

b

=ABba

a

（b

）ab

ZXa(b

）b

aOYHYWa

bZ

YHaOXabbaYWb

1、對三個(gè)投影面都傾斜的直線，其投影長度均小于AB的實(shí)長。

2、其與投影軸的夾角均不反映該直線對投影面的傾角。投影特性:HaγaAb

VBbWβa

b

O（3）一般位置直線XYZABbb

aa

XO

AB求直線的實(shí)長及對水平投影面的傾角

zB-zAXa

ab

b

ABabzB-zA

ABzB-zAabCZB-ZAa

Xab求直線的實(shí)長及對正立投影面的傾角

ABbb

aa

CXOYA-YBAB

a

b

YA-YBYA-YBAB

YA-YBb

a

b

AB

XZYO求直線的實(shí)長及對側(cè)立投影面的傾角

ABbb

a

b

aa

XA-XBXA-XB

a

ZXa

aOYHYWb

bb

bb

Xa

aL=BC[例2-6]已知直線AB的投影，試在AB上定出點(diǎn)C的投影，使BC

的實(shí)長等于已知線段L。cLABzB-zAc

ab三、平面的投影不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)直線及線外一點(diǎn)abca

b

c

●●●●●●d●d

●兩平行直線abca

b

c

●●●●●●兩相交直線平面圖形c

●●●abca

b

●●●c●●●●●●aba

b

c

b●●●●●●aca

b

c

XXXXX

平面投影一般仍為平面，在特殊情況下才積聚為直線，稱這種性質(zhì)為積聚性。不在同一直線上的三點(diǎn)或多點(diǎn)可確定一個(gè)平面。1．平面的幾何元素表示法2.各種位置平面的投影特性平面相對于投影面的位置可分為三種：投影面垂直面、投影面平行面、一般位置平面；前兩類稱為特殊位置平面。（1）投影面垂直面

垂直于一個(gè)投影面而傾斜于另兩個(gè)投影面的平面稱為投影面垂直面。又可分為：鉛垂面----垂直于H面，傾斜于V、W面的平面；正垂面----垂直于V面，傾斜于H、W面的平面；側(cè)垂面----垂直于W面，傾斜于V、H面的平面。VWHPPH鉛垂面1、

abc積聚成一直線；2、

a

b

c

、

a

b

c

為

ABC的類似形；3、

abc與OX、OY的夾角，反映對V、W面的傾角

、

。ABCacb投影特性：YH

a

b

a

b

bacc

c

YWZXO正垂面VWHQQV1、a

b

c

積聚成一直線；2、

abc、

a

b

c

為ABC的類似形；3、a

b

c

與OX、OZ的夾角，反映對H、W

的傾角α、

Ac

Ca

b

B投影特性：

αa

b

a

b

bac

c

cOXZYHYW(3)側(cè)垂面VWHSWS1、a

b

c

積聚成一直線；2、

abc、

a

b

c

為

ABC的類似形；3、a

b

c

與OY

、OZ的夾角，反映對H、V

面的傾角α、β。

Ca

b

ABc

投影特性：a

b

b

baa

αβcc

c

OXZYHYW（2）投影面平行面

平行于一個(gè)投影面而垂直于另兩個(gè)投影面的平面稱為投影面平行面。又可分為：水平面----平行于H面，垂直于V、W面的平面；正平面----平行于V面，垂直于H、W面的平面；側(cè)平面----平行于W面，垂直于V、H面的平面。

VWH水平面1、

a

b

c

∥X軸，a

b

c

∥Y軸，均為積聚性投影；

2、水平投影

abc反映

ABC實(shí)形。

CABa

b

c

baca

b

c

投影特性：ca

b

b

baa

c

c

OXZYHYW正平面VWH1、

abc∥X軸，

a

b

c

∥Z軸,均為積聚性投影；2、正面投影

a

b

c

反映

ABC實(shí)形。

b

a

c

a

b

c

bcaCBA投影特性：c

a

b

b

a

c

bcaOXZYHYW側(cè)平面1、

abc∥Y軸，

a

b

c

∥Z軸,均為積聚性投影；2、側(cè)面投影

a

b

c

反映

ABC實(shí)形。

VWHb

c

baca

b

c

CABa

投影特性：a

b

b

ba

c

c

caOXZYHYW（3）一般位置平面1、對三個(gè)投影面均傾斜的平面，三個(gè)投影都為類似形；2、不反映對H、V

、W面的傾角

、

、

。a

b

c

baca

b

CAB投影特性：a

b

b

a

c

c

bacOXZYHYWa

b

c

abcABCEDd

de

eFff

3.平面上的點(diǎn)和直線（1）點(diǎn)和直線在平面上的幾何條件①直線在平面上的幾何條件是：

直線必通過平面上的兩點(diǎn)；或直線通過平面上的一點(diǎn)，且平行于平面上的另一條直線。②點(diǎn)在平面上的幾何條件是：點(diǎn)必在該平面的某條直線上。

[例2-7]

已知點(diǎn)D在

ABC上，求點(diǎn)D的水平投影。dd

a

b

c

abcee

a'b'c'd'e'abdecX[例2-8]

已知多邊形ABCDE的V面投影及H面的部分投影，補(bǔ)全該平面的H投影。[例2-9]

完成四邊形ABCD上缺口EFGH的水平投影。（2）平面上的投影面平行線

既在平面上又平行于某一投影面的直線稱為平面上的投影面平行線。

可分為：平面上的水平線、平面上的正平線、平面上的側(cè)平線三類。

其投影既要符合直線在平面上的幾何條件，又要符合投影面平行線的投影特性。VHPPVPH[例2-10]

已知

ABC平面，試過點(diǎn)C作該平面的正平線，過點(diǎn)A作該平面的水平線。a

b

c

bacm

n

nmX[例2-11]已知點(diǎn)E

在

ABC平面上，且點(diǎn)E距離H面15，距離V面10，試求點(diǎn)E的投影。Xa

b

c

bacmnm

n

rsr

s

1015e

e[例2-12]已知CD為水平線，完成平面ABCD的正面投影。四、采用換面法求直線實(shí)長和平面實(shí)形保持空間幾何元素的位置不變，以一新投影面來取代原投影面中的一個(gè)，使空間幾何元素對新投影面處于有利于解題的特殊位置，將這種變換投影面的方法稱為“換面法”。

當(dāng)空間的直線段或平面對投影面處于一般位置時(shí)，它們的投影不能直接反映其實(shí)長或?qū)嵭?；只有?dāng)空間的直線段或平面對投影面處于特殊位置時(shí)，它們的投影才能直接反映其真實(shí)的度量和定位關(guān)系

。a

abb

bb

a

a直線的實(shí)長a

abb

c

ca

abb

c

c三角形實(shí)形確定新投影面的原則⑴新投影面必須垂直于原投影面體系中一個(gè)不變的投影面。⑵新投影面必須使空間幾何元素對其投影有利于定位和度量。（1）新投影a1′與不變投影a的連線垂直于新軸X1。（2）新投影a1′到新軸X1的距離等于舊投影a′到舊軸X的距離。

將V1面繞X1軸旋轉(zhuǎn),與H面重合。V1面取代V面，形成了H/V1體系換面法的投影規(guī)律（1）作