排列課件-高二下學期數(shù)學人教A版選擇性

1第6章《計數(shù)原理》人教A版2019選擇性必修第三冊6.2.1

排列

完成一件事，有n類辦法.在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類方法中有m2種不同的方法，……，在第n類方法中有mn種不同的方法，則完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法1.分類加法計數(shù)原理2.分步乘法計數(shù)原理

完成一件事，需要分成n個步驟。做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，則完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法

區(qū)分“完成一件事”是分類還是分步，關鍵看一步能否完成這件事，若能完成，則是分類，否則，是分步.

前情回顧：問題1：從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加一項活動，其中1名同學參加上午的活動，另1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？分析：此時，要完成的一件事情是“選出2名同學參加活動，1名參加上午的活動，另1名參加下午的活動”，可以分兩個步驟完成.

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設情境，引入課題上午下午相應的選法甲乙丙乙甲丙丙甲乙甲丙甲乙乙甲乙丙丙甲丙乙解：第1步，確定參加上午活動的同學，從3人中任選1人，有3種選法：第2步，確定參加下午活動的同學，當參加上午活動的同學確定后，參加下午活動的同學只能從剩下的2人去選，有2種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同選法的種數(shù)N=3×2=6.6種選法如圖6.21所示

如果把上面問題中被取出的對象叫做元素，那么問題１就可以敘述為：

從3個不同的元素a，b，c中任取2個，并按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？

所有不同的排列是：ab，ac，ba，bc，ca，cb不同的排列方法種數(shù)為：N=3×2=6.問題1：從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加一項活動，其中1名同學參加上午的活動，另1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？問題2：從1，2，3，4這4個數(shù)字中，每次取出3個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？

環(huán)節(jié)二：觀察分析，感知概念完成一件什么事有什么要求第1步：確定百位數(shù)字，有4種取法；第2步：確定十位數(shù)字，有3種取法；第3步：確定個位數(shù)字，有2種取法.取三個數(shù)字排成三位數(shù)從1，2，3，4中取出3個怎么完成這件事

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，從1，2，3，4這4個不同的數(shù)字中，每次取出3個數(shù)字，按“百位、十位、個位”的順序排成一列，不同的排法種數(shù)為因而共可得到24個不同的三位數(shù)，如圖6.22所示．問題2：從1，2，3，4這4個數(shù)字中，每次取出3個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？問題2：從1，2，3，4這4個數(shù)字中，每次取出3個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？問題2可以歸結為：從4個不同的元素a，b，c，d中任意取出3個，并按照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adc;bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb;dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.由此可寫出所有的三位數(shù)：123，124，132，134，142，143；213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342；412，413，421，423，431，432上述問題1，2的共同特點是什么你能將它們推廣到一般情形嗎

問題1和問題2都是研究從一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的順序排成一列的方法數(shù)．

根據(jù)排列的定義，兩個排列相同的充要條件是：兩個排列的元素完全相同，且元素的排列順序也相同．

例如，在問題1中，“甲乙”與“甲丙”的元素不完全相同，它們是不同的排列；“甲乙”與“乙甲”雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列．又如，在問題2中，123與134的元素不完全相同，它們是不同的排列；123與132雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列．

一般地說，從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同的元素中取出m個元素的一個排列.

環(huán)節(jié)三：抽象概括，形成概念說明：1.“按一定順序”就是與位置有關，這是判斷一個問題是否是排列問題的關鍵。3.m＜n時的排列叫選排列，m＝n時的排列叫全排列。4.為了使寫出的所有排列情況既不重復也不遺漏，最好采用“樹形圖”。2.兩個排列相同，當且僅當這兩個排列中的元素完全相同，而且元素的排列順序也完全相同。

一般地說，從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同的元素中取出m個元素的一個排列.1.判斷下列問題是排列問題嗎？（1）從1，2，3，4四個數(shù)字中，任選兩個做加法，其不同結果有多少種？（2）從1，2，3三個數(shù)字中，任選兩個做除法，其不同結果有多少種？（3）從1到10十個自然數(shù)中任取兩個組成點的坐標，可得多少個不同的點的坐標？（4）平面上有5個點，任意三點不共線，這五點最多可確定多少條射線？可確定多少條直線？（5）10個學生排隊照相，則不同的站法有多少種？（從中歸納這幾類問題的區(qū)別）是排列不是排列是排列是排列不是排列是排列

學以致用：例1.某省中學生足球賽每組有6支隊，每支隊都要與同組的其他各隊在主、客場分別比賽1場，那么每組共進行多少場比賽？分析：每組任意2支隊之間進行的1場比賽，可以看作是從該組6支隊中選2支，按“主隊、客隊”的順序排成一個排列.解：可以先從6支隊選1支隊為主隊，然后從剩下的5支隊中選1支隊為客隊，按分步乘法計數(shù)原理，每組進行的比賽場數(shù)為：6×5=30.

環(huán)節(jié)四：辨析理解，深化概念例2：(1)一張餐桌上有5盤不同的菜，甲、乙、丙3名同學每人從中各取1盤菜，共有多少種不同的取法？(2)學校食堂的一個窗口共賣5種菜，甲、乙、丙3名同學每人從中選一種，共有多少種不同的選法？分析：（1）3名同學每人從5盤不同菜中取1盤菜，可看作從5盤菜中任取3盤放在3個位置(給3名同學)的一個排列；解：(1)可以先從這5盤菜中取1盤給同學甲，然后從剩下4盤菜中取1盤給同學乙，最后從剩下的3盤菜中取1盤給同學丙.按分步乘法計數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為：5×4×3=60.

環(huán)節(jié)五：概念應用，鞏固內(nèi)化例2：(1)一張餐桌上有5盤不同的菜，甲、乙、丙3名同學每人從中各取1盤菜，共有多少種不同的取法？(2)學校食堂的一個窗口共賣5種菜，甲、乙、丙3名同學每人從中選一種，共有多少種不同的選法？解：(2)可以先讓同學甲從5種菜中選1種，有5種選法；再讓同學乙從5種菜中選1種，也有5種選法；最后讓同學丙從5種菜中選1種，同樣有5種選法.按分步乘法計數(shù)原理，不同的選法種數(shù)為：5×5×5=125.分析：（2）3名同學每人從食堂窗口的5種菜中選1種，每人都有5種選法，不能看成一個排列.

排列問題，是取出m個元素后，還要按一定的順序排成一列，取出同樣的m個元素，只要排列順序不同，就視為完成這件事的兩種不同的方法（兩個不同的排列）．

由排列的定義可知，排列與元素的順序有關，也就是說與位置有關的問題才能歸結為排列問題．當元素較少時，可以根據(jù)排列的意義寫出所有的排列．

請看課本P16：練習

環(huán)節(jié)六：歸納總結，反思提升1.寫出：（1）用0～4這5個自然數(shù)組成的沒有重復數(shù)字的全部兩位數(shù)；（2）從a，b，c，d中取出2個字母的所有排列．解：（1）10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43．（2）ab，ba，ac，ca，ad，da，bc，cb，bd，db，cd，dc．2.一位老師要給4個班輪流做講座，每個班講1場，有多少種輪流次序

鞏固練習：請看課本P163.學校乒乓球團體比賽采用5場3勝制（5場單打），每支球隊派3名運動員參賽，前3場比賽每名運動員各出場1次，其中第1，2位出場的運動員在后2場比賽中還將各出場1次．（1）從5名運動員中選3名參加比賽，前3場比賽有幾種出場情況（2）甲、乙、丙3名運動員參加比賽，寫出所有可能的出場情況．

鞏固練習：請看課本P163.學校乒乓球團體比賽采用5場3勝制（5場單打），每支球隊派3名運動員參賽，前3場比賽每名運動員各出場1次，其中第1，2位出場的運動員在后2場比賽中還將各出場1次．（2）甲、乙、丙3名運動員參加比賽，寫出所有可能的出場情況．排列中元素所滿足的兩個特性(1)無重復性：從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素，否則不是排列問題．(2)有序性：安排這m個元素時是有順序的，有序的就是排列，無序的不是排列．檢驗它是否有順序的依據(jù)是變換元素的位置，看結果是否發(fā)生變化，有變化就是有順序，無變化就是無順序．

一般地說，從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同的元素中取出m個元素的一個排列.

有6個人站成前后兩排照相，要求前排2人，后排4人，問有多少種不同的排法？

前排共兩人，有6×5＝30(種)排法，后排有4×3×2×1＝24(種)排法，故共有30＋24＝54(種)排法．正解：本題實際上和6個人站成一排照相共有多少種不同排法的問題完全相同，所以不同的排法總數(shù)為6×5×4×3×2×1＝720(種).易錯警示：分不清分類還是分步計數(shù)致誤錯解：

學以致用：2．甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排頭的所有排列種數(shù)為(

)A.6 B.4C.8 D.10B3.某電視臺一節(jié)目收視率很高，現(xiàn)要連續(xù)插播4個廣告，包括2個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益宣傳廣告，要求最后播放的必須是商業(yè)廣告，則不同的播放方式有(

)A.12種 B.16種C.18種 D.24種A4.1名老師和4名獲獎學生站成一排照相，若老師不站兩端，則不同的排法有多少種？解：4名學生的排法有4×3×2×1＝24(種