陶林收集高中數(shù)學(xué)資料

2013年秋季學(xué)期

收

集

于

貴

州

省

六

盤

水

市

水城縣坪寨中學(xué)

教師：陶林

教

學(xué)

高一數(shù)學(xué)必修1知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

集合

（D元素與集合的關(guān)系：屬于（拉利不屬于（）生

集合與元素廠集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性

（3集合的分類：按集合中元素的個(gè)數(shù)多少分為：有限集、無限集、空集

（4）集合的表示方法：列舉法、描述法（自然語言描述、特征性質(zhì)描述）、圖示法、區(qū)間法

子集：若xw期LTk是的子氮￡8AB

1、若集合即有令元素，則集合的航集有個(gè),2“真子集有任11）

2、任何一個(gè)集合是它本身的子集，即AqA

注《

關(guān)系,3、對(duì)于集合機(jī)1果C,且那41BBjC,AQC.

4、空集是任何集合的（真）子集。

集合真子集：若起腳至少禰在但），則是的廖承建工AB

集合相等：JfcBA^BoA-B

集合與集合,交集!定義："B={x/xeAxeB}

性質(zhì)：4G4=AAn0=0AryB=BnAAcB=A,Ac8u8,A=BoAc,

f定義：或jB={x/xeAxeB}

并集〈，一

、一生性質(zhì)：4"A=,A,Au0=AAuB=B<JAAuBnAAuBnBAuB=Au

運(yùn)算4i———

Card{AuB)=Card(A)+Card(B)-Card(AcB)

定義：OA={x/xeUx(?A}=A

補(bǔ)集長質(zhì)：(QA)r)A=0(CuA)uA=U(7“(")=4Cu(AnB)=(C0.A)u(Cc,B)

Cv(AuB)=(Cb,A)n(C,B)

函數(shù)

映射定義：bU您兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合中的任意一個(gè)元素x

在集合中都有唯?確定的元素與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)：為從集會(huì)到A集合的?個(gè)映射

傳統(tǒng)定義：如果在某變化中有兩個(gè)變量耗員對(duì)于在某令范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，

按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系都直唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)。那么就是的捶I數(shù)xo記作y=

（近代定義：函數(shù)是從個(gè)數(shù)集到另?個(gè)數(shù)集的映射。

定義域

函數(shù)及其表示1函數(shù)的三要素抬域

對(duì)應(yīng)法則

I,

解析法

函數(shù)的表示方法區(qū)表法

―[圖象法

傳統(tǒng)定義：在區(qū)間也可若如，則弄＜k處贈(zèng)，是（同）＜/（、2）/（x）[a,b][a^]

的澗枇J遞增區(qū)間；娜（卻在外卷減,是的遞閾腳4[a例

串同在導(dǎo)數(shù)定義：在區(qū)間卜例上，招（則說上遞推瓏郵血耳扁；如小可/（x）＜0

則底理的遞砌區(qū)國。

'最大值：設(shè)函數(shù).得宏說域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足：儲(chǔ)對(duì)于任意的，都有;xe//（x）:

函數(shù)S

函數(shù)的基本性質(zhì)導(dǎo)估（2存在.,x（使得。則擲圓[（））=A/M函數(shù)的煙值

眼詛[最小值：設(shè)函數(shù)的定（義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)涌足：（N）對(duì)于任意的，都有;xeZf（x）＞

（2存在,x使得。則稱祇（））=NN函數(shù)俯戢（小道

]（l）/（_x）=_/（x）,xw定義域。則叫?他南函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

奇偶性《笑治城（，-則叫做偶隨數(shù)，其圖f（x）象關(guān)于軸對(duì)稱。

奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

周期性：在函數(shù)的定義域上恒仃的常數(shù)姓口做同朗炳麴）為周期：f（x）

的最小小:值叫做的最小正周期，簡稱周期

（D描點(diǎn)連線法：列表描點(diǎn)、連線

[向左平移今單位：>'l=y.x[-a=x=>y=f(x+a)

向右平移個(gè)單位:y\=y，/+a=xny=f(x-a)

平移變換?

向上平移價(jià)單位：X1=x,)[+b=y=>y-b=f(x)

向下平移價(jià)單位:X]=x,y]-b=y^>y+b=f(x)

「橫坐標(biāo)變換：把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)時(shí)也或伸長（當(dāng)時(shí)）()<VV<1

伸縮變換，到原來的信＞4縱坐標(biāo)不變），即xi=^%=＞y=f（wx）

縱坐標(biāo)變換：把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（或縮做（到O＜A＜1）原來的格

（橫坐標(biāo)不變），即yi=y/A=y=/（x）

函數(shù)圖象的畫法‘

（2變換法■關(guān)于點(diǎn)K峨￥°）｛篙國滬｛霏雙IKyo-y=f（2xo-x）

關(guān)于直線塌啾5：

對(duì)稱變換?(yi-y

問ng=2yo-y=/(x)

關(guān)于直線.哪：9

(y1+y=2yo(y\=2yQ-y/八

關(guān)于直線對(duì)稱：匕二；1尸產(chǎn)尸(x)

附：

一、函數(shù)的定義域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被開方數(shù)大于等于零；3、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于

零；4、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；5、三角函數(shù)正切函數(shù)y=tanx中

jr

k7T+—(kGZ);余切函數(shù)＞=(：01_￥中；6、如果函數(shù)是由實(shí)際意義確定的解析式，

應(yīng)依據(jù)自變量的實(shí)際意義確定其取值范圍。

二、函數(shù)的解析式的常用求法：

1、定義法；2、換元法；3、待定系數(shù)法；4、函數(shù)方程法；5、參數(shù)法；6、配方法

三、函數(shù)的值域的常用求法：

1、換元法；2、配方法；3、判別式法；4、幾何法；5、不等式法；6、單調(diào)性法；7、

直接法

四、函數(shù)的最值的常用求法：

1、配方法；2、換元法：3、不等式法；4、幾何法；5、單調(diào)性法

五、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：

1、若/(x),g(x)均為某區(qū)間上的增(減)函數(shù)，則/(x)+g(x)在這個(gè)區(qū)間上也為

增(減)函數(shù)

2、若/(x)為增(減)函數(shù)，則一/(幻為減(增)函數(shù)

3、若/(X)與g(x)的單調(diào)性相同，則y=f[g(x)]是增函數(shù);若/(X)與g(x)的單

調(diào)性不同，則y=/[g(x)]是減函數(shù)。

4、奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。

5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作

函數(shù)圖象。

六、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：

1、如果?個(gè)奇函數(shù)在x=0處有定義，則/(0)=0,如果一個(gè)函數(shù)y=/(x)既是

奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則/(x)=0(反之不成立)

2、兩個(gè)奇(偶)函數(shù)之和(差)為奇(偶)函數(shù)；之積(商)為偶函數(shù)。

3、一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積(商)為奇函數(shù)。

4、兩個(gè)函數(shù))，=/(“)和耳=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個(gè)是偶函數(shù)，那

么該復(fù)合函數(shù)就是偶函數(shù)；當(dāng)兩個(gè)函數(shù)都是奇函數(shù)時(shí)，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。

5、若函數(shù)/(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則/(x)可以表示為

/(x)=g"(x)+/(—x)]+g[/(x)—/(—X)],該式的特點(diǎn)是：右端為一個(gè)奇函數(shù)

和一個(gè)偶函數(shù)的和。

零點(diǎn)：對(duì)于函數(shù)我他把使的實(shí)數(shù)則儆函數(shù)的零點(diǎn)二y=f(x)

定理：如果函數(shù)在區(qū)網(wǎng)心的圖象就連續(xù)作斷的一條曲線，并且有/(?)-/(b)＜

零點(diǎn)與根的關(guān)系，那么，函數(shù)在慢降內(nèi)M零點(diǎn)。即命包使得這個(gè)也是方ce(%方)，/(c)=0,c

程俏購」娠之不成立)

關(guān)系：方程=。有實(shí)數(shù)根解數(shù)有零點(diǎn)函數(shù)的圖象與軸在交點(diǎn)＞'=f(x)x

函數(shù)與方程＜(1)確定區(qū)間艙證給定精確畫-f(h)＜0,￡

(2)求區(qū)間的也源c;

函數(shù)的應(yīng)用4

⑶計(jì)敢(c)

二分法求方程的近似解＜①若則就母眄數(shù)做零點(diǎn)：

②若測(此時(shí)題點(diǎn)航；b=cxQe(a,b)

③若_則切(此㈣WdM〃=cxQ€(c,b))

(4)判斷是否達(dá)到精確度￡即若貝卜到犬點(diǎn)的近似值或否則重復(fù)。

a(b)；2?/

幾類不同的增長函數(shù)模型

函數(shù)模型及其應(yīng)用局已知函數(shù)模型解決1可題

建立實(shí)際問題的函數(shù)模型

‘根式:夕拓根指數(shù)，為被開方數(shù)\%產(chǎn)=°詈

分?jǐn)?shù)指數(shù)靠J-”

4旨數(shù)的運(yùn)算Vafas=a"+'(a>O,廠,sE2)

指數(shù)函數(shù)V性質(zhì)＜(a，=a"(a>O,iwO)

(ab)r=a「薩(a>O,Z?>O,reC)

定一義：一般卻時(shí)巴函數(shù)卅時(shí)做班數(shù))!函I激*1)

舟數(shù)函數(shù)

，性質(zhì)：見x表1

'對(duì)數(shù):x=log^TV,a為J氐數(shù)，的其數(shù)

1°8a(.*八0=logoM+log^N\

基本初等函數(shù)V

M

log.—=I。-M-logaTV;

對(duì)數(shù)的運(yùn)算VN

性質(zhì)V

又寸數(shù)函數(shù)＜logaM"=〃logr7M;(a>O,ax1,M>O,TV>O)

換J底公式：log“b=ICQ<，>(a,c>O_13La,c1,Z?

Llog,“

定義：一般卻討巴函數(shù)加1北做左用物函版aK1)

對(duì)數(shù)函數(shù)

性,而：見表1

J定義：一般地,國數(shù)學(xué)LM收璃函數(shù)，是白衣量，是格嬰公

濟(jì)函數(shù)［性偵：

見表2

對(duì)數(shù)數(shù)函數(shù)

表

指數(shù)函數(shù)>=優(yōu)(。>0，。wl)

1y=logax(a>0,aw1)

定

義xwRXG(0,4-00)

域

值

ye(0,+co)ywR

域

JJ

0<a<i

\0<a<l

圖

象

i不

一11/3

過定點(diǎn)(0,1)過定點(diǎn)ao)

減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)

xw(-oo,0)時(shí)，ye(1,+oxw(-8,0)時(shí)，ye(0,1)XG(0,1)時(shí)，yG(0,4-00)xw(O,l)時(shí)，ye(-oo,0)

X￡(0,+oo)時(shí)，yG(0,1)xG(0,4-oo)ft'J',ye(1,+ax￡(l,+oo)時(shí)，yG(-OO,(X￡(l,+8)時(shí)，y￡(O,+a

性

質(zhì)

J\i

11

/…，

1-y-嗎x、、一

a<b

a<hc>ba>b

表2塞函數(shù)y=xa(aeR)

a=—a<00<a<\a>1a=1

q

/

P為奇數(shù)\a.i)

■a.\iZa.n

g為奇數(shù)/11奇函數(shù)

P為奇數(shù)(1.1)

10,1)

為偶數(shù)、

q---------------JL

J11

p為偶數(shù)

q為奇數(shù)偶函數(shù)

--)，—117

r"

第一象限

減函數(shù)增函數(shù)過定點(diǎn)(01)

性質(zhì)

高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)

一、直線與方程

（1）直線的傾斜角

定義：X軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與X軸平行

或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°<180°

（2）直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常

用k表示。即Z=lana。斜率反映直線與軸的傾斜程度。

當(dāng)aw[（T,90°）時(shí)，kNO；當(dāng)aw（90°,180°）時(shí)，k<0；當(dāng)a=90"時(shí)，女不存

在。

y2y,

②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：k=~（x,^x2）

注意下面四點(diǎn)：（1）當(dāng)占=》2時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；

（2）女與丹、P2的順序無關(guān)；（3）以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求

得：

（4）求直線的傾斜角uj■由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。

（3）直線方程

①點(diǎn)斜式：/一%=人（%—%|）直線斜率4，且過點(diǎn)（七,力）

注意：當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)，k=0,直線的方程是

當(dāng)直線的斜率為90。時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示.但因/

上每?點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于不，所以它的方程是x=x”

②斜截式：y=kx+b,直線斜率為A,直線在y軸上的截距為6

③兩點(diǎn)式：—~~—（西/》,,必力為）直線兩點(diǎn)（如）[），（x2,y2）

為一xx2-x,

④截矩式：-+^=1

ab

其中直線I與x軸交于點(diǎn)（。,0），與y軸交于點(diǎn)（0M，即，與x軸、y軸的截距分別為a,b。

⑤一般式：Ax+By+C=0（4,8不全為0）

注意：①各式的適用范圍②特殊的方程如：

平行于x軸的直線：y=b"為常數(shù)）：平行于y軸的直線：x=a（a為常數(shù)）；

（5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線

（一）平行直線系

平行于已知直線Ax+BoV+C。=0（A。,練是不全為0的常數(shù)）的直線系：

A^x+Bay+C=0（C為常數(shù)）

（二）過定點(diǎn)的直線系

（i）斜率為々的直線系：y-y0=k（x-x0）,直線過定點(diǎn)（/，%）；

（ii）過兩條直線6：Ax+d.y+G=0,/2：4%+82>+。2=0的交點(diǎn)的直線系方程

為

（4儼+用丫+。1）+屁421+當(dāng)了+。2）=0（幾為參數(shù)），其中直線人不在直線系中。

（6）兩直線平行與垂直

當(dāng)/i：y=Z]X+b],12:y=k2x+b2^i>

Z]I112ok[=k2,btwb,；4_L4=kJ2——1

注意：利用斜率判斷直線.平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。

（7）兩條直線的交點(diǎn)

/]:A[X+8]y+G=0%'A2x+B2y+C2=0相交

交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組[&X+與y+G=°的一組解。

[A2x+B2y+C2=0

方程組無解=4〃4；方程組有無數(shù)解=/]與乙重合

（8）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)A區(qū),％）,SC）2,乃是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，

則?AB\=/口2-占）2+（7-必）2

（9）點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)P（Xo，y。）到直線乙：〈X+8V+C=0的距離:,」Ax。+By。1C]

ylA2+B2

（10）兩平行直線距離公式

在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。

二、圓的方程

1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長為圓的

半徑。

2、圓的方程

（1）標(biāo)準(zhǔn)方程（X—0）2+（），一切2=廠2,圓心（。力），半徑為r：

（2）一般方程F+）/+0x++尸=0

當(dāng)。2+￡2-4廠>0時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為b2,_月），半徑為,.=；J°2+E2_4F

當(dāng)。2+石2-4/=0時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)。2+石2-4/<0時(shí)，方程不表示任何圖

形。

（3）求圓方程的方法：

一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,

需求出a,b,r；若利用一般方程，需要求出D,E,F；

另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn)，以此來確定圓心的位置。

3、直線與圓的位置關(guān)系：

直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：

（1）設(shè)直線/:Ax+5y+C=0,圓°：々-尊+0-6）2=戶,圓心c（a,b）到I的距離

為“_仍+q,則有d〉ro/與C和離:d=ro/與。相切；d<ro/與Cffl交

yjA2+B-

（2）設(shè)直線/：Ax+By+C=0,圓C:（x—a]+（y—/，先將方程聯(lián)立消元，得到

一個(gè)一元二次方程之后，令其中的判別式為△,則有

△<0o/與C相離：△=€）=/與C相切；八〉。。/與C相交

注：如果圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式>0+yy0=/去解直線與圓相切的問題，其中

（10，》0）表示切點(diǎn)坐標(biāo)，r表示半徑。

（3）過圓上一點(diǎn)的切線方程：

①圓M+>2=/，圓上一點(diǎn)為（Xo，yo），則過此點(diǎn)的切線方程為XXo+y%=/（課本命題）.

②圓（x-a-+（y-勿2=M,圓上一點(diǎn)為的，y。）,則過此點(diǎn)的切線方程為由-勿（工句+仇-切（y-勿=/

（課本命題的推廣）.

4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。

222

設(shè)圓G：（x-nJ）+（y-仇y=/,C2:（x—a2）+（y—b2）=R

兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（J）之間的大小比較來確定。

當(dāng)d>R+r時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；

當(dāng)"=/?+「時(shí)兩圓外切，連心線過切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；

當(dāng)/?-「<"</?+/?時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；

當(dāng)d=|R-r|時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線；

當(dāng)1<1??一耳時(shí)，兩圓內(nèi)含；當(dāng)d=0時(shí)，為同心圓。

三、立體幾何初步

1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

()棱柱：定陷D's/頂點(diǎn)

1面互相平行，其余鮑是四邊形，且每相鄰兩價(jià)四邊形的公共

r

7\X…*z1?\、S

邊q互相夫<熱這些面所圍成1

分類：以底面相形供邨祚為分類的標(biāo)準(zhǔn)儂總棱曲臂棱柱、鳴炮

C

慢匚曲自棱柱A3需力’底一對(duì)械郵旗兼字公及炒方.棱柱

表示：用各啰v

AD惻限

幾何特征：兩底元鼐斑外行的全等

邊形；側(cè)山B對(duì)角面都是平行四邊形:側(cè)梅憫聽且

相等；格早于底面的截面是與底面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何

體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐尸-45。力2

幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到

截面距離與高的比的平方。

(3)棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)P-A'B'C'DZ'

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)

(4)圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾

何體

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖

是一個(gè)矩形。

(5)圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的兒何

體

幾何特征：①底面是一個(gè)圓；②母線交于圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。

(6)圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。

(7)球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。

2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影)；側(cè)視圖(從左向右)、

俯視圖(從上向下)

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度;

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度;

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法

斜二測畫法特點(diǎn)：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；

②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。

4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積

(1)幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。

(2)特殊幾何體表面積公式(C為底面周長，h為高，/7為斜高，1為母線)

S直棱柱側(cè)面枳=c*S圓柱惻=2加"S正棱錐惻面積=耳(?〃'S圓錐惻面積=切7

s正校臺(tái)側(cè)面枳二；(q+c2)h'S圓臺(tái)側(cè)面積=(r+R)力

S網(wǎng)柱表=2m(r+/)S圓錐表=m(r+/)S圓臺(tái)表=T(廠+〃+R/+A~)

(3)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式

4=S〃=Sh=7ir-h曝=興/雕=)〃

(4)球體的表面積和體積公式：V球=d乃代；S球面=4〃/?2

4、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系

(1)平面

①平面的概念：A.描述性說明；B.平面是無限伸展的；

②平面的表示：通常用希臘字母a、［3、丫表示，如平面a(通常寫在一個(gè)銳角內(nèi))；

也可以用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來表示，如平面BC。

③點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn)A在平面a內(nèi)，記作Aea；點(diǎn)A不在平面a內(nèi)，記作Aea

點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn)A的直線/上，記作：Aez；點(diǎn)A在直線/外，記作A《/；

直線與平面的關(guān)系：直線/在平面a內(nèi)，記作/Ua；直線/不在平面a內(nèi)，記作/?a。

(2)公理1：如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面

(即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線)

應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi)

用符號(hào)語言表示公理1：Ae/,8e/,Aea,8ean/ua

(3)公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

推論：一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平面：兩平行直線確定一

平面。

公理2及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)

(4)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直

線

符號(hào)：平面a和B相交，交線是a,記作aCB=a。

符號(hào)語言：PeAn8nAnB=/,Pe/

公理3的作用：

①它是判定兩個(gè)平面相交的方法。

②它說明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過公共點(diǎn)。

③它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。

（5）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行

（6）空間直線與直線之間的位置關(guān)系

①異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線

②異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。

③異面直線判定：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線

④異面直線所成角：直線。、匕是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)0,分別引直線優(yōu)〃a,b'

//b,則把直線a，和4所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和h所成的角。兩條異面直線

所成角的范圍是（0°,90°],若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線

互相垂直。

說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定義；②異面直線的判定定理

（2）在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn)。是任取的，而和點(diǎn)O的位置無關(guān)。

②求異面直線所成角步驟：

A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)

選在特殊的位置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角

（7）等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。

（8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系

直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn).

直線不在平面內(nèi)便交一一只有一個(gè)公共點(diǎn).

（或直線在平面外）（平行一一沒有公共點(diǎn).

三種位置關(guān)系的符號(hào)表示：auaaCa=Aa//a

（9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行——沒有公共點(diǎn)；a//p

相交——有一條公共直線。aCB=/,

5、空間中的平行問題

（1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)

線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與此平面平行。

線線平行=線面平行

線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，

那么這條直線和交線平行。線面平行n線線平行

（2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)

兩個(gè)平面平行的判定定理

（1）如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行

（線面平行f面面平行），

（2）如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行。

（線線平行一面面平行），

（3）垂直于同-條直線的兩個(gè)平面平行，

兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理

（1）如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。（面面平行一線面平

行）

（2）如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行一線線平行）

7、空間中的垂直問題

（1）線線、面面、線面垂直的定義

①兩條異面直線的垂直:如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。

②線面垂直：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個(gè)平面垂

直。

③平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組

成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個(gè)平面垂直。

（2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理

①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理

判定定理:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面。

性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。

②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。

性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一

個(gè)平面。

9、空間角問題

(1)直線與直線所成的角

①兩平行直線所成的角：規(guī)定為0。。

②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。

③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點(diǎn)O,分別作與兩條異面直線a,b平行的直線

a',b',形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所

成的角。

(2)直線和平面所成的角

①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為90°。

③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條

直線和這個(gè)平面所成的角。

求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，二計(jì)算”。

在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上點(diǎn)到面的垂線,

在解題時(shí)，注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：(1)斜線上一點(diǎn)到面的垂線；(2)過斜線上的一

點(diǎn)或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。

(3)二面角和二面角的平面角

①二面角的定義：從-條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二

面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射

線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過來，如果兩個(gè)平

面垂直，那么所成的二面角為直二面角

④求二面角的方法

定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角

垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過兩垂線作平面與兩個(gè)面的交線所成的角為

二面角的平面角fA,

D,

7、空間直角坐標(biāo)系Biz_Z7|

(1)定義：如圖，O8CO-0/8。是單位正方體.以A為原點(diǎn)，

分別以0D,0A,0B的方向?yàn)檎较?，建立三條數(shù)軸x軸.y軸.z軸。AJ-H

這時(shí)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz./

1)0叫做坐標(biāo)原點(diǎn)2)x軸，y軸，z軸叫做坐標(biāo)軸.3)過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐

標(biāo)面。

(2)右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直時(shí)，可能形成的位置。大拇指指

向?yàn)閤軸正方向，食指指向?yàn)閥軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間

的相位置。

(3)任意點(diǎn)坐標(biāo)表示：空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示，有序?qū)崝?shù)組

(x,y,z)叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作M(x,y,z)(x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo),

y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo))

22

(4)空間兩點(diǎn)距離坐標(biāo)公式：(I=yj(x2-xt)+(j2-Ji)+(z2~Z1)

高一數(shù)學(xué)必修3公式總結(jié)以及例題

§1算依初步

O秦九韶算法：通過一次式的反復(fù)計(jì)算逐步得出高次多項(xiàng)式的值，對(duì)于一個(gè)n

次多項(xiàng)式，只要作n次乘法和n次加法即可。表達(dá)式如下：

例題：秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式

3/+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1,當(dāng)x=0.4時(shí)，

需要做幾次加法和乘法運(yùn)算？答案：6,6

即：(((((3x+4)x+5)x+6)x+7卜+8)x+1

?理解算法的含義：一般而言，對(duì)于一類問題的機(jī)械的、統(tǒng)一的求解方法稱為算法，

其意義具有廣泛的含義，如：廣播操圖解是廣播操的算法，歌譜是一首歌的算法，空調(diào)說明

書是空調(diào)使用的算法…(algorithm)

1.描述算法有三種方式：自然語言，流程圖，程序設(shè)計(jì)語言(本書指偽代碼).

2.算法的特征：

①有限性：算法執(zhí)行的步驟總是有限的，不能無休止的進(jìn)行下去

②確定性：算法的每一步操作內(nèi)容和順序必須含義確切，而且必須有輸出，輸出可

以是一個(gè)或多個(gè)。沒有輸出的算法是無意義的。

③可行性：算法的每一步都必須是可執(zhí)行的，即每一步都可以通過手工或者機(jī)器在

?定時(shí)間內(nèi)可以完成，在時(shí)間上有一個(gè)合理的限度

3.算法含有兩大要素：①操作：算術(shù)運(yùn)算，邏輯運(yùn)算，函數(shù)運(yùn)算，關(guān)系運(yùn)算等②

控制結(jié)構(gòu):順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)

?流程圖：(flowchart):是用一些規(guī)定的圖形、連線及簡單的文字說明表示算法及

程序結(jié)構(gòu)的一種圖形程序，它直觀、清晰、易懂，便于檢查及修改。

注意：1.畫流程圖的時(shí)候一定要清晰，用鉛筆和直尺畫，要養(yǎng)成有開始和結(jié)束的好習(xí)慣

2.拿不準(zhǔn)的時(shí)候可以先根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)畫出大致的流程，反過來再檢查，比如：遇

到判斷框時(shí)，往往臨界的范圍或者條件不好確定，就先給出一個(gè)臨界條件，畫好大致流

程，然后檢查這個(gè)條件是否正確，再考慮是否取等號(hào)的問題，這時(shí)候也就可以有幾種書

寫方法了。

3.在輸出結(jié)果時(shí)，如果有多個(gè)輸出，一定要用流程線把所有的輸出總結(jié)到一起，

一起終結(jié)到結(jié)束框。\I,-------------

?算法結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)

直到型循環(huán)i當(dāng)型循

環(huán)

I.順序結(jié)構(gòu)(sequencestructure)：是一種最簡單最基本的結(jié)構(gòu)它不存在條件判斷、

控制轉(zhuǎn)移和重復(fù)執(zhí)行的操作，?個(gè)順序結(jié)構(gòu)的各部分是按照語句出現(xiàn)的先后順序執(zhí)行

的。

II.選擇結(jié)構(gòu)(selectionstructure)：或者稱為分支結(jié)構(gòu)。其中的判斷框，書寫時(shí)主要

是注意臨界條件的確定。它有一個(gè)入口，兩個(gè)出口，執(zhí)行時(shí)只能執(zhí)行一個(gè)語句，不

能同時(shí)執(zhí)行，其中的A,B兩語句可以有一個(gè)為空，既不執(zhí)行任何操作，只是表明在

某條件成立時(shí)，執(zhí)行某語句，至于不成立時(shí)，不執(zhí)行該語句，也不執(zhí)行其它語句。

III.