2025版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第1篇專題7解析幾何第1講小題考法-直線與圓的方程學(xué)案

PAGEPAGE1第1講小題考法——直線與圓的方程一、主干學(xué)問要記牢1．直線方程的五種形式點(diǎn)斜式y(tǒng)－y1＝k(x－x1)(直線過點(diǎn)P1(x1，y1)，且斜率為k，不能表示y軸和平行于y軸的直線)斜截式y(tǒng)＝kx＋b(b為直線在y軸上的截距，且斜率為k，不能表示y軸和平行于y軸的直線)兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(直線過點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不能表示坐標(biāo)軸和平行于坐標(biāo)軸的直線)截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a，b分別為直線的橫、縱截距，且a≠0，b≠0，不能表示坐標(biāo)軸、平行于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線)一般式Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時(shí)為0)2.點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離(1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離為d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))．(2)兩平行線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離為d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))．3．圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2．(2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F(3)圓的直徑式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(圓的直徑的兩端點(diǎn)是A(x1，y1)，B(x2，y2))．4．直線與圓位置關(guān)系的判定方法(1)代數(shù)方法(推斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的狀況)：Δ>0?相交，Δ<0?相離，Δ＝0?相切．(2)幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小)：設(shè)圓心到直線的距離為d，則d<r?相交，d>r?相離，d＝r?相切．5．圓與圓的位置關(guān)系已知兩圓的圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，則(1)當(dāng)|O1O2|＞r1＋r2時(shí)，兩圓外離；(2)當(dāng)|O1O2|＝r1＋r2時(shí)，兩圓外切；(3)當(dāng)|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2時(shí)，兩圓相交；(4)當(dāng)|O1O2|＝|r1－r2|時(shí)，兩圓內(nèi)切；(5)當(dāng)0≤|O1O2|＜|r1－r2|時(shí)，兩圓內(nèi)含．二、二級(jí)結(jié)論要用好直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置關(guān)系(1)平行?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C(2)重合?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C(3)相交?A1B2－A2B1≠0；(4)垂直?A1A2＋B1B2三、易錯(cuò)易混要明白1．易忽視直線方程的幾種形式的限制條件，如依據(jù)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等設(shè)方程時(shí)，忽視截距為0的狀況，干脆設(shè)為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1；再如，忽視斜率不存在的狀況干脆將過定點(diǎn)P(x0，y0)的直線設(shè)為y－y0＝k(x－x0)等．2．探討兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，易忽視系數(shù)等于零時(shí)的探討導(dǎo)致漏解，如兩條直線垂直時(shí)，一條直線的斜率不存在，另一條直線斜率為0.假如利用直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件A1A2＋B1B23．求解兩條平行線之間的距離時(shí)，易忽視兩直線系數(shù)不相等，而干脆代入公式eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))，導(dǎo)致錯(cuò)解．4．易誤認(rèn)為兩圓相切即為兩圓外切，忽視兩圓內(nèi)切的狀況導(dǎo)致漏解．考點(diǎn)一直線方程直線方程問題的2個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)求解兩條直線平行的問題時(shí)，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出參數(shù)的值后，要留意代入檢驗(yàn)，解除兩條直線重合的狀況．(2)求直線方程時(shí)應(yīng)依據(jù)條件選擇合適的方程形式，同時(shí)要考慮直線斜率不存在的狀況是否符合題意．1．已知直線l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，則實(shí)數(shù)a的值為(C)A．－eq\f(3,2) B．0C．－eq\f(3,2)或0 D．2解析由l1∥l2得1×(－a)＝2a(a＋1)，即2a2＋3a＝0，解得a＝0或a＝－eq\f(3,2).經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a＝0或a＝－eq\f(3,2)時(shí)均有l(wèi)1∥l2，故選C．2．已知直線l的傾斜角為eq\f(π,4)，直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(3,2)，B(－a，1)，且l1與l垂直，直線l2：2x＋by＋1＝0與直線l1平行，則a＋b＝(B)A．－4 B．－2C．0 D．2解析由題知，直線l的斜率為1，則直線l1的斜率為－1，所以eq\f(2－1,3＋a)＝－1，所以a＝－4.又l1∥l2，所以－eq\f(2,b)＝－1，b＝2，所以a＋b＝－4＋2＝－2，故選B．3．過直線l1：x－2y＋3＝0與直線l2：2x＋3y－8＝0的交點(diǎn)，且到點(diǎn)P(0,4)距離為2的直線方程為y＝2或4x－3y＋2＝0．解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋3＝0，,2x＋3y－8＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))∴l(xiāng)1與l2的交點(diǎn)為(1,2).當(dāng)所求直線斜率不存在，即直線方程為x＝1時(shí)，明顯不滿意題意．當(dāng)所求直線斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線方程為y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0,∵點(diǎn)P(0,4)到直線的距離為2，∴2＝eq\f(|－2－k|,\r(1＋k2))，∴k＝0或k＝eq\f(4,3).∴直線方程為y＝2或4x－3y＋2＝0．考點(diǎn)二圓的方程圓的方程的2種求法(1)幾何法：通過探討圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程．(2)代數(shù)法：用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)．1．(2024·湖北聯(lián)考)已知a＞1，過P(a,0)作⊙O：x2＋y2＝1的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)，則經(jīng)過P，A，B三點(diǎn)的圓的半徑為(D)A．eq\f(\r(2)a－1,2) B．eq\f(a＋1,2)C．a(chǎn) D．eq\f(a,2)解析經(jīng)過P，A，B三點(diǎn)的圓為以O(shè)P為直徑的圓，所以半徑為eq\f(a,2)，選D．2．(2024·蚌埠模擬)以拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為圓心，且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程為(D)A．(x－2)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．(x－2)2＋y2＝4 D．(x－1)2＋y2＝4解析拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為(1,0)，準(zhǔn)線為：x＝－1.依據(jù)題意可得圓心為(1,0)，半徑為2.圓的方程為(x－1)2＋y2＝4.故選D．3．(2024·天津卷)在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為x2＋y2－2x＝0．解析方法1：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．∵圓經(jīng)過點(diǎn)(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,2＋D＋E＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝0，,F＝0.))∴圓的方程為x2＋y2－2x＝0．方法2：畫出示意圖如圖所示，則△OAB為等腰直角三角形，故所求圓的圓心為(1,0)，半徑為1，所以所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0．4．(2024·棗莊一模)已知圓M與直線x－y＝0及x－y＋4＝0都相切，圓心在直線y＝－x＋2上，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－2)2＝2．解析由題意，圓心在y＝－x＋2，設(shè)圓心為(a,2－a),因?yàn)閳AM與直線x－y＝0及x－y＋4＝0都相切，則圓心到兩直線的距離相等，即eq\f(|2a－2|,\r(2))＝eq\f(|2a＋2|,\r(2))，解得a＝0，即圓心(0,2)，且r＝eq\f(|2×0－2|,\r(2))＝eq\r(2)，所以圓的方程x2＋(y－2)2＝2．考點(diǎn)三直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1．直線(圓)與圓位置關(guān)系問題的求解思路(1)探討直線與圓的位置關(guān)系主要通過將圓心到直線的距離同半徑做比較實(shí)現(xiàn)，兩圓位置關(guān)系的推斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較．(2)直線與圓相切時(shí)利用“切線與過切點(diǎn)的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關(guān)于切線斜率的等式，所以求切線方程時(shí)主要選擇點(diǎn)斜式．過圓外一點(diǎn)求解切線段長的問題，可先求出圓心到圓外點(diǎn)的距離，再結(jié)合半徑利用勾股定理計(jì)算．2．直線截圓所得弦長的求解方法(1)依據(jù)平面幾何學(xué)問構(gòu)建直角三角形，把弦長用圓的半徑和圓心到直線的距離表示，即l＝2eq\r(r2－d2)(其中l(wèi)為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)．(2)依據(jù)公式：l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|求解(其中l(wèi)為弦長，x1，x2為直線與圓相交所得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，k為直線的斜率)．(3)求出交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間的距離公式求解．1．(2024·濰坊模擬)直線y＝kx＋3與圓(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|≥2eq\r(3)，則k的取值范圍是(B)A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，0)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))C．[－eq\r(3)，eq\r(3)] D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0))解析設(shè)圓心(2,3)到直線y＝kx＋3的距離為d，則依據(jù)點(diǎn)到直線距離有d＝eq\f(|2k|,\r(k2＋1))，由直線與圓相交弦長公式r2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|MN|,2)))2，所以|MN|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(4－\f(4k2,k2＋1))，解不等式2eq\r(4－\f(4k2,k2＋1))≥2eq\r(3)得k2≤eq\f(1,3)，所以k∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，故選擇B．2．(2024·綿陽三診)已知圓C1：x2＋y2＝r2，圓C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，給出下列結(jié)論：①a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0；②2ax1＋2by1＝a2＋b2；③x1＋x2＝a，y1＋y2＝b．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(D)A．0 B．1C．2 D．3解析公共弦的方程為2ax＋2by－a2－b2＝0，所以有2ax1＋2by1－a2－b2＝0，②正確；又2ax2＋2by2－a2－b2＝0，所以a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，①正確；AB的中點(diǎn)為直線AB與直線C1C2的交點(diǎn)，又AB：2ax＋2by－a2－b2＝0，C1C2：bx－ay＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ax＋2by－a2－b2＝0，,bx－ay＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(a,2)，,y＝\f(b,2)))故有x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，③正確，綜上，選D．3．已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0交于M，N兩點(diǎn)．若eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|MN|＝(A)A．2 B．4C．eq\r(3) D．2eq\r(3)解析設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，圓C的方程可化為(x－2)2＋(y－3)2＝1，其圓心為(2,3)，將y＝kx＋1代入方程x2＋y2－4x－6y＋12＝0，整理得(1＋k2)x2－4(k＋1)x＋7＝0，所以x1＋x2＝eq\f(4k＋1,1＋k2)，x1x2＝eq\f(7,1＋k2)．eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq\f(4k1＋k,1＋k2)＋8，由題設(shè)可得eq\f(4k1＋k,1＋k2)＋8＝12，得k＝1，所以直線l的方程為y＝x＋1．故圓心(2,3)恰在直線l上，所以|MN|＝2．4．已知圓C：(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝1和兩點(diǎn)A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則t的取值范圍是(D)A．(0,2] B．[1,2]C．[2,3] D．[1,3]解析依題意，設(shè)點(diǎn)P(eq\r(